Manuel Zegarra Vasco Shadai Crea
Geometría Analítica
Manuel Zegarra Vasco Shadai Crea
Geometría Analítica
GEOMETRIA ANALITICA Introducción:
La geometría analítica es parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de
las relaciones entre el algebra y la geometría euclidiana difiere en procedimiento de
la que se estudia en las escuelas secundarias.
La geometría analítica plana incluye el estudio de puntos, rectas, planos, curvas y
superficies en un plano.
La geometría analítica del espacio se compone de puntos, rectas, planos, curvas y
superficies en el espacio tridimensional.
Segmento orientado.
Es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos llamados extremos.
BAAB esto es :
0BAAB
Sistema coordenado lineal:
Es la correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta y los números
reales.
P2 0 A P1 P
X2 0 1 x1 x
A B AB
AB
A B
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Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia dirigida entre dos puntos
2,22111 , yxPyyxP sobre una recta está dado por:
1221, xxPPd
Teorema.- En un sistema coordenado lineal la distancia no dirigida entre dos puntos
se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos
dos puntos.
21122,1 xxxxppd
Ejemplo 1: Hallar la distancia dirigida y no dirigida entre los puntos
7221 PyP
Resolución :
i) Por el teorema : 527122,1 xxPPd
ii) Por el teorema: 55122,1 xxPPd
Ejemplo 2: Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido
cuyos extremos son los puntos 108 21 pyP
Resolución
P1 P M Q P2
-8 x1 x x2 10
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i) Sea 21 xQyxP los puntos de trisección y M(x) el punto medio del
segmento 21PP .
ii) Si 2
1
2
1
PP
PP; entonces PPPP 12 2 Donde:
2
1
2
1
x
x
x
x
Luego: 28210 111 xxx
iii) “Q” es punto medio de 2PP ; entonces: 2QPPQ .
Luego: 4102 222 xxx
iv) “M” es punto medio de 21PP Entonces: 21 MPMP
Luego: 1108 xxx
14;2 MyQP
PROBLEMAS
1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
a). 65 y R : 11
b). 73 y R : 10
c). 128 y R : 4
2. La distancia entre dos puntos es 4, si uno de los puntos es (-1) ; hallar el otro
punto e. interpretar geométricamente el resultado.
R: )5(3 22 PóP
3. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres
partes iguales por los puntos 925 QyP
R: A(-41) y B(7)
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4. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos
extremos son los puntos (-7) y (-19).
R: P (-11) Q (-15) M (-13)
5. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres
partes iguales por los puntos: P (-17) Y Q (-5)
R: A(-39) y B(7)
6. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos, cuyas coordenadas
satisfacen a las siguientes desigualdades:
a) 3
2
1
3
5
1
x
x R : 11,4
b) 253 2 xx R : ,33
1,
7. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2). Hallar el otro
punto. (Dos casos).
R: a) 72P b) 112P
8. Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es (3).
Hallar la coordenada del otro extremo.
R: 142P
9. Sean los puntos 92 21 PyP . Hallar los puntos P y Q que trisecan al
segmento 21PP
R: a) 35P b) 3
16Q
10. La distancia entre los puntos: 5, 21 PPd y uno de los puntos es 22P . Hallar el
otro punto e interpretar gráficamente el resultado.
R: a) 71P ó b) 31P
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5.1.3. Sistema de coordenadas rectangulares :
El sistema coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia
biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales.
5.1.4. Distancia entre dos puntos :
Teorema: La distancia entre dos puntos cualesquiera 222111,, yxPyyxP
está dado por la fórmula:
212
21221 )()(,( yyxxPPd
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Obs: Como caso particular para la distancia de cualquier punto 2, RdeyxP al
origen es expresado por:
22).( yxOPd
Ejemplo: Determinar un punto en el eje de las abscisas que sea equidistante de los
puntos 3,34,0 ByA
Resolución :
Sea oxC , el punto equidistante de los puntos 3,34,0 ByA , entonces:
),(),( CBdCAd y
2222 )3(0)3()40()0( xx A (0,4)
2222 33)4( xx
x2 + 16 = x2 + 6x + 9 + 9
x = -1 / 3 C(x,0) x
)0,3
1(C
B (-3,3)
Ejemplo:
Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:
4,92,5,2,3 CyBA
Resolución
i) Si A, B, y C son colineales se debe cumplir:
ACBCAB
54801664223522
AB
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5220416245922
BC
;5618036144243922
AC
entonces: 565254
los puntos son colineales.
