Gua N1 de Ayudanta MAT-346 Complementos de Algebra:Anillos - Subanillos - Dominios de Integridad

Daniela Vasquez - Sebastian Herrero

Marzo 2009

1. Sea A un anillo y a, b, c A. Demuestre:(i) a0 = 0a = 0(ii) a(b) = (a)b = ab(iii) (a)(b) = ab(iv) a(b c) = ab ac y (b c)a = ba ca

2. Sea A un anillo con identidad 1. Demuestre:(i) (1)a = a(ii) (1)(1) = 1

3. Sea A un anillo. Demuestre que A es conmutativo si y solo si a2 b2 = (a + b)(a b), a, b A.4. Sea A un anillo y S A. Demuestre que S es un subanillo de A si y solo si:

(i) 0 A(ii) a, b A a b A(iii) a, b A ab A

5. Demuestre que el conjunto: {(a 00 b

)| a, b Z

}es un subanillo de (M2(Z),+, ).

6. Sea A un anillo y S1, S2 subanillos de A. Demuestre que S1 S2 es un subanillo de A. Que ocurrecon S1 S2?.

7. Analice si los siguientes anillos son o no dominios de integridad:(i) M2(C)(ii) Zn con n N(iii) Z[

2] = {a + b2 | a, b Z}

8. Sea D un cuerpo. Demuestre que D[x] es un dominio de integridad.

9. Sea D un dominio de integridad. Demuestre que si D es finito, entonces D es cuerpo.

1