_________________________________________________________________________ Departamento de Ciencia-Cajamarca
1
INTEGRALES DE LÍNEA
En esta parte se define una integral que es similar a la integral simple, pero con la
diferencia de que en lugar de integrar en el intervalo [ , ]a b , se integra en la curva C . Estas
integrales se llaman Integrales de Línea o también llamadas integrales curvilíneas. Estas
integrales fueron inventadas para solucionar problemas relacionados con el flujo de fluidos,
fuerzas, electricidad y magnetismo.
Iniciaremos nuestro estudio con la definición de curvas, parametrizaciones y caminos
Definición 1.- Sea :[ , ] nr a b una función que toma valores en n describiendo un
conjunto C de puntos ( )r t llamado GRAFICA de tal función. Si r es continua sobre [ , ]a b ,
la gráfica de C se llama CURVA; específicamente, C es la curva descrita por r .
Definición 2.- A la función r que describe a la curva C se le llama una
PARAMETRIZACION de C .
La circunferencia 2 2: 9C x y puede ser descrita por la parametrización
(3cos ,3 ) ( , ) , [0,2 ]r t sent x y t ; es decir
: 3cos
3 , [0,2 ]
C x t
y sent t
De tal manera que la gráfica de r se encuentra sobre la circunferencia 2 2 9x y ,
recorriéndola en sentido antihorario.
Y se dice que la circunferencia C ha sido parametrizada por la función r dada.
Esta primera circunferencia 2 2: 9C x y puede ser descrita por otra parametrización,
como
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 2
2: [0, ]
( , ) ( ) (3cos2 ,3 2 )
v
t x y v t t sen t
De manera que la gráfica se encuentra sobre 2 2: 9C x y , recorriéndola toda la vuelta en
sentido anti horario, pero con mayor velocidad (doble) que con la parametrización
(3cos ,3 )r t sent , [0,2 ]t , pues para dar toda la vuelta mediante ( )v t sólo dispone de la
mitad del tiempo [0, ]t que con la parametrización ( ) , [0,2 ]r t t
Si ahora quisiéramos que la misma curva 2 2: 9C x y fuese recorrida en sentido horario,
podemos tomar una parametrización ( )w t que INVIERTA la orientación anterior, esto
puede hacerse de diversas maneras como por ejemplo:
( ) (3cos(2 ),3 (2 )) , [0,2 ]w t t sen t t
Definición 3.- Con respecto a la parametrización ( )r t de la curva dada C, a la función
( )v t se le llama una parametrización que preserva la orientación; y a la función ( )w t se le
llama una parametrización que invierte la orientación.
Al estudiar las integrales de línea nos interesa no solamente el conjunto de puntos de una
curva C sino la manera como ha sido originada; es decir, la parametrización ( )r t .
Definición 4.- A una curva C con una parametrización ( )r t se le llama camino o
trayectoria.
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 3
Las curvas que estudiaremos pueden ser cerradas o no.
Definición 5.- Una función :[ , ] nr a b , describe una curva cerrada C si se cumple
( ) ( )r a r b .
Definición 6.- Sea C: :[ , ] nr a b , un camino continuo en n . Al camino ( )r t se le llama
regular si existe el vector derivada (i.e la aplicación r es diferenciable) '( ) 0r t y si esta
derivada es continua en el intervalo abierto ,a b .
EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 2en
1.- La aplicación 2:r definido por 0 1 0 2( ) ( , )r t x ta y ta es diferenciable en todo
t , la traza de es una recta en 2 que pasa por el punto 0 0( , )x y y su vector dirección
es 1 2( , )a a .
2.-La aplicación 2:[0,2 ]r definido por ( ) ( cos , )r a asen , 0a es diferenciable
en todo [0,2 ] , por lo tanto, ( )r es una curva parametrizada diferenciable. La traza de
( )r es una circunferencia de radio a en sentido antihorario.
3.- ( ) ( cos , ) , [0,2 ]r t a t bsent t es una curva parametrizada diferenciable cuya traza es
una elipse.
4.- ( ) ( cosh , h )r t a t bsen t es una curva parametrizada diferenciable cuya traza es una
hipérbola.