PROBLEMAS
1. Demostrar que el triangulo de vértices A(4,7) ; B(-1,-8) ; C(8,-5); es un triángulo rectángulo. Hallar su perímetro y su área.
R : Perímetro = 1012 ; Área = 260 u
2. La abscisa de un punto es -6 y su distancia al punto 743,1 esA . Hallar
la ordenada del punto. R: y= 8 ó y= -2
3. Hallar las coordenadas del punto que equidistante de los puntos fijos
8,37,2,3,4 CyBA R : P (-5,1)
4. Hallar el perímetro de los triángulos cuyo vértice son:
a) 2,7,3,4,5,2 R: 23,56
b) 3,3,1,4,4,0 R: 20,67
c) 3,0,4,3,5,2 R: 20, 74
d) 5,3,2,4,2,1 R: 21,30
5. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:
a) 1,4,2,3,1,0,2,1
b) 1,2,5,1,1,2,5,1
c) 8,4,6,8,2,6,4,2
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6. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son :
2,5,3,1,1,2,2,6 DCBA , es un rombo.
Hallar el área. R: Área: 215u
7. Los extremos de una varilla homogénea son A (3,-5) B (-1,1). Determinar las coordenadas de su centro de gravedad.
R: P (1,-2)
8. El centro de gravedad de una varilla homogénea está situado en el punto M (1,4), uno de sus extremos es el punto P (-2,2). Determinar las Coordenadas del otro extremo Q. de la varilla.
R: Q (4,6)
9. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1,1) y B
(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. R: 2311C ó
231,1C
10. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de los vértices son
isósceles:
a) 6,1,1,3,2,2
b) 7,2,1,8,7,6
5.1.5. División de un segmento en una razón dada
Teorema.-Si 222111 ,, yxpyyxP son los extremos de un segmento 21PP , las
coordenadas del punto yxP , que divide a este segmento en la razón dada.
2
1
PP
PPr ; son: 1;
1,
1
2121 rr
ryyy
r
rxxx
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Obs.
i) Si ,0r el punto yxP , es interno al segmento dirigido 21PP .
ii) Si ,0r el punto yxP , es externo al segmento dirigido 21PP .
iii) Corolario.- Si yxP , es el punto medio del segmento que une
222111 ,, yxPyyxP . entonces la razón 12
1
PP
PPr y las
coordenadas son: 2
,2
2121 yyxxP
Ejemplo: El segmento que une A (-2,-1) con B (2,2) se prolonga hasta “C” sabiendo
que ABBC 3 . Hallar las coordenadas de “C”.
Resolución
Si 3:3AB
BCrEntoncesABBC
3AB
BC
AB
BC
yy
yy
xx
xx
3)1(2
2
)2(2
2 yx
)11,14(33
2
4
2C
yx
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Ejemplo: Hallar dos puntos 222111 ,, yxPyyxP que dividan al segmento
que une 7,91,3 BconA en 3 partes.
