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RESEÑA HISTORICA
4.1. La génesis
La Teoría de Conjuntos, cuya posición como piedra angular
de las Matemáticas nadie pone hoy en duda, tuvo un orígen y un
crecimiento de novela, hasta llegar a ser reconocida, ya bien en-
trado el siglo XX, como una rama consolidada e imprescindible
de las Matemáticas.
La noción intuitiva de conjunto ha sido usada por la comu-nidad científica en todas las épocas de desarrollo intelectual y
el concepto aparece de un modo tan natural y tan intuitivo,
que sólo hasta finales del siglo XIX no se hacia distinción al-
guna entre los significados de conjunto, de clase, de grupo o de
colección.
La noción era en apariencia tan transparente, que la famosa
definición literal dada por Cantor en la que “...se entiende por
conjunto la agrupación de un todo de objetos bien diferenciados
de nuestra intuición o de nuestra mente” no despertaba ni el
menor recelo, ni la más pequeña suspicacia dentro del mundomatemático y nadie, por purista que fuera, consideraba nece-
saria una definición más formal.
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40 4. RESEÑA HISTORICA
Las dificultades, y con ellas el verdadero desarrollo de la Teoría
de Conjuntos, comenzaron a aparecer al evidenciarse la conex-
ión entre conjunto, número y magnitud con la cual se lograbael viejo sueño de unificar en una sola raíz todo el conocimien-
to matemático. Ese sueño, que formaba parte del programa
pitagórico de reducir toda la Matemática al número, se había
cristalizado tras recorrer un camino muy complejo y totalmente
inverso al que hoy se sigue cuando se enseñan de manera formal
los sistemas númericos, pues si bien es cierto que desde muy
atrás el Algebra y el Análisis eran fecundos campos de trabajo,
también es cierto que los números, que les servían de base y fun-
damento, nunca habían sido formalizados de manera adecuada.
La Geometría Euclidiana se había sumergido en el Análisis
Clásico mediante el acercamiento, fuertemente intuitivo, de lanoción de magnitud a la noción de número, sin que esta últi-
ma hubiese sido cuestionada ni en su poder, ni en su solidez
matemática. Hamilton, por ejemplo, no se preocupó demasiado
por analizar la consistencia de los números reales sobre los cuales
había fundamentado su construcción de los números complejos.
La fundamentación lógica de los reales se acometió, de modo
serio, sólo en la segunda mitad del siglo XIX, impulsada por
la necesidad de resolver y sustentar de modo adecuado algunos
problemas específicos del Análisis, tales como la demostración
de Bolzano para el Teorema del Valor Intermedio, el estudio delos límites, la prueba de suficiencia del Criterio de Cauchy para
la convergencia y el estudio de las discontinuidades de funciones
representables mediante series de Fourier.
La fundamentación de los números reales requería en primera
instancia de la formalización de los irracionales, cuya existen-
cia presuponía la construcción de los racionales. Los primeros
trabajos sobre los irracionales fueron presentados por Hamilton
en 1833 y en 1835 pero solo fueron publicados en 1837. Des-
de sus cursos en Berlín a partir de 1859, Weierstrass ofreció su
propia teoría de irracionales sustentada en clases de racionales.
En 1869 Meray dió una definición de los irracionales basadaen los racionales y en 1871 Cantor presentó su teoría de irra-
cionales construídos a partir de sucesiones de racionales, seguido
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4.1 La génesis 41
en 1872, por Heine y Dedekind con su teoría de las cortaduras
de racionales.
En 1873 se publica el método de Liuville para construir cualquiernúmero dentro de una clase de números trascendentes. Aparece
la demostración de Hermite sobre la trascendencia de e y en1882 se publica la prueba de Lindemann de la trascendencia de
π que suscitó por parte de Kronecker la frase, que desde su ironíaera muy representativa de la opinión de un grueso número de
matemáticos: “¿qué valor tiene su hermosa demostración, si los
números irracionales no existen?”
Wallis había demostrado en 1696 la identificación de los números
racionales con los números decimales periódicos y en 1886, casi
doscientos años más tarde, Stolz mostró que cada número irra-
cional tiene una representación decimal no periódica y que esacaracterística funcionaba como propiedad definitoria.
