J. FAJARDO
INTRODUCION
Walras (1874)Pareto (1896)Arrow (1951)Debreu (1952)
McKenzie (1954)
Modelo de Equilıbiro
IBMEC
J. FAJARDO
AXIOMAS DEL MODELO
• Todo agente esracionalmente limitado
• Todo agente actua eninteres propio
IBMEC
J. FAJARDO
MODELO DE ARROW-DEBREU
• Economia con Incertidumbre Exogena
• Tiempo discreto
• Mercados Completos
• Mercado sin Friciones
• Dotaciones Inciales Exogenas
IBMEC
J. FAJARDO
COSTOS NOINCLUIDOS
• Costos ex-ante:Costo de Tiempo e esfuerzo para buscar loscontratos y detallarlos
• Costos ex-post:Costo Legal por incumplimiento de contratos.
IBMEC
J. FAJARDO
MODELO
Cada agenteh resuelve el siguiente problema:
maxBh(π,wh)
Uh(x)
Donde
Bh(π, wh) =
x ∈ IRS+1+
∣∣∣ π(x− wh) ≤ 0
Precios de estado
IBMEC
J. FAJARDO
EQUILIBR IO
Definicion 1. Un equilibrıo para la economiaE = (Uh, ωh)h∈Hcon um solo bien, es um par que consiste en uma alocacion y unvector de precios:((xh)h∈H, π) tal que:
1. Los agentes maximizan sus utilidades:
xh ∈ arg maxBh(π,wh)
Uh(x), h ∈ H
2. Mercado equilibrados:∑
H
(xh − wh) = 0
IBMEC
J. FAJARDO
PRINCIPAL RESULTADO
Teorema 1. La economiaE tiene equilibrıo.
Teorema 2. El equilibrıo es Pareto Eficiente.
IBMEC
J. FAJARDO
EXTENSIONES DELMODELO ARROW-DEBREU
Debilitamiento de los Axiomas:
• Asimetrias de Informacion
• Altruismo
IBMEC
J. FAJARDO
EXTENSIONES DELMODELO ARROW-DEBREU
Debilitamiento de las Hipotesis:
• Incertidumbre Endogena
• Mercado Financiero con Friciones
• Mercados Incompletos
• Tiempo Continuo
IBMEC
J. FAJARDO
ECONOMIAS EM TEMPO CONTINUO
Mercados Completos
• Huang (1987)
• Dumas (1989)
• Karatzas, Lehoczky and Shreve (1990)
En este caso a utilidad de un agente representativo es construidacomo uma combinacion lineal de las utilidades individuales de losagentes.Usando pesos constantes.
IBMEC
J. FAJARDO
AGENTE REPRESENTATIVO
Para cada vectorλ ∈ IRH+ de pesos de los agentes, defina:
Uλ(x) = sup(c1,...,cH)
H∑
h=1
λhUh(ch)
Tal quec1 + · · ·+ cH ≤ x.
Lema 1. Suponga queUh es concava para todoh. Una alocacionfactıble es Pareto optima si y solamente si existe um vectorλ ∈IRH
+\0 tal que(c1, . . . , cH) resuelve el problema de alocaciondel agente representativo conx = c1 + · · ·+ cH.
IBMEC
J. FAJARDO
ECONOMIAS EM TEMPO CONTINUO
Mercados Incompletos
• Karatzas, Lehoczky, Shreve and Xu (1991)
• Cuoco and He (1994)
• Fajardo (2002, 2003)
En este caso a utilidad de un agente representativo es construidacomo uma combinacion lineal de las utilidades individuales de losagentes.Usando pesos estocasticos.
IBMEC
J. FAJARDO
MODELO
• Horizonte de Tiempo finitoT
• Un solo bien de consumo
• Mercado Financiero conn + 1 activos, uno sin riesgo (Bono) yn con riesgo.
