Matrices
Tema 1
MATRICES
Pág. 1
Matrices1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ).
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
Filas de la matriz A
Columnas de la matriz A
Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices:- El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento,- y el segundo, “j”, la columna.
Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3.
Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas (A, B, C, …).
Pág. 2
MatricesObservación:
Los ijason llamados componentes o elementos de la Matriz. Pág. 3
Matrices
El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:
( ){ }( ) /m nm n i j i jmxn
M K K A a a K×× = = = ∈
Pág. 4
Matrices
Son ejemplos de matrices los siguientes:
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21?
= 43
12A
−= 121
046B
−−=
001251042013
C
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23?
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32?
EJEMPLOS
1.- Matrices. Definición y primeros ejemplosPág. 5
Matrices
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
Igualdad
Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:
A = B ⇔ aij = bij ∀ i, j
Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión.
1.- Matrices. Definición y primeros ejemplosPág. 6
Matrices2.- Tipos de matrices
Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n.
es una matriz fila de dimensión 1 x 4.
Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1.
es una matriz columna de dimensión 3 x 1.
( )9401 −=B
−=
801
C
Por ejemplo,
• Según su dimensión:
Por ejemplo,
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n.
matriz cuadrada de orden 3.
−−=
043456321
D
4312 es una matriz cuadrada
de dimensión 2 x 2 o simplemente de orden 2.
Pág. 7
Matrices Matriz cuadrada de orden n:
forman la diagonal principal
Mismo número de filas que de columnas
8
Matrices
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0.
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
Diagonal principal
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.En la matriz D está formada por 3, 5, -3.
−−=
043456321
D
2.- Tipos de matricesPág. 9
Matrices
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal.Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.Un ejemplo de matriz diagonal es:
−=
00000300004500001
G
−
−=
781631054300400001
E
Triangular inferiorTriangular superior
−=300590
341F
• Según sus elementos:
2.- Tipos de matricesPág. 10
Matrices
Matriz triangular superior
Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:
Matriz triangular inferior
Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal
11
Matrices Matriz diagonal
Matriz unidad
Ceros fuera de la diagonal principal
Ceros fuera de la diagonal principal,unos en la diagonal principal
Matriz escalar
Delta de Kronecker
12
Matrices
Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
=
1000010000100001
4I
=
100010001
3I
= 10
012I
Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
es una matriz nula de tamaño 2x5.
= 00000
00000APor ejemplo,
2.- Tipos de matricesPág. 13
Matrices
Matrices escalonadas
Fíjate en las siguientes matrices:
De ellas se dice que son matrices escalonadas.
En ellas se cumple que:
• Si hay filas nulas, están situadas en la parte inferior de la matriz.• En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero es uno.• En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila está situado más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior.
1 1 10 1 6
A−
=
1 5 00 1 20 0 1
B =
1 60 00 00 0
C
=
1 5 00 1 20 0 0
D =
2.- Tipos de matricesPág. 14
Matrices3.-Transformaciones elementales
Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales.
En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las transformaciones elementales son:
• Intercambiar dos filas. Fi ↔ Fj.
• Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k.
Fi → Fi + kFj
• Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no nulo.
Fi → kFi
−
−
351124
202
−
−
124351202F2 ↔ F3
−
−
351124
202
−351124
8100F1 → F1 + 2F3
−
−
351124
202 F2 → 2F2
−−
−
351248202
Ejemplo
Pág. 15
Matrices
Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión.
Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales.
EJEMPLO
−−=
134122111312
A
−− 134122111312
−− 134113122211
−−−15503110
2211
−−−−140003110
2211
F1 ↔ F2
F2 → F2 – 2F1F3 → F3 + F1
F3 → F3 + 5F2
Reducir a forma escalonada la matriz
Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1:
Hacemos que el elemento a32 sea 0:
Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0:
Que está en forma escalonada
3.-Transformaciones elementalesPág. 16
Matrices
EJERCICIO
3.-Transformaciones elementales
Reduce a forma escalonada las matrices:
−=
021310149432
B
−
−=
131110315432181512
D
−
−=
288046215131
C
=
1063752321
A
Pág. 17
Matrices4.- Operaciones con matrices
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m × n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.
Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.
323232641714
523402
124312
×××
−
=
+
−EJEMPLO
De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)
++
++=
+
=+
mnmnmm
nn
mnm
n
mnm
n
baba
baba
bb
bb
aa
aaBA
............
...
............
