Estimación de Avenidas de Diseño Mediante el Uso de la Teoría Multivariada de
Extremos
Dr. Álvaro Alberto Aldama Rodríguez1 y Dr. Aldo Iván Ramírez Orozco21Consultor Independiente, 2Profesor Investigador del Centro del Agua del
ITESM
SAMARIA
C. H. PEÑITAS
PRESA MALPASO
TEAPA
MACUSPANA
SALTO DEL AGUA
PUYACATENGO
TAPIJULAPABOCA DEL CERRO
SAN PEDROGONZÁLEZ
PLATANAR
GAVIOTAS
Río Usumacinta
Río Samaría
Río Macuspana Río T
ulija
Río San Pedro y San PabloRío Usumacinta
Río
San
Ped
ro
Río
Usu
mac
inta
Río G
rijalva
Río
Mez
cala
pa
Río
Pic
huca
lco
Río
Tea
pa
Río La S
ierra
Río Carrizal
Río
Grij
alva
Río P
uyacatengo
Río Platanar
Río ChilapaRío Grija
lva
G O L F O D E M É X I C ON
ESTACIÓN HIDROMÉTRICA
C. H. LA ANGOSTURA
PICHUCALCO
CÁRDENASVILLAHERMOSA
C. H. CHICOASÉN
TUXTLA GUTIÉRREZ
Río Alto GrijalvaRío Yayahuita
Río Alto Grijalva
Río Mezcalapa
Ríos de la Sierra
Ríos Samaria y Carrizal
Río Grijalva
Río Chilapa
Río Usumacinta
ESCALA GRAFICA
KILÓMETROS
0 10 5020 30
40
Hidrografía del sistema Grijalva-Usumacinta
Introducción La seguridad de una estructura cualquiera está
determinada por su respuesta ante un evento que puede
presentarse o ser excedido con una probabilidad
determinada.
En el caso de una presa o una obra para control de
inundaciones, dicho evento puede ser la tormenta de
diseño o la avenida de diseño.
Dado que el evento que incide directamente sobre un vaso o
cualquier obra para control de inundaciones es la avenida
de diseño, se considera más apropiado caracterizar la
seguridad de una presa en términos de su respuesta ante la
ocurrencia de dicha creciente.
La estimación de avenidas de diseño es el proceso de
obtener las características del hidrograma que se utilizará
para determinar las dimensiones de una obra.
El fin de los métodos de estimación de avenidas de
diseño es determinar de la mejor manera posible la
magnitud del evento correspondiente a un nivel de
riesgo aceptable.
La estimación de avenidas se realiza con base en un
nivel de riesgo determinado, que se traduce en un
periodo de retorno de diseño, que corresponde al
número de años en el que, estadísticamente, el evento de
diseño puede presentarse o ser excedido.
Estimación de avenidas de diseño
Enfoques de estimación de avenidas de diseño
Hidrometeorológico. Basado en registros de precipitación y la modelación del proceso lluvia-escurrimiento.Hidrométrico. Basado en registros de
escurrimiento y el uso de funciones de distribución de probabilidad.
Ventajas del enfoque hidrometeorológico
Registros de precipitación más abundantes que los de escurrimiento
Obtención del hidrograma completo de la avenida
Medición de la precipitación en México
5575 estaciones climatológicas con datos históricos (la mayoría con pluviómetro solamente)
77 observatorios meteorológicos
4594 estaciones con coordenadas conocidas
Densidad aproximada = 1 estación pluviométrica / 400 km2
Recomendación mínima de la OMM:
Terreno plano 1 estación por cada 600 a 900 km2
Terreno montañoso 1 estación por cada 100 a 250 km2
México no cumple con la recomendación mínima
Ventajas del enfoque hidrométrico
Registros de caudales suficientemente prolongados para realizar análisis de frecuencias de gastos máximos anuales.
Obtención de estimaciones con significado probabilista.
Existencia de una gran diversidad de distribuciones de probabilidad, incluidas las de poblaciones mezcladas, a fin de tomar en cuenta el comportamiento y origen de las avenidas.
