La ley de Biot-Savart
Propiedades del campo magnético creado por una corriente eléctrica:
El vector dB es perpendicular tanto a ds (que es un vector que tiene unidades de longitud y está en la dirección de la corriente) como del vector unitario dirigido del elemento a P
La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia del elemento a P.
La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento.
La magnitud de dB es proporcional a senθ, donde θ es el ángulo entre los vectores ds y .
r̂
r̂
2
ˆ4 r
rsIdBd o
o: permeabilidad del espacio libre
AmT
o
7104
2
ˆ
4 r
rsdIB o
Campo magnético alrededor de un conductor recto delgado
kdxsenkrsdrsd ˆ)(ˆˆˆ
24 rdxsenI
B o
cscasen
ar
r
asen
cottan
tan aa
xxa
dadx 2csc
d
asenaI
B o 22
2
csccsc
4
dsen
a
IB o
4
EJEMPLO.
Calcule el campo magnético en el punto O para el segmento de alambre que conduce corriente. El alambre se compone de dos partes rectas y de un arco circular de radio R, el cual subtiende un ángulo θ. Las puntas de flecha en el alambre indican la dirección de la corriente.
SOLUCION
El campo magnético en O debido a la corriente en los segmentos rectos AA’ y CC’ es cero debido a que ds es paralelo a
r̂r̂
r̂Esto significa que dsx r̂ es cero.
θ o R dsr
I
A
A’
C
C’
20
4 R
dsIdB
Puesto que I y R son constantes, se puede integrar esta ecuación sobre la trayectoria curva AC.
R
I
R
RIds
R
IB
44
)(
40
20
20
θ se mide en radianes.
Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular
222 4
ˆ
4 axdsI
r
rsdIdB oo
0 yy dBB
dBsendBdBB xx )90cos(
22224 ax
aax
dsIB o
dsax
IaB o
2/3224
2/322
2
2 ax
IaB o
ads 2donde
En el centro del lazo (x = 0):
aI
B o
2
En puntos muy lejanos (x >> a):
3
2
2xIa
B o
Recordando que = IA = Ia2
32 xB o
Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí.
La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.
121 LBIF d
IB
2
101
d
LIIF
2
2101
212 LBIF d
IB
2
202
d
LIIF
2
2102
Conductores paralelos que conducen corriente en la misma dirección se atraen entre sí, en tanto que conductores paralelos que conducen corrientes en direcciones opuestas se repelen entre sí.
Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen la misma Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud de cada alambre es de 2 corriente y la fuerza por unidad de longitud de cada alambre es de 2 ×× 101077 N/m, entonces la corriente se define como N/m, entonces la corriente se define como 1 amperio (A)1 amperio (A)..
Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de carga que fluye por sección transversal del conductor en 1 s es 1 C.
EJEMPLO. Una espira rectangular que transporta corriente I1 se coloca paralela y en el mismo plano de un alambre recto y muy largo que transporta corriente I2. Calcule la fuerza magnética que experimenta la espira rectangular.
a
b
c
F3F4
I2
I1
F1
F2
Los tramos horizontales de la espira y el alambre recto y muy largo forman una configuración de alambres paralelos, en consecuencia la fuerza resultante sobre la espira será:
F = F1 – F2
ba
cIIF
cb
IIc
a
IIF
11
2
22
210
210210
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan.
Ley de Ampère
La integral de línea de B·ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a 0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada.
IsdB 0
BsdsBBdssdB
Iaa
IsdB 0
0 22
Fuera del toroide (r<R):
00 IsdB
0BDentro del toroide:
BsdsBBdssdB
NIrB 02 r
NIB
20
Fuera del toroide (r>R):
00 IsdB
0B
Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.
BxdlBBdlldB BCBC
NIBx 0
x
NIB 0
nIB 0
Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:
ndxax
IadB o
2/322
2
2
tantan xaxa
22
cos1
tan1
2
12
dsen
nIB o
)cos(cos2 12 nI
B o
2/322
2
2 ax
IaB o