El proceso de aritmetización del Análisis, que le dió sentido
pleno a la frase de Kronecker de “Dios creó los naturales, el
resto es obra del hombre.” , se completó con tres trabajos de
importancia histórica: la construcción de los racionales hecha
por Weierstrass a partir de los enteros, en la que representó
a los racionales positivos como pares de números naturales, a
los enteros negativos como otro tipo de pares de naturales y
a los racionales negativos como pares de enteros negativos y
naturales; la teoría de los enteros presentada por Dedekind ensu famosa obra Was sind und was sollen die Zahlen, publicada
en 1888 y que recogía sus trabajos desde 1872 hasta 1878 y la
axiomatización de los números naturales propuesta por Peano en
1889 en su obra Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita .
El trabajo de Peano, que se basaba en algunas ideas de Dedekind
y que luego daría impulso al desarrollo de la Lógica Simbólica
por parte de Frege y de Russell, hizo resurgir una antigua e in-
teresante pregunta: ¿existe un modo no intuitivo de definir las
operaciones entre naturales?
Este interrogante estaba vigente desde Leibnitz y permaneció
sin respuesta hasta mas allá de la primera mitad del siglo XIX,pues solo en 1896 Grassmann inicio el proceso de respuesta,
demostrando las propiedades básicas de los naturales a partir de
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la operación x → x + 1 y el Principio de Inducción Matemática,que había sido concebido por Pascal en el siglo XVII y que era
usado como cosa sabida por un buen número de matemáticos.Es en medio de ese largo y tortuoso camino donde aparece y
se destaca con luz propia el genio del matemático ruso-alemán
Georg Cantor, quien trabajando desde el Análisis en problemas
de series trigonométricas, llega a una clasificación de conjuntos
“excepcionales” y con maravillosa intuición percibe la riqueza
del tema como generador de nuevos y poderosos desarrollos sig-
nificativos.
En 1873 al estudiar los problemas de equipotencia, Cantor
plantea la no enumerabilidad de los reales, pero es en 1874 cuan-
do en un memorable artículo demuestra la enumerabilidad de
los racionales, la no enumerabilidad de los reales y la enumer-abilidad del conjunto de los números algebraicos, esto es de los
números reales que son soluciones de ecuaciones de la forma
anxn + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0 = 0 con ai ∈ Z, introduceel método de diagonalización y con los tres resultados de enu-
merabilidad pone sobre el tapete la presencia del hasta entonces
inaceptable infinito actual o real, noción esta que era rechazada
desde Aristóteles en beneficio del infinito potencial.
La equipotencia entre naturales y racionales echaba por tierra
el intocable postulado de que el todo siempre es mayor que la
parte y la no enumerabilidad de los reales ponía a la vista laexistencia tangible de al menos dos infinitos de tamaños difer-
entes. Solo esos dos hechos, con sus implicaciones matemáticas
y filosóficas ya bastarían para hacer que Cantor fuera parte de
la Historia.
En 1877 demuestra que los puntos de la recta real y los puntos
del espacio n-dimensional Rn con n > 1 son equipotentes y es-cribe nuevamente a Dedekin para manifestarle con sorpresa que
“ lo veo, pero no lo creo”. A esa demostración se opuso Du Bois-
Reymond diciendo: “Repugna al sentido común. De hecho, se
trata simplemente de la conclusión de un tipo de razonamiento
que permite la intervención de ficciones ideales a la que se hace jugar el papel de cantidades genuinas aunque no sean siquiera
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4.1 La génesis 43
límites de representaciones de cantidades. Ahi es donde reside
la paradoja.”
Cantor continua su trabajo y entre 1878 y 1884 escribe unaserie inigualable de artículos en los Mathematishe Annalen at-
acando los problemas de equipotencia, de los conjuntos total-
mente ordenados, de las propiedades topológicas de R y Rn, de
la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los
conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales.
Tal y como era de esperarse un trabajo tan revolucionario co-
mo el de Cantor, generó una virulenta reacción por parte de los
sectores más tradicionalistas del mundo matemático. La ácida
crítica, encabezada por Kronecker y Schwarz, ayudó a desen-
cadenar una crisis nerviosa en el genio quién tras un receso re-
tomaría su trabajo sólo hasta 1887. Entre 1895 y 1897 desarrollala teoría de los conjuntos totalmente ordenados, la aritmética de
ordinales, demuestra que m < 2m e intenta probar que existeuna relación de buen orden entre los cardinales. Consigue este
resultado con ayuda de Berstein, quien probó en 1897 que si
a b y b a entonces a b y de Zermelo que en 1904 estable-ció el Principio de Buena Ordenación ya intuído por Cantor
desde 1883.
