8/14/2019 Guia de Ejercicio Resueltos
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Ayudante Ignacio Trujillo Silva Matemtica 1 D-2
Gua de ejercicios resueltos 2 Prueba
Matemtica 1
Programa Acadmico de BachilleratoUniversidad de Chile
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Ayudante Ignacio Trujillo Silva Matemtica 1 D-2
Supremos e nfimos
a) Sea :f definida por
1
1)(
2
n
nnf
n
. En caso que exista, conjeture el valor
del ))(Im( fSup e ))(Im( fInf , y demuestre que tu conjetura es correcta.
Solucin:
Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto )Im( f , con 5elementos es suficiente (para tener una idea del comportamiento de la funcin).
3
1)4(
5
1)3(
5
3)2(
0)1(
f
f
f
f
Luego, nuestro supremo tentativo es5
3)2( f . Para demostrar que es el supremo
debemos probar que es cota superior de )Im( f .
Es decir, que
6
5
1
12
n
nn
.
Analizaremos dos casos diferentes (si n es par y si n es impar), pero complementarios.
Si in 2 (n es par). i
520126
6
5
14
21
2
2
ii
i
i
112200 2 ii (1)
Preposicin 1: Si s es cota superior deA y adems s pertenece aA, implica que s esMximo y Supremo de A.
Preposicin 2: Si s es cota inferior deA y adems s pertenece aA, implica que s esnfimo y Mnimo de A.
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Partiremos con la ecuacin (1) 112200 2 ii la que es fcilmente demostrable alaplicar induccin1.
Para i = 1.
70112200
Sea cierto, para i = k, que 112200 2 kk .
Por demostrar, que para i = k+1 se cumple que 11121200 2 kk
112121220011121200
2
2
kxk
kk
)828()11220(00__0
2
kkkhipotesispor
6
5
14
21
520126
112200
2
2
2
i
i
ii
ii
Hemos demostrado que
6
5es cota superior de la )Im( f cuando n es par.
Si in 2 -1 (n es impar). i
6
521
1412
6
5
44
226
5
44
22
6
5
1)12(
121
2
2
2
iii
i
ii
i
ii
i
i
i
6
5
2
1
i, esto se cumple para todo nmero natural.
Hemos demostrado que6
5es cota superior cuando n es impar.
1 Esta demostracin no es necesaria cuando se analizan polinomios de primer grado, basta condescomponer la desigualdad y ver algo claramente cierto.
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Por tanto, hemos demostrado que6
5es cota superior y porPreposicin 1,
))(Im())(Im(6
5fMaxfSup , n .
Ahora debemos encontrar el ))(Im( fInf .
Nuestro nfimo tentativo es 0)1( f . Para demostrar que es el nfimo debemos probarque es cota inferior de )Im( f , pues ya sabemos que pertenece al conjunto (ver
Preposicin 2).
Es decir, que
1
10
2
n
nn
.
Siempre 012
n , luego nn
102
n .
Por tanto, hemos demostrado que 0 es cota inferior y porPreposicin 2,))(Im())(Im(0 fMinfInf , n .
b) Sea :f definida por
23
21)(
n
nnf
n
. En caso que exista, conjeture el
valor del ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.3
Solucin:
Primero notemos que si 3n se tiene que 2312 nn , por lo tanto
1
23
12
23
21)(
n
n
n
nnf
n
, .3n
Ahora bien, 1)1( f y ,4
5)2( f por lo tanto
nnf )(4
5, esto implica que
4
5es cota superior de )Im( f y como )Im(
4
5f se
tiene que el 45))(Im( fSup .4
2 Esta desigualdad siempre se cumple, ya que el menor valor que toman los nmeros naturales es el uno.(en ese caso 00 )3
Sexto Control de Matemtica I, ejercicio 1 (otoo 2007). Programa Acadmico de Bachillerato,Universidad de Chile.4 Preposicin 1.