IBMEC
J. FAJARDO
MODELO
Las equaciones que determinan la evolucion de los precios delos ativos son:
dB(t) = r(t)B(t)dt, B(0) = 1, (1)
dPi(t) = Pi(t)[bi(t)dt +d∑
j=1
σijdW j(t)], Pi(0) ∈ (0,∞),∀i
(2)DondeW (t) = (W 1
t , ..., W dt )′, 0 ≤ t ≤ T, es un Movimiento
Brownianod−dimensional, cadaW i es un Movimento Browni-ano.
IBMEC
J. FAJARDO
MODELO
Wtt≥0 es un movimento Browniano standard si:
1. Wt es continuo ent,
2. Para todot y s > t, Ws −Wt ∼ N(0, s− t)
3. Para cualquiert0, t1, . . . , tn tales quet0 < t1 < · · · < tn < ∞,las variables aleatoriasWt0,Wt1 −Wt0, . . . , Wtn −Wtn−1 sonindependientes.
IBMEC
J. FAJARDO
Simulemos equacion (2) parad = 1, P (0) = 20, b = 14%,σ = 20% y ∆t = 0.01, entonces
∆P = 0, 0014P + 0, 02Pε
Dondeε ∼ N(0, 1)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 315
20
25
30
IBMEC
J. FAJARDO
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Figura 1: Retornos IGBVL
IBMEC
J. FAJARDO
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Standard Normal Quantiles
Qua
ntile
s of
Inpu
t Sam
ple
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
Figura 2: Quantile-Quantile IGBVL
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones Individuales
Todos los agentes de esta economia tienen la misma infor-macion representada porF y tienen las mismas crencias repre-sentedas porP. estos agentes son pequenos inversionistas y cadauno de ellos decidira a cada momentot ∈ [0, T ] :
1. Cuanto dinero(α, θ) el quiere invertir. Dondeα(t) e θ(t) =(θ1(t), ..., θn(t))′ denotan el numero de unidades de bonos yactivos, respectivamente.
2. Cual sera su concumo acumuladoC(t).
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones Individuales
El conjunto de estrategias admisibles sera denotado porΘ.Consideramos que existe un numero finito de agentesH ≥ 2. Lapreferencia de cada inversionista es caracterizada por una funcionde utilidad aditiva en el tiempo y independiente de los estados
Uh(c) = E
T∫
0
uh(c(t), t)dt
, h ∈ 1, .., H.
HipotesisLas funcionesui(·, t) son estrictamente crescientes, es-trictamente concavas y tres vezes continuamente diferenciables en(0,∞) para todat. Mas aun, satisfazen la condicion de Inada
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones IndividualesCada inversionistah esta dotado de un proceso de dotacion
eh > 0, eh 6= 0. Denotemosel proceso de dotacion agregado,por “e”, i.e.
e =H∑
h=1
eh,
HipotesisEl proceso “e” es un proceso de Ito,
de(t) = µ(t)dt + ρ(t)dWt,
Mas aun, existen constantes0 < e′ ≤ e′′ tal que
e′ ≤ e(t) ≤ e′′ ∀t ∈ [0, T ].
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones Individuales
Denotaremos porE = (Ω,F,P, σ, uh, ehHh=1) las primiti-
vas de la economia, yP = (r, b) seran parametros definiendo elproceso de precios de los ativos. Nos referiremos aE como laeconomiay aP comoel sistema de precios.
Dado el sistema de preciosP cada inversionistah escoge suproceso de consumoch y una estrategia admisible(αh, θh) ∈ Θ,tal queαh(0) = 0, θh(0) = 0,
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones Individuales
Xh(t) =
t∫
0
αh(s)dB(s)+
t∫
0
θ′h(s)dP (s)−t∫
0
(ch(s)−eh(s))ds,
(7)
Xh(t) ≥ −KB(t), (8)
Xh(T ) ≥ 0, (9)
IBMEC
J. FAJARDO
Decisiones Individuales
Definicion 2. Dado el sistema de preciosP, un proceso de con-sumoch ∈ C es factible con la dotacioneh si existe uma estrategiaadmissible(αh, θh) ∈ Θ tal que (7)-(9) son satisfechas. Entonces,decimos que(αh, θh) financiach.
