RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
“DETERMINACION DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES EN LOS ELEMENTOS DEL
ARBOL DE NAVIDAD DE LA UNIVERSIDAD
NACIONAL DE TRUJILLO Y PROPUESTA DE
REDISEÑO DE LA SEMIESFERA”
TRUJILLO – PERU
2011
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
I. GENERALIDADES
1. TÍTULO:
“DETERMINACION DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
EN LOS ELEMENTOS DEL ARBOL DE NAVIDAD DE LA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Y PROPUESTA
DE REDISEÑO DE LA SEMIESFERA” .
2. AUTOR (ES):
3. TIPO DE INVESTIGACIÓN:
Aplicativa.
4. LOCALIDAD DONDE SE REALIZARÁ EL PROYECTO:
El proyecto se realizo en el laboratorio de maquinas y herramientas de la
Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional de Trujillo.
5. DURACION DE LA EJECUCION DEL PROYECTO:
La duración del proyecto es 10 semanas.
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6. CRONOGRAMA DE EJECUCIÓN DEL PROYECTO:
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7. FECHA DE INICIO:
Diciembre del 2010
8. FECHA DE TÉRMINO:
Enero del 2010
9. RECURSOS
Se utilizó recursos propios de los integrantes del grupo.
10. FINANCIAMIENTO
Este proyecto fue autofinanciado.
II. PLAN DE INVESTIGACIÓN
1. REALIDAD PROBLEMÁTICA
Debido a que en el proyecto original del árbol navideño de la universidad
nacional de Trujillo desarrollado por los docentes y con la ayuda de los
estudiantes de la escuela de ingeniería mecánica, se presento el problema de la
flexión de la parte superior del eje en el ensamble final del árbol, razón por la
cual haremos el análisis estructural tal como se pudo observar en la plaza de
armas y otro modificado según nuestro criterio ingenieril de manera que no sufra
dicha flexión.
2. ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO.
CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN
Tensión: Consideremos una varilla cilíndrica de longitud l0 y una sección transversal de
área A0 sometida a una fuerza de tensión uniaxial F, como se muestra en la figura 2.
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Figura 2. a) Barra antes de aplicarle la fuerza b) Barra sometida a una fuerza de tensión
uniaxial F que alarga la barra de longitud lo a l
Por definición, la tensión σ en la barra es igual al cociente entre la fuerza de tensión
uniaxial media F y la sección transversal original Ao de la barra.
[
]
Deformación o alargamiento: Cuando se aplica a una barra una fuerza de tensión uniaxial,
tal como se muestra en la figura 2, se produce una elongación de la varilla en la dirección de
la fuerza. Tal desplazamiento se llama deformación. Por definición, la deformación
originada por la acción de una fuerza de tensión uniaxial sobre una muestra metálica, es el
cociente entre el cambio de longitud de la muestra en la dirección de la fuerza y la longitud
original.
[
]
Donde: l es la longitud después de la acción de la fuerza
lo es la longitud inicial de la pieza
Algunas Propiedades de los Materiales
Elasticidad y Plasticidad
Para una barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F cesa, el alargamiento desaparece
completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original l0. Esta
propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una
vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera
completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo
contrario se dice que es “parcialmente elástico”.
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La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando
al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada.
En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico.
Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón
pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si
no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden
considerarse como perfectamente plásticos.
Ley de Hooke
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida
dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión
normal σ se mantiene por debajo de un cierto valor σp, llamado tensión de proporcionalidad,
las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales.
E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o
módulo de Young. El valor de E es una característica de cada
material.
Diagrama tensión - deformación (σ-ξ ) del acero común
Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad
de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por
ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el
cual debe determinarse experimentalmente.
Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los
cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean
probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en
una máquina especialmente diseñada para el ensayo.
Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de
carbono, el diagrama tension-deformación resulta como el de la figura siguiente.
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Diagrama tensión-deformación para el acero dulce
TEORIAS DE FALLA:
La falla de un elemento se refiere a la pérdida de su funcionalidad, es decir cuando una pieza
o una máquina dejan de ser útiles.
Esta falta de funcionalidad se dar por:
Rotura
Distorsión Permanente
Degradación
Etc.
