I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO: PA-01-01
VERSIÓN: 2.0
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 8
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO
Periodo: TERCERO - GUIA4
Docente: Duración:
5 horas
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR:
Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada
Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas
Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas
EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE BINOMIOS
MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA
“Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.” Isócrates
ORIENTACIONES
Lee atentamente la guía.
Sigue las instrucciones dadas por el docente.
Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía.
EXPLORACIÓN
CONCEPTUALIZACIÓN
El papiro de Rhind es considerado el primer documento histórico que da
muestra de la existencia de la matemática en la antigüedad; actualmente, es
una de las piezas de colección del Museo Británico. Está escrito en forma
de jeroglífico y en él se recopilan varios problemas que datan de Egipto.
La mayoría de los problemas propuestos eran de tipo aritmético y estaban
relaciona-dos con situaciones cotidianas. Sin embargo, también aparecían
algunos problemas que se podían clasificar como algebraicos y que estaban
relacionados con lo que hoy se conoce como la solución de una ecuación.
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1. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
Expresiones como , - m
2n
2 son denominadas
diferencias de cuadrados perfectos, pues los términos que las forman tienen raíz cuadrada exacta.
Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar la suma por la diferencia de dos
cantidades.
EJERCICIO RESUELTO
Factorizar las siguientes expresiones.
a. 4a2b
2 - 9x
2y
4 b.
Solución
a. 4a2b
2 - 9x
2y
4
√ √ Se buscan las raíces cuadradas
( )( ) Se factoriza la expresión
De donde, 4a2b
2 - 9x
2y
4= ( )( )
Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 2 – a
Aparentemente la expresión 2 - a no es una diferencia de cuadrados perfectos, pero si se dejan indicadas las raíces de
los números, sí lo es. Así,
√ √ (√ ) √ √ (√ )
Es decir, ( ) (√ √ )(√ √ )
Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 9x2 – 5
√ √ √ Se calculan las raíces cuadradas
( √ )( √ ) Se factoriza la ecuación
De donde, ( √ )( √ )
2. SUMA O DIFERENCIAS DE CUBOS PERFECTOS
A partir del trabajo con cocientes notables (unidad 4) se sabe que:
La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos
binomios; uno con suma y el otro con resta. Los términos de estos binomios son
las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada
inicialmente.
x2 - y
2 = (x + y)(x - y) expresión factorizada
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Además, como las expresiones anteriores son cocientes exactos en cada una de ellas se verifica:
Es decir, la suma o la diferencia de cuadrados perfectos se pueden escribir como el producto de dos factores:
EJERCICIO RESUELTO
Factorizar la siguiente expresión.
Se buscan las raíces cubicas de cada termino. √
, √
Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas. Así,
( )[( ) ( )( ) ( ) ] ( )( )
Factorizar
Se buscan las raíces cubicas de cada termino √
√
Se factoriza y se resuelven las ecuaciones indicadas.
(
) [(
)
(
) ( ) ( ) ]
(
) (
)
La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:
el primer factor es la suma de las raíces cúbicas.
el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz menos, el producto de las
dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores:
el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas.
el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, más el producto entre las
dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
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3. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma , es importante recordar algunas
conclusiones planteadas en la unidad 4 con respecto a los cocientes de la forma .
Es divisible entre x a, si y solo si n es impar
Es divisible entre para todo valor de n (par o impar)
Es divisible entre si y solo si n es par.
Las expresiones de la forma se pueden factorizar teniendo en cuenta las anteriores conclusiones y la
siguiente regla.
EJERCICIO RESUELTO
Factorizar
a. m5 + n
5 b. 243w
5 - 32z
5
a. m5 + n
5
Si se tienen en cuenta las condiciones anteriores m5 + n
5 no es divisible entre m – n Así, que m
5 + n
5 sólo es
divisible entre m + n. Por lo tanto,
(m5 + n
5) = (m + n)(m
4 - m
3n + m
2n
2 – mn
3 + n
4)
b. 243w5 - 32z
5 se puede escribir como 3
5w
5 - 2
5z
5= (3w)
5 - (2z)
5
Si xn ± a
n es divisible entre x ± a, entonces, x
n ± a
n se puede expresar como el producto de
dos factores. Así:
el primer factor es de la forma x ± a.
el segundo factor es un polinomio de n términos con las siguientes características
el primer termino es 𝑥𝑛 y el ultimo es 𝑎𝑛
los otros términos son productos d e x y a e n donde los exponentes de x dis-
minuyen de uno en uno a partir del primer término, y los exponentes de a aumentan
de uno en uno a partir del segundo término
si x - a es un factor de xn ± a
n, los signos del segundo factor son todos +
si x + a es un factor de xn ± a
n los signos del segundo factor se escriben alternados
……..