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b) Sea :f definida por23
12)(
n
nnf . En caso que exista, conjeture el valor
del ))(Im( fInf y ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.
Solucin:
Encontraremos el ))(Im( fInf :
Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto )Im( f , (para teneruna idea del comportamiento de la funcin).
213
112)1(
23
12)(
14
9)4(
11
7)3(
8
5)2(
5
3)1(
n
nnf
n
nnfffff
Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf , por lo tanto )()1( nff , .1n
Ahora bien, .5
3)1( f Entonces necesitamos demostrar que .
23
12
5
3
n
n(3)
Partamos con que 10 n .1n 5
23
12
5
3
125233 51069
659100
10
n
n
nnnn
nn
n
Por tanto, ,)(5
3 nnf esto implica que
5
3es cota inferior de la )Im( f y como
)Im(5
3f se tiene que el 5
3))(Im( fInf .6
Ahora, encontraremos el ))(Im( fSup 7:
5 Desigualdad trivial, proveniente de la mxima simplificacin de la ecuacin 3.6 Preposicin 1.7 Se desea probar que cierto nmero es un supremo o nfimo, se debe escoger entre dos tipos dedemostraciones la que ocupa laPreposicin 1, y la que recurre al psilon. Cada ejercicio tiene solo una
manera de resolverse, por ello se debe tener extremo cuidado al elegir el tipo de demostracin. El secretoest en analizar si el supremo o nfimo es un elemento con n finito (f(n) con n finito, se ocupa preposicin1, 2), o si se trabaja con n infinito (ocupar demostracin por psilon, como se ve en el siguiente ejemplo).
El ejercicio que se expone a continuacin no utiliza lapreposicin 1 , sino que recurrea la demostracin por . Esta demostracin se ocupa cuando se escoge un n losuficientemente grande que nos asegura la convergencia a nuestro supremo o nfimo.
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Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf
Notemos que3
2es cota superior y adems un posible supremo8, entonces demostremos
que3
2es supremo.
3
2
23
12
n
n
3
2
9
1
23
13
233
4212
233
212
3
2
23
12
n
n
nnn
nn
n
n
Entonces existe por Propiedad Arquimediana, ,3
2
9
1
N con .0 N
3
2
23
12
233
212
2334212
23
13
3
2
9
1
N
N
NN
NNN
N
N
8 Por qu es un posible supremo? Como la funcin es creciente )1()( nfnf al hacer crecer n, losvalores que dirigen la ecuacin son el 2n en el numerador y el 3n en el denominador, cuando los n son
grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso32 .
Definicin de Supremo: Para cada 0 existe Aa / )(ASufaDefinicin de nfimo: Para cada 0 existe )(/ AInfaAa
Propiedad Arquimediana, siempre es posible encontrar un RN , con. RN
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3
2))(Im(
))(Im()(/)Im()(
fSup
fSupNffNf
b) Sea :f definida por1000
)(
n
nnf . En caso que exista, conjeture el valor
del ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.
100011
)1(1000
)(1003
3)3(
1002
2)2(
1001
1)1(
n
nnf
n
nnffff
Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf .
Nuestro supremo tentativo es el 1, ya que la funcin es creciente para todo n y losvalores que dirigen la ecuacin son el n en el numerador y el n en el denominador,cuando los n son grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso1.
