La Circunferencia. Prof. Cesar Lozano DíazMtro. J. S. Beltrán León

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Está dada de la forma:

El único dato que se requiere SABER es: ¡el radio !

(0,0)

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Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

• Hay que tomar en cuenta que en la ecuación está implícito que “r” está al cuadrado.Es decir si una ecuación está dada como :

Entonces, el radio es la raíz del número que se encuentra en la ecuación:

2 2 25x y

2 25r

25r

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Algunos ejemplos:

Determine la ecuación de la circunferencia concentro en el origen y pasa por el punto P(3,4).

• Primer paso: para su solución, habrá que determinar el tamaño del radio; éste se obtiene mediante la ecuación de “la distancia entre dos puntos”

Los puntos son:

2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y

1

2

0

3

x

x

1

2

0

4

y

y

d 9 16 25

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• Segundo paso: ya que se tiene la distancia de la recta, la cual no es sino el radio de la circunferencia, se determina la ecuación.

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

22 2r 25 , r 25 , r 25

2 2x y 25

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Ecuación de la circunferencia con origen distinto al origen de coordenadas (0,0).

• Está dada de la forma:2 2 2( ) ( )x h y k r

Coordenadas donde parte el trazo del radio

¡Cuidado!

h: Es la coordenada correspondiente a la abcisa (el eje de las x)

k: Es la coordenada correspondiente a la ordenada (el eje de las y)

¡Cuidado! Un error muy común es no tomar en cuenta los signos al sustituir los valores (h, k)

k

h

C

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La ecuación anterior nos lleva a definir:

• Una ecuación que determine la forma general de una circunferencia.

• Una ecuación que ayude a encontrar la forma en cómo se comporte una circunferencia en el plano, dado el radio y el centro de la misma.

• Una ecuación que permita definir cuál sería su radio y centro de la misma, solo teniendo ese dato.

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La cual tiene la forma:

• Si se desarrollan los polinomios de la ecuación:

llegamos a ecuación general.

2 2 0x y Dx Ey F

2 2 2( ) ( )x h y k r

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Utilizando lo anterior:

• Por lo común se pedirán que se encuentre la ecuación, dado el radio (r) y los puntos de origen (h, k).

Si el radio es 5 y el punto de origen es (3, 4):

Desarrollando:

Agrupando:

Tiene la forma general:

2 2 2( ) ( ) ( )3 4 5x y 2 26 9 8 1 5 026x x y y

2 2 6 8 00x y x y 2 2 0x y Dx Ey F

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Por analogía se puede determinar:

Que si tengo la ecuación, puedo partir hacia ¡atrás!Hay que definir cómo hacerlo :• Necesito saber cuál era el punto de origen (h, k) cuyas forma de obtenerlos

es mediante:

• Necesito saber cuál es el radio que de ¡esa circunferencia!

¡Cómo lo obtengo!

2 2 0x y D x E y F

2h

Dx

2

kE

y

2 2r h k F

Ejemplo:

Determine si se trata de una circunferencia y grafique:

Como tiene la forma general de una circunferencia podemos afirmar que sí.

Obteniendo el punto del origen (x, y) = (h, k)

Solo falta obtener el radio:

Esto es (-4, 3)

2 2 8 6 3 0x y x y

4

( )

8

26

32

h

k

2 2( 4) (3) 3 25 3 22 4.6r

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