1. SERIE EDUCATIVA: EDUCACIN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO
HUMANO FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGENSES Este texto es
propiedad del Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de
Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin parcial o total.
Matemtica Educacin Secundaria Matemtica 7GRADO 7Educacin Secundaria
GRADO h g r Programa de Apoyo al Sector de Educacin en Nicaragua P
R O S E N REPBLICA DE NICARAGUA
2. Coordinacin General, Revisin y Asesora Tcnica Profesora Mara
Elsa Guilln Profesora Rosala Ros Rivas Autor Profesor Bernardo
Enrique Baltodano Orozco Revisin Tcnica General Profesora Rosala
Ros Rivas Revisin y Asesora Tcnica Cientfica Profesor Francisco
Emilio Daz Vega Profesor Humberto Antonio Jarqun Lpez Sociedad
Matemtica de Nicaragua Profesor Ivn Augusto Cisneros Daz Profesor
Jorge Alberto Velsquez Benavidez Diseo y Diagramacin Ramn Nonnato
Morales Rger Alberto Romero Miguel ngel Mendieta Rostrn con
colaboracin de Andrea Rudez Iras Ilustracin Rger Alberto Romero
Fuente de Financiamiento PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN
Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de
Nicaragua y de los docentes durante el proceso de validacin.
Primera Edicin___________ Todos los derechos son reservados al
Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Este
texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED) , de la
Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin total o
parcial. La presente publicacin ha sido reproducida con el apoyo de
la Unin Europea a travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en
Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad
exclusiva del MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja
los puntos de vista de la Unin Europea.
3. PRESENTACIN El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional,
a travs del Ministerio de Educacin (MINED), entrega a docentes y a
estudiantes de Educacin Secundaria, el libro de texto de Matemtica
en el cual se desarrollan los cinco pensamientos: aleatorio,
numrico, variacional, mtrico y espacial. La Matemtica es una
herramienta esencial en campos como las ciencias de la Tierra y la
naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computacin, la
arquitectura, la ingeniera y en la vida cotidiana. El propsito
fundamental del texto es propiciar en los estudiantes un papel ms
activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con
los conocimientos planteados en el libro, permitindoles que
complementen lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar y
profundizar en aquellos aspectos que explic su docente y prepararse
para la evaluacin. El libro de texto a travs de sus contenidos y
actividades contribuye a la formacin en valores individuales,
comunitarios y sociales; los que se reflejarn en el comportamiento
de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo. El libro
de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y
cuidarlo con esmero, permitir que otros compaeros que estn en los
grados que les anteceden tambin puedan hacer uso de l, en su
proceso de aprendizaje. Esto significa que el libro de texto es una
propiedad social por tanto se debe cuidar porque no solo a usted le
ser de ayuda, sino que dependiendo del cuido que le d, tambin le
ser de provecho a otros, razn por la que le sugerimos lo forre, no
lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa ser su
contribucin desinteresada y solidaria, con los prximos estudiantes
que utilizarn este libro. Ministerio de Educacin
4. Introduccin El presente texto corresponde a los contenidos
del rea de matemtica de sptimo grado de educacin media. La
estructura del libro de texto es la siguiente: CC Portada del
libro. CC Introduccin. CC ndice. CC Contenido por unidad, temas y
subtemas. CC Glosario CC Bibliografa y webgrafa. Los conceptos y
definiciones se desarrollan partiendo de las competencias,
indicadores de logros y contenidos del programa oficial de
matemtica del Ministerio de Educacin (MINED). El texto en su
interior est dividido en dos columnas, en la columna derecha se
desarrolla el contenido de la asignatura iniciando con un ejemplo
del entorno, luego el concepto, la definicin, el procedimiento y
culminando con ejemplos y ejercicios.
Enlacolumnaizquierda,sepresentainformacinalterna,biografas,curiosidadesmatemticas
y actividades de reforzamiento, para complementar sus conocimientos
en la asignatura. El texto contiene los siguientes conos (imgenes
que orientan una serie de actividades e informacin) e i +1 = 0
Aprenda un poco ms. Ma tem tic a 7 Sabas qu? Tome nota.
5. Ma tem tic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Ma tem tic
as 7 Ejemplo. RAR H2 Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno. Trabajo en
equipo. Al final de cada unidad, se le presenta ACTIVIDADES
FINALES, para la consolidacin del contenido y prepararse para la
evaluacin de los indicadores de logros orientado en los programas.
El estudiantado debe comprender que el estudio de LAMATEMTICAes
parte de su formacin cultural y por tanto, debe estar claro que es
necesario saber Matemtica y poder aplicarla en los problemas de su
entorno y tener una base slida para el octavo grado. As tambin, los
estudiantes deben tomar en cuenta que la consulta e investigacin,
es una de las herramientas fundamentales para la consolidacin y
profundizacin de los diferentes temas. Es por eso que en este libro
le facilitamos una webgrafa para facilitarle la bsqueda, por
Internet, de la informacin que necesita para reafirmar, ampliar,
consolidar y profundizar los diferentes contenido de las clases y
poder llevarlo a la prctica es su vida cotidiana.