Desventajas del enfoque hidrométrico
Los registros de escurrimiento no son homogéneos (dependen de los cambios de la cuenca).
Puede existir incertidumbre en la estimación de los parámetros de la distribución de probabilidad.
En los métodos convencionales sólo se obtiene una característica de la avenida, esto es, el gasto pico, y la forma de la avenida de diseño se obtiene “mayorando la avenida máxima histórica”, lo cual en estricto sentido haría imposible asociar un periodo de retorno a la misma.
Tormenta elemental en una cuenca
Considérese una tormenta elemental que ocurre en una cuenca, sobre un área A, con una intensidad I y una duración d, a una distancia efectiva L de la salida de aquélla. El efecto de la tormenta será un hidrograma de salida, caracterizado por el gasto pico Qp, el tiempo pico tp, y el volumen escurrido V.
t
i(t)I
d
Q(t)
t
Qp
tp
VA
L
Modelo advectivo-difusivo del proceso lluvia-
escurrimiento Para fines de argumentación conceptual, el proceso lluvia-
escurrimiento puede ser modelado representando a la cuenca como un “metacanal”, como lo han propuesto Snell y Sivalpan (1995). Entonces, puede considerarse que el gasto Q a lo largo del cauce principal de la cuenca está gobernado por la siguiente ecuación de advección-difusión:
donde t representa el tiempo; x, la coordenada espacial a lo largo del cauce principal; U, una velocidad advectiva efectiva, y D, un coeficiente de difusión efectivo.
2
2
xQ
DxQ
UtQ
∂∂=
∂∂+
∂∂
Gasto pico producido por una tormenta elemental
El gasto pico producido por una tormenta elemental puede obtenerse a partir de la solución analítica del problema gobernado por el modelo advectivo-difusivo, que resulta en la siguiente expresión:
),( rep CPfIAgQ =
donde f representa un factor de escurrimiento directo y
−−
−−−
+
+−
−−+
=
−
dt
dtC
C
P
dt
dtC
C
P
dt
dtC
C
P
dt
dtC
C
PCPg
p
pr
r
e
p
pr
r
eP
p
pr
r
e
p
pr
r
ePPre
e
ee
/
/1
21
erf)1/(
)1/(1
21
erf
/
/1
21
erf)1/(
)1/(1
21
erf21
),(
2/
2/2/
e
ee
siendo Pe=UL/D un número de Pécléct, y Cr=Ud/L un número de Courant, ambos característicos del binomio tormenta elemental-cuenca. Se puede demostrar que la relación tp/d es una función de Pe y Cr y, por tanto, de L.
Caracterización probabilista de una tormenta elemental
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∞∞
=≤≡=≤≡
=≤≤≡
L
l
I
i
I L
didlLiLlPLZdldiliIiPIZ
dldiliLlIiPLIZ
0 00 0
0 0
),()()(,),()()(
,),(),(),(
ςς
ς
La descripción más simple que se puede proponer de una tormenta elemental que ocurre en un área fija y tiene una duración fija, es aquélla en la que intervienen dos variables aleatorias: I y L. Sea entonces la densidad de probabilidad conjunta de dichas variables ζ(I,L), a partir de la cual se puede calcular la distribución de probabilidad conjunta, así como las distribuciones marginales de I y L, dadas respectivamente por:
Periodo de retorno conjunto Se puede demostrar que el periodo de retorno
conjunto de I y L, o dicho de otro modo, el periodo de retorno de la tormenta elemental está dado por:
),()()(11
),(1
, LIZLZIZLlIiPT
liLI +−−
=>>
≡
Periodos de retorno de tormentas y avenidas (1)
Cuando se realiza un análisis de frecuencias de tormetas máximas anuales, se puede estimar una intensidad de diseño, ID, asociada con un periodo de retorno seleccionado para tal fin, TID. Ahora bien, empleando la teoría de distribuciones derivadas se puede calcular la distribución de probabilidad del gasto pico producido por una tormenta elemental, a partir de ζ(I,L). Se puede demostrar que los periodos de retorno de diseño de la intensidad y del gasto pico se pueden expresar respectivamente como:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
0 0
1
0 0
)(),(,
)(),(1
)(1
)(),(,
)(),(1
)(1
−∞
−∞
−=
>≡
−=
>≡
∫ ∫
∫ ∫Dp
p
Dp
Q
rereDp
DQ
Q
rereD
DI
dqlClPg
dll
lClPgq
QqPT
LCLPgdq
dlllClPg
qIiP
T
ς
ς
Periodos de retorno de tormentas y avenidas (2)
Evidentemente, TQpD≠TID, lo cual demuestra que el periodo de retorno de la avenida no es el mismo que el de la tormenta. Pero además, TI,LD≠TID, lo cual muestra que es inadecuado caracterizar a una tormenta sólo a través del comportamiento aleatorio de su intensidad.