La persistencia de Cantor, sumada al apoyo personal y cientí-
fico de Dedekind, consiguieron que la Teoría de Conjuntos fuera
reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realiza-do en Zurich en 1897, donde Hadamard y Hurwitz con el respal-
do de Hilbert, mostraron a la comunidad matemática toda la
contundencia y todo el poder de la nueva teoría al ser utilizada
en Análisis. En resumen: a finales del siglo XIX Cantor había
revolucionado los Fundamentos de la Matemática, había sido
fuertemente combatido y al final había triunfado. Nunca una
Ciencia le había debido tanto a un solo hombre.
El poder de la Teoría de Conjuntos, representado sobre todo
por el manejo del infinito actual, pero en particular por la teoría
de los números transfinitos, había seducido poco a poco a una
buena parte de los matemáticos más importantes de comienzosdel siglo XX, quienes disfrutaban de la riqueza conceptual y
técnica que ofrecía la nueva teoría para sus trabajos en Algebra
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y Análisis. Sin embargo, y por fortuna, todavía no se podía
hablar de un final feliz.
4.2. Las Paradojas
En 1895 Cantor encuentra que la colección de todos los ordi-
nales, que es una colección bien ordenada, no podía ser tratada
como un conjunto, pues sería de hecho un ordinal y por tanto
debería ser isomorfa con un segmento propio, lo cual es contra-
dictorio. Esta paradoja fue publicada en 1897 por Burali-Forti
de quien recibió el nombre con el que pasó a ser conocida en la
literatura especializada.
Por esa misma época Cantor se interrogaba, en carta dirigida
a Dedekind, sí la colección de los números cardinales era real-
mente un conjunto, pues argumentaba que en caso de serlo, su
cardinal sería mayor que cualquier otro, generando de nuevo una
contradicción que desde entonces se conoce como la Paradoja de
Cantor.
Aunque ambas paradojas se daban en la cúpula de la Teoría
de Conjuntos, Cantor vio que eran insalvables con el apara-
to matemático existente y decidió que los conjuntos deberían
dividirse en dos clases: los consistentes, que no generaban prob-
lemas, y los inconsistentes, donde se ubicarían todas las colec-ciones contradictorias.
Siguiendo la misma línea de razonamiento Cantor le planteó
a Dedekind, en carta fechada en 1899, la imposibilidad de con-
siderar la existencia de un conjunto universal, entendido como
aquel que contiene a todos los demás, porque estaría forzado
a contener dentro de sí a su conjunto de partes, lo cual a to-
das luces resultaba imposible. Esta paradoja se conoce como la
Paradoja del Conjunto Universal.
La situación creada por la aparición de esas colecciones prob-
lemáticas podría haber pasado desapercibida, dado que solo to-
caban aspectos muy técnicos y en áreas muy específicas de la
Teoría de Conjuntos, pero comenzaron a aparecer paradojas que
afectaban la noción misma de conjunto, lo cual dejaba un amar-
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4.2 Las Paradojas 45
go sabor general de inconsistencia y resquebrajaba todo el edi-
ficio matemático construído sobre el basamento de dicha teoría.
Las paradojas de Russell, de Richard y de Berry mostraronque si se tomaba desprevenidamente la concepción cantoriana de
conjunto, se corría el riesgo inmenso de generar contradicciones
mayúsculas, no solo en la Teoría de Conjuntos sino también en
la Aritmética y se pondría en grave peligro toda la Matemática.
La paradoja de Russell apareció publicada en The Principles
of Mathematics en 1903 y retomaba, en términos conjuntistas,
la famosa paradoja de Epiménides. Russell consideró la colec-
ción M = {x : x /∈ x} o sea la colección formada por todos loselementos que no se pertenecen a si mismos y se preguntó si
M ∈ M.
Si M ∈ M entonces M debe satisfacer la propiedad defin-itoria, esto es, M /∈ M , pero si M /∈ M entonces M satis-face la definición y por tanto M ∈ M. Es decir se cumple queM ∈ M ⇐⇒ M /∈ M y la contradicción salta a la vista.
En 1905 Richard, en carta dirigida al editor de la Revue
Générale des Sciences Pures et Appliquées, planteó la contradic-
ción que hoy lleva su nombre. En apariencia Richard parece
haber desarrollado su paradoja a partir de algunas notas pre-
sentadas por Hadamard en el Congreso de Heidelberg de 1904,
alrededor de las inconsistencias de Zermelo-König sobre la posi-
bilidad de bien ordenar el continuo y de Cantor-Burali-Fortisobre las nociones de conjuntos bien ordenados. La paradoja se
puede presentar como sigue.