La rotura o la degradación permanente se deben a que los esfuerzos soportados son mayores
que la resistencia del material de fabricación.
Para poder determinar para qué cantidad de esfuerzo aplicado se producirá una falla, se
utilizan algunas teorías de falla.
Todas las teorías de falla se basan en la comparación del esfuerzo actuante contra el
resultante aplicado en una prueba uniaxial de tensión o compresión.
1. TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO NORMAL (RANKINE)
Es tal vez la más simple de todas las teorías de las fallas. Sostiene simplemente que
la falla ocurrirá siempre que el mayor esfuerzo a la tensión tienda a exceder la resistencia
uniaxial a la tensión, o siempre que el esfuerzo más grande a la compresión tienda a exceder
la resistencia uniaxial a la compresión. Esta teoría correlaciona en forma razonable con la
información de pruebas para fracturas cuando el material es frágil.
La falla ocurrirá en la parte di cualquiera de los esfuerzos normales principales
excede el esfuerzo normal principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.
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Si: S1 = Esfuerzo Principal 1 σyc = Esfuerzo de fluencia a compresión
S2 = Esfuerzo Principal 2 σyt = Esfuerzo de fluencia a tensión.
S3 = Esfuerzo Principal 3.
Se debe cumplir que:
ytyc
ytyc
ytyc
S
S
S
3
2
1
Si se aplica un factor de diseño se consiguen las ecuaciones de diseño:
d
yt
d
yc
d
yt
d
yc
d
yt
d
yc
nS
n
nS
n
nS
n
3
2
1
Para materiales frágiles σyc o σyt es el esfuerzo de fluencia.
2. TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE (COULOMB-TRESCA-GUEST)
Para materiales dúctiles:
La falla ocurre en una parte si cualquiera de los esfuerzos cortantes principales excede el
esfuerzo cortante principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.
Puesto que:
2
2
2
32
32
31
31
2121
fluencia
La teoría de falla es:
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ytyc
ytyc
ytyc
31
32
21
-+Si se introduce un factor de diseño se tiene la respectiva ecuación de diseño:
d
yt
d
yc
nn
21
Esta teoría predice que si se presenta un estado de esfuerzos hidrostáticos no se produce
fluencia, así estos esfuerzos sean mayores que σy:
3. TEORIA DE FALLA POR ENERGÍA DE DEFORMACIÓN MÁXIMA:
La falla ocurre en una parte cuando la energía de deformación por volumen unitario exceda
la de una prueba de tensión uniaxial en la falla.
Para determinar la energía de deformación por volumen unitario:
Sea el bloque de dimensiones diferenciales de la figura 1, sobre el cual actúan los esfuerzos
normales principales:
Figura 1. Bloque con esfuerzos unitarios.
La energía de deformación es el trabajo realizado por estas fuerzas al desplazar el cubo una
distancia dl.
La energía de deformación U es igual al trabajo necesario para deformar el cubo:
lFWU .
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Para causar esta deformación, la fuerza causada por cada esfuerzo σ es:
º3
2
1
yxz
zxy
zyx
ddfinalF
ddfinalF
ddfinalF
Puesto que el estiramiento depende linealmente de la fuerza aplicada, este comportamiento
se puede mostrar como en la gráfica 3.
Figura 2. Comportamiento lineal de fuerza por desplazamiento
Por lo tanto: 2
. lFW
22
.
2
. finalFyfinalFxfinalFU zyX
ndeformació
Luego se puede deducir lo siguiente:
Energía de deformación por volumen unitario está dada por:
323121
2
3
2
2
2
1 22E
1
Por razonamiento similar la energía de deformación por volumen unitario en la prueba de
tensión es:
2
2
1ypfy
E
0
10
0 10
l
F
Trabajo
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Y finalmente se tiene para diseñar:
diseñar para 2
2
323121
2
3
2
2
2
1
fs
yp
N
TEORIA DE FALLA POR ENERGIA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O
(MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE OCTAÉDRICO)-HUEBER-VON MISES-
HENCKY.