5.- ( ) ( , ) ,r t t t t es una parametrización de la recta y x , pero no es una curva
parametrizada diferenciable, ya que y x no es diferenciable en 0.x
EJEMPLOS DE CURVAS PARAMETRIZADAS de 3en
1.-La aplicación 3:r definido por 0 1 0 2 0 3( ) ( , , )r t x ta y ta z ta es una
parametrización diferenciable de la recta en 3
2.- ( ) ( cos , , ),t a t asent bt t es una curva parametrizada diferenciable. Su traza es una
hélice enrollada alrededor del cilindro 2 2 2x y a .
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 4
3.- 2 3( ) (3 ,3 ,2 )t t t t es una curva parametrizada diferenciable. Su derivada es
2'( ) (3,6 ,6 )t t t .
4.- 2
1
( ) ( ,0, ) , 0tt t e t
5.- ( ) (4 ,3cos , )r t t t sent
6.- ( ) ( cos , , )t t tt e t e sent e
7.- ( ) (cos( ),s ( ), )r t at b en at b ct d
8.- ( ) ( , , )t t sent t
9.- 2
2( ) ( , , )2
tt t t
Integrales de línea en el plano
Definición 7.- Para 2:f un campo escalar, la integral sobre la curva C (llamada
también integral de línea o de trayectoria), parametrizada como ( ) ( ) ( )r x x t y t i j con
[ , ]t a b esta definida como:
* *
1
( , ) lim ( , )n
i i iC n
i
f x y ds f x y s
………. (1)
Se puede demostrar que si f es una función continua, entonces el límite de la definición 1
siempre existe y la fórmula siguiente se puede usar para evaluar la integral de línea
2 2
( , ) ( ( )) '( ) ( ( ), ( ))b b
C a a
dx dyf x y ds f r t r t dt f x t y t dt
dt dt
…….. (2)
Donde :[ , ]r a b C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal
manera que ( )r a y ( )r b son los puntos iníciales y finales de C respectivamente.
Las integrales de línea son independientes de la parametrización ( )r t , porque solo depende
de la longitud del arco
Nota.- Si cambiamos la orientación de la curva la integral de línea de la formula (2) cambia
de signo.
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 5
Ejemplo 1.- Evalué 2(2 )C
x y ds donde C es la mitad superior de un circulo unitario
2 2 1x y
Solución
Para aplicar nuestra formula, primero necesitamos parametrizar a la curva C. Recordemos
que el circulo unitario se puede parametrizar por medio de las ecuaciones
cosx t y sent
y la mitad superior del circulo se describe por el intervalo del parámetro 0 t . Por lo
tanto, la fórmula (1) proporciona
2 2 2 2
0
2 2 2
0
2
0
3
0
(2 ) (2 cos . ) [ '( )] [ '( )]
(2 cos . ) ( ) (cos )
(2 cos . )
(2 cos )
22
3
Cx y ds t sent x t y t dt
t sent sent t dt
t sent dt
t t
Ejemplo 2.- Calcular la integral curvilínea 2 2( ) ,n
Cx y ds donde C es la circunferencia
cos ,x a t y a sent .
Solución
La curva C en forma paramétrica es dado por:
: ( ) ( cos , ) , 0 2 '( ) ( , )C t a t a sent t t a sent acos t
22 2 2 2 2 2
0
2 22 2 1
0 0
2 1
( ) (( cos ) ( ) ) [ ] [ cos ]
( )
2
n
C
n n
n
x y ds a t a sent a sent a t dt
a adt a dt
a
Ejemplo 3.- Calcular ,xy ds donde es la cuarta parte de la elipse
2 2
2 21
x y
a b situado
en el primer cuadrante.
Solución
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 6
Primero parametrizamos a la elipse cos
[0, ]2
x a tt
y b sent
El camino sobre la cual se pide integrar es el arco de elipse AB cuya ecuación
paramétrica es ( ) ( cos , ) , [0, ]2
t a t bsent t
donde '( ) ( , )t a sent bcos t . Luego, la
integral de línea es:
2 2 2 22
0
2 2 2 22
0
2 2 2 22
0
cos s cos
cos s (1 )
cos s ( )
xy ds a t b ent a sen t b tdt
ab t ent a sen t b sen t dt
ab t ent b a b sen tdt
Para calcular esta integral, hacer el siguiente cambio de variable 2 2 2 2( )b a b sen t ,
2 22( ) cosd a b sent t dt .