Un subconjunto de números naturales se llamará richardiano
si es un conjunto infinito, con complemento infinito, que puede
ser descrito en un número finito del palabras de un lenguaje
natural dado, por ejemplo el castellano.
El conjunto de los números primos es un buen ejemplo de
un conjunto richardiano, pues es un subconjunto infinito de los
naturales, su complemento es infinito y la pertenencia a él se
puede describir con la expresión finita “ un número natural es
primo sí y solo sí tiene exactamente dos divisores”.Dado que en cualquier lenguaje natural las expresiones finitas,
que describen conjuntos númericos infinitos con complemento
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infinito es enumerable, se puede considerar que E 0, E 1, . . . , E i, . . .es una enumeración de dicha lista.
A cada expresión E j corresponde un conjunto richardiano R jque puede ser codificado mediante un par ordenado de números
naturales de la forma (a j , b j) así: al conjunto R0, descrito porla expresión E 0, se le asigna la pareja (a0,b0) , donde a0 es elmenor natural que pertenece a R0 y b0 es el menor natural queno pertenece a R0. La existencia de ambos está garantizadadado que R0 es richardiano y tanto él como su complementoson infinitos, además dado que los naturales son un conjunto
bien ordenado siempre se puede hallar el menor natural a0 y elmenor natural b0.
Al conjunto R1 se le asigna el par (a1,b1) , donde a1 es el
menor natural que está en R1, b1 es el menor natural que noestá en R1 y además a0 = a1, a0 = b1, a1 = b0 y b0 = b1.O sea, los números usados para la codificación de un conjun-
to richardiano cualquiera no se repiten cuando se codifica otro
conjunto richardiano.
El proceso continua de manera recursiva asignando al conjun-
to Ri la pareja (ai, bi) , de modo que ai es el menor natural queestá en Ri, bi es el menor natural que no pertenece a Ri y los dosnúmeros difieren de todos los números usados en los códigos an-
teriores. La infinitud de cada Ri y de su complemento y el buen
orden deN
garantizan que siempre habrá códigos disponibles.Ahora se puede considerar un nuevo conjunto B, contenido enlos naturales y formado por todas las segundas componentes de
los códigos asignados. B es claramente un conjunto de naturales,infinito, de complemento infinito y está descrito por un número
finito de palabras del castellano. Por tanto B es un conjuntorichardiano y la expresión que lo describe debe ser una de las
expresiones colocadas en la enumeración.
Esto es, la descripción de B es la expresión E py por tanto Bes el conjunto richardiano R p. Luego B debe tener un código(a p,b p) donde b p no pertenece a R p, esto es b p no pertenece a B,
lo cual es contradictorio dado que B se construyó con todas lassegundas componentes de los códigos.
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4.2 Las Paradojas 47
Esta paradoja, a pesar de su clara connotación semántica,
tuvo un impacto grande ya que tocaba de manera directa al
conjunto de los números naturales y dejaba en una incómodaposición a la Aritmética y a todo el aparato matemático que se
sustentaba sobre ella.
La última paradoja que se considerará aquí será la de Berry,
que sin recurrir a una construcción tan complicada y aparatosa
como la de Richard, también tocaba sin disimulo el inmaculado
mundo de los naturales. Esta paradoja fue publicada por Russell
en 1906 y su versión original es como sigue: “Algunos ordinales
son definibles en un número finito de palabras. Supongamos que
existe algún ordinal que no se puede definir así. Los ordinales
menores que este particular forman una serie bien ordenada.
Por lo tanto, si entre ellos hay algunos que no son definibles en un número finito de palabras, hay uno que debe ser el mínimo
que no es definible en un número finito de palabras. Pero esto
es absurdo, pues acabo de definirlo en [veintitrs] palabras”La versión más difundida de esta paradoja puede plantearse
así:
Sea T el conjunto de todos los números naturales que puedenser descritos en menos de dieciseis palabras francesas. Como solo
existe un número finito de palabras francesas, entonces existe
un número finito de combinaciones de dieciseis palabras que
describan conjuntos de números naturales. Por lo tanto T esfinito. Como es obvio, dado que se trabaja sobre N, existiránnaturales mayores que todos los elementos de T y por lo tantogracias al buen orden de N existe “el menor natural que no
puede ser descrito en menos de dieciseis palabras francesas”.
Por definición ese número no puede estar en T pero ese númeroacaba de ser descrito en catorce palabras y por tanto debe estar
en T .Vale la pena anotar que en el texto francés original la frase
de descripción requiere de quince palabras: “le plus petit naturel
qui n’est pas définissable en moins de seize mots francais”.
