Guía 1
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Gu´ ıa N ◦ 1 de Ayudant´ ıa MAT-346 Complementos de ´ Algebra: Anillos - Subanillos - Dominios de Integridad Daniela V´asquez - Sebasti´an Herrero Marzo 2009 1. Sea A un anillo y a, b, c ∈ A. Demuestre: (i) a0=0a =0 (ii) a(-b)=(-a)b = -ab (iii)(-a)(-b)= ab (iv) a(b - c)= ab - ac y(b - c)a = ba - ca 2. Sea A un anillo con identidad 1. Demuestre: (i)(-1)a = -a (ii)(-1)(-1) = 1 3. Sea A un anillo. Demuestre que A es conmutativo si y solo si a 2 - b 2 =(a + b)(a - b), ∀ a, b ∈ A. 4. Sea A un anillo y S ⊆ A. Demuestre que S es un subanillo de A si y solo si: (i)0 ∈ A (ii) a, b ∈ A ⇒ a - b ∈ A (iii) a, b ∈ A ⇒ ab ∈ A 5. Demuestre que el conjunto: a 0 0 b | a, b ∈ Z es un subanillo de (M 2 (Z), +, ·). 6. Sea A un anillo y S 1 ,S 2 subanillos de A. Demuestre que S 1 ∩ S 2 es un subanillo de A. ¿Qu´ e ocurre con S 1 ∪ S 2 ?. 7. Analice si los siguientes anillos son o no dominios de integridad: (i) M 2 (C) (ii) Z n con n ∈ N (iii) Z[ √ 2] = {a + b √ 2 | a, b ∈ Z} 8. Sea D un cuerpo. Demuestre que D[x] es un dominio de integridad. 9. Sea D un dominio de integridad. Demuestre que si D es finito, entonces D es cuerpo. 1
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Gua N1 de Ayudanta MAT-346 Complementos de Algebra:Anillos - Subanillos - Dominios de Integridad
Daniela Vasquez - Sebastian Herrero
Marzo 2009
1. Sea A un anillo y a, b, c A. Demuestre:(i) a0 = 0a = 0(ii) a(b) = (a)b = ab(iii) (a)(b) = ab(iv) a(b c) = ab ac y (b c)a = ba ca
2. Sea A un anillo con identidad 1. Demuestre:(i) (1)a = a(ii) (1)(1) = 1
3. Sea A un anillo. Demuestre que A es conmutativo si y solo si a2 b2 = (a + b)(a b), a, b A.4. Sea A un anillo y S A. Demuestre que S es un subanillo de A si y solo si:
(i) 0 A(ii) a, b A a b A(iii) a, b A ab A
5. Demuestre que el conjunto: {(a 00 b
)| a, b Z
}es un subanillo de (M2(Z),+, ).
6. Sea A un anillo y S1, S2 subanillos de A. Demuestre que S1 S2 es un subanillo de A. Que ocurrecon S1 S2?.
7. Analice si los siguientes anillos son o no dominios de integridad:(i) M2(C)(ii) Zn con n N(iii) Z[
2] = {a + b2 | a, b Z}
8. Sea D un cuerpo. Demuestre que D[x] es un dominio de integridad.
9. Sea D un dominio de integridad. Demuestre que si D es finito, entonces D es cuerpo.
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