ApliquemosDefinicin de Supremo:
Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf
Para nuestro caso particular, para cada 0 existe
11000
/)Im()(n
nfnf
10001000
10001000
10001000
10001
11000
n
n
nnn
nn
n
n
Entonces existe por Propiedad Arquimediana, ,10001000
N con .0 N
11000
10001
10001000
10001000
10001000
N
N
NN
NNN
N
N
1))(Im(
))(Im()(/)Im()(
fSup
fSupNffNf
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METODOLOGA (Supremos e nfimos):
Caso1: Demostrar diciendo que si s es cota superior deA y adems s pertenece aA,implica que s es Mximo y Supremo de A (Preposicin 2 en el caso del nfimo)
1. Analizar elemento de la )Im( f , para los primeros nmeros naturales.2. Encontrar un posible Supremo, con n finito. (Encontrar un posible nfimo, con
un n finito)3. Demostrar que es cota superior. (Demostrar que es cota inferior)4. AplicarPreposicin 1. (AplicarPreposicin 2)
Caso 2: Demostrar usando definicin por psilon del supremo para cada 0 existeAa / )(ASufa . (para cada 0 existe )(/ AInfaAa )
1. Analizar la convergencia de la funcin cuando la n crece.2. Encontrar un posible Supremo, con n infinito. (Encontrar un posible nfimo, con
un n infinito)3. Despejar la n de la definicin de supremo.4. Probar que existe un N tal que se cumpla la definicin de supremo,
aplicando lapropiedad arquimediana.5. Reemplazar la n despejado por N de la propiedad arquimediana.6. Devolverse y formar nuevamente la definicin de Supremo.7. Concluir que el Supremo tentativo, es el Supremo.
Partiremos por dar una serie de ejemplos tipos (de supremos e nfimos).
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Funciones
1) Se tiene un rectngulo inscrito en un triangulo equiltera de lado a. Calcule loslados del rectngulo x e y cuando el rea del rectngulo es mxima.
Solucin:
u
Xsen
v
Ysen
2)30(
)60(
)60()30(2 senvYsenuX
Luego,2
3)60(
2
1)30( sensen
2
3vY
uX
Xu (1)
Yv3
2 (2)
(1) + (2) aXYvu 3
2 9
YaX
aXY
3
23
2
La funcin que rea del rectngulo es XYArea
9 En la figura 1 se observa que u + v = a
X
Y
a
60
30 30
60
u
v
X/2
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2
3
2
3
2
YaYYf
YYaYfArea
El vrtice de la ecuacin cuadrtica es )2
,2
(
a
bf
a
bVertice .
4
3
3
222
max
aa
a
bY
Por tanto, los lados que forman el rea mxima son2
3
2 maxmaxa
Ya
X .
2)Los punteros del reloj a las 00:6 marcan un ngulo extendido. Entre las 00:6 y las
00:7 a qu hora forman un ngulo recto? A qu hora forman un ngulo de 60 ?
Para obtener el a(m) basta realizar una proporcin directa)(
360min60
mam
, obteniendo
mma 6)( .
Las 6:00Entre las 6:00 y 7:00
a(m)
b(m)
f(x)
2
2
4
3
3
23
2
max
max
max
maxmax
aX
aaX
aaX
YaX
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Para obtener el b(m) basta realizar una proporcin directa)(
360min12*60
mbm
,
obteniendo
mmb2
1)( .
Luego, la funcin que buscamos es la que describe el ngulo entre el minutero y elhorario.
18062
1)(
18062
1180)()()(
mmmf
mmmambmf
El valor absoluto, es para resolver el inconveniente cuando el minutero adelanta alhorario y la funcin se vuelve negativa.
0,180))(Im(
60,0))((
xf
xfDom
a qu hora forman un ngulo recto?
m
m
mm
mm
11
1802
1190
62
118090
18062
190
m
m
mm
mm
11540
2
11270
18062
190
18062
190
)(mf no es inyectiva, pues tengo dos valores de m para el mismo valor def(x).
A qu hora forman un ngulo de 60 ?
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m
m
mm
mm
11
2402
11120
62
118060
18062
160
m
m
mm
mm
11
4802
11240
18062
160
18062
160
Tener en cuenta que para tener la hora exacta se debe anteponer las seis.
2) Determine el dominio e imagen de las siguientes funciones, luego establezca si
son inyectivas, epiyectivas y obtenga su inversa si es que existe.