Si se revisa con juicio la literatura pertinente es posible en-contrar otras paradojas, pero será evidente desde esa misma
revisión, que las ya mencionadas son las más relevantes y signi-
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ficativas dentro de ese fenómeno que el mundo matemático llamó
la Crisis de los Fundamentos y cuya aparición puso a prueba to-
da la capacidad creativa de la que ha sido posiblemente la máspoderosa generación de matemáticos de toda la historia.
4.3. Las respuestas
El reto planteado por la Crisis de los Fundamentos fue de una
magnitud tal, que las diferentes corrientes matemáticas, con sus
correspondientes transfondos filosóficos, se dieron a la tarea de
buscar salidas que solventaran la crisis y que permitieran a la
Matemática continuar con su desarrollo y consolidación, en un
mundo que cada vez era más consciente de la importancia y dela necesidad de contar con una herramienta científica, sólida y
confiable, que sostuviera los avances que se veían y se presentían
en otras áreas del conocimiento humano.
La comunidad científica de comienzos del siglo XX no podía
darse el lujo de permitir que la aparición de las paradojas pusiera
en peligro mortal todo el trabajo de depuración que se había he-
cho sobre la base de la Teoría de Conjuntos, pero tampoco podía
negar que esas contradicciones, rebuscadas o no, eran una bom-
ba de tiempo colocada en los cimientos mismos de la Matemática
y que esa amenaza exigía una respuesta pronta, contundente y
consistente.Tres escuelas de pensamiento enfrentaron el desafío, cada una
con más ahínco que las otras, en una lucha intelectual que en-
frentó a las mentes más lúcidas del planeta durante un buen
número de años y cuyos debates, afirmaciones y técnicas siguen
siendo objeto de trabajo cien años más tarde.
4.3.1. El Logicismo
La Escuela Logiscista había intentado, desde la segunda mitad
del siglo XIX y bajo la batuta directora de Gottlob Frege, recon-
struir la Lógica y dentro de ella toda la Matemática. Aunque la
aparición de las paradojas frenó el trabajo de Frege, la idea fue
continuada por Russell y Whitehead, quienes entre 1910 y 1913
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4.3 Las respuestas 49
desarrollaron una obra monumental: la Principia Mathematica,
en la cual expusieron su filosofía y sus resultados.
Para ellos se partiría del desarrollo de la Lógica y de ahi seseguiría a la Matemática sin necesidad de explicitar axiomas
puramente matemáticos. El desarrollo de la Lógica consistiría en
establecer para ella un sistema de axiomas del cual se deducirían
los teoremas para ser usados en razonamientos posteriores.
La Escuela Logicista creo la Teoría de Tipos, que con base
en algunos conceptos indefinidos tales como proposición, fun-
ción proposicional, afirmación de la verdad de una proposición,
negación de una proposición y disyunción de dos proposiciones
clasifica los conjuntos de acuerdo con el siguiente esquema: los
objetos individuales no tienen elementos y son de nivel 0, una
colección de objetos de nivel 0 es un conjunto de nivel 1 y engeneral una colección de objetos de nivel n será un conjunto denivel n + 1.
Así pues en la Teoría de Tipos la expresión x ∈ z solo tienesentido entre objetos de niveles consecutivos, esto se si x es denivel n y z es de nivel n + 1. Esta restricción impide la apariciónde expresiones como x /∈ x y la paradoja de Russell ni siquierapuede plantearse.
En la Teoría de Tipos los números reales son de un nivel más
que los números racionales y estos a su vez son de un nivel
más que los enteros, que se encuentrasn un nivel por encima delos naturales. Esta técnica evita problemas y paradojas pero
complica hasta lo inimaginable el trabajo matemático. Weil,
al referirse a la muy compleja estructura del logicismo afirmó:
“pone a prueba la fuerza de nuestra fe apenas menos que las
doctrinas de los primeros padres de la Iglesia o de los filósofos
escolásticos de la Edad Media.”
Esa increíble e inmanejable complejidad estructural hizo que
Russell recurriera a artificios de otra escuela, creando lo que
llamó el axioma de reducibilidad, que le permitía garantizar que
para cualquier función proposicional, de cualquier tipo, existía
una función proposicional equivalente de tipo 0.Aunque esto permitía hacer Matemáticas de manera más prác-
tica y expedita, pero le quitó peso a las ideas logicistas, haciendo
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que en un tiempo relativamente corto estas fueran abandonadas
por la mayoría de los matemáticos. Compleja o no, inmanejable
o no, la escuela logicista hizo un formidable esfuerzo de for-malización cuya importancia para la Lógica Matemática nadie
niega.