3 22 2 2 2 2
2 2
0
3 32 2 2 22 2
2 2
3 3
2 2
[ ( ) ]3( )
[ ( )] [ ] )3( )
( )3( )
abxy ds b a b sen t
a b
abb a b b
a b
aba b
a b
Suponga que C es una curva suave por segmentos; es decir, C es una unión finita de curvas
suaves 1 2, ,..., nC C C donde, de acuerdo con la figura de abajo
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 7
El punto inicial de 1iC es el punto final de
iC .Entonces, se define la integral de f a lo
largo de C como la suma de las integrales
1
( , ) ( , )i
n
C Cf x y ds f x y ds
Con frecuencia se necesita parametrizar un segmento rectilíneo, de modo que es útil
recordar que una representación vectorial del segmento rectilíneo que inicia en 0r y termina
en 1r se define con
0 1( ) (1 ) , 0 1r t t t t r r
Ejemplo 4.- Evalúe 2C
xds , donde C consta del arco 1C de la parábola 2y x desde (0,0)
a (1,1) seguido por el segmento rectilíneo 2C desde (1,1) hasta (1,2) .
Solución
La curva C se ilustra en la figura siguiente
El arco 1C es la gráfica de una función de x , de modo que elija x t como el parámetro y
las ecuaciones de 1C se vuelven
2 0 1x t y t t
Por lo tanto
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 8
1
12 2 32 2
2 2
1 10
1 2 5 5 12 2 2 1 4 (1 4 )
4 3 6C
dx dyx ds t dt t t dt t
dt dt
En 2C parametrizamos del siguiente modo
2 : ( ) (1 )(1,1) (1,2)C r t t t
1 1 0 1x y t t
2
2 21 1
0 02 2(1) 2 2
C
dx dyxds dt dt
dt dt
Por lo tanto, 1 2
5 5 12 2 2 2
6C C Cx ds x ds x ds
Ejemplo 5.- Evalúe 2 2x y
Ce ds
, donde C es un circuito limitado por las curvas
, 0 ,4
r a
( ,r son coordenadas polares)
Solución
La gráfica de C es:
El circuito es C OA AB BO . A continuación parametrizaremos cada uno de los
caminos que forman toda la curva.
a) La parametrización de AB , es : cos , , [0, ]4
x a t y a sent t
donde
( ) ( cos , ) , [0, ]4
t a t a sent t
. De esto se tiene '( ) ( , cos ) y '( )t a sent a t t a .
b) La parametrización de OA es ( ) ( ,0) , [0,1]t at t . De esto se tiene
'( ) ( ,0), '( )t a t a
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 9
c) La parametrización de OB es 2 2
( ) ( , ) , [0,1]2 2
a t a tt t , de donde se tiene
2 2'( ) ( , ) , '( )
2 2
a at t a
Luego la integral será:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 10 cos s 2 24
0 0 0
1 14
0 0 0
( 1) ( 1)4 4
x y x y x y x y
C OA AB BO
a t a t
a t a t a en t
BO OB
at a at
a a a a
e ds e ds e ds e ds
e at e at e at ds ds
e at e at e at
e ae e ae
Integrales de línea respecto de coordenadas variables
Se obtiene una clase diferente de integral de línea si en la ecuación (1) de la definición 1 se
reemplaza is por
1i i ix x x o 1i i iy y y . A estas integrales se les llama
integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x yy y se definen como:
* *
1
* *
1
( , ) lim ( , )
( , ) lim ( , )
n
i i iC n
i
n
i i iC n
i
f x y dx f x y x
f x y dy f x y y
Las fórmulas siguientes establecen que las integrales de línea con respecto a x y a y
también se pueden evaluar expresando todo en términos de :t ( ) , ( )x x t y y t
'( ) , '( ) .dx x t dt dy y t dt
( , ) ( ( ), ( )) '( )
( , ) ( ( ), ( )) '( )
b
C a
b
C a
f x y dx f x t y t x t dt
f x y dy f x t y t y t dt
A menudo sucede que las integrales de línea con respecto a x y y se presentan juntas.