...
............
...
11
111111
1
111
1
111
4. 1. Suma y diferencia
Pág. 18
Matrices
Propiedades de la suma de matrices:
323232407110
523402
124312
×××
−−−=
−
−EJEMPLO
La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia(resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B:
A – B = A + (– B)
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
A + 0 = 0 + A
A + (– A) = (– A) + A = 0
4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia
Pág. 19
Matrices
( ) ( ) ( ) , , ( ) m nMA a B b C KC ×= = = ∈ij ij ij
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
A B C a b c a b c
a b c a b c A B C
+ + = + + = + +
= + + = + + = + +
ij ij ij ij ij ij
ij ij ij ij ij ij
( ) ( ) A B a b b a B A+ = + = + = +ij ij ij ij
( ) ( ) ( ) 0 0A A a a + − = + − = =ij ij
Demostración: Pongamos
.
.
.Entonces:
( ) ( ) ( )0 0 0A a a A+ = + = + =ij ij
Pág. 20
Matrices
Si
porque:
232323000000
932410
932410
×××
=
−+
−−−−
EJEMPLO
4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia
⇒
−−−−
=932410
A
3 × 2
−=−
932410
A
3 × 2
Opuesta de una matriz
Pág. 21
Matrices
2. Calcula x, y, z en la suma:
3. Calcula a, b, cpara que se cumpla la igualdad:
−=
−
++
+−−−
60221
02142
61423 a
cba
cba
−
−−=
−−+
−
−−
142440311
3232
0
201
21
xz
zy
zxy
yx
1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:
Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001.
EJERCICIOS
4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia
=
3,42,0212,31,117,15
173,132001A
X Y ZABC
=
3,22,39,202,1105,145,07,611
2000AABC
X Y Z
Pág. 22
Matrices
Dada una matriz cualquiera A de dimensión m × n y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensión. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).
Propiedades:a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·Bb) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·Ac) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·Ad) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A
323251020
155101243125
××
−−−−−=
−
⋅−EJEMPLO
⋅⋅
⋅⋅=
⋅=⋅
mnm
n
mnm
n
akak
akak
aa
aakAk
............
...
............
...
1
111
1
111
4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real
Pág. 23
Matrices
1.[ ] [ ]( ) ([ ] ) ([ ] [ ])( ) ( ) .
2. ( ) ( ) ( [ ]) ([ ] [ ])( ) ( ) .
3.( ) ([ ] ) ( [ ]) ( ) ( ).4.1 (1 ) ( ) .
ij ij ij ij
ij ij
ij ij ij ij ij ij
ij ij
ij ij ij
ij ij
A a a a aa a A A
A B a b a b a ba b A B
A a a a AA a a A
α β α β α β α β
α β α β
α α α α α
α α α α
αβ αβ α β α β α β
+ = + = + = +
= + = +
+ = + = + = +
= + = +
= = = =
= = =
, ,( ) , ( ) . :ij i j ij i jA a B b Entonces= =DEMOSTRACION.
Pongamos
Pág. 24
Matrices
1. Si
halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B
2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:
−=
= 20
01y 1011 BA
−=− 18
2153 YX
=+− 03
423YX
EJERCICIOS
4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real
Pág. 25
Matrices
Producto de una matriz fila por una matriz columna.
Sea A una matriz fila y B una matriz columna:
( )132 −=A
=
521
B
Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):
( ) =
⋅−=⋅
521
132BA 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1
1 x 3 3 x 1
Observa que el resultado es un número
1 x 3 3 x 1
Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
Pág. 26
Matrices
Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el nº de columnas de A = n= nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:
“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”
Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación.
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
Pág. 27
Matrices
A · B = A·Bm × n n × p m × p
Es posible el producto
Columnas
Filas
La matriz producto, A·B, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:
El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima es el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj.
⋅⋅
⋅⋅=
⋅
=⋅
nmm
n
knk
n
mkm
k
CFCF
CFCF
bb
bb
aa
aaBA
............
...
............
...
............
...
1
111
1
111
1
111F1
C1
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
Pág. 28
Matrices
1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4.