Comentarios sobre el enfoque hidrometeorológico La descripción probabilista de tormentas de diseño
a través de la intensidad exclusivamente, es incompleta.
Para diseñar hidrológicamente una presa es necesario conocer el periodo de retorno de la avenida de diseño, lo cual no es posible cuando se emplea una tormenta de diseño, dado que su periodo de retorno no coincide con el de la avenida que produce.
Los modelos lluvia-escurrimiento no funcionan bien para eventos extremos.
Lo anterior resalta las limitaciones del enfoque hidrometeorológico.
Diseño o revisión hidrológica de presas
Para determinar Zmáx y Omáx es necesario transitar el hidrograma completo de la avenida de diseño por el vaso.
I(t)Parámetros de diseño: Zmáx, Omáx
O(t)
t
t
OmáxZmáx
Análisis de frecuencias tradicional
Año Gasto máximo anual(m3/s)
1940 15801941 25091942 10521943 4005
. .
. .
. .
. .
. .1999 85022000 35102001 19202002 4355
Registro histórico
Muestra aleatoria de una sola variable: Gasto pico
10000
20000
•10 100 1000
• • • •• ••• •• •• •
• • • •
Q
• • • • ••• •• •• •
• • • •• • • • •••• •
Q para T=1000 años
T
Periodo de retorno( )PQqP
T>
= 1
Observaciones sobre el análisis de frecuencias
tradicional Se requiere del hidrograma completo para diseñar
o revisar la presa.
En la práctica, la forma del hidrograma se define en forma arbitraria, “mayorando” la avenida máxima histórica.
La respuesta de los vasos es sensible al gasto pico y también a otros parámetros de la avenida.
Se requiere caracterizar probabilistamente toda la avenida.
Parametrización de hidrogramasQ
t t
Q
tp
QpVQ=Q(t;Qp, tp, V)
Hidrograma real Hidrograma parametrizado
Triangular
QP
V
Q
t
QP
tp Cúbica
Q
t
V
QP
tpPearson
tV
Q
tp
Hidrogramas triparamétricos hermitianos
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 50 100 150 200 250 300tiempo (h)
Gasto (m3 /s)
Orden 5
Orden 3
Orden 1
( )
[ ]
[ ]( ) ( )
∞∪∞−∈
∈
−−
−
∈
=
,0,;0
,;1
,0;
,,;1
b
ppb
pp
pp
p
bpp
tt
ttttt
ttQ
tttt
Q
ttQtQb ( )
[ ]
[ ]( ) ( )
∞∪∞−∈
∈
−−
+
−−
−
∈
−
=
,0,;0
,;231
,0;23
,,;
32
32
3
b
ppb
p
pb
pp
ppp
p
bpp
tt
ttttt
tt
tt
ttQ
tttt
tt
Q
ttQtQb
( )
[ ]
[ ]( ) ( )
∞∪∞−∈
∈
−−
−
−−
+
−−
−
∈
+
−
=
,0,;0
,;615101
,0;61510
,,;
543
543
5
b
ppb
p
pb
p
pb
pp
pppp
p
bpp
tt
ttttt
tt
tt
tt
tt
ttQ
tttt
tt
tt
Q
ttQtQb
Solución analítica aproximada de ecuación de
tránsito en vasos
I(t)
O(t)
t
t
OmáxZmáx
dtdS
OI =−
)()( )();( 210 εεε OtStStS ++=
[ ]S t e I d et
t0 0 0( ) ( )= +∫ −S τ τ τ
τττττττ ττ τ ddIedIeetS
t
o o
t
++−
+−= ∫∫ ∫−
0
'0
'01 ')'(Sln')'()( S
ε << 1
dS
dtS I t+ =+1 ε ( )
S
Tránsito de la avenida de diseño de la presa “El Molinito”, Son.