6. ndice Primera Unidad: Estadstica Teora de conjuntos (I)2
Conjunto. Elemento. Pertenencia2 Conjunto universal. Conjunto vaco5
Estadstica8 Poblacin. Persona o individuo. Muestra9 Variable
Cualitativa y Cuantitativa11 Tablas de Frecuencias y de Categoras14
Tipos de Frecuencias 16 Grficos Estadsticos18 Diagrama de sectores
(circulares o de pastel)18 Histograma.20 El polgono de
frecuencias22 Ojiva22 Pictogramas23 Medidas de tendencia central
con datos no agrupados26 La media aritmtica.27 La mediana28 La
moda30 Segunda Unidad: Conjunto de los nmeros enteros Teora de
Conjuntos (II) 42 Tipos de conjuntos42 Conjunto finito y conjunto
infinito44 Representacin grfica de conjuntos45 Nmero natural46
Propiedades del conjunto 48 Relaciones de orden en el conjunto de
los nmeros naturales48 Operaciones en el conjunto 50 Adicin50
Sustraccin51 Multiplicacin52 Divisin54 Operaciones combinadas con
nmeros naturales. Jerarqua de las operaciones55 Resolucin de
problemas55 El conjunto de los nmeros enteros 56 Nmero entero 57
Estructura del conjunto 59 Nmeros opuestos59 Valor absoluto de un
nmero entero60 Orden en el conjunto de los nmeros enteros
(Propiedad de Tricotoma)61 Operaciones en el conjunto 62 Adicin de
nmeros enteros.62 Sustraccin de nmeros enteros63 Multiplicacin de
nmeros enteros64 Divisin de nmeros enteros64 Potenciacin con base
entero y exponente entero. Propiedades65 Propiedades de la
potenciacin69 Expresiones aritmticas. Jerarqua de las
operaciones70
7. Actividades finales de la segunda unidad74 Tercera Unidad:
Conjunto De Los Nmeros Racionales Teora de conjuntos (III). 76
Operaciones con conjuntos.76 Propiedades de las operaciones con
conjuntos.80 Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos.80 Operaciones combinadas con conjuntos.81 El Conjunto de
los Racionales 84 Introduccin84 Los dominios numricos , y .85
Comparacin de nmeros enteros86 Definicin. Fraccin.88 Grfica de una
fraccin89 Fracciones equivalentes.91 Amplificacin de fracciones. 92
Simplificacin de fracciones. 93 Fraccin irreducible. 93 El conjunto
de los nmeros Racionales . 94 Nmero racional .95 Clasificacin de
los nmeros racionales96 Orden en el conjunto de los nmeros
racionales.97 Operaciones con nmeros racionales. 99 Propiedades. 99
Adicin y sustraccin en .99 Propiedades de la adicin y la
multiplicacin en . 103 Divisin en 104 Fracciones continuas105
Notacin decimal de un nmero racional.106 Operaciones con nmeros
decimales.113 Adicin de nmeros decimales.113 Divisin de nmeros
decimales. 121 Notacin cientfica.123 Regla para redondear un nmero
racional.123 Potenciacin con base racional y exponente entero.127
Definiciones bsicas de la potenciacin en .128 Ley de los signos de
la potenciacin.129 Propiedades de la potenciacin en el conjunto .
129 Radicacin en .132 Propiedades de la radicacin en 132
Actividades finales de la tercera unidad134 Cuarta Unidad:
Proporciones Proporciones.136 Proporcionalidad.136 Proporcin138
Consecuencias de la propiedad fundamental de las proporciones.139
Clculo de un trmino de una proporcin.141 Variacin proporcional.146
Regla de tres.151 Regla de tres compuesta154 Reparto
proporcional.158 Reparto directamente proporcional.158
8. Reparto proporcional inverso.160 Porcentaje. Tanto por
ciento.162 Inters.166 Quinta Unidad: Relaciones Relaciones.172
Elementos de lgica.172 Tablas de verdad (I).178 La disyuncin. 181
Bicondicional.188 Tablas de verdad190 Relaciones196 Producto
cartesiano198 El plano cartesiano200 Representacin grfica del
producto cartesiano. 201 Relaciones203 Representacin grfica de : A
B.205 Sexta Unidad: Construccin de Figuras Geomtricas
Construcciones de figuras geomtricas.210 Breve resea histrica.210
Conceptos fundamentales de la geometra.211 Postulados de la recta,
plano y espacio.213 Relaciones de posicin entre puntos, rectas y
planos.215 Posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Semirrectas. Semiplanos.216 Longitud de un segmento.218 Punto medio
de un segmento.219 Rectas: paralelas, perpendiculares y oblicuas232
Construccin geomtrica233 ngulos formados por dos rectas
intersecadas por una recta transversal234 Polgonos235 Clasificacin
de los tringulos.237 Clasificacin de los Cuadrilteros.241 Sptima
Unidad: rea y Permetro de Tringulos y Cuadrilteros Otras unidades