Cuando esto sucede, se acostumbra abreviarlas escribiendo
( , ) ( , ) ( , ) ( , )C C C
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 10
Ejemplo 6.- Calcular la integral de línea 2 2
5/3 5/3,
C
x dy y dx
x y
donde C es la cuarta parte de la
astroide 3 3cos , ,x R t y Rsen t desde el punto ( ,0)R hasta el punto (0, )R
Solución
La curva parametrizada es dado por: 2 3 3:[ , ] / ( ) ( cos , ) , 02
r a b R r t R t Rsen t t
3 2
3 2
cos 3 cos .:
3 .cos
x R t dx R t sent dtC
y Rsen t dy Rsen t t dt
2 2 2 6 2 2 6 2
25/3 5/3 5/3 5 5/3 50
7 2 7 2/2
4/3
5 50
5 5 2 2 4/3/2
/2
05 50
cos (3 .cos ) ( 3 cos )
cos
cos . cos3
cos
(cos ) cos 3 4( ) /
cos 8 4
C
x dy y dx R t Rsen t t R sen t R t sentdt
x y R t R sen t
t sen t sen t tR dt
t sen t
t sen t sen t t R sen tdt t
t sen t
4/33
16
R
Ejemplo 7.-Calcular la integral de línea 2
2 22 2
2
4C
x dx ydy
x yx y
, donde C es el arco de
parábola 2
2
xy de (0,0) hasta (2,2).
Solución
Sea 2
: , 0 22
xC y x una curva plana
2 2 22
42 22 2 4022
222 2
220 0
2 2.
4 24
44
2 4[ 2 4 2ln 16 ]
164
54 2ln
4
C
x dx ydy x dx x xdx
xx yx y x xx
x xdx x x
xx
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 11
INTERALES DE LINEA EN EL ESPACIO
Definición 1.- Ahora suponga que C es una curva en el espacio que definen la ecuaciones
parametricas
( ) ( ) ( )x x t y y t z z t a t b
o la ecuación vectorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t i j+ z . Si f es una función de tres variables que
es continua en alguna región que contiene a C, entonces defina la integral de línea de f a
lo largo de C (con respecto a la longitud de arco), de manera similar a la de las curvas
planas:
* * *
1
( , , ) lim ( , , )n
i i i iC n
i
f x y z ds f x y z s
………. (4)
La cual se evalúa usando la siguiente formula
2 2 2
( , , ) ( ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( ))b b
C a a
dx dy dzf x y z ds f r t r t dt f x t y t z t dt
dt dt dt
.. (5)
Nota.- Aquí sucede lo mismo que para el caso de un campo escalar en dos variables, es
decir, si cambiamos la orientación de la curva, la integral de línea de la formula (5) cambia
de signo.
En el caso especial de ( , , ) 1f x y z , se obtiene
( ( )) '( )b
C ads f r t r t dt L
Donde L es la longitud de la curva C.
Las integrales de línea a lo largo de C con respecto a , y x y z también se pueden definir de
forma similar. Por ejemplo
* * *
1
( , , ) lim ( , , )
( ( ), ( ), ( )) '( )
n
i i i iC n
i
b
a
f x y z dz f x y z z
f x t y t z t z t dt
Por lo tanto como sucede con las integrales de línea en el plano, evalúe las integrales de la
forma
( , , ) ( , , ) ( , , )C
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ……………… (6)
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 12
Expresando todo ( , , , , , )x y z dx dy dz en términos del parámetro t .
Ejemplo 8.- Evalúe C
ysen z ds , donde C es la hélice circular dada por las ecuaciones
cos , , , 0 2x t y sent z t t .
Solución
El resultado con la fórmula (5) es
2 2 22
0
2 22 2 2
0 0
( )
11 2 (1 cos 2 )
2
2
C
dx dy dzysen z ds sent sent dt
dt dt dt
sen t sen t cos t dt t dt
Ejemplo 9.- Evalúe C
ydx z dy xdz , donde C consta del segmento rectilíneo 1C desde
(2,0,0) hasta (3,4,5) seguido por el segmento vertical 2C desde (3,4,5) hasta (3,4,0) .