Inyectividad: Si es inyectiva se cumple que .)()( babfaf
Todos los co-dominios en esta seccin se consideran igual a los reales.
a)1
)(2
x
xxf
)( fDom el denominador no se indefine nunca.
Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar los siguientes procedimientos:
b
bx
bxbx
bx
xxf
2
411
0
1)(
2
21
2
2
Luego, para que x no pertenezca a los imaginarios
2
1
2
14
1
41
041
2
2
2
b
b
b
b
Pero como b0 por el valor absoluto, la intercepcin de los intervalos obtenidos es:
2
1,0)Im( f
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Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo )1()1( ff con11 .
Epiyectividad: No epiyectiva, pues la imagen solo puede tomar
2
1
,0 .
Inversa: No podemos encontrar la inversa, ya que la funcin no es biyectiva.
b)5
)(2
x
xxf
5)( fDom el denominador se indefine cuando 5x .
Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar los siguientes procedimientos:
2
20
50
5)(
2
21
2
2
bbbx
bbxx
bx
xxf
Luego, para que x no pertenezca a los imaginarios
0200202
bb
bb
Tenemos dos casos 0200 bb o que 0200 bb .
Caso 1: 0200 bb
20200 bbb ,201S
Caso 2: 0200 bb
20200
bbb 0,2
S
,200,)Im( 21 SSSf fInyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra
ejemplo 40)20020()20020( ff .
Adems podemos ver que,
055
55
)(55
)(
2222
2222
22
baabba
bababa
bfb
b
a
aaf
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05
0)(5)(
0)(5)( 22
baabba
bababaab
babaab
Solucin 1: ba
Solucin 2:
5
5
55
5
b
ba
bba
baab
Epiyectividad: No epiyectiva, pues la imagen solo puede tomar ,200, .
Inversa: No se puede encontrar la inversa, debido a que la funcin no es biyectiva.
c) cxxxf 2)(
)( fDom el denominador no se indefine nunca (es uno).
Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar los siguientes procedimientos:
2
4)41(1
2
)(411
0)(x
x
bf(x)
2/1
2/1
2
2
cbx
bcx
bcx
bcx
Luego, para que a no pertenezca a los imaginarios
4
1
441
04)41(
cb
cb
cb
,
4
1)Im( cf
Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo cff 2)2()1(Adems podemos ver que,
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01
0
0
)()(22
22
baba
bababa
baba
bfcbbcaaaf
Solucin 1: ba Solucin 2: 1 ba
cno __ para que la funcin sea inyectiva (el c no afecta la inyectividad).
Epiyectividad: Luego, para que la )Im( f tome todos los reales (o sea que elIm(f(x))Codom(f) ), bc que b toma todos los reales, pero
es imposible considerar el c en la definicin de la funcin, cno __ para quela funcin sea epiyectiva
Inversa: No se puede encontrar la inversa, debido a que la funcin no es biyectiva.
d) 1)( 2 xxxf
)( fDom el denominador no se indefine nunca (es uno).
Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar los siguientes procedimientos:
2
)1(4
0)1(x
1x
bf(x)
2
2/1
2
2
bx
bx
bx
Luego, para quex no pertenezca a los imaginarios
41
4
4
044
2
2
2
b
b
b
,
41)Im(
2f
Inyectividad: No inyectiva, basta con darnos un contra ejemplo2)1()1( ff
Adems podemos ver que,
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0
0
0
)(11)(22
22
baba
bababa
baba
bfbbaaaf
Solucin 1: ba Solucin 2: ba
__ no para que la funcin sea inyectiva.
Epiyectividad: Luego, para que la )Im( f tome todos los reales (o sea que el
Im(f(x)))Codom(f(x) ), b4
2que b toma todos los reales,
pero es imposible considerar el 4
2en la funcin definida, __ no para que
la funcin sea epiyectiva
Inversa: No se puede encontrar la inversa, debido a que la funcin no es biyectiva.
e) 84)( xxf
)( fDom el denominador no se indefine nunca.