MATERIALES DÚCTILES
La teoría de la energía de la máxima distorsión sostiene que cualquier material
esforzado en forma elástica sufre un “ligero” cambio en forma, volumen o en ambos. La
energía necesaria para producir este cambio se almacena en el material en forma de energía-
elástica. Pronto se supo que los materiales usados en ingeniería pueden soportar enormes
presiones hidrostáticas (es decir, σ1 =σ2 = σ3 = elevada compresión) sin daño. Por lo tanto,
se postulé que un material dado tiene una capacidad limitada y definida para absorber
energía de distorsión (es decir, energía que tiende a cambiar la forma, pero no el tamaño), y
que los intentos de someter el material a cantidades mayores de energía de distorsión
provocaban fluencia.
La energía de deformación se compone de la energía de deformación (cambio de
volumen) y de la distorsión.
) ( distorsionvolumen dv
Para la energía de distorsión se obtiene la siguiente expresión:
323121
2
3
2
2
2
13
1
EU d
Análogamente para una prueba uniaxial, la energía de distorsión será:
2
3
1ypd
EU
Y entonces para diseñar se tiene el siguiente criterio, introduciendo un factor de Diseño
dn:
2
323121
2
3
2
2
2
1
d
yp
n
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CRITERIOS DE SELECCIÓN Y USO DE LAS TEORÍAS DE FALLAS PARA EL
PRESENTE PROYECTO.
Se recomienda que
1. Se use la teoría de la energía máxima de distorsión para pronosticar la fluencia cuando el
material se comporta como dúctil
2. Se use la teoría de Mohr modificada para predecir la fractura cuando el material se comporta
como frágil.
FACTORES DE SEGURIDAD, CONCEPTO Y DEFINICIÓN
Después de ir tan lejos como es práctico en la determinación de la resistencia significativa
de la parte real fabricada y de los detalles de la carga a la cual se sujetará, siempre queda
algún margen de incertidumbre que debe cubrirse con un factor de seguridad. El elemento
debe diseñarse para soportar una ‘sobrecarga de diseño algo más grande que la carga
normalmente esperada. La selección de un valor apropiado para el factor de seguridad se
basa principalmente en los cinco factores siguientes:
1. Grado de incertidumbre de la carga 2. Grado de incertidumbre en la resistencia del material
3. Incertidumbres en relación con las cargas aplicadas con respecto a la resistencia del material
4. Consecuencias de la falla
5. Costo de un FS elevado
Un elemento estructural o componente de máquina debe diseñarse de modo que su carga
última sea bastante mayor que la carga que el elemento o componente llevará en condiciones
normales de uso. Esta carga menor es la carga admisible y, a veces, la carga de trabajo o de
diseño. Así sólo se utiliza una fracción de la carga última del elemento cuando se aplica la
carga admisible. El remanente de la capacidad del elemento se deja en reserva para asegurar
un desempeño seguro.
La razón entre la carga última y la carga admisible se define como factor de
seguridad. Escribimos:
En muchas aplicaciones existe una relación lineal entre la carga y el esfuerzo generado
por ella. Cuando tal es el caso, el factor de seguridad puede expresarse como:
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2. CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
En una pieza sometida a esfuerzos, si se llegan a presentar cambios abruptos en la
geometría de la pieza, se presenta una concentración de las “líneas de esfuerzo” en los
puntos donde cambia abruptamente la geometría.
Los cambios de geometría se presentan si hay:
- Cambios de forma y tamaño de la sección - Agujeros
- Muescas - Chaveteros
- Estrias - Marcas de herramientas
- Inclusiones y defectos en el material.
Ras En estos puntos se puede calcular un factor de concentración de esfuerzos K.
calculadoalnoesfuerzo
cambioelenrealesfuerzodelaltomasValorK
min
CUANDO CONSIDERAR QUE HAY CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
La concentración de esfuerzos se puede despreciar en los casos:
Si la carga es baja y estática
Si la temperatura de la pieza y del ambiente es normal.
Si el material es dúctil (si resiste 5% de alargamiento antes de la falla)
En los siguientes casos si se debe considerar aplicar un factor de concentración de esfuerzos.
Si el material es frágil
Si el material es dúctil a temperaturas extremas que lo hacen frágil
Si hay rápidos cambios de esfuerzos que no permitan que haya una fluencia local
Si hay esfuerzos cíclicos.
Se tiene la siguiente tabla en la cual hay criterios para aplicar o no un factor de
concentración de esfuerzo.