Solución
La curva C se ilustra a continuación
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 13
Al aplicar la ecuación de la recta se tiene que 1C se puede expresar como
( ) (1 ) 2,0,0 3,4,5 2 ,4 ,5r t t t t t t
O bien, en forma paramétrica, como
( ) 2 ( ) 4 ( ) 5 0 1x t t y t t z t t t
Por lo tanto,
1
1
0
12
1
00
(4 ) 5 .4. (2 )5
(10 29 ) 10 29 24.52
Cy dx z dy xdz t dt t dt t dt
tt dt t
De manera similar, 2C se puede expresar en la forma
( ) (1 ) 3,4,5 3,4,0 3,4,5 5r t t t
O bien, en forma paramétrica
( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 5 0 1x t y t z t t t
Entonces 0dx dy , de modo que
2
1
03( 5) 15
Cy dx z dy xdz dt
Al sumar los valores de estas integrales
24.5 15C
y dx z dy xdz
Ejemplo 10.- Hallar 2 2 2( )C
x y z ds , donde C es la parte de la hélice circular
( ) cos , ( ) , ( ) (0 2 )x t a t y t asent z t bt t
Solución
Si hacemos
2 2
( ) ( cos , , ),0 2 , '( ) ( , , )
'( )
t a t asent bt t t a sent acost b
t a b
Entonces la integral se calcula de la siguiente forma:
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 14
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
( ) ( cos )
2( ) (3 4 )
3
Cx y z ds a t a sen t b t a b dt
a b a b t dt a b a b
Aplicaciones de la integral curvilínea
Cualquier interpretación física de una integral de línea ( , )C
f x y ds depende de la
interpretación física de la función f . Suponga que ( , )x y representa la densidad lineal en
un punto ( , )x y de un alambre delgado con forma de la curva C . Entonces la masa de la
parte del alambre desde 1iPhasta
iP de la figura
Es de alrededor de * *( , )i i ix y s y entonces la masa total del alambre es de casi
* *( , )i i ix y s . Al considerar más y más puntos de la curva se obtiene la masa m del
alambre como el valor límite de estas aproximaciones, es decir:
* *
1
lim ( , ) ( , )n
i i iCn
i
m x y s x y ds
El centro de masa del alambre con función de densidad se sitúa en el punto ( , )x y ,
donde:
1( , )
1( , )
C
C
x x x y dsm
y y x y dsm
……………………………… (3)
Ahora si 3:C , es la función densidad de la masa del alambre, entonces la masa
del alambre recorrido por la curva C es ( , , )C
m x y z ds , de donde el centro de masa del
alambre es el punto ( , , )x y z siendo:
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 15
( , , ) ( , , ) ( , , ); ;C C C
x x y z ds y x y z ds z x y z dsx y z
m m m
Ejemplo 11.- Hallar la masa de una cuarta parte de la elipse 2 2
2 21
x y
a b , situada en el
primer cuadrante si la densidad en cada punto es igual a la ordenada de ese punto
Solución
Se pide hallar ( , )C
m x y ds . Primero parametrizamos a la elipse. Como ya hemos visto
anteriormente, la parametrización de esta curva es ( ) ( cos , ) , [0, ]2
t a t b sent t
. Luego
'( ) ( , cos )t a sent b t . Del problema se tiene que la densidad es ( , )x y y .
Ahora reemplacemos nuestros datos en la formula
2 2 2 22
0
2 2 2 22
0
2 21 2 2
( , )
( )
sin ( )2 2
C Cm x y ds y ds
b sent a sen t b cos tdt
b sent a b a cos tdt
b a b cdonde c = a b
c a
cNota.- Aquí se ha hecho el cambio u=e.cost , e=
a
Ejemplo 12.- Un alambre toma la forma de un semicírculo 2 2 1 , 0x y y y es más
grueso cerca de la base que cerca de la parte superior. Calcule el centro de masa del
alambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distancia desde la
recta 1y .
Solución
Como en el ejemplo 1, use la parametrización cos , , 0 ,x t y sent t y determine que
ds dt . La densidad lineal es
( , ) (1 )x y k y
Donde k es una constante, y entonces la masa del alambre es
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 16
0
0
(1 ) (1 )
cos ( 2)
Cm k y ds k sent
k t t k
Ahora, utilizando las ecuaciones 2
2
0
1 1( , ) (1 )
( 2)
1 1 1( ) [ cos 2 ]
( 2) ( 2) 4
4
2( 2)
C C
C
y y x y ds yk ym k
sent sen t dt t sen t
Por simetría 0,x de modo que el centro de masa es
4(0, ) (0,0.38)
2( 2)
Ejemplo 13.- Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular.