de medidas de longitud 251 Permetro de tringulos y cuadrilteros.253
Distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional.253
Permetro de tringulos y cuadrilteros254 rea de tringulos y
cuadrilteros.257 reas de rectngulos y de paralelogramos.259 rea del
cuadrado.261 rea del romboide.264 rea del trapecio.266 rea del
tringulo.268 rea de un tringulo cualquiera. 268 rea del tringulo
rectngulo.270 rea del tringulo equiltero.270 rea de un tringulo
cualquiera dada la medida de sus tres lados.272 rea del
trapezoide.276
9. 9 Estadstica Unidad 1 ElHoyo:1050m Momotombo:1258m
Mombacho:1345m Concepcin:1610m Masaya:632m Maderas:1394m
Cosiguina:859m CerroNegro:728m Telica:1061m SanCristobal:1745m 1500
1000 500 0 2000 Altura de los Volcanes de Nicaragua El Gobierno de
Reconciliacin y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque
elico Comandante Camilo Ortega quien es considerado el Apstol de la
Unidad Sandinista. La unidad de todos los nicaragenses, unidos por
el Bien Comn de este pas, en reconciliacin y haciendo patria
siempre para este pueblo. Este parque elico cuenta con una
capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se encuentra ubicado en
el sureo departamento de Rivas. Con este se busca la transformacin
de la matriz energtica y la generacin de energa renovable, lo cual
conlleva a un impacto de menos costos de produccin y un mayor
benecio para las familias. Fuente: 19 digital 12 de Marzo 2014
10. 2 Teora de conjuntos (I) Conjunto. Elemento. Pertenencia
Conjunto. Cuando pensamos en un conjunto, nos imaginamos por
ejemplo, un grupo de objetos, un rebao de animales, una asociacin
de personas, nmeros con una caracterstica comn. No podemos definir
lo que es un conjunto, porque es un concepto primitivo, pero s
podemos expresar la idea intuitiva de un conjunto. Los conceptos de
conjunto, pertenencia y elemento son considerados como primitivos y
son la base de toda la teora de conjuntos. Intuitivamente, un
conjunto es una coleccin, clase o lista de elementos bien
definidos, o sea, con caractersticas comn que permitan decir, si el
elemento est o no est en el conjunto. Notacin. Los conjuntos se
simbolizan con letras maysculas: A, B, C etc. pero se pueden usar
otros smbolos previamente establecidos. Por ejemplo; la letra
denota el conjunto vaco o bien { }. Matem ticas 7 Area: Matemtica
fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo A = {x x es un lago de Nicaragua}
= {Cocibolca, Xolotln}. B = {x x es un nmero natural entre 10 y 25}
= {11,12,13,14,15, 16,17,18,19,20,21,22,23,24}. C= {x x es un nmero
primo menor que 29}={2,3,5,7,11,13,17,19,23} Matem ticas 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo En la matrcula del
Instituto Nacional de Oriente, un conjunto est formado por los
estudiantes matriculados del sexo masculino y femenino. Los
elementos del conjunto son cada estudiante de dicha matrcula.
Pertenencia. En el ejemplo anterior, la caracterstica de un
elemento del conjunto es que est matriculado en el Instituto.
Conjuntoescritopor comprensin: En l, se describe una caracterstica
propiedad numrica, etc. Se utiliza la notacin {x x...} Ej: A = {x x
es una vocal del alfabeto castellano} RAR H2 Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... Conjunto
escrito por extensin: se escribe entre llaves separando cada
elemento con una coma. Ej: A = {a,e,i,o,u} Historia de la Matemtica
La teora de conjuntos surge por estudios que se hicieron acerca de
los nmeros y sus propiedades. Las bases de estos estudios iniciales
se atribuyen a George Cantor, aunque muchos de estos temas han sido
identificados en la matemtica griega. Estos temas se incorporan
organizadamente a la matemtica a finales del siglo XIX y principios
del siglo XX. La palabra Matemtica viene del griego mathemata que
significa cosas que se aprenden.
11. 3 Un elemento x pertenece a un conjunto A, si x est en A.
Se simboliza x A y se lee el elemento x pertenece al conjunto A. Si
este elemento no est en el conjunto A, se simboliza x A y se lee el
elemento x no pertenece al conjunto A. Matem ticas 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los
conjuntos: a. A = {x x los nmeros naturales menores que 6} =
{1,2,3,4,5} b.B={x xlosnmerosparesmenoresque16}={2,4,6,8,10,12,14}
Entonces podemos decir que: 1 A, pero 1 B. 12 B, pero 12 A.