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Material Condición de
Carga Si o No K Tipo de Falla
Frágil Cualquiera Si K Fractura rápida
Dúctil Baja Temperatura Si K Fractura rápida
Dúctil Aplicación Rápida SI KK Fractura rápida
Dúctil Cíclica Si Kf Falla progresiva
Dúctil Estática.Temp.
ambiente No 1 Ninguna
DATOS SOBRE EL ACERO UTILIZADO.
En los Estados Unidos, la Norma de aceros al Carbono estructurales más popular es la
ASTM A36, que reemplazó desde 1960 los grados ASTM A-373 y A-7.
A continuación, en la tabla siguiente, se muestran los valores de propiedades mecánicas de
acero ASTM A36 en comparación con los valores de la NCh 203 para el acero A42-27ES.
COMPARACIÓN DE PROPIEDADES MECÁNICAS DE ACEROS
ASTM A36 Y A42-27ES.
Características Espesor, e al que
se aplica, mm
Unidad de
medida
(*)
Grados de aceros
A42-27ES ASTM A36 A42-27ES ASTM A36
Resistencia a la Tracción, Rm Todos (**) Kgf/mm
2 42 < Rm < 52 41 < Rm < 56
Límite de
Fluencia e<16 (**) Kgf/mm2 27 25
mínimo, Re
Alargamiento
Porcentual de e < 5 % mín 22 Rotura, A, en 5 <e < 16 (**) % mín 20 19
Probetas de 16 < e < 50 % mín 18
L0 = 50 mm
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De acuerdo con NCh 22, 1 Kgf/mm2 =9,80665 MPa
Para perfiles de sección inferior a 645 mm2, o barras de diámetro inferior a 13 mm, no
se exige ensayo de tracción al fabricante.
Respecto a los requisitos de esta norma en la composición química del acero, la siguiente
Tabla 6 muestra dichas especificaciones:
Tabla 6 ASTM A36:
REQUISITOS DE COMPOSICIÓN QUÍMICA SEGÚN LOS PRODUCTOS.
Elementos Perfiles Barras
Todos Hasta 19 mm Sobre 19 hasta 38 mm
% C, máx 0,26 0,26 0,27
% Mn - - 0,60 a 0,90
% P, máx 0,04 0,04 0,04
% S, máx 0,05 0,05 0,05
% Si - - -
% Cu mín 0,20 0,20 0,20
En Alemania, la norma DIN 17100 clasifica los aceros para construcción en
general, en función de su resistencia a la tracción. De esta forma, la designación St
42 corresponda a un acero con resistencia a la tracción entre 42 a 50 Kgf/mm2; si
es St 37, la resistencia a la tracción mínima es de 37 Kgf/mm2.
Dependiendo del contenido de Carbono, esta designación incluye un dígito
separado por un guión. Por ejemplo, St 37-1 significa que dicho acero admite un
%C de hasta0, 20%. Si el dígito es 2, entonces el máximo de Carbono es 0,18%; si
es 3,0, 17% de Carbono. En el caso de los aceros St 42, el dígito 1 significa un
contenido de Carbono máximo de 0,25%; 2 también significa un 0,25% y 3, un
máximo de 0,23%.
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3. FORMULACION DEL PROBLEMA:
Realizar una simulación, para determinar la distribución de esfuerzos,
deformaciones, desplazamientos y factor de seguridad involucrados en el
diseño del árbol de navidad antes mencionado.
4. ANALISIS DEL PROBLEMA:
El sistema diseñado presentará en cierta forma un fenómeno resaltante
como es la deformación de sus elementos constituyentes, la cual se
presentará en menor o mayor magnitud dependiendo de la zona a tomar en
cuenta, ya que en cada región existirá una determinada concentración de
esfuerzos, los cuales son consecuentes de procesos artificiales (como la
rotación de todos los niveles o pisos respecto a la base de la estructura) y de
procesos naturales (la gravedad, el clima). En tanto, cabe mencionar que
para tratar de disminuir las probabilidades de falla en ciertas partes del
sistema, se hace uso del software: SolidWorks 2009, el cual nos brindo
información acerca del análisis en general de toda la estructura, zonas de
concentración de esfuerzos, de concentración de máxima deformación, etc
para así tener una referencia de cómo dimensionar ciertos elementos,
teniendo en cuenta además que el software podría arrojar resultados casi
idealizados que podría discrepar ciertamente con la realidad sobre todo al
momento de la construcción de nuestro proyecto.