4.3.2. El Intuicionismo
Una segunda corriente de pensamiento, llamada Escuela In-
tuicionista, planteó un enfoque radicalmente diferente para la
Matemática. Kronecker puede ser considerado como el primer
intuicionista, pues para él era posible aceptar los números natu-
rales a la luz de la intuición y como “ obra de Dios ”, pero lo demás
era “obra del hombre ” y por tanto digno de toda sospecha.
Su ideal era que todo teorema del Análisis se pudiera escribir e
interpretar en términos de relaciones entre naturales. Su segunda
gran objeción al trabajo de los no intuicionistas era la ausencia
, en muchas partes de la Matemática, de métodos o criterios
constructivos para determinar, en un número finito de pasos,
los objetos que manejaban y las propiedades que de ellos se
obtenían.
En su opinión las definiciones deberían incluir los medios
necesarios para calcular efectivamente el objeto definido y las
demostraciones de existencia deberían permitir con cualquiergrado de aproximación, el cálculo del objeto cuya existencia se
afirmaba.
Con respecto al axioma de reducibilidad de los logicistas ase-
guró que “la definición de reducibilidad está desprovista de fun-
damento seguro mientras no se de un método en virtud del cual
se pueda decidir si una función dada es reducible o no”. Es
curioso anotar que aunque la mayoría de esas observaciones
fueron planteadas entre 1870 y 1880, solo comenzaron a ten-
er seguidores a partir de la aparición de la Teoría de Conjuntos
y de la crisis de los Fundamentos.
Un segundo gran defensor de los principios intuicionistas fue
Poincare, quien siempre ridiculizó el intento de basar la Matemáti-
ca en la Lógica, argumentando que ese esfuerzo solo lograría
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4.3 Las respuestas 51
convertir a la Matemática en una gran tautología. Rechazaba
todo concepto que no fuera definible en un número finito de
palabras. Para él, un conjunto formado con la ayuda del ax-ioma de elección no estaba realmente definido si la elección se
había hecho sobre una familia infinita de conjuntos. Compartió
con Kronecker la defensa de las definiciones y las demostra-
ciones constructivas. En esa misma línea de pensamiento se for-
maron matemáticos como Baire, Hadamard y Lebesgue quienes
aparte de rechazar la posibilidad de hacer infinitas elecciones
simultáneas a la luz del axioma de elección, también objetaron
la fundamentación axiomática de la Aritmética y la existencia
de los números trascendentes.
Sin demeritar los trabajos y los aportes de los ya mencionados
se puede asegurar que el verdadero fundador del intuicionismofue el matemático holandés Brouwer quien desde su tesis doctor-
al Sobre los Fundamentos de la Matemática comenzó a desarrol-
lar la filosofía intuicionista. Según él, la intuición fundamental
es la presencia de percepciones en una sucesión temporal. De
acuerdo con su tesis, la mente humana construye el concepto de
número natural despues de repeticiones ilimitadas de percep-
ciones. Brouwer concibe el pensamiento matemático como un
proceso de construcción que crea su propio universo, indepen-
diente del universo físico y fáctico de la experiencia y que está
restringido únicamente por la intuición matemática fundamen-tal.
Brouwer no reconoce la obligatoriedad a priori de los prin-
cipios lógicos y no acepta que sea tarea de las Matemáticas el
deducir conclusiones a partir de axiomas. Para él la Matemática
no está obligada a respetar las leyes de la Lógica ya que en su
opinión, es ésta quien se apoya en aquella y no al contrario.
Desde esa perspectiva epistemológica las paradojas, incluída
la de Russell, no son planteables en el universo intuicionista,
pues las colecciones que generan conflicto no son construibles
paso a paso partiendo de los naturales y por tanto pierden todo
su interés. Como complemento a la visión intuicionista sobre laMatemática y su desarrollo, vale la pena anotar que esta escuela
rechaza el Principio del tercero excluído, cuya afirmación de que
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toda proposición es verdadera o falsa es fundamental para las
demostraciones indirectas. Ese rechazo abre la posibilidad para
la existencia de proposiciones indecidibles, en particular en elmundo de los conjuntos infinitos, a los cuales se concibe con
la visión aristotélica de infinito en potencia, pero nunca como
infinito de acto.