IBMEC
J. FAJARDO
Precios
Para qualquier sistema de preciosP definamosel proceso pre-mio por riesgo estandarizado.
η0 = −σ′(t) (σ(t)σ′(t))−1 (b(t)− r(t)1) , (10)
y el proceso exponencial
Z0(t) = exp
t∫
0
η′0(s)dW (s)− 12
t∫
0
|η0(s)|2 ds
, (11)
Medida martingala equivalente
IBMEC
J. FAJARDO
Definicion 3. Un sistema de preciosP = (r, b) es admisible si:
a) El proceso taza de interes satisface
t∫
0
|r(s)|ds < ∞, (12)
para todot ∈ [0, T ] y existe una constanteK1 > 0 tal que
T∫
0
r(t)−dt < K1, (13)
IBMEC
J. FAJARDO
b) proceso premio por riesgo estandarizadoη0 de (10) satisface acondicion de Novikov:
E
exp
1
2
T∫
0
|η0(t)|2dt
< ∞, (14)
c) Existe unaunica solucion fuerte para la equacion integralestocastica (2).
IBMEC
J. FAJARDO
Equil ıbrioDefinicion 4. Un equilıbrio de expectativas racionales para laeconomiaE es un sistema de precios admissibleP y un conjuntoch, (αh, θh) de consumo y estrategias admisibles tal que;
(i) ch maximizaUh enB(eh,P) ∩ Ch
(ii) (αh, θh) financiach
(iii) Mercados equilibrados,i.e.
H∑
h=1
αh = 0,
H∑
h=1
θh = 0, y
H∑
h=1
ch = e.
IBMEC
J. FAJARDO
Polıticas Optimas
Suponga que los mercados seam completos(n = d). En estecaso el problema de maximizar utilidad esperada suujeto a las re-striciones (7)-(9) es equivalente al problema de maximizar utili-dad sujeto a la restricion Arrow-Debreu :
E
T∫
0
γ(t)Z0(t) (c(t)− ek(t)) dt
≤ 0, (15)
LuegoH0(·) = γ(·)Z0(·) es launica densidad de precios de es-tado para la economia.
IBMEC
J. FAJARDO
Polıticas Optimas
Sabemos que si la solucion optimach0 del problema del agenteh existe, entonces este satisface la condicion de primera orden:
uhc(ch0(t), t) = ψhH0(t), (16)
para algun multiplicador de Lagrangeψh tal que (15) es satisfe-cho como igualdad.
Para el caso de mercados incompletos necesitamos estender lanocion de medida martingala equivalente.
IBMEC
J. FAJARDO
Polıticas Optimas
Para cadaν ∈ K(σ) =ξ ∈ L2 : σξ = 0 (P × l)− a.e
, de-
finamosην(t) = η0 + ν(t), entonces el proceso exponencial
Zν(t) = exp
t∫
0
η′ν(s)dW (s)− 12
t∫
0
|ην(s)|2ds
, (17)
esta bien definido y es um martingala local continuo y estricta-mente positivo. Denotemos porN o conjunto deν ∈ K(σ) parael cual el procesoZν es un martingala uniformemente integrable.
IBMEC
J. FAJARDO
Polıticas Optimas
Proposicion 1. Una medida de probabilidadQ es una medidamartingala localmente equivalente si y solamente sidQt
dPt= Zν(t)
para algunν ∈ N y ∀t ∈ [0, T ], dondePt(Qt) denota a restriciondeP(Q) aFt.
Con esto podemos caracterizar las densidades de precios deestado.
IBMEC
J. FAJARDO
Lema 2. Sech es factible para la dotacioneh, entonces
E
T∫
0
Hν(t)(ch(t)− eh(t))dt
≤ 0,∀ν ∈ N , (18)
dondeHν(·) = γ(·)Zν(·). Reciprocamente, seach ∈ Ch esuponga que existeνh ∈ N talque
E
T∫
0
Hν(t)(ch(t)− eh(t))dt
≤ E
T∫
0
Hνh(t)(ch(t)− eh(t))dt
= 0,
(19)∀ν ∈ N . Entoncesch es factible para la dotacioneh.