Inclusin: Sean A y B dos conjuntos. Si sucede que todo elemento de
A pertenece a B, se dice que A est incluido en B, o que es parte de
B, o que es subconjunto de B. Subconjunto Dados dos conjuntos A y
B. A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A pertenece
al conjunto B. Se simboliza A B y se lee el conjunto A es
subconjunto del conjunto B. La expresin B A significa que el
conjunto B contiene a todos los elementos del conjuntoA y significa
que todos los elementos de A estn en el conjunto B. Es decir; A es
un subconjunto de B y B es superconjunto de A. Matemtico francs,
conocido por sus notables contribuciones a la teora de los nmeros y
la geometra algebraica. Fue uno de los miembros fundadores del
influyente grupo Nicols Bourbaki. Utiliz por primera vez, el smbolo
(que representa el vaco) en 1 939. o es una letra vocal utilizada
en las lenguas danesa, feroesa y noruega aunque tambin en el
antiguo euskera, fonticamente suena casi como ir en bird o ur en
hurt en ingls, En dans, feros y noruego modernos, la letra es una
vocal nica (AFI []). En dans (y en la escritura conservadora bokml
del noruego), es una palabra en s que significa isla. Andr Weil 1
906 - 1 998
12. 4 Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas
7 Ejemplo Sean los conjuntos : los nmeros naturales. : los nmeros
primos. Entonces porque, cada nmero primo est en el conjunto de los
nmeros naturales. Tambin se simboliza que significa que el conjunto
contiene a todos los elementos del conjunto . Igualdad de
conjuntos. Dos conjuntos son iguales si son idnticos, es decir, si
tienen los mismos elementos. Igualdad de conjuntos. Dados los
conjuntos A y B. El conjunto A es igual al conjunto B si todo
elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece al
conjunto A. Se simboliza A = B. Matem ticas 7 Area: Matemtica
fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos: A = {x x es
una vocal de la palabra Misael}. B = {x x es una vocal de la
palabra encima}. Ambos conjuntos tienen los mismos elementos (las
vocales), por tanto A = B = {a,i,e} Trabajo en equipo a. Escribir
cinco conjuntos por extensin y comprensin. b. Escriba el conjunto
de los factores de 15. Un elemento pertenece a un conjunto si est
en el conjunto. Un conjunto est includo en otro conjunto si todos
sus elementos estn en el conjunto. Pero el trmino est no se debe
confundir. Pertenencia es una relacin entre elemento y conjunto.
Inclusin es una relacin entre conjuntos. Por ejemplo: Dados los
conjuntos: A: las vocales. B: las vocales a, i, u. Es aceptable a A
pero no es aceptable B A, lo correcto es B A. Los nmeros primos,
los nmeros pares y los impares son subconjuntos de los nmeros
naturales. Sabas qu? Ma tem tic a 7
13. 5 c. Escriba los nmeros primos menores que 10. d. Escriba
los factores de 30 menores que 6. e. Escriba dos conjuntos que sean
iguales. f. Escriba un conjunto que est contenido en otro. Conjunto
universal. Conjunto vaco En la teora de conjuntos, encontramos
situaciones en las que, los conjuntos considerados son subconjuntos
de algn conjunto conocido, que nos sirve de referencia. Conjunto
universal. Se denomina conjunto universal o universo al conjunto de
todos los elementos que intervienen en el tema o situacin de
inters. Se simboliza U. Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha:
27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Sean los conjuntos: A: Las
vocales. B: Las consonantes. C: El abecedario espaol. Sabemos que
las vocales y las consonantes estn en el abecedario espaol, por
tanto, C es el conjunto universo o sea C = U. Conjunto vaco y
conjunto unitario. Extendemos la nocin intuitiva de conjuntos a los
casos de carencia de elementos y de unicidad de elementos mediante
la introduccin de los conjuntos vaco y unitario. Conjunto vaco. Un
conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vaco y se
simboliza . HH Hijo de un agricultor, pudo estudiar gracias a la
ayuda de unos vecinos. HH A los 19 aos, DAlembert le consigue una
plaza como profesor en la Real Academia Militar. HH En la dcada de
los 70 presenta su primer trabajo sobre el sistema solar. HH En
1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencias de Pars. HH En
1789 es nombrado miembro de la Comisin de Pesos y Medidas, que
despus estableci el Sistema Mtrico Decimal. HH En 1816 es elegido
miembro de la Academia Francesa de la Lengua. En 1817, Luis XVIII
le otorga el ttulo de Marqus. Pierre Simn Laplace 1 749 - 1
827
14. 6 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as
7 Ejemplo Son conjuntos vacos: A = {x x la letra W de la palabra
Emilio} B = {x x los meses que tienen 27 das} Conjunto unitario. Un
conjunto que tiene solamente un elemento se denomina conjunto
unitario. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as
7 Ejemplo A = la vocal de la palabra sol. B = los nmeros naturales
entre 6 y 8. Trabajo en equipo 1. Dados los conjuntos siguientes: A
= {1, 2, 3, 4,5} B = {6, 7, 8, 9,10} C = {1, 2,10} D = {2, 4, 6,} E
= {1, 2, 3,} F = {2, 5, 1, 3,4} G = { } H = {0} Para qu sirve la
estadstica? La estadstica es mucho ms que solo nmeros apilados y
grficas bonitas. Es una ciencia con tanta antigedad como la
escritura, y es por s misma, auxiliar de todas las dems ciencias.