Para encontrar el conjunto imagen debemos realizar el siguiente procedimiento:
4
8
84)(
bx
bxxf
Luego,x existe para todo b perteneciente a los reales.
)Im( f
Inyectividad: Es inyectiva, demostrmoslo.
ba
ba
bfaf
8484
)()(
que es inyectiva.
Epiyectividad: Es epiyectiva, pues la imagen es igual a reales.
Inversa: bxxf 84)( 4
8
bx
4
8)(
1
xxf es la inversa buscada.
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METODOLOGIA: (inyectividad, epiyectividad, funcin inversa)
1. Definimos el dominio analizando el denominador de la funcin, si se indefine enuno o ms puntos estos no pueden pertenecer al dominio.
2. La definicin de imagen bafconabf )(___/)Im( , por esta razn sedebe despejar a y analizar en el caso de un polinomio que a no pertenezca a losimaginarios, en el caso que se tiene un denominador variable (con un b) se debebuscar el b tal que el denominador se indefine.
3. Se deja fuera de la imagen a los b que indefinen la funcin y a los )(af talesque a pertenece a los imaginarios.
4. Se debe ocupar ,)()( babfaf para demostrar inyectividad. En algunoscasos se puede intuir que no es inyectiva, en estos procesos es conveniente
buscar un contra ejemplo.5. Para ver epiyectividad se debe usar que toda funcin epiyectiva tiene
)()Im( fCodomf , el codominio comnmente lo definen los reales peroperfectamente puede estar acotado.
6. Por ultimo, si hemos probado biyectividad (toda funcin invertible esbiyectiva), entonces podemos despejarx (de ))( bxf y remplazarlo por
)(1 bf . Finalmente obtenemos nuestra funcin inversa.
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Grficos
1) Grafique las siguientes funciones e interprete a travs del grafico la inyectividady epiyectividad.
a) 5:f con562)(
x
xxf
La asntota vertical se obtiene al ver donde se indefine la funcin, en este caso.505 xx
La asntota horizontal se obtiene al despejarx.
2
65
65)2(
5625
62)(
b
bx
bbx
bbxx
bx
xxf
Podemos observar quex se indefine cuando .202 bb Como b pertenece a laimagen se forma una asntota horizontal en 2.
Con uno o ms puntos se puede saber en que cuadrante se muevan las curvas.
Se puede ver que no es epiyectiva, ya que la imagen no toma el valor 2.Es inyectiva, pues en ningn punto dos elementos del dominio tienen la misma imagen.
.
5
Asntota vertical
2
Asntota horizontal
x
f(x)
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Polinomios
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Trigonometra
1) Hern de Alejandra en el siglo I de nuestra era, asegura que el rea de un
triangulo es ,cpbpapp donde p es el sumipermetro del triangulode lados a, b y c. Demuestre que Hern estaba en lo correcto.
2222
22
)()(
4
1
)()()(4
14
1
2222
2222
abccbaA
abcabccbaA
cbabcaacbcbaA
cbabcaacbcbaA
c
cba
b
cba
a
cbacba
A
cpbpappA
Formulas Trigonomtricas:
1)()(cos 22 xsenx )()(cos)cos()cos( ysenxsenyxyx
2
)2cos(1)(cos2
xx
)()cos()cos()()( ysenxyxsenyxsen
2
)2cos(1)(2
xxsen
)cos()(2)2( yxsenxsen
Teorema del coseno: Teorema del seno:
(C)2abcosbac
(B)2accoscab
(A)2bccoscba
222
222
222
)()()( Csen
c
Bsen
b
Asen
a
A
c b
B a C
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Ocupando Teorema del coseno )cos(2222 abbac
cpbpappA
h
a
A
consenab
A
abA
ababA
abababA
aabbccabbaA
a
2
0__),(2
)(cos12
)cos(12)cos(12(4
1
2)cos(2)cos(12(4
1
22(4
1
2
222222
2) Demuestre que xxsen )( para todo .x
Si )()(12
xsenxxsenx para
,2x
Para2
0
x el arco siempre va a ser mayor que la coordenaday (que es igual a
sen(x)).