IBMEC
J. FAJARDO
Polıticas Optimas
El anterior Lema nos indica que el problema de optimizacionpuede ser reformulado como el problema de maximizacion de lautilidad esperada sujeta a las restriciones presupuestarias asoci-adas a las densidadesHν with ν ∈ N .
Usando el Lema de Ito tenemos que el conjuntoHν : ν ∈ Nes convexo, de aqui el gradiente de la utilidad del agenteh en lasolucion optima sera proporcional a la densidad de precios de es-tadosHνh
conνh ∈ N .
IBMEC
J. FAJARDO
Esto implica que la solucion del problema de consumo individ-ual del agenteh coincide con la solucion del problema de maxi-mizar utilidad esperada del proceso de consumoch ∈ Ch satisfa-ciendo la restricion
E
T∫
0
Hνh(t)(ch(t)− eh(t))dt
≤ 0.
A solucion sera dada por
cνk(t) = fk
(ψkHνk
(t), t), (21)
IBMEC
J. FAJARDO
Agente RepresentativoVamos construir la funcion de utilidad U tal que (P, e)
es un equilibrio sin negocios para la economia de un agente((Ω,F ,F,P), σ, U, e).
Defina la funcionu(c, λ, t) : (0,∞)× (0,∞)H× [0, T ] → IR por
u(c, λ, t) = max∑Hh=1 ch=c
[H∑
h=1
λhuh(ch, t)
](30)
La solucion del problema de alocacion (30) es
ch = fh
(uc(c, λ, t)
λh, t
), ∀h ∈ 1, ..., H. (31)
IBMEC
J. FAJARDO
Agente Representativo
Mostremos que cualquier equilıbrio da economia puede ser su-portado por un agente representativo con la siguiente funcion deutilidad dependiente del estado.
U (c, λ) = E
[∫ T
0
u (c(t), λ(t), t) dt
],
conu dada por (30) yλ un proceso adaptado.
IBMEC
J. FAJARDO
Agente Representativo
Proposicion 2. suponga que(P, c1, .., cH) es un equilıbrio parala economiaE . Entonces existe un proceso continuo e adaptadoλ tal que el proceso de dotacion agregada “e” maximizaU(c, λ)sobreB
(∑Hh=1 eh,P
)e las polıticas de equilıbrio (c1, .., cH) re-
suelven el problema de alocacion del agente representativo en (30)conc = e(t) eλ = λ(t) para todot ∈ [0, T ]. Con
λh(t) =ψ1Hν1(t)ψhHνh
(t), ∀ h ∈ 1, .., H, (34)
dondeHνhes la densidad de precios de estado para el agenteh.
IBMEC
J. FAJARDO
Agente RepresentativoTeorema 3. Suponga que(P, c1, .., cH) es un equilıbrio para laeconomiaE . Defina la utilidad del agente representativo y el pro-cesoλ como en la Proposicion 2. Entonces el sistema de preciosde equilıbrio P = (r, b) y la polıtica de consumo son dadas enterminos deλ por
r(t) = −Guc(e(t), λ(t), t) + uct(e(t), λ(t), t)uc(e(t), λ(t), t),
b(t) = r(t)1− ucc(e(t), λ(t), t)uc(e(t), λ(t), t)
σ(t)ρ(t),
ch(t) = fh
(uc(e(t), λ(t), t)
λh(t), t
),
IBMEC
J. FAJARDO
Y las densidades de precios de estados de losH agentes estanrelacionadas en equilıbiro por
H∑
h=2
(ν1(t)− νh(t))λh(t)ucλh(t) = uc(t)ν1(t)− ucc(t)L(t)ρ(t),
dondeL(t) = I − σ′′(t)(σ(t)σ′′(t))−1σ(t) y I denota la matrizidentidadn× n.
IBMEC
J. FAJARDO
Conclusiones
• Agente Representativo com Pesos Estocasticos
• Equilıbrio
• Costos de Transacion
• Restricones de Credito
• Inadimplencia
IBMEC
Top Related