3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:
−−= 2352
4123A
−−
=
123202121140
B
EJEMPLO Para multiplicar las matrices:
2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:
2 × 44 × 3
−−
123202121140
2 × 4 4 × 3 2 × 3
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
⋅
−−
23524123
=
Pág. 29
Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
=
−−
123202121140
2 × 4 4 × 3 2 × 3
El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
F1 · C1 = (–3 2 1 4) ·
0123
= (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16
16F1
C1
⋅
−−
23524123
Pág. 30
Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
=
−−
123202121140
2 × 4 4 × 3 2 × 3
F1·C2 = (–3 2 1 4) ·
−4−202
16F1
C2
El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:
16
= (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16
⋅
−−
23524123
Pág. 31
Matrices
−−
123202121140
2 × 4 4 × 3 2 × 3
F1·C3 = (–3 2 1 4) ·
1121
16F1
C3
16
= (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5
El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:
5
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
⋅
−−
23524123
=
Pág. 32
Matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
−−
123202121140
2 × 4 2 × 3
16 16 5F2
C1
5
4 × 3
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
⋅
−−
23524123
=
Pág. 33
Matrices
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
−−
123202121140
2 × 4 2 × 3
16 16 5F2
C2
5 –22
4 × 3
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
⋅
−−
23524123
=
Pág. 34
Matrices
−=⋅ 11225
51616BA
Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:
−−
123202121140
2 × 4 2 × 3
16 16
11F2
C3
5
5 –22
Así la matriz producto es:
B · A4 × 3 2 × 4
Observa que el producto B·A no se puede hacer:
4 × 3
≠
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
⋅
−−
23524123
=
Pág. 35
Matrices
1. Si calcula, si es posible, A·B y B·A.¿Coinciden?
2. Lo mismo si
Además, calcula A2 y A3.
−= 511
203B,142011
−−
=A
= 543
012C
=
121
B
−=
120111321
A
EJERCICIOS
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
−
−= 6231A
−= 12
53B
3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
Pág. 36
Matrices
Propiedades del producto de matrices
c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:
d) En general el producto de matrices no es conmutativoPueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.
CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(ACABACB ⋅+⋅=⋅+ )(
AIA n =⋅AAIm =⋅
ABBA ⋅≠⋅
1213
3200
425
120312
××
×
=
−⋅
a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·Cb) Distributiva respecto de la suma:
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
Pág. 37
Matrices
( ), ,
( )( ) ( [ ]) ( )( [ ]) ( ) ( )
ik l kl lj k ik l kl lj kl ik kl lj
l k ik kl i j k ik kl i l
a b c a b c a b ca b a
Ab
CC
BAB
∑ = ∑ ∑ = ∑=
= ∑ ∑ = ∑ =
( ) ( )( ) ( [ ])( [ ])
ik kj kj k ik kj kj
k ik kj ik kj
A B C a b c a b ca b a c
+ = + = ∑ +
= ∑ +
([ ] [ ]) ( ) ( )k ik kj k ik kj k ik kj k ik kja b a c a b a cAB AC
= ∑ + ∑ = ∑ + ∑
= +
Pág. 38
Matrices
1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?:
a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · Bb) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · Bc) (A + B) · (A − B) = A2 − B2
2. Determina los valores de a y b de la matriz
para que A2 = A.
3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz ?
−= baA 12
1021
EJERCICIOS
4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices
Pág. 39
MatricesPropiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una delas dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto enun orden distinto al dado.
II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
III. Si A . C = B . C y C ≠ 0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2 ≠ A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2 ≠ A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
VI. A2 – B2 ≠ (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
Ejemplo: Aunque
÷÷0 2
0 0.
÷÷0 –3
0 0 =
÷÷0 0
0 0 ninguno de los factores que forman el producto es la matriz nula.
Matrices
POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS
Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferencialeslineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales dematrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuacionesdiferenciales.Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversasaplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.
Si y : -PROPIEDADES.-
1.-
2.-
41
Matrices
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Si
entonces la matriz traspuesta de A es:
Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta At tendrá dimensión n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
Propiedades:a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.b) (A + B)t = At + Bt
c) (k ・ A)t = k ・ At
d) (A · B)t = Bt · At
−
= 12437012A
−
=
17204132
tA
EJEMPLO2 × 4
4 × 2
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión.
4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices
Pág. 42
Matrices
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij ). entonces At = (aji ). Si A es mxn, entonces At es nxm.
Pág. 43
Matrices
En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices:
Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que At = A.
En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.
Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que At = −A.Por ejemplo:
En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.
−−=723201
312A
−−−=023201
310B
es simétrica
es antisimétrica (comprueba).