El intuicionismo no se limitó al mero acto de criticar y por
el contrario ha intentado recosntruir la Matemática desde su
visión finitística y construccionista. Hoy es posible conseguir en
la bibliografía especializada resultados de impacto que habrían
sido impensables en tiempos de Brouwer o Weil.
4.3.3. El Formalismo
La tercera respuesta a la Crisis de los Fundamentos provino de
la denominada Escuela Formalista, que usando el mismo tipo de
herramientas con que Euclides y Peano trabajaron la Geometría
y la Aritmética, intentó establecer un sustento para el sistema
númerico sin recurrir a la Teoría de Conjuntos, para demostrar
luego su consistencia. Si lo hubieran logrado se habría deducido
también la consistencia de la Geometría.
Aunque Hilbert presentó sus puntos de vista en el Congreso
Internacional de Matemáticas de 1904, se alejó del tema durantequince años, hasta que la virulencia de los ataques intuicionistas
al Análisis Clásico lo hizo regresar, esta vez para quedarse, a en-
frentar los problemas de los Fundamentos. Defendió sus tesis en
una serie de publicaciones hechas en la década de los años veinte
y consiguió gradualmente la adhesión de un muy importante
sector de la comunidad matemática, entre quienes se contaban
algunos de los más prominentes matemáticos contemporáneos.
El Formalismo incluye diversos aspectos, entre los cuales esta
la tendencia a que cualquier fundamentación de las matemáti-
cas debe contar con la Lógica, haciendo que ambas deban ser
tratadas al mismo tiempo. Para los formalistas la Lógica es
un lenguaje simbólico que permite expresar las proposiciones
matemáticas mediante fórmulas, reduciendo el razonamiento a
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4.3 Las respuestas 53
un proceso deductivo formal, basado en un sistema de reglas
donde los símbolos carecen de un significado específico.
En 1926 Hilbert afirmó que los objetos del pensamiento matemáti-co son los símbolos mismos, convirtiendólos en la esencia y de-
jando a un lado las representaciones de objetos físicos ideales.
Con relación al rechazo intuicionista al uso del tercero excluí-
do dijo: “Prohibirle a un matemático usar el principio del tercio
excluso es como prohibirle a un astrónomo usar su telescopio o
a un boxeador el uso de sus puños.”
Para el formalismo las Matemáticas son una colección de
sistemas formales, cada uno con su propia lógica y su propia
matemática, esto es, son sistemas independientes donde cada
uno tiene sus propios símbolos primitivos, sus propios concep-
tos, sus propios axiomas, sus reglas de deducción y sus propiosteoremas.
A pesar de esa limpieza teórica, casi quirúrgica, los formalis-
tas seguían teniendo el problema de demostrar la inexistencia de
contradicciones dentro de cada sistema. Para ello Hilbert y al-
gunos de sus alumnos más aventajados, entre ellos Ackermann,
Bernays y Von Neumann, desarrollaron entre 1920 y 1930 la
Teoría de la Demostración, desde la que pretendían, con base
en una lógica plena de razonamientos concretos, procedimientos
y construcciones finitistas, muy próximas al pensamiento intu-
icionista, demostrar la consistencia de toda la Matemática ydado que buena parte de la Matemática Clásica puede reducirse
a la Aritmética de Peano, la demostración de su consistencia
pasó a ser el problema más importante del formalismo.
Infortunadamente para el programa formalista, pero afortu-
nadamente para el ego del hombre, aparece en 1931 un artícu-
lo de Gödel titulado Uber Unentscheisdbare Sátzeder Principia
Mathematica und Verwandter Systeme I, donde demuestra que
cualquier teoría formal axiomatizable que contenga a la Teoría
de Números, esto es a la Aritmética, es incompleta.
Ese resultado conocido como el Teorema de Incompletitud de
Gödel y que demuestra que en las teorías formales que incluyenla Aritmética existen proposiciones para las cuales no es posi-
ble deducir ni su afirmación ni su negación, puso una frontera
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54 4. RESEÑA HISTORICA
insospechada e inesperada a la ambición formalista y de paso al
sueño humano de alcanzar algún día el conocimiento total. Este
teorema junto con sus implicaciones le dio a Weil la oportunidadde afirmar que Dios existe porque la matemática es consistente
y que el diablo existe porque no es posible demostrar esa con-
sistencia.
Para Zermelo como para otros reputados matemáticos, las
paradojas tenían cabida en la Teoría de Conjuntos porque Can-
tor no había restringido de modo adecuado la noción de con-
junto, permitiendo que se hablara de toda colección y dentro
de ellas de todo elemento aceptable por la mente , dejando así el
espacio suficiente´para que entraran colecciones tan amplias y
conflictivas como las propuestas por Russell y Richard.