(ε=0.23756)
Para fines prácticos, la solución de orden uno es suficiente.
140
160
180
200
220
240
260
280
0 50 100 150Tiempo (h)
Alm
acen
amie
nto
(M
m3 )
Verdadera
Solución
Orden CeroOrden UnoOrden Dos
Análisis de sensibilidad de vasos ante avenidas
Q
ttp
Qp
V
tp, Qp, V (adimensional)
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
Alm
acen
amie
nto
Máx
imo
Volumen
Tiempo pico
Gasto pico
(adi
men
s ion
al )
0 0.20 0.40 0.60
Descripción biparamétrica (Qp, V )
⇒
Sensibilidad de la respuesta del vaso al volumen de las
avenidas
La gráfica anterior hace evidente que la asignación arbitraria del volumen de escurrimiento de la avenida, que es lo que se haría con el análisis de frecuencias tradicional del gastos pico, tiene una gran influencia en el volumen del superalmacenamiento y por consiguiente en el nivel máximo que alcanza el agua dentro del vaso.
Análisis de frecuencias conjunto (1)
( ) ( )V,vQqP,VQF ppqv ≤≤=
)()()(11
,VQFVFQFT
pqvvpq,VQp +−−
=
( )V,vQqPT
p,VQp >>
= 1
Periodo de retorno conjunto del hidrograma
donde:
(función de distribución de probabilidad conjunta)
( ) ( ) ( )∫ ≤==∞
∞−ppqvpq QqPdV,VQFQF
( ) ( ) ( )∫ ≤==∞
∞−VvPdQ,VQFVF ppqvv
(funciones de distribución de probabilidad marginales)
Análisis de frecuencias conjunto (2)
)(11
pqQ QF
Tp −
=
)(11
VFT
vV −
=
Los periodos de retorno individuales están dados por:
Gasto pico:
Volumen:
Problema de optimización no lineal Sea Zm= Zm(Qp,V) la máxima elevación que alcanza el
agua en el vaso de una presa cuando se transita un hidrograma caracterizado por el par (Qp,V). Entonces, la avenida de diseño para un periodo de retorno TD dado, corresponderá a la solución del siguiente problema:
Dpqvvpq
,VQ
pmmVQ
T,VQFVFQF
T
VQZZ
p
p
=+−−
=
=
∗∗∗∗
∗∗
)()()(11
),(máx),(
:a sujeta
y a la curva elevaciones-capacidades del embalse, así como a su política de operación.
Procedimiento de soluciónSe pretende determinar el par de valores (QP,V)
que produzca los efectos más desfavorables (máximo nivel Zm) en la presa por diseñar o revisar. Definir un periodo de retorno de diseño o revisión.Determinar Qp y V para satisfacer TQp,V =TD.Construir el hidrograma completo con la mejor
parametrización de acuerdo con la cuenca en estudio.Transitar el hidrograma por el vaso y determinar Zm (se
ven implicadas la topografía, las características del vertedor, las políticas de operación, etc.)
Elegir otro par (Qp,V) y repetir el proceso hasta obtener el máximo de Zm.
Calcular los periodos de retorno individuales.
Revisión del diseño hidrológico de la presa “El Infiernillo”,
Mich. y Gro.Diseño original
Qp = 38,777 m3/s (Creager)
Datos actuales
NAMO = 165.00 msnmNAME = 180.40 msnmEcorona = 184.00 msnm
Una revisión del diseño, en 1982, motivó la modificación de niveles y la sobrelevación de la cortina.
Presa “El Infiernillo”, Mich. y Gro.
Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales (convencional)
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima histórica (en gasto pico), ocurrida en 1967, con lo cual el volumen de escurrimiento es:
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del agua de 183.00 msnm. El NAME se sobrepasa por 2.60 m y queda aún 1.00 m a la corona.
V = 12,400 millones de m3
Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:
Qp = 60,060 m3/s
Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Zmáx = 186.73 msnm
Qp = 54,000 m3/sV = 13,960 millones de m3
= 3,800 añosTV = 4,507 años
La presa no es segura para un evento con periodo de retorno de
10,000 años
La corona se sobrepasa en 2.73 m.
pQT
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 50 100 150 200 250
time (h)
Dis
char
ge (
m3/
s)G
asto
m3 /
s
Tiempo (h)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 50 100 150 200 250
time (h)
Dis
char
ge (
m3/
s)G
asto
m3 /
s
Tiempo (h)
Revisión del diseño hidrológico de la presa “Huites”, Sin.
Diseño original
Qp = 30,000 m3/s V = 5,240 millones de m3
Datos actuales
NAMO = 270.00 msnmNAME = 290.00 msnmEcorona = 290.75 msnm
Presa “Luis Donaldo Colosio” Huites, Sinaloa
Análisis de frecuencias de gastos máximos anuales (convencional)
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima anual de 1990, mientras la máxima histórica (en gasto pico) ocurrió en 1960. El volumen de escurrimiento es:
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie libre del agua de 289.37 msnm, dejando un bordo libre, a la corona, de 1.38 m.
V = 5,240 millones de m3
Para un periodo de retorno de 10,000 años se tiene:
Qp = 30,000 m3/s
La presa parece segura
Análisis de frecuencias conjunto utilizando marginales Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Zmáx = 290.58 msnm
Qp = 29,000 m3/sV = 5,979 millones de m3
= 6,034 añosTV = 3,135 años
La presa es menos segura de lo que se cree
pQT
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
0 50 100 150 200 250
tiempo (h)
3G
asto
(m
/s)
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
0 50 100 150 200 250
tiempo (h)
3G
asto
(m
/s)
Revisión del diseño hidrológico del proyecto “La Parota”,
Guerrero
Diseño convencional
Qp = 22,993 m3/s V = 8,912 millones de m3
Datos relevantes
NAMO (avenidas) = 170.00 msnmNAMO (estiaje) = 175.00 msnmNAME = 180.00 msnmEcorona = 183.00 msnm
Sitio para la ubicación de la cortina de lapresa “La Parota”, Guerrero
Análisis de frecuencias conjuntoPara un periodo de retorno conjunto de 10,000
años se tiene:
Zmáx = 179.50 msnm
Qp = 23,531 m3/sV = 5,726 millones de m3
La presa es hidrológicamente segura
Conclusiones Tanto el enfoque hidrometeorológico como el análisis de
frecuencias de gastos máximos tradicionales, para la estimación de avenidas de diseño de presas, son incompletos e inadecuados.
Para el caso de vasos, el método propuesto evita la arbitrariedad en la asignación del volumen de la avenida. Se obtiene la solución con los efectos más desfavorables sobre el vaso en particular, cuyas características se involucran en el proceso de estimación de la avenida de diseño
Comentarios La teoría multivariada de valores extremos ha sido aplicada y
extendida por los autores para resolver problemas de estimación de avenidas de diseño en redes de ríos, en las que comúnmente se requiere el uso de distribuciones de tres o más variables aleatorias.
En particular, se ha demostrado que la distribución de probabilidad de poblaciones mezcladas comúnmente conocida como “Gumbel doble”, satisface las denominadas “fronteras de Fréchet” y las “condiciones de Galambos”.
Asimismo, se ha desarrollado una metodología para la estimación del parámetro de asociación del modelo logístico de Gumbel, para la construcción de funciones de probabilidad de extremos multivariadas, basada en el concepto de “contenidos de probabilidad”.
Actualmente se trabaja en el problema de presas en cascada y en una estrategia de solución que permita acotar la complejidad computacional de problemas que involucren un número apreciable de variables aleatorias.
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