La Circunferencia. Prof. Cesar Lozano DíazMtro. J. S. Beltrán León
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Está dada de la forma:
El único dato que se requiere SABER es: ¡el radio !
(0,0)
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
• Hay que tomar en cuenta que en la ecuación está implícito que “r” está al cuadrado.Es decir si una ecuación está dada como :
Entonces, el radio es la raíz del número que se encuentra en la ecuación:
2 2 25x y
2 25r
25r
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Algunos ejemplos:
Determine la ecuación de la circunferencia concentro en el origen y pasa por el punto P(3,4).
• Primer paso: para su solución, habrá que determinar el tamaño del radio; éste se obtiene mediante la ecuación de “la distancia entre dos puntos”
Los puntos son:
2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y
1
2
0
3
x
x
1
2
0
4
y
y
d 9 16 25
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
• Segundo paso: ya que se tiene la distancia de la recta, la cual no es sino el radio de la circunferencia, se determina la ecuación.
Luego, la ecuación de la circunferencia es:
22 2r 25 , r 25 , r 25
2 2x y 25
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Ecuación de la circunferencia con origen distinto al origen de coordenadas (0,0).
• Está dada de la forma:2 2 2( ) ( )x h y k r
Coordenadas donde parte el trazo del radio
¡Cuidado!
h: Es la coordenada correspondiente a la abcisa (el eje de las x)
k: Es la coordenada correspondiente a la ordenada (el eje de las y)
¡Cuidado! Un error muy común es no tomar en cuenta los signos al sustituir los valores (h, k)
k
h
C
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
La ecuación anterior nos lleva a definir:
• Una ecuación que determine la forma general de una circunferencia.
• Una ecuación que ayude a encontrar la forma en cómo se comporte una circunferencia en el plano, dado el radio y el centro de la misma.
• Una ecuación que permita definir cuál sería su radio y centro de la misma, solo teniendo ese dato.
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
La cual tiene la forma:
• Si se desarrollan los polinomios de la ecuación:
llegamos a ecuación general.
2 2 0x y Dx Ey F
2 2 2( ) ( )x h y k r
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Utilizando lo anterior:
• Por lo común se pedirán que se encuentre la ecuación, dado el radio (r) y los puntos de origen (h, k).
Si el radio es 5 y el punto de origen es (3, 4):
Desarrollando:
Agrupando:
Tiene la forma general:
2 2 2( ) ( ) ( )3 4 5x y 2 26 9 8 1 5 026x x y y
2 2 6 8 00x y x y 2 2 0x y Dx Ey F
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Por analogía se puede determinar:
Que si tengo la ecuación, puedo partir hacia ¡atrás!Hay que definir cómo hacerlo :• Necesito saber cuál era el punto de origen (h, k) cuyas forma de obtenerlos
es mediante:
• Necesito saber cuál es el radio que de ¡esa circunferencia!
¡Cómo lo obtengo!
2 2 0x y D x E y F
2h
Dx
2
kE
y
2 2r h k F
Ejemplo:
Determine si se trata de una circunferencia y grafique:
Como tiene la forma general de una circunferencia podemos afirmar que sí.
Obteniendo el punto del origen (x, y) = (h, k)
Solo falta obtener el radio:
Esto es (-4, 3)
2 2 8 6 3 0x y x y
4
( )
8
26
32
h
k
2 2( 4) (3) 3 25 3 22 4.6r
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2
Top Related