4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices
Pág. 44
Matrices
Sólo para matrices cuadradas
A simétrica si y sólo si , es decir:
A antisimétrica si y sólo si , es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal principalde una matriz antisimétrica?
Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizarutilizando la relación que tienen con sus traspuestas.
45
Matrices
Sólo para matrices cuadradas
A periódica si . Si p es el menornúmero natural que satisface , entoncesdecimos que A es una matriz periódica de período p.
A idempotente si .
A nilpotente si . Si p es elmenor número natural que satisface ,decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.
A involutiva si .
A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad alcomportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.
46
Matrices
1. Dadas las matrices
calcula 3At − Bt .
2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:
=
431341331
A
−−=
016102211
B
=− 24
5132 YX
−=− 63
01YX
a)
=+ 03
12YX
=− 10
26YX
b)
−=+ 20
132 YX
−
=+ 42012YX
c)
EJERCICIOS
4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices
Pág. 47
Matrices Pág. 48
Matrices Pág. 49
Matrices5.- La matriz inversa
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.
El inverso del número 2 para el producto es un número real x tal que
2·x = 1,el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1.
Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.
Recordemos que ocurría con los números reales:
En el caso de los números reales es bien fácil despejar x:
Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.
x = 12
El inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1.
Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo:
a·x = b
2·x = 6
·2·x = ·612
12
x = 31
Pág. 50
Matrices
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:
nIXA =⋅
5.- La matriz inversa
1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In/A, porque no hemos definido la división de matrices.2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
Pág. 51
Matrices
Si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular).
y
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
nIAA =⋅ −1nIAA =⋅−1
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A siA·B = B·A = I,
siendo I la matriz unidad o identidad.La matriz inversa de A se representa por A–1.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios métodos. A continuación veremos dos métodos. En el tema 3 veremos otro.
Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa, A−1 , se cumple que:
5.- La matriz inversaPág. 52
Matrices
lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2)
=−
tzyxA 1
⇒=⋅ −2
1 IAA ⇒
=
⋅
− 10
011121
tzyx
=
+−+−++
100122
tyzxtyzx
Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz
−
= 1121A
que debe cumplir A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2,
x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo
Pág. 53
Matrices
Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I2, luego A es invertible, tiene inversa.
Resolviendo el sistema se obtiene que
por lo que la matriz inversa es:
−⋅= 11
2131
x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0
5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo
x = 13
y = –23
z = 13
t = 13
1 3 –2 3
1 3 1 3
A−1 =
Pág. 54
Matrices
Por ejemplo, si
Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = –z, si se sustituye en la primera ecuación es –z + z = 1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución.
= 22
11A
⇒=⋅ −2
1 IAA ⇒
=
⋅
1001
2211
tzyx
=
++++
1001
2222 tyzxtyzx
Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.
x + z = 1y + t = 02x + 2z = 02y + 2t = 0
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver.
5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo
No todas las matrices tienen inversa.
Pág. 55
Matrices
Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:
Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda) alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.
Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a
la forma:
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
(A | I3)
(I3 | A–1)
100010001
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
100010001
bbbbbbbbb
Pág. 56
Matrices
Calcula por el método de Gauss-Jordan la inversa de la matriz
i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente:
ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas.
−
= 1121A
EJEMPLO
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
1 2 1 0–1 1 0 1 (A | I2) =
En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:
1 2 1 0–1 1 0 1 (A | I2) =
1 2 1 00 3 1 1
F2 → F2 + F1
Pág. 57
Matrices
iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:
v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:
matriz que habíamos obtenido antes por el método directo.
−⋅= 11
2131
1 2 1 00 3 1 1
3 0 1 –20 3 1 1
F1 → 3F1 – 2F2
3 0 1 –20 3 1 1
(F1)/3 , (F2)/3 1 0 1/3 –2/3
0 1 1/3 1/3
(I2 | A–1) = 1 0 1/3 –2/3
0 1 1/3 1/3A–1 =
1/3 –2/31/3 1/3
Pág. 58
Matrices
Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa.
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
Si calculamos por este método la inversa de resulta:
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.
= 22
11A
1 1 1 02 2 0 1 (A | I2) =
1 1 1 00 0 – 2 1
F2 → F2 – 2F1
Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo.