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(3w)5 - (2z)
5 es divisible entre 3w - 2z. . Por lo tanto,
(3w)5 - ( 2 z )
5 = (3w - 2z)[(3w)
4 + ( 3 w )
3(2 z ) + (3w)
2(2z)
2 + (3w)-(2z)
3 (2z)4]
= (3w - 2z)(81w4 + 54w
3z + 36w
2z
2 + 24wz
3 + 16z
4)
ACTIVIDADES DE APROPIACION
Marcar, entre las opciones, la raíz cuadrada que
corresponde a cada monomio.
a) b) 225z8m10 c)289b4xy12n 8xy2 15z4m5 17b2xy4n
4xy2 15z3 m10 17b2xy6n
4x4y5 15z16m20 17b4xy12n
d)
e) 0,0625x
16y
4n f) 36(w – y)
64
0,25x
8y
2n 18 (w – y)
8
0,25x
16y
2n 6 (w – y)
3 2
0,3125x
4 y
2n 6 (w – y)
8
Factorizar cada expresión.
a) t4 – 16 b) x
2 - 25 c) 4w
2 – 9 d) 36 – 49z
8
e) x2z
4 – 100 f) m
10 – 81n
12 g) 1 – 16x
2 h) x
4 – 1
i) w4n – z
8n j) 3 – x k) 9 – w l) s – 4
Escribir dos factores cuyo producto sea el indicado.
a)
b)
c)
d)
Responder si al cuadrado de la figura se le quitan
nueve cuadrados del lado B; ¿es cierto que el área
restante está dada por (A – 3B) (A + 3B)?
PARA PENSAR. Factorizar las fracciones que sean
cuadrados perfectos.
a) ( ) b) ( )
c) d) ( )
d)
e)
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Completa la tabla.
Factorizar cada binomio.
a) 1 + w 3 b) 1 – x
3 c) m
3 + n
3 d) z
3 – 1 e) x
6 + 8 f) 64 – a
12 g)8p
3 – 1
h)1 – 27z6
i) -216z9 + 1 j)x
3y
6z
12 – 512 k)27a
6 + 343b
9 l)125 – w
18 z
36 m) w
3 – 0,008t
3n
6
n) 0,001x6 – 1.000q
3 o)0,027x
9- 8 p)4,913m
15+8w
9z
21 q) 64+0,125y
9
r) 0,027k9 – 0,064t
12 s)3,375 – a
15 t) 8x
6 – 0,064m
9
Término 27x9y 21 -729w21p15 0,216x54
Raíz Cúbica 2m3n4q 0,1m2w5 -
Escribir que le hace falta a cada expresión para ser
factorizada como una suma o una diferencia de
cubos. Luego, acomodar condiciones y factorizarlas.
a) 68 + 27x6
b) y2 – 8w
3
c) 1 + 4n12
d) -214z6 + 1
e) (a + b)4 – 9x
3 f) (x – y)
4 – (x + y)
5
g)
h)
i)
j) 18m
3
k)
l)
Factorizar como una suma o una diferencia de cubos
perfectos cada expresión.
a) 1 – a b) a – 1 c) 1 + a
d) x3 – 2 e) 2 - x
3 f) 8 – x
g) x – 8 h) 8 + x
PARA PENSAR. Marcar con una x las dimensiones correspondientes de cada terreno.
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
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(
) (
√
√
)
(
) (
)
(
) (
)
Factorizar cada binomio.
a) w5+1 i) z
5 – 1
b)w7+x
7 j)t
9 + 1
c)c5+a
15 k)m
6 – x
36
d)n7+128 l)64 – x
6
e)1-10.000x8
m)243b5 + 1
f)1 – 16n4 n)512p
9+a
27
g)a21
b7+2.187c
7 o)0,008t
9 + z
3
h)0.0001w8 – z
4 p)b
15y
10 – 0,00243p
5
Expresar cada binomio como el producto de dos
factores.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Escribir V, si la expresión es verdadera, o F, si es
falsa. Justificar tu respuesta.
a) Uno de los factores de t10
+32 tiene cuatro
términos.
b) Uno de los factores de 5y5
– 3.125 es 5.
c) n4 – 1 = (n
2+1) (n+1) (n – 1)
d) w4 – x
4 = (w
2 – x
2)2
e) La expresión 3z5 – 729 se descompone en tres
factores.
f) 2(w – 2)(w5 + 2w
4 + 4w
3+8w
2+16w+32) = 2w
6 –
128
PARA PENSAR. Factorizar si es posible cada
binomio.
a) c)
b)
d)
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SOCIALIZACIÓN
Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la
evaluación del tema en las fechas establecidas.
COMPROMISO
Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas
determinadas por el docente.
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
Yaira Lizet Rincón R Alexandra Uribe Rozo
CARGO Docentes de Área Jefe de Área
19 06 2014 19 06 2014
*
*Para factorizar un polimonio por agrupación de términos es
necesario que el número de términos que la componen no sea
primo.
*Los diferentes tipos de binomios se factorizan así:
a2 – b
2 = (a + b) (a – b)
a3 – b
3 = (a – b) (a
2 + ab + b
2)