1( ) (cos ) , 0 6
2r t t sent t t i + j+ k
Donde la densidad del resorte es ( , , ) 1x y z z , como se muestra en la figura
Solución
Como
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 17
Se sigue que la masa del resorte es
6
0
62
0
(1 ) (1 )2
2 2
36 (1 ) 144.47.
2
C
tz ds dt
tt
Masa
Integral de línea de un campo vectorial
Sea F un campo vectorial continuo sobre una curva suave C dada por una función vectorial
( )r t , a t b . Entonces la integral de línea de F a lo largo de C es
( ( )) '( )b
C ad t t dt F r F r r
Debemos de tener en cuenta que ( ( ))tF r es sólo una forma de abreviar ( ( ), ( ), ( ))x t y t z tF , de
modo que evalué ( ( ))tF r haciendo simplemente ( ) , ( ) , ( )x x t y y t z z t en la
expresión para ( , , )x y zF . Observe también que puede escribir formalmente '( )d t dtr r .
Observación.- Una de las aplicaciones más importantes de las integrales de línea es la de
hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas a lo largo
de una curva o trayectoria ( )r t .
Ejemplo 14.- Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza 2( , )F x y x xy i - jcuando mueve una partícula a lo largo del cuarto de circulo
( ) (cos , )t t sentr 02
t
.
Solución
Puesto que cos ,x t y sent se tiene que
2F(r( )) cos i cos j y r '( ) i cos jt t t sent t sent t
Por lo tanto el trabajo hecho es
2 22
0 0
23
0
( ( )) '( ) 2cos .
cos 22
3 3
Cd t t dt t sent dt
t
F r F r r
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 18
Ejemplo 15.- Evalúe C
d F r , donde 2( , , )x y z x xy zxF i - j+ k y C es la cúbica torcida
definida por 2 3, , 0 1x t y t z t t
Solución
Tiene 2 3( )r t t t t i + j+ k y 2'( ) 2 3r t t t i+ j+ k , 3 5 4( ( ))t t t tF r i + j+ k .
Por lo tanto,
1
0
14 7
13 6
00
( ) '( )
5 27( 5 )
4 7 28
Cd t r t dt
t tt t dt
F r = F(r )
=
Ejemplo 16.- Hallar el trabajo realizado por el campo fuerzas
1 1 1( , , )
2 2 4(campo dF =- i - j e fue+ rzas F)kx y z x y
Sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por
( ) (cos ) (Curva C en el espacio= i j+ k )r t t sent t
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 19
Solución
Como ( ) ( ) ( ) ( ) (cos )= i j+ k = i j+ kr t x t y t z t t sent t se sigue que ( ) cos , ( )x t t y t sent ,
( )z t t . Por tanto, el campo de fuerzas puede expresarse como
1 1 1( ( ), ( ), ( )) cos
2 2 4F =- i - j+ kx t y t z t t sent
Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo de
la curva C, se utiliza el hecho de que
'( ) cos= i j+kr t sent t
y se escribe lo siguiente .
3
0
3
0
3
0
( ), ( ), ( ) '( )
1 1 1cos ( cos )
2 2 4
1 1 1cos cos
2 2 4
1 3
4 4
F r = F( ) r
= - i - j+ k i j+k
-
b
C aW d x t y t z t t dt
t sent sent t dt
t sent sent t dt
t
Para finalizar se hace notar la relación entre las integrales de línea de los campos
vectoriales y las integrales de línea de los campos escalares. Suponga que el campo
vectorial F sobre 3 está definido en la forma de componentes mediante la ecuación
P Q RF= i+ j+ k .
( ) '( )
( ) ( '( ) '( ) '( ) )
[ ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( )]
( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( (
b
C a
b
a
b
a
b b
a a
d t r t dt
P Q R x t y t z t dt
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x
F r = F(r )
= i+ j+ k i+ j+ k
+
), ( ), ( )) '( )b
a
C
t y t z t z t dt
Pdx Qdy Rdz
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 20
Por ejemplo, la integral C
ydx zdy xdz se podría expresar como C
d F r donde
y z xF= i+ j+ k
Notación.- Cuando C es una curva cerrada, a la integral de línea del campo vectorial F a lo
largo de C se le denota por C
F.Tds . En este caso algunos problema se resuelven fácilmente
aplicando el Teorema de Green o el teorema de Stokes, según estemos en 2 3o ,
respectivamente. Esta última observación la aplicaremos en las sesiones siguientes.