Condición para que una matriz tenga inversa(según el método de Gauss)
EJEMPLO
Pág. 59
Matrices
Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz
Siguiendo los pasos anteriores:
−=
101211011
B
EJEMPLO
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
(B | I3) =F2 → F2 + F1
F3 → F3 – F1
F3 → 2F3 + F2 F2 → 2F2 – F3
F1 → 4F1 – F2
1 1 0 1 0 0–1 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 0 4 –1 1 2
1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 – 1 1 –1 0 1
1 1 0 1 0 00 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2
4 0 0 1 –1 20 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2
Pág. 60
Matrices
También se puede expresar, sacando factor común:
5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan
= (I3 | B–1)1 0 0 1/4 –1/4 2/40 1 0 3/4 1/4 –2/40 0 1 –1/4 1/4 2/4 1/4 –1/4 1/2
B–1 = 3/4 1/4 –1/2–1/4 1/4 1/2
1 –1 2B–1 = · 3 1 –2
–1 1 2
14
F1
4F2
4F3
44 0 0 1 –1 20 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2
Pág. 61
Matrices
1. Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:
2. Dada la matriz diagonal
calcula su inversa. ¿Cómo calcularías de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?
−−−
=012423321
B
−
−=
101210412
C
−=
500020003
D
EJERCICIOS
5.- La matriz inversa
−= 13
12A
Pág. 62
Matrices6.- Rango de una matriz
El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.
Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.
Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss.
Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas.
Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss.
A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango.
Pág. 63
Matrices
Rango de una matriz escalonada
El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulasde A. Lo denotamos por rang(A)
−= 620
113A
−=
200230051
B
=
00000064
C
−=
000230051
D
EJEMPLOS
rang(A) = 2
rang(B) = 3
rang(C) = 1
rang(D) = 2
6.- Rango de una matrizPág. 64
Matrices
Rango de una matriz cualquiera
Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera.
Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada.
El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.
Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango).El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada.
6.- Rango de una matrizPág. 65
Matrices
Calcular el rango de las siguientes matrices:
Rg(A)=1 ,sólo una fila distinta de cero.
Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.
Rg(C)=2 hay 2 filasno nulas.
Rg(D)=1, sólo una filano nula.
= 22
11A
= 11
30B
−−=
211112011
C
−−−= 321
642D
a)
b)
c)
d)
−−
220110011
−
000110011
EJEMPLOS
6.- Rango de una matriz
000642F2 → 2F2 + F1
F2 → F2 – 2·F1F3 → F3 + F1 F3 → F3 + 2·F2
F2 → F2 – 2·F1
0011
F2 ↔ F1
3011
Pág. 66
Matrices
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz.
Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que:
1 ≤ rang(A) ≤ min{m, n}
6.- Rango de una matriz
De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas.Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango.
Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango sólo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango sólo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más , pues una matriz sólo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:
Pág. 67
Matrices
Calcular en función de k el rango de la matriz:
Aplicando Gauss,
Ahora es evidente que si k – 6 = 0, la última fila es nula. Por tanto, si k = 6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:
La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente:
Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇔ Rg(A) es máximo.
= kA 33
211
= kA 33
211
Si k ≠ 6, entonces Rg(A) = 2Si k = 6, entonces Rg(A) = 1
EJEMPLO
6.- Rango de una matriz
F2 → F2 – 3·F1
− 600211
k
Pág. 68
Matrices
1. Calcula el rango de A según los valores de k:
¿Para qué valores de k tiene A inversa?
2. Calcula el rango de las matrices:
−
−=
kA
15311121
= 012
101A
−=240101
120B
−
=
1000111201001112
C
−
−=
131110315432181512
D
EJERCICIOS
6.- Rango de una matrizPág. 69
Matrices7.- Aplicaciones de las matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.
Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:
Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).
2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0,04 0,08 0,12Color F 0,03 0,05 0,08
Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000
EJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:
Pág. 70
Matrices
Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:
Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.
Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0.Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.
7.- Aplicaciones de las matrices
2 unid 5 unid 10 unid
NF
= 5000004000050000
500000600000700000A2 unid5 unid10 unid
N F
=
08,012,005,008,003,004,0
B
Pág. 71
Matrices
En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas.
Grafo Grafo simple Grafo dirigido.
7.- Aplicaciones de las matrices
Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:
Pág. 72
Matrices
Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:
7.- Aplicaciones de las matrices
0000000101001010
A B C D
ABCD
* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila ihasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente.
* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente.