Los mercados, la medicina, la ingeniera, entre otros, se nombran
entre los ms destacados clientes de la Estadstica. La ausencia de
sta conllevara a un caos generalizado, dejando a los
administradores y ejecutivos sin informacin vital a la hora de
tomar decisiones en tiempo de incertidumbre. Tomado de: Manual de
Estadstica de David Ruz. Sabas qu? Ma tem tic a 7
15. 7 a.Cuntos elementos estn en el conjunto C? Cuntos en G?
b.Qu elementos son comunes al conjunto A y al conjunto B?
c.Contienen los mismos elementos el conjunto F y el conjunto E?
d.Determine un subconjunto del conjunto C entre los conjuntos dados
e. En el espacio en blanco indicado escriba el smbolo correcto
pertenece o no pertenece ; para ello tenga en cuenta los conjuntos
dados en el ejercicio anterior. a) 4____ A b) 1 ____ D c) 0 _____E
d) 0_____G e) 7 ____C f) 1979____D 2. Escriba los siguientes
conjuntos por extensin o comprensin segn sea el caso a. A = {x| x
es uno de mis docentes} b. B = {x| x es un departamento de
Nicaragua cuyo nombre comienza con G} c. C = {x| x es nmero par
entre 29 y 39} d. E = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) e. G = { 4 ,9, 16
,25 , 36} f. H = {Masaya, Managua, Rivas, Carazo, Matagalpa,} g. I
= { Ejecutivo , Legislativo , Electoral , Judicial} Reforzamiento:
Escriba los siguientes conjuntos por extensin o comprensin segn sea
el caso: A = {x| x es un hroe nacional de Nicaragua} B = {x| x es
un nmero par positivo menor que 50} C = {x| x es un pas al sur de
Nicaragua} D = {x| x es un dgito par} E = {x| x es un pas de
centroamrica} F = {x| x es un nmero natural} G = {x| x es un nmero
mltiplo de cuatro menor que 50}
16. 8 Estadstica Introduccin El manejo sistemtico de los datos
con el fin de analizarlos, tiene su origen probablemente en los
censos poblacionales realizados antes de Cristo. La historia
menciona las tablas estadsticas usadas por los chinos 3000 aos a.
de C. Tambin en la Biblia se mencionan algunos censos realizados
por los romanos (Lucas 2:1). Los egipcios realizaban censos despus
de las inundaciones del Nilo, para restituir propiedades ubicadas
en la margen del ro. En la edad media se hicieron estudios
estadsticos, tambin se realizaron estudios en 1773 por Abraham
Moivre y por el francs Pierre Laplace. En la actualidad, la
tecnologa moderna (computadoras) ha hecho posible la recoleccin y
anlisis de un gran volumen de informacin, permitiendo un mayor
desarrollo de la Estadstica. Qu es la Estadstica? Es la ciencia que
se encarga de la recoleccin, organizacin, presentacin, anlisis e
interpretacin de datos numricos, para una toma de decisiones ms
efectivas. La Estadstica, es una ciencia que colabora
eficientemente con el fsico, el matemtico, el bilogo, el
meteorlogo, el tcnico industrial, el psiclogo, el socilogo, el
economista, etc. Cul es el objetivo de la Estadstica? La estadstica
moderna, independientemente del campo de aplicacin, se propone
fundamentalmente: a.Predecir las condiciones futuras partiendo del
conocimiento de las condiciones pasadas y presentes (teora de los
seguros). Ramas de la Estadstica Estadstica Descriptiva Inferencial
Recopilacin, Organizacin y anlisis de datos Obtencin de informacin
de ciertos parmetros estadsticos RAR H2 Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su cuaderno... La palabra
Estadstica significa censo de personas y bienes. Esta palabra viene
del latn statiscum collegium, del latn antiguo status (posicin,
forma de gobierno). Sabas qu? Ma tem tic a 7
17. 9 b.Lograr informacin sobre una gran masa de hechos,
tomando para ello una muestra representativa (los llamados surveys
o encuestas de opinin pblica). Poblacin. Persona o individuo.
Muestra Poblacin. Es un conjunto de elementos de naturaleza
cualquiera, de los cuales estamos interesados en estudiar al menos
una caracterstica comn y observable de dichos elementos, en un
lugar determinado y en un momento dado Matem ticas 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo La estatura de los
estudiantes del Instituto Pblico Rafaela Herrera. La poblacin seran
las y los estudiantes de este Centro. Si se quiere investigar las
causas del bajo rendimiento acadmico de Matemtica de 7mo grado, en
Bilwi, la poblacin sera las y los estudiantes de 7mo grado de esa
ciudad. Persona o individuo. En la investigacin en Bilwi, la
recoleccin de datos se hace censando a cada estudiante matriculado
en cada colegio. Persona o individuo. La persona, individuo u
objeto es cada uno de los elementos de la poblacin. Muestra. Es un
subconjunto cualquiera de la poblacin, de la cual se va a obtener
la informacin para el estudio estadstico. En el ejemplo del estudio
de 7mo grado, una muestra puede ser, entrevistar a 50 estudiantes
de cada colegio de secundaria de Bilwi. Y si la poblacin es muy
grande? Qu hago? Sencillo, toma una parte de la poblacin, o sea una
muestra. No es lo mismo poblacin demogrfica que poblacin
estadstica. La poblacin demogrfica se refiere a un conjunto de
individuos. Por ejemplo: Los habitantes del pueblo de Beln, Rivas.