Para el análisis en el programa se supuso y se puso las siguientes condiciones para la
simulación:
1. Material isotrópico.
2. Comportamiento siguiendo la ley de Hooke.
3. Temperatura 298 °k.
4. Superficie de apoyo de la estructura horizontal.
5. Cargas de fuerza centrípeta para una rotación de 3RPM
6. Aceleración de la gravedad uniforme de 9.81 m/Sˆ2
7. Sin aporte de la fuerza del viento.
8. Se utilizó el método de elementos finitos para el estudio.
Debido a delimitaciones tecnológicas como la capacidad de procesamiento de las
computadoras utilizadas se tuvo que analizar cada nivel por si solo sabiendo que cada uno
soportaba a los que estaban por encima de este.
El análisis en el software arrojo los siguientes resultados:
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Unidades
Sistema de unidades: SI
Longitud/Desplazamiento m
Temperatura Kelvin
Velocidad angular rad/s
Tensión/Presión N/m^2
Nombre de material: [SW]ASTM A36 Acero
Descripción:
Origen del material:
Tipo de modelo del material: Isotrópico elástico lineal
Criterio de error predeterminado: Tensión máxima de von Mises
Datos de aplicación:
ANÁLISIS DE TENSIONES DEL NIVEL 1
Descripción
Resuma el análisis mediante el Método de elementos finitos (MEF) de 1
Propiedades del material
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -4.16726e-005 9.40613e-005 1072.14 1072.14
Fuerzas de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N 3.76811e-007 1.23585e-006 -0.00189986 0.00189986
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Momentos de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Resultados predeterminados
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
3.81573e-007
N/m^2
Nodo: 441252
(-0.21909
mm,
-286.177 mm,
1563.92 mm)
2452.76
N/m^2
Nodo: 137336
(-2069.35
mm,
1148.38 mm,
112.915 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(202.094 mm,
184.443 mm,
87.5152 mm)
1.92636e-010
m
Nodo: 85353
(1052.53 mm,
-2070.12 mm,
282.849 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
3.27127e-014
Elemento:
93198
(-898.911
mm,
-2099 mm,
106.565 mm)
9.52851e-009
Elemento:
75187
(-1814.56
mm,
-628.517 mm,
731.87 mm)
Gráfica 1: Estudio 1 de Tensiones
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Gráfica 2: Estudio 1-Deformaciones unitarias
Gráfica 3: Estudio 1-Desplazamientos
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Gráfica 4:Estudio 1-Factor de seguridad
ANÁLISIS DE TENSIONES DE 2
Propiedades de material
Nombre de
propiedad
Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de
Poisson
0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N -0.0285073 984.458 0.0165842 984.458
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Fuerzas de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N -5.06261e-
008
-
0.000147138
3.14594e-
005
0.000150463
Momentos de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N-m 0 0 0 1e-033
RESULTADOS DEL ESTUDIO:
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
5.06612e-
007
N/m^2
Nodo:
189908
(2094.84
mm,
1497.38
mm,
-11.3492
mm)
267954
N/m^2
Nodo:
3364
(1784.33
mm,
0.0500001
mm,
-88.1163
mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(1832.78
mm,
-
4.72886e-
012 mm,
55.0692
mm)
1.35402e-
008 m
Nodo:
2306
(1798.25
mm,
-19.9 mm,
-93.8128
mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
2.04914e-
013
Elemento:
75253
(-327.669
mm,
20.2803
mm,
432.709 mm)
8.27935e-
007
Elemento:
523
(1734.13
mm,
-1.12941
mm,
-78.4924 mm)
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Grafico 1: 2-Estudio 2-Tensiones-Tensiones1
Grafico 2: 2-Estudio 2-Desplazamientos-Desplazamientos1
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Grafico 3: 2-Estudio 2-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
Grafico 4: 2-Estudio 2-Factor de seguridad-Factor de seguridad1
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ANÁLISIS DE TENSIONES DE 3
Propiedades de material:
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N 0.834431 -0.462729 660.952 660.953
Fuerzas de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -6.85888e-006 7.2626e-005 -0.000379267 0.000386219
Momentos de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
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RESULTADOS DEL ESTUDIO