Resolución :
35,5
13
51
2
11
72
11
1
51
2
11
92
13
1:
;2
1
1
11
:1
,11
)
Pyy
xxentonces
BP
PAryxPi
3
1323
13221
721
2
221
923
2
2222
,7
7:
;2:,)2
2
Pyy
xxentonces
ryxPiiBP
PA
PROBLEMAS
1. Hallar las coordenadas de un punto P (x,y) que divida al segmento determinado
por P1 (1,7) y P2(6,-3) en la relación 32r R: P (3,3)
2. Hallar las coordenadas de un punto y)(x, P que divida al segmento
determinado por (-2,1)P1 y )4(3,-P2 en la relación 38r R:
P (6,-7)
3. Los extremos de un segmento son los puntos 4,71P y 4,12P . Hallar la
razón 21 : PPPP en que el punto 2,1P divide al segmento. R: 3r
4. Los vértices de un triángulo son 1,75,3,1,1 CyBA . Si D es el punto
medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC , demostrar que la longitud del
segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC .
R: ACDE2
1
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5. El segmento de extremos en 0,14,2 ByA es dividido por los puntos P y Q. En
las razones 3
22
3 y respectivamente. Hallar la distancia .1QPd
R: 25
6. Los extremos de un segmento son 8,22,10 ByA hallar la razón
PB
APr en que el punto aP ,6 divide a este segmento. R: 2r
7. Dados los puntos )3,5()1,2( QyP tales que ABAQAPPB 43;2 . Hallar las
coordenadas de los puntos A y B .
R:
),4(,),1( 37
31 BA
8.Los vértices de un cuadrilátero son )11,6()0,8()1,2(;)6,4( DyCBA .Hallar la
razón PD
BPr en que la diagonal AC divide A ,BD donde P es el punto de
intersección de las diagonales.
R : 5
3
9. Los vértices de un paralelogramo son ,0,82,12,2,4,,0,0 DyCBA M es
punto medio de ACyBMAB ; se intersecan en el punto P de modo que se ce:
.BC
AP
PD
MP Hallar las coordenadas del punto “P”.
R: 3
2,4P
10. Hallar las coordenadas de un punto yxP , que divida al segmento que
determina ),(),( 222111 yxPyyxP en la razón2
1
PP
PPr
a) 2,4,1,3,4 21 rPP R: 35,2P
b). 35,4,1,2,5 21 rPP R: 1,
35P
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Área de un polígono de vértices conocidos
Teorema: Sean 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP los vértices de un triangulo.
Entonces el área del polígono es:
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
S
Ejemplo: Hallar el área del triangulo de vértices A(1,6) B(-3,-4) y C(2,-2)
2201188212642
1
61
22
43
61
2
1uS
Ejemplo: Los puntos A(-1,2) y B(5,2) son los extremos del lado AB de un triángulo de
área 212u . Hallar la ordenada del vértice C.
Resolución :
615AB
Si 462
1
2
11212 2 hhhABuABCS
Luego: 22
62
22
11
yhy
yhy
PROBLEMAS
1.-Hallar el área de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices son:
a. 25,18:2,52,4,3,2 uRy
b. 25,24:3,42,6,4,3 uRy
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c. 228:5,16,4,2,8 uRy
d. 230:4,10,8,4,0 uRy
e.262:22,46,4,2,2 uRy
f.240:1,53,2,1,3,4,2,5,1 uRy
2.-Los vértices de un triángulo son A(-5,3), B(a,5) y C(-1,-1). Si el área de triángulo es
16 u2, Hallar la suma de los posibles valores de a.
R: -14
3.-El área de un triángulo es S=12u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1,8) y B(-
3,2), el tercer vértice puede tomar cualquiera de los siguientes valores: ( x1 ,0) y C
(x2 ,0). Hallar el valor de 21 xx .
R: 8
4.-Dado el triángulo de vértices A(3,7), B(2,-3) y C(-1,4). Hallar la longitud de la
altura trazada de B sobre AC .
R: 7,4
5.-El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos: B(-1,-4) y
C(3,2). Calcular las coordenadas del tercer vértice A; si el área del 226uABC .
R: A(-5,3), Y 5,7'A
6.-El área de un triángulo es S=3u2, dos de sus vértices son los puntos A (3,1) y B (1,-
3); el centro de gravedad de este triangulo está situado en el eje x. Determinar las
coordenadas del tercer vértice C.
R: C(5,2) y
C’(2,2,)
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