Problemas Propuestos
Calcular la integral de línea de los siguientes ejercicios
1. Calcular la integral ( )C
x y ds , donde C es la circunferencia 2 2x y ax
2. Calcular la integral C
dsds
x y , donde C es el segmento de recta 1
22
y x desde el
punto (0, 2)A hasta (4,0)B .
3. Calcular 2 2
Cx y ds , donde C es la circunferencia 2 2x y ax
4. Calcular 4 4
3 3
Cx y ds , donde C es el arco del astroide
2 2 2
3 3 3x y a
5. Calcular C
y ds , donde C es el arco de la lemniscata 2 2 2 2 2( ) ( )x y a x y
6. Calcular 2
Cy ds , donde C es el primer arco de la cicloide
( ) ( ) , ( ) (1 cos )x t a t sent y t a t
7. Calcular la integral 2 2 4C
dsds
x y , donde C es un segmento de recta que une los
puntos (0,0) (1,2)y O A
8. Calcular el valor de la integral l
dsds
x y donde l es el rombo con vértices
(1,0)A , (0,1) , ( 1,0) , (0, 1)B C D
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 21
9. Calcular la integral Lxyzds , donde L es la intersección de las superficies
22 2 2 2 2 2,
4
Rx y z R x y , situado en el primer octante.
10. Calcular C
xzdx xdy yzdz a lo largo de la curva 1 2 3C C C C , donde
1C es un
arco de circunferencia con centro en (0,0,0) que parte en (0,0,1) y termina (1,0,0) ,2C es
un segmento de recta que parte de (1,0,0) hasta (0,1,0) y 3C también es un segmento de
recta que parte en (0,1,0) y termina en (0,1,1) .
11. Calcular F.dr si ( , , ) ( , , )F x y z xy yz xz y es la intersección de las superficies
2 2 1 1yx y x y z recorrida en sentido antihorario vista desde la parte superior
de z .
12. Calcular (y z)dx (x z)dy (x y)dz donde es la curva de intersección del
cilindro 2 2 2x y y con el plano y z .
13. Hallar la masa total del alambre cuya forma es la de la curva y x , con 1 1x , si
la densidad de cada punto P de él es igual al valor absoluto del producto de las
coordenadas del punto.
14. Hallar la masa de un fragmento de la línea lny x comprendido entre los puntos cuyas
abscisas son 1 2,x x si la densidad de la línea en cada punto es igual al cuadrado de la
abscisa del punto
15. Hallar la masa del arco de línea ( ) cos , ( ) ,t t tx t e t y t e sent z e desde el punto
correspondiente a 0t , hasta el punto cualquiera si la densidad del arco es
inversamente proporcional al cuadrado del radio polar ( 2 2 2r x y z ).
16. Hallar el centro de masa de una pieza de alambre de densidad constante enrollada en la
forma de la hélice ( ) (4cos ,4 ,3 ) , [0, ]r t t sent t t
17. Hallar el centro de masa (centro de gravedad) de la primera semiespira de la hélice
( ) cos , ( ) , tx t a t y t asent z be , considerando la densidad constante.
_________________________________________________________________________
Departamento de Ciencia-Cajamarca 22
18. Un objeto recorre una elipse 2 2 2 2 2 2b x a y a b en sentido antihorario y se encuentra
sometido a la fuerza ( , ) ( , )2 2
y xF x y . Hallar el trabajo realizado.
19. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas 2 2( , , ) ( 2 , 3 ,2 4 )F x y z x y z x y z xz y al mover una partícula alrededor de la
curva cerrada 2
2 1 , 24
xy z en sentido antihorario.
20. Calcular el trabajo que realiza la fuerza 2 24 2( 1) 4
( , , ) ( , , )( , ) ( , ) ( , )
xy x y xyzF x y z
A x y A x y A x y
,
donde: 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 ( 1)A x y x y y x y para mover una partícula alrededor de
la circunferencia 2 2 2 0 , 0x y x z .
Top Related