Resultados predeterminados:
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
8.52509e-007
N/m^2
Nodo: 238470
(300.699 mm,
3334.54 mm,
931.392 mm)
1.82584e+007
N/m^2
Nodo: 93183
(-916.014
mm,
2147.74 mm,
2149.64 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(92.1914 mm,
990.516 mm,
925.042 mm)
0.00162743 m
Nodo: 87570
(-1477.8 mm,
1726.12 mm,
949.614 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
2.53496e-014
Elemento:
97133
(869.863 mm,
1547.68 mm,
941.529 mm)
5.41685e-005
Elemento:
39265
(-904.409
mm,
2156.12 mm,
2135.59 mm)
3-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
3-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
3-Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
3-Estudio 1-Factor de seguridad-Factor de seguridad1
ANÁLISIS DE TENSIONES DE 4
Descripción
Resuma el análisis mediante el Método de elementos finitos (MEF) de 4
Propiedades del material
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Fuerzas de reacción
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -0.130313 -0.0732457 466.361 466.361
Fuerzas de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N 1.46932e-006 5.73125e-006 5.48926e-005 5.52106e-005
Momentos de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
Resultados del estudio
Resultados predeterminados
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
7.88844e-007
N/m^2
Nodo: 133161
(-227.285
mm,
876.302 mm,
-22.0176 mm)
254608
N/m^2
Nodo: 61901
(-375.897
mm,
-125.737 mm,
1222.56 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 2
(267.12 mm,
366.603 mm,
1199.84 mm)
1.5131e-008
m
Nodo: 61936
(-314.205
mm,
-127.212 mm,
1222.56 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
9.63826e-014
Elemento:
5992
(-259.234
mm,
650.675 mm,
1185.78 mm)
6.38129e-007
Elemento:
28172
(-334.525
mm,
-149.632 mm,
1206.51 mm)
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Gráfica 1: Estudio 4-Deformaciones unitarias
Gráfica 2: Estudio 4-Factor de seguridad
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Gráfica 3: Estudio 4-Desplazamientos
Gráfica 4: Estudio 4-Tensiones
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ANÁLISIS DE TENSIONES DE 5
Propiedades de material:
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -0.00147358 0.0832698 -410.393 410.393
Fuerzas de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -2.71609e-006 -1.70978e-006 -0.000105437 0.000105486
Momentos de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Resultados predeterminados:
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
1.71779e-006
N/m^2
Nodo: 82082
(141.417 mm,
-8.94784 mm,
47.1567 mm)
173570
N/m^2
Nodo: 146244
(829.496 mm,
828.405 mm,
1034.09 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(-422.258
mm,
1122.19 mm,
1059.49 mm)
6.78281e-007
m
Nodo: 148500
(621.772 mm,
620.68 mm,
544.478 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
1.35015e-013
Elemento:
3607
(-1191.73
mm,
-268.741 mm,
1038.86 mm)
2.71463e-007
Elemento:
25794
(-7.23024
mm,
-6.8441 mm,
33.5291 mm)
5-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
5-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
5-Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
5-Estudio 1-Factor de seguridad-Factor de seguridad1
5-Estudio 1-Percepción del diseño-Percepción del diseño1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ANÁLISIS DE TENSIONES DE 6
Propiedades de material
Nombre de material: [SW]ASTM A36 Acero
Descripción:
Origen del material:
Tipo de modelo del material: Isotrópico elástico lineal
Criterio de error predeterminado: Desconocido
Datos de aplicación:
Nombre de
propiedad
Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de
Poisson
0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N -
0.000830544
328.13 -
0.000366414
328.13
Fuerzas de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N 8.54234e-
007
0.000103346 7.35419e-
007
0.000103353
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Momentos de cuerpo libre
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el
sólido
N-m 0 0 0 1e-033
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
8.19608e-
006
N/m^2
Nodo:
293809
(-453.476
mm,
724.056
mm,
3.6069
mm)
4040.79
N/m^2
Nodo:
254911
(126.239
mm,
288.055
mm,
-788.574
mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(-728.255
mm,
81.3303
mm,
-322.531
mm)
2.27003e-
010 m
Nodo:
252426
(118.917
mm,
735.332
mm,
-530.764
mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
1.31069e-
013
Elemento:
1141
(789.63
mm,
78.4952
mm,
589.879
mm)
1.29661e-
008
Elemento:
131521
(119.754
mm,
701.304
mm,
-572.942
mm)
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Grafica 1: 6-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
Grafica 2: 6-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Grafica 3: 6-Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
Grafica 4: 6-Estudio 1-Factor de seguridad-Factor de seguridad1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Grafica 5: 6-Estudio 1-Percepción del diseño-Percepción del diseño1
ANÁLISIS DE TENSIONES DE 7
Propiedades del material:
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -0.000547963 2.8107e-005 263.311 263.311
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Fuerzas de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -4.07963e-008 -1.8056e-007 1.62385e-005 1.62396e-005
Momentos de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
4.72664e-007
N/m^2
Nodo: 31640
(65.4088 mm,
-15.4252 mm,
-456.25 mm)
2979.39
N/m^2
Nodo: 218
(174.907 mm,
-50.8393 mm,
530.625 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(210.03 mm,
-73.1538 mm,
550.624 mm)
1.11182e-010
m
Nodo: 29782
(208.206 mm,
289.803 mm,
525.625 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
1.06535e-013
Elemento:
7057
(180.552 mm,
-16.2983 mm,
-464.375 mm)
6.37864e-009
Elemento: 154
(176.531 mm,
-51.3402 mm,
531.875 mm)
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
7-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
7-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
7-Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
ANÁLISIS DE TENSIONES DE SEMIESFERA
Propiedades de material:
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -0.146978 0.000116113 110.697 110.697
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Fuerzas de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -6.25523e-008 6.58529e-008 2.54821e-005 2.54823e-005
Momentos de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Resultados predeterminados:
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
8.95371e-007
N/m^2
Nodo: 74485
(-6.46079
mm,
8.62839 mm,
888.357 mm)
550.824
N/m^2
Nodo: 18556
(-7.5221 mm,
-3.60452 mm,
45.3224 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(9.36421 mm,
724.91 mm,
823.243 mm)
1.52483e-011
m
Nodo: 21778
(-0.127061
mm,
-1.00926 mm,
113.683 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
2.0163e-013
Elemento:
15217
(407.025 mm,
412.441 mm,
502.643 mm)
2.09689e-009
Elemento:
10929
(5.07059 mm,
4.72344 mm,
9.22816 mm)
Desplazamientos2 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(9.36421 mm,
724.91 mm,
823.243 mm)
1.52483e-011
m
Nodo: 21778
(-0.127061
mm,
-1.00926 mm,
113.683 mm)
Deformaciones
unitarias2
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
3.76056e-018
Nodo: 74485
(-6.46079
mm,
8.62839 mm,
888.357 mm)
2.31346e-009
Nodo: 18556
(-7.5221 mm,
-3.60452 mm,
45.3224 mm)
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
SEMIESFERA-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
SEMIESFERA-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos2
Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias2-
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Estudio 1-Factor de seguridad-Factor de seguridad1
Estudio 1-Percepción del diseño-Percepción del diseño1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ANALISIS DE LA SEMIESFERA MODIFICADA
Propiedades del material:
Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor
Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante
Coeficiente de Poisson 0.26 NA Constante
Módulo cortante 7.93e+010 N/m^2 Constante
Densidad 7850 kg/m^3 Constante
Límite de tracción 4e+008 N/m^2 Constante
Límite elástico 2.5e+008 N/m^2 Constante
Fuerzas de reacción:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N -0.00964153 -0.000196869 131.612 131.612
Fuerzas de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N 6.86668e-008 4.97221e-009 -1.87946e-005 1.87947e-005
Momentos de cuerpo libre:
