2.- ( y ' ' ' )43+[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]
74= y y (5 )
y y (5 )=( y ' ' ')43+[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]
74
y y (5 )={[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]74 }4
[ y y (5 )−( y ' ' ' )43 ]4
={[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]74 }4
[ y y (5 ) ]4−4 [ y y (5) ]3 ( y ' ' ' )43+6 [ y y (5 ) ]2 ( y ' ' ' )
83−4 y y (5 ) ( y ' ' ' )4+( y ' ' ' )
163=[ y ' ' x+( y ' ' ' )2 ]7
es deorden5 y de grado4
9.- x3 ( y (5) )53− [ x2 sec (x2 y ' ' ) ]
23+x2 y ' ' '+x=0
[x3 ( y (5 ) )53 ]3
={[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y' ' '−x}
3
x9 ( y (5 ))5={[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x}
3
( y (5) )5=x−9{[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x }
3
( y (5) )5−x−9{[ x2 sec (x2 y ' ' ) ]23−x2 y ' ' '−x }
3
=0
es deorden5 y de grado5
2.- x−2 y2− y3 x2=c ; ydx+( x−3 y )dy=0
Derivando implícitamente
[x−2 ( y2 )'+ y2 (x−2 )' ]−[ y3 (x2) '+(x2 ) ( y3 )' ]=02 y x−2 y '−2 y2 x−3− (2 y3 x+3 y2 x2 y ' )=0
2 y x−2 y '−2 y2 x−3−2 y3 x−3 y2 x2 y '=0
2 y y '
x2−2 y
2
x3−22 y3 x−3 y2 x2 y '=0
2 x y '−2 y−2 x4 y2−3 x5 y y '=0
y '=2 y−2x4 y2
2 x−3 x5 y
Reemplazando en la ecuación
ydx+( x−3 y )dy=0
y+( x−3 y ) dydx
=0
y+( x−3 y ) y '=0
y+( x−3 y )( 2 y−2 x4 y22 x−3 x5 y )=0
4 xy+ x5 y2−6 y2−6 x4 y3=0
Por lo tanto no es la solución de la EDO
9.- y=c−sen (x)cos (x )
; y ' ' sen ( x )−x y2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0
Derivando
y '=(cosx ) (−cosx )−(c−senx ) (−senx )
y '= csenx−1cos2 x
y ' '=cos2 ( x ) (ccos ( x ) )−(csenx−1 ) (2cosx ) (−senx )
cos4 x
y ' '=ccos2 x+2(csenx−1)(senx )
cos3 x
y ' '= ccos2 x+2c sen2 x−2 senxcos3 x
y ' '= c+c sen2 x−2 senxcos3 x
Reemplazando en la EDO
y ' ' sen ( x )−x y2 y ' (cos ( x )+ ysen ( x ) )=0
( c+c sen2 x−2 senxcos3 x )sen ( x )−x ( c−sen ( x )cos ( x ) )
2
( csenx−1cos2 x )[cos ( x )+( c−sen ( x )cos ( x ) )sen ( x )]=0
Por lo tanto no es la solución de la EDO
2.- x=Ae−t+Be−t+csen (t ); A , B ,C ϵ R
Derivando
x '=−Ae−t−Be−t+ccos ( t )……….(1)
x ' '=A e−t+B e−t−csen (t )……….(2)
x ' ' '=−Ae−t−Be−t−ccos (t )……….(3)
Sumando (1), (2) y (3)
x '+x ' '+ x' ' '=−A e−t−Be−t+ccos (t )+A e−t+Be−t−csen (t )±Ae−t−B e−t−ccos (t )
x '+x ' '+ x' ' '=A e−t+Be−t+csen (t )
x '+x ' '+ x' ' '=x
x '+x ' '+ x' ' '−x=0
2.- Todas las rectas con pendiente igual a -m
Ecuación de la recta y=mx+b
como la pendiente es igual a -m
entonces la ecuación seria: y=−mx+b
derivando implícitamente
y '=−m
Reemplazando en la ecuación
y= y ' x+b
y '=x y ' '+ y '
x y' '=0
12.- hipérbolas equiláteras con centros en Q(M,N)
Ecuación de una hipérbola equilátera es:
x2− y2=a2
( x−M )2−( y−N )2=a2
Derivando implícitamente
2 ( x−M )−2 ( y−N ) y '=0
( x−M )− ( y−N ) y '=0→ ( x−M )=( y−N ) y '
1−[ ( y−N ) y ' '+ y ' y ' ]=0
1−[ ( y−N ) y ' '+( y ' )2 ]=0
( y−N )=1−( y ' )2
y ' '
Reemplazando en la ecuación
[( 1−( y' )2
y ' ' ) y ' ]2
−(1−( y ' )2
y ' ' )2
=a2
( 1−( y ' )2
y ' ' )2
(( y' )2−1)=a2
2.- x y2 (x y '+ y )=4
(x y3+4 )dx+ (x2 y2 )dy=0
y (x y2+ 4y )dx+x (x y2 )dy=0….(1)
yf ( x , y )dx+xg ( x , y )dy=0caso III
xy=z→ y= zx
dy= xdz+zdxx2
Reemplazando en (1)
zx ( z2x −4 x
z )dx+z2( xdz+zdxx2 )=0
Resolviendo nos queda
−4 xdx+ z2dz=0
Integrando
−4∫ xdx+∫ z2dz=∫0
−2 x2+ z3
3=c
−2 x2+( xy )3
3=c
−6 x2+( xy )3=3c
2.- [ ytan (xy )− ysec ( xy ) ] dx+ [xtan ( xy )−xsec ( xy ) ] dy=0
∂M∂ y
=xy sec2 ( xy )+ tan (xy )−xysec ( xy ) tan ( xy )−sec (xy )
∂N∂ x
=xy sec2 ( xy )+ tan ( xy )−xysec ( xy ) tan ( xy )−sec (xy )
∂M∂ y
=∂ N∂ x
→si es exacta
∂ f ( x , y )∂ x
= ytan ( xy )− ysec ( xy )
f ( x , y )=∫ [ ytan (xy )− ysec ( xy ) ] dx
f ( x , y )=∫ ytan (xy )dx−∫ ysec (xy )dx
f ( x , y )=∫ tan ( xy )d ( xy )−∫ sec ( xy )d (xy )
f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+g ( y )…….(1)
∂ f ( x , y )∂ y
=∂ [ln|sec (xy )|−ln|sec ( xy )+ tan ( xy )|+g ( y ) ]
∂ y
∂ f ( x , y )∂ y
=xsec (xy ) tan (xy )
sec ( xy )−
xsec ( xy ) tan ( xy )+x sec2(xy )sec ( xy )+tan ( xy )
+g' ( y )
∂ f ( x , y )∂ y
=xtan (xy )−xsec ( xy )+g '( y)
xtan ( xy )−xsec (xy )=xtan ( xy )−xsec ( xy )+g' ( y )
g' ( y )=0
g ( y )=k
Reemplazando g ( y ) en (1)
f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+g ( y )
f ( x , y )=ln|sec ( xy )|−ln|sec ( xy )+tan ( xy )|+k