La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:
Pág. 73
Matrices
1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:
EJERCICIOS
7.- Aplicaciones de las matrices
0110000110001110
A B C D
ABCD
000101010
A B C
ABC
Pág. 74
Matrices
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
2211
22222121
11212111
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
21
222221
111211
Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:75
Matrices2x1 + 6x2 + x3 = 7x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9
−
−−
−−− ⇒
947571621121
947511217162
12R
−
−−
−
−−
⇒⇒+−+−
1413010
1121
1413093201121
29
23
52
221
3121
RRRRR
−−
−−
⇒⇒+
510010
1121
0010
1121
29
23
255
211
29
23
3 3112
32 RRR
529
23
12
3
32
321
=
=+
−=−+
x
xx
xxx
x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10
76
MatricesResolver mediante el método de Gauss-Jordanx1 + 3x2 – 2x3 = – 74x1 + x2 + 3x3 = 52x1 – 5x2 + 7x3 = 19
−−
−−−−−−
−−
−−
−
−−
⇒⇒
⇒
+−+−
−−
+−+−
000031102101
311031107231
331111033111107231
1975253147231
3212
3111
2111
3121
3
24
RRRR
RR
RRRR
Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2
Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.
77
Matrices
Resolver:x1 + x2 = 14x1 − x2 = −62x1 – 3x2 = 8
−
−−− ⇒
1600210101
832614111
0 + 0 = 16 !! ⇒ No tiene soluciones.
78
Matrices
Vectores fila:
u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn)
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
A
=
=
=
mn
n
n
n
mm a
aa
a
aa
a
aa
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 ,,, vvv
Vectores columna: El rango de una matriz A m × n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes.
−−
−
−−−
−
−−
−= ⇒⇒
−+
+−+−
0000210
3111
142028403111
875386223111
21
32
241
3221
3121
RRR
RRRR
A
⇒rang A = 2.
79
Matrices
AX = 0
Siempre hay soluciones(consistente)
Solución única X = 0(solución trivial)
rang(A) = n
Infinitas solucionesRang(A) < n
n – r parámetros
80
Matrices
AX = B, B≠0
Inconsistenterang(A) < rang(A│B)
Consistenterang(A) = rang(A│B)
Solución únicarang(A) = n
Infinitas solucionesrang(A) < n
n – r parámetros
81
Matrices
211222112221
1211det aaaaaaaa
−==A
.
det
332112322311
312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−
−++=
=A
Determinantes
3231
222113
3331
232112
3332
232211det
aaaa
aaaaa
aaaaa
a +
−+=A
Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.
82
Matrices
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaC
aaaa
Caaaa
C =−==
333231
232221
131211
detaaaaaaaaa
=A
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
El cofactor de aij es Cij = (–1)i+ j Mijdonde Mij se llama menor.
... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33
Podemos expandir por filas o columnas.
83
Matrices
=
351306742
A 131211 742351306742
det CCC ++==A
3530
)1(351306742
)1( 111111
++ −=−=C
3136
)1(351306742
)1( 212112
++ −=−=C
5106
)1(351306742
)1( 313113
++ −=−=C
84
Matrices
120)6(3)23(65142
)1(33574
)1(6
306det
3221
232221
=−−−=
−+−=
++=
++
CCCA
120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[25106
)1(73136
)1(43530
)1(2det 312111
=−+−−−=
−+−+−= +++A
131211 742351306742
det CCC ++==A
Más corto desarrollando por la segunda fila...
85
Matrices
238)]2(5)4(6[7
4256
)1)(7(042781056
)1)(7(
0)7(0042781056
det
3232
332313
=−−=
−−−=
−−−=
+−+=−
−−=
++
CCCA
−−−=042781
056A
86
Matrices
det AT = det A
414375
det −=−
=A 414735
det −=−
=TA
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × nson idénticas, entonces det A = 0.
=
229224226
A 0229224226
det ==A
87
Matrices
Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.
Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n,entonces:
det B = −det A
AB det312706914
914706312
det −=−
−=−
=
88
Matrices
Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:
det B = k det A
AB
A
det)(det
fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión
2211
2211
kCaCaCakCkaCkaCka
i
ininiiii
ininiiii
=+++=+++=
80)21(801211
285
2411
85164
815
162085
−=−==
==
..
.
89
MatricesSi A y B son matrices n × n, entonces
det AB = det A ⋅ det B.
−
−=
−
=5343
,1162
BA
−
−=
962212
AB
det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A ⋅ det B.
90
Matrices
det A = 45 = det B = 45.