Conjunto de
selecciones
Unidades Suma X Suma Y Suma Z Resultante
Todo el sólido N-m 0 0 0 1e-033
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
RESULTADOS DEL ESTUDIO
Resultados predeterminados:
Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación
Tensiones1 VON: Tensión
de von Mises
4.85251e-005
N/m^2
Nodo: 5676
(37.4392 mm,
-77.0966 mm,
250 mm)
878.263
N/m^2
Nodo: 5668
(-0.0607869
mm,
12.7942 mm,
262.7 mm)
Desplazamientos1 URES:
Desplazamiento
resultante
0 m
Nodo: 1
(9.36421 mm,
626.68 mm,
601.532 mm)
1.57102e-011
m
Nodo: 10610
(132.411 mm,
-0.87562 mm,
249.676 mm)
Deformaciones
unitarias1
ESTRN:
Deformación
unitaria
equivalente
1.77766e-013
Elemento:
3376
(68.1664 mm,
-21.5351 mm,
256.35 mm)
2.55644e-009
Elemento:
4299
(2.40524 mm,
8.91557 mm,
262.563 mm)
SEMIESFERA MODIFICADA-Estudio 1-Tensiones-Tensiones1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
SEMIESFERA MODIFICADA-Estudio 1-Desplazamientos-Desplazamientos1
SEMIESFERA MODIFICADA-Estudio 1-Deformaciones unitarias-Deformaciones unitarias1
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
OBSERVACIÓN:
En éstas gráficas se muestran los resultados del análisis realizado por el software
empleado, las cuales nos indican los estudios acerca de las tensiones, desplazamientos,
deformaciones unitarias y el factor de seguridad respecto al primer nivel de la
estructura.
5. JUSTIFICACIÓN
Dicho informe se realizo con la finalidad de que si se quiere realizar una
posterior presentación del árbol navideño no se presenten las fallas
mencionadas. Nos hemos preocupado por este problema en específico
porque notamos la necesidad de encontrar una forma de mejorar la
presentación de un futuro árbol navideño por parte de la UNT, respecto al
mostrado en el 2010.
La gran importancia que hay al momento de realizar este proyecto, es que
permitirá mejoras de diseño en el futuro y disminuirá las deformaciones
producidas por flexión y torsión y permitirá hacerlo girar para el año
próximo.
6. OBJETIVOS.
Determinar los factores que influyeron en la falla del árbol navideño, al
momento de la instalación.
Verificar los máximos esfuerzos y su ubicación en cada piso de la
estructura durante el funcionamiento del ensamble final.
Analizar los factores necesarios para el correcto funcionamiento de la
estructura.
Rediseñar algunas dimensiones de la estructura para evitar las fallas
encontradas de tal manera que logremos su correcto funcionamiento en
una próxima exhibición del árbol navideño.
7. PREFACTIBILIDAD DE REALIZACION DEL PROYECTO DE INGENIERÍA.
7.1: Técnica
7.2 Económica.
RESISTENCIA DE MATERIALES I febrero del 2011
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
8. CONCLUSIONES.
Respecto a los resultados de la semiesfera podemos observar que los
esfuerzos máximos se dan en la varilla de soporte lo cual concuerda con lo
que ha sucedido en el proyecto real en el que la semiesfera se inclinó. Para
solucionar este problema se propone la “semiesfera modificada” en donde
la varilla de soporte está ubicada bajo el centro de gravedad (lo cual no
sucede en la real) con esta modificación se hizo el análisis, y los resultados
muestran que es más segura, ya que los esfuerzos máximos no se
concentran en la varilla de soporte y el factor de seguridad se uniformiza en
toda la estructura.
De acuerdo a las tablas mostradas anteriormente se observa que el esfuerzo
admisible del acero empleado es muy superior en comparación con los
esfuerzos encontrados para cada nivel de la estructura esto significa que el
factor de seguridad de toda la estructura es demasiado alto(S=100), esto
genera costos muy elevados, como se puede verificar en el ANEXO ; este
problema podemos solucionarlo eligiendo perfiles de menor sección, y/o
eligiendo otros materiales (como el aluminio en cualquiera de sus clases).
De acuerdo a los resultados obtenidos del análisis de cada uno de los pisos
de la estructura notamos que la distribución de esfuerzos sobre los
elementos es bastante uniforme y son pocas las zonas donde se observa
esfuerzos apreciables (Zonas rojas) es por eso que podemos decir que todas
las partes no sufren mayores deformaciones , desplazamientos o tensiones
que puedan afectar seriamente
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