Luego, )(xsenx para ,0x
Para 02
x
, )()( xsenxxsenx
Si )(22
xsenxx para 0,x
x
-1 1
1
-1
Sen(x)
x = el arco
(a, b) = (cos(x), sen(x))
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Por tanto, )(xsenx para x
3) Demuestre que si yx entonces )()( ysenxsen (Ayuda:
2cos
22)()(
yxyxsenysenxsen ) Puede obtener un resultado similar
para la funcin real )cos()( xxf ?
Si yx por demostrar que )()( ysenxsen .
Sabemos por enunciado que:
2cos
22)()(
2cos
22)()(
yxyxsenysenxsen
yxyxsenysenxsen
Ya que 12
cos
yx para todo yx,
22)()(
yxsenysenxsen
Ocupando ejercicio anterior, )(xsenx para x
yxysenxsen
yxysenxsen
)()(
22)()(
Luego, como sabemos que yx
)()(
)()(
ysenxsen
yxysenxsen
Puede obtener un resultado similar para la funcin real )cos()( xxf ?
Si se pude primero debemos deducir la ayuda que se dio para la parte 1.
)()(cos)cos()cos( sensen (1) )()(cos)cos()cos( sensen (2)
Si sumamos (1) - (2)
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4) Encuentre todos los x tal que .0)cos()( xxsen
Esta igualad tambin se puede escribir como .1)( xtag
En la primera vuelta siguiendo una direccin anti-horario,x toma y valor 4
3o
4
5.
En la segunda vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
11o
4
13.
En la tercera vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
19o
4
21.
En la n-esima vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
58 n o
4
38 n.
Ahora, si giramos con la direccin de las manillas del reloj.
En la primera vuelta, x toma y valor 4
3 o
4
5 .
En la segunda vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
11 o
4
13 .
En la tercera vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
19 o
4
21 .
En la n-esima vuelta siguiendo una direccin anti-horario, x toma el valor 4
58
no
4
38
n
.
-1 1
1
-1
(a, b) = (cos(x), sen(x))
43
,43
cos sen
4
5,
4
5cos sen
x
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Resumiendo x puede tomar los valor 4
58 no
4
38 ncon n un numero entero.
5) Six es tal que 0)cos( x , muestre que )()( xtgxtg .
Usando las formulas para calcular la suma de ngulos.
)()(cos)cos()cos( sensen )cos()()cos()( sensensen
Ahora con . x
)cos()cos(
)()(cos)cos()cos(
xx
senxsenxx
(3)
(4)
Finalmente la razn entre (3) y (4) es:)cos(
)(
)cos(
)(
x
xsen
x
xsen
)()( xtgxtg
5) Cual es el rea del hexgono regular inscrito en la circunferencia de radio R?,puede usted generalizar este resultado?
rea de un triangulo = Base * Altura
R R
6
2
6
6
senR
6cos
R
)()( )cos()()()cos()( xsenxsenxsensenxxsen
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basealtura
senRRArea
66cos
rea Hexgono = rea triangulo * 6
2
2
2
233_
2
33_
33_
666
cos_
RHexgonoArea
RHexgonoArea
senRHexgonoArea
senRRHexgonoArea
Generalizacin:
nsen
nRPoligonoArea
nn
senRn
RPoligonoAreatriangulosn
trianguloBasetrianguloaltura
2
2_
cos_
2
_
__
Obsrvese que ocurre cuando n tiende al infinito, analcelo tanto en la grafica como enla ecuacin generalizada.
6) Grafique las siguientes funciones:
a) :f definida por
4
2)(
xsenxf
)( baxsenA
x
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b)
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