BA =
−−−
−= ⇒
+−
2411703215
414703215
313 RR
Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A
91
Matrices
=
333231
2221
11
000
aaaaa
aA
33221132332211
3332
2211
).0(
0det
aaaaaaaaa
aa
=−
==A
−−
=
2427049500620003
A
144)2(.)4(.6.32427049500620003
det
=−−
=
−−
=A
−=
400060003
A 7246)3(400060003
det −=−=−
= ..A
matriz diagonal
matriz triangular inferior
92
MatricesSupongamos que A es una matriz n × n. Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésimafila, entonces:
ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i ≠ k
Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces:
a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j ≠ k
93
MatricesDemostraciónSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila:
bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn
B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:
kninkiki
knknkkkk
CaCaCaCaCaCa
+++=+++==
2211
2211det0 B
94
Matrices
−−=
842234726
A
0)10(7)40(2)25(63426
72476
22372
6
331332123111
=−+−+=
−−+
−
−+−
=
++ CaCaCa
95
MatricesInversa de un matriz
Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz n × n B tal que
AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n × n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.
Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A(ii) (AB)-1 = B-1A-1
(iii) (AT)-1 = (A-1)T
96
Matrices
Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:
se llama adjunta de A y se denota por adj A.
=
nnnn
n
nT
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
CCC
CCCCCC
21
22212
12111
21
22221
11211
Matriz adjunta97
Matrices
AA
A adjdet
11
=−
=
=
AA
A
AA
det000det000det
)adj(
332313
322212
312111
333231
232221
131211
CCCCCCCCC
aaaaaaaaa
Encontrar la matriz inversa:Sea A una matriz n × n. Si det A ≠ 0, entonces:
Para n =3:
98
Matrices
=
10241
A
−
−=
−
−=−
21
1
125
12410
21A
=
+−−+−−
=
−
−
=−
1001
5410102245
125
10241
21
1AA
=
+−+−−−
=
−
−=−
1001
5411202045
10241
125
21
1AA
99
Matrices
−=
103112022
A
61222
21202
21102
60322
21302
21002
30312
51312
11011
333231
232221
131211
=−
=−=−
−===
=−===−=−=
−=−
−==−
−===
CCC
CCC
CCC
−−
−=
−−
−=−
21
21
41
61
61
125
61
61
121
1
663225221
121A
100
Matrices
−−=
655432102
A
−−
−−
++
⇒
⇒
10500115300001
1006550104320001
100655010432001102
25
217
21
21
52
21
21
3121
121
RRRR
R
=
100
010001
)|(
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
IA
101
Matrices
−
−
⇒
⇒
⇒
+−
61051000100001
000100001
0100100001
31
31
35
21
21
30
51
31
61
301
31
31
35
21
21
51
21
1017
31
31
35
21
21
3
32
351
231
R
RR
RR
−−−−−+−
+−
⇒6105100
10178010352001233
5132
1
RRRR
−−−−−
=−
610510178
3521A
102
Matrices
−
−−=
306542211
A
−−
−−
−
−−
+−
⇒100306012960001211
100306010542001211
212 RR
−−−
−−
−−
−−
+−
+−
⇒
⇒
114000012960001211106960012960001211
32
316
RR
RR
Singular
103
Matrices
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
2211
22222121
11212111
,
21
22221
11211
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A ,2
1
=
nx
xx
X
=
mb
bb
2
1
B
AX = B
Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B
104
Matrices
16631592
21
21
=+=−
xxxx
=
−1615
6392
2
1
xx
0396392
≠=−
−
=
− −
2396
391
6392 1
−=
−
=
−
=
316
13234
391
1615
2396
391
2
1
xx
3/1,6 21 −== xx
105
Matrices
44321655
22
321
321
31
=++−−=++
=+
xxxxxxxx
−−=
655432102
A
−=
−
−−−−−
=
−
−−=
−
366219
142
610510178
352142
655432102 1
3
2
1
xxx
36,62,19 321 −=== xxx
106
Matrices
+++
++++++
=
==
nnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
cbCbCb
cbCbCbcbCbCb
b
bb
CCC
CCCCCC
2211
2222121
1212111
2
1
21
22212
12111
det1
det1
A
ABAX 1-
AA
A
detdet
det2211
k
nknkkk
CbCbCbx
=
+++=
Regla de
Cramer
107
Matrices
0
00
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular.
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.
108
Matrices Pág. 109
Top Related