Los estudiantes de 7mo grado de Ciudad Sandino. La poblacin
estadstica se refiere a un conjunto de datos referidos a las
caractersticas o atributos de los individuos Recuerde... La
estadstica utiliza el mtodo cientfico para recoger, organizar,
resumir y analizar datos, as como para obtener conclusiones vlidas
y tomar decisiones razonables basadas en tal anlisis.
18. 10 Reforzamiento Determine la poblacin, el individuo y la
muestra de un estudio socioeconmico de la poblacin que habita en el
departamento de Estel. Un estudio estadstico es una investigacin
que se hace de una o ms caractersticas de los elementos de la
poblacin. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as
7 Ejemplo El director de un colegio decide hacer una investigacin
para determinar el cumplimiento de las tareas escolares en casa de
parte del colegio. Para esto hace una revisin de los cuadernos de 5
estudiantes de cada grado. Determinemos la poblacin, la muestra y
el individuo o persona. Solucin. Poblacin: todos los estudiantes
del colegio. Muestra: los estudiantes seleccionados para la revisin
(cinco por cada grado). Individuo: cada uno de los estudiantes.
Trabajo en equipo Determine en cada una de las siguientes
situaciones: la poblacin y la muestra. 1. La docente Meyling
Martnez le orienta a sus estudiantes que investiguen acerca del
salario (en Crdobas) del que poseen los docentes de educacin
secundaria del rea urbana del municipio de Masaya. 2. Se desea
realizar un estudio del gasto familiar en que incurren los padres
de familia de un estudiante de secundaria al inicio del ao escolar
en el municipio de Granada. 3. Un fabricante de medicamentos desea
conocer la propocin de persona cuya hipertensin (presin alta) puede
ser controlado por un nuevo producto fabricado por la compaa. Al
realizar un estudio en 5 000 individuos hipertensos se obtuvo que
un 80% de ellos pudo controlar su hipertensin utilizando el nuevo
medicamento. Suponiendo que esas 5 000 personas son representativas
del grupo de pacientes hipertensos. Sabas qu? Ma tem tic a 7
19. 11 Poblacin o Universo Muestra Persona o individuo RAR H2
Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su
cuaderno... La poblacin, la muestra y la persona o individuo se
puede representar con una grfica llamada diagrama de Venn. La
persona o individuo tambin se llama unidad estadstica y es un ente
observable, que no tiene porque ser una persona, puede ser un
objeto, un ser vivo o incluso algo abstracto. e i +1 = 0 Aprenda un
poco ms... Variable Cualitativa y Cuantitativa Variables
estadsticas. Elestudioestadsticoestbasadoenlaobservacindelapersona
o individuo, donde se determinan una o ms caractersticas de estos
elementos, por ejemplo, la edad, preferencias, gnero, nacionalidad.
Variable estadstica. Una variable estadstica es cada una de las
caractersticas, cualidades o modalidades (atributos) que poseen los
individuos de una poblacin. Las variables se clasifican en: I.
Cualitativas: si son atributos o cualidades de la persona o
individuo: el color del pelo, el sexo, la nacionalidad, el gnero,
la religin, entre otros. Las variables cualitativas pueden ser:
a.Ordinales: si son cualidades no numricas del individuo, que
pueden ordenarse de acuerdo a una escala establecida: el grado de
satisfaccin por una msica (mucho, poco o nada). b.Nominales:
cualidades que no pueden ordenarse. Por ejemplo el color del pelo,
el color de la piel. II. Cuantitativas: son caractersticas numricas
de la persona o individuo: la edad, el peso, la nota final en
matemtica. Trabajo en equipo 1. Identifique la variable y
clasifquela en cualitativa o cuantitativa. En el Colegio o en el
barrio, recolecten y registren datos e informacin, donde se
identifiquen diversos tipos de variables. Despus socializar los
resultados del trabajo en un plenario.