Zermelo limitó su trabajo a los que Cantor llamo conjuntos consistentes, por considerar que con ellos era suficiente para
el trabajo matemático y con eso en mente presentó en 1908 un
sistema de axiomas basado en conceptos y relaciones fundamen-
tales definidas de un modo implícito por los mismos axiomas.
Para él la noción de conjunto y la relación de pertenencia
eran esenciales y no podía usarse ninguna propiedad conjuntista
a menos que estuviese garantizada por uno o varios axiomas.
Su idea básica era la de admitir sólo aquellas colecciones de
elementos de las que no se pudiera, de manera verosímil, derivar
una contradicción. Para ello partía de clases seguras y establecíareglas para formar nuevas clases igualmente seguras.
Dentro de las clases seguras consideró sin dudarlo a la clase
vacía, a cualquier clase finita y a la clase de los números natu-
rales. Incluyó dentro de las clases seguras a las subclases de una
clase segura y a la clase de todas las subclases de una clase segu-
ra, pero evitó tajantemente un axioma que le brindará seguridad
al complemento de una clase segura por temor a terminar acep-
tando colecciones demasiado grandes en las que cualquier cosa
pudiera suceder.
El sistema propuesto por Zermelo fue mejorado por Fraenkel
en algunos artículos publicados en 1921 y fue modificado porVon Neumann en 1925, quien introdujo las nociones de elemen-
to y de clase propia, en un esfuerzo por acercarse a las nociones
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4.3 Las respuestas 55
de conjunto y multiplicidad que se habían propuesto en la teoría
cantoriana original como mecanismo para diferenciar los conjun-
tos decentes de las colecciones demasiado grandes.La modificación planteada por Von Neumann dió oportunidad
a la aparición de dos alternativas axiomáticas para la Teoría de
Conjuntos, que aunque diferentes en su enfoque de partida, son
equiconsistentes, esto es, llegan a los mismos resultados cuando
ambas se refieren a los objetos llamados conjuntos.
Los dos sistemas hoy conocidos como Zermelo-Fraenkel-Skolem
y Von Neumann-Gödel-Bernays, introdujeron mecanismos for-
males para evitar las paradojas y para tener cierta certeza de
estar haciendo Matemáticas en un mundo seguro.
Ambos sistemas usaron los lenguajes formales definidos por
Skolem, evitando así las paradojas semánticas, y cada uno deellos contempló un axioma que le permitiera evadir la paradoja
de Russell.
El sistema Z-F-S propuso el axioma de selección diciendo que
si A es un conjunto y S (x) es un enunciado sobre x con sentidopara todos los x de A, entonces existe un conjunto formado portodos los elementos de A que hacen verdadero a S (x). De esemodo si se considera la clase de Russell, sólo se podrá escribir
como M = {x ∈ A : x /∈ x} donde A es un conjunto dado.Así M ∈ M es imposible porque implicaría M /∈ M que es
contradictorio. Luego M /∈ M y por tanto M /∈ A porque siM ∈ A se tendría M ∈ M y otra vez contradicción. Mejordicho, en Z-F-S la clase de Russell no es contradictoria porque el
argumento de análisis solo prueba que no pertenece al conjunto
referencial.
VN-G-B planteo el axioma de construcción de clases diciendo
que dado un enunciado S (x) existe una clase formada por todoslos elementos que satisfacen S (x). Aquí es pertinente anotar quepara Von Neumann un elemento es cualquier clase que pertenece
a otra clase y donde una clase es propia si no pertenece a alguna
otra clase. La clase de Russell quedaría entonces escrita como
sigue: M = {x : x es elemento y x /∈ x}. Si se repite el argumentodel párrafo anterior se llegará a que M no es un elemento y portanto no habrá contradicción.
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56 4. RESEÑA HISTORICA
Las dos teorías lograron de esa manera salvar el obstáculo
propuesto por las paradojas y permitieron la consolidación de la
Teoría de Conjuntos dando a Hilbert la oportunidad de decir en1926 “nadie podrá expulsamos del paraíso que Cantor ha creado
para nosotros ”
Para esa época se podia afirmar que Cantor había propuesto
una nueva rama de la Matemática, había sido criticado agria-
mente, su teoría había sido puesta en entredicho, pero que final-
mente la Teoría de Conjuntos había llegado para quedarse.
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