20. 12 2. Elaboren una encuesta o una entrevista, con variables
previamente definidas y aplique dicha encuesta a un grupo
determinado, por ejemplo: amas de casa, pulperas, en el centro de
estudio, trabajadores(as), etc. 3. Analicen el resultado de la
encuesta y presenten un informe en plenario. Variables
cuantitativas: discretas y continuas. En las variables
cuantitativas es muy importante definir si es un nmero entero o un
nmero decimal. Por ello se debe estar claro del conjunto
referencial de dicha variable. Dominio de la variable. Las
variables estadsticas se representan con un smbolo, tal como A, B o
C, X,Y, Z, que puede tomar un valor perteneciente a un conjunto de
valores, llamado dominio de la variable. Las variables
cuantitativas pueden ser: d.Discretas. Toman un valor del dominio
de la variable (los nmeros naturales) y no pueden tomar ningn valor
entre dos consecutivos. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha:
27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Nmero de hijos, goles metidos por
un equipo de ftbol, es decir se pueden contar. e. Continuas. Es la
que, tericamente, puede tomar cualquier valor en una escala de
medidas, entero o fraccionario. Mate mtic as 7 Area: Matemtica
fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo La estatura de una estudiante, el
peso, el tiempo en minutos que tarda en hacer una tarea diaria . Se
elige una muestra de la poblacin cuando es difcil o econmicamente
costosa la observacin de todos los individuos de la poblacin
estadstica. RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su cuaderno... Las variables estadsticas, se pueden
dividir en dos grupos: Discretas: Son aquellas que toman un nmero
finito de valores (se asocia con nmeros enteros), ejemplo: el nmero
de pginas de un libro, el nmero de miembros de una familia.
Continuas: Son aquellas que toman todos los valores comprendidos en
un intervalo (se asocian con nmeros reales) Por ejemplo: El
instante que llega cada estudiante a su instituto, entre las 6:30
am y 7:00 am. Se realiza un censo cuando se observan todos los
elementos de una poblacin estadstica. Sabas qu? Ma tem tic a 7
21. 13 HH Una encuesta es un instrumento estadstico para
recoger cierta informacin de una muestra de una poblacin. HH
Existen diversos mtodos para aplicar una encuesta. Entre ellos
hacer unas cuantas preguntas o llenar un formulario aplicado a la
persona o individuo del estudio estadstico. Sabas qu? Ma tem tic a
7 La o el docente pregunta a cada estudiante: 1.Cul es su estatura
en metros? 2.Cul es el color de sus ojos y cabello? 3.Cul es su
edad en aos cumplidos? 4.Cul fue su calificacin en matemtica
obtenida en el ltimo perodo escolar? 5.Cul es la edad mnima de un
nicaragense para obtener una cdula? 6.Cul es el color de su piel?
7. Cuntos hermanos tiene? 8.Cul cree que es la temperatura
ambiental? Cada estudiante sealado pasa al pizarrn a completar la
tabla 1, escribiendo la caracterstica y marcando con el smbolo la
respuesta correcta. Caracterstica o atributo Variable cuantitativa
Variable cualitativaDiscreta Continua Tabla 1 Despus se exponen las
inquietudes y dificultades. Trabajo en equipo Organizados en
equipos, nombren un(a) coordinador(a), visiten varias secciones y
en una muestra de 10 estudiantes de cada seccin, investiguen tres
variables: la edad en aos cumplida, la estatura en centmetros y la
cancin preferida. Despus completen la tabla 1 y la exponen en
plenario, anotando las conclusiones y elaborando un resumen del
trabajo. Reforzamiento: Clasifiquelossiguientes
enunciadosenvariables cuantitativas(discretasocontinuas)
ovariablescualitativas: Alturadelasmontaasde Nicaragua.
Enfermedadesquehansufridolos niosylasniasdelaciudadde Granada.
Materialdelqueestnhechaslas paredesdelascasasdelaGran Sultana.
Tiempo(ensemanas)enquelas madresdelmunicipiodeMasaya brindaron a
sus hijos lactancia materna. El nmero de preguntas contestadas
correctamente en un examen de matemtica por un grupo de
estudiantes.
22. 14 e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... Qu es una encuesta de
opinin? Es una valoracin estadstica que se hace a partir de una
encuesta con el fin de conocer la opinin pblica. Trabajo en equipo
Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas,
cuantitativas discretas o cuantitativas continuas, segn
corresponda. 1.Edad en aos cumplidos. 2.Materias aprobadas en el
ltimo perodo evaluativo. 3.Color del cabello. 4.Produccin diaria de
botellas para gaseosas. 5.rea del aula de clases de los colegios
del municipio de Tipitapa, en m2 . 6.El Peso (en libras) de un
conjunto de personas. 7.Nmero de profesores del centro escolar.
8.Religin que profesan los adultos del municipio de Mateare. 9.
Salario mensual de los empleados en una zona franca. Tablas de
Frecuencias y de Categoras Trabajo en equipo Hacer un estudio
estadstico del rendimiento acadmico de Matemtica de la seccin de
clase. Para esto aplique una encuesta con una sola pregunta: Qu
nota obtuvo en el primer corte evaluativo de Matemtica, en el curso
escolar 2013? Anoten cada respuesta y despus elaboren una tabla
(tabla 2) y compltenla con sus datos Rendimiento acadmico Conteo
Frecuencia (fi ) Menos de 60 IIIII 5 Entre 60 y 80 IIIII IIIII
IIIII 15 Entre 81 y 90 IIIII IIIII II 12 Ms de 90 IIIII III 8 Total
40 Tabla 2 Escriba en su cuaderno. HH La entrevista es otro
instrumento que se usa para conocer datos estadsticos. Para
aplicarla primero debe ser elaborada por el grupo entrevistador.
RAR H2 Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Para
levantar una encuesta, primero se debe reunir el grupo de trabajo y
deben elaborar el instrumento que se va a aplicar, La columna
conteo, en la tabla 2, se agrega para facilitar el clculo de la
frecuencia absoluta (fi ). Tome nota
23. 15 Este instrumento se denomina tabla de frecuencias y se
utiliza para: Ordenar Agrupar Resumir El formato de estas tablas es
el siguiente: Nombre de la variable Frecuencia Categora o recorrido
de la variable (toma un valor del dominio de la variable). Nmero de
observaciones Total n Tabla 3 Se registran en la pizarra las edades
de los 30 estudiantes de la seccin de quinto grado del colegio
Salomn Ibarra Mayorga del municipio de Managua. Los datos obtenidos
son los siguientes: 9 11 10 11 12 10 12 9 10 11 12 10 11 10 11 10
11 12 9 12 9 10 12 11 10 11 11 12 11 11 Elaborar una tabla de
distribucin de frecuencias con estos datos siguiendo el modelo de
la tabla 2. Solucin. Usando la misma tcnica de conteo resulta la
siguiente tabla de distribucin de frecuencias Edad del o la
estudiante (aos) Conteo Frecuencia 9 IIII 4 10 IIIII III 8 11 IIIII
IIIII I 11 12 IIIII II 7 Total 30 Tabla 4 RAR H2
Hacertrampaenelexamen Apalearalvecinojajajajaja Escriba en su
cuaderno... Encuesta de opinin. Qu tipo de lectura prefiere? Marque
con el smbolo su tipo preferido. Aventuras. Biografas. Ciencia
ficcin. Cuentos y leyendas. Astronoma. Otros. Los elementos bsicos
que deben distinguirse en un estudio estadstico son: HH La
poblacin. HH La muestra. HH La variable. HH El tipo de variable. HH
El mtodo para la recoleccin de datos. HH La tabla de frecuencias.
El subndice i de fi , indica la posicin en que se ubica la
frecuencia asociada al dato i en una tabla de frecuencias. Por
ejemplo en la tabla 4 de la pgina anterior f1 = 4 , f2 = 8, f3 = 11
y f4 = 7. Ma tem ti ca 7 Sabas qu?
24. 16 Tipos de Frecuencias En las tablas de distribucin de
frecuencias y categoras, se puede distinguir los siguientes tipos
de frecuencias: Frecuencia Absoluta (fi ) Es el nmero de veces que
aparece un atributo o un valor determinado de una variable. Se
representa con fi . La suma de todas las frecuencias absolutas es
la cantidad de datos (n: tamao de la muestra). Frecuencia Relativa
(fr ): Es el cociente de la frecuencia absoluta y el nmero de
datos. Se simboliza por fr y se expresa as f f n r i = . La suma de
todas las frecuencias relativas es igual a 1. La frecuencia
relativa multiplicada por 100 nos permite obtener el porcentaje (%
fr = 100 fr ) de cada dato de la variable estadstica. Frecuencia
Absoluta Acumulada (Fi ): Es la suma de las frecuencias absolutas
de todos los valores menores o iguales a un determinado dato. Se
representa con Fi . La frecuencia absoluta acumulada del ltimo
valor es igual al nmero de datos (n: tamao de la muestra). Edad fi
fr %fr Fi 9 4 4/30 = 0,13 0,13(100) = 13 4 10 8 8/26 = 0,27 27 4 +
8 = 12 11 11 11/30 = 0,37 37 4 + 8 + 11 = 23 12 7 7/30 = 0,27 27 30
Total 30 1 100 Nota: Se ha redondeado hasta dos cifras
significativas Frecuencia Relativa Acumulada (Fr ): Es el cociente
de la frecuencia absoluta acumulada y el nmero de datos. Se
representa con el smbolo F F n r i = . La frecuencia relativa
acumulada multiplicada por 100 permite obtener el porcentaje
acumulado. Ma tem ti ca 7 Sabas qu? Es lo mismo? En las estadsticas
del baseball, el promedio de bateo, llamado average, es el nmero de
hits por turnos al bate. Por ejemplo, un jugador que ha bateado 84
hits en 250 veces al bate tiene un promedio de bateo de 84 250 0
336 336 1000 = =, Este valor indica que el jugador conecta, en
promedio, 336 hits por cada 1000 turnos al bate. La simbologa usada
en estadstica retoma el uso de estos smbolos: fi , fr , Fi , Fr ,
N, n, por los especialistas en estadsticas. Frecuencia absoluta que
frecuencia relativa.
25. 17 Observacin: n : tamao de la muestra N: tamao de la
poblacin (cuando es finita) Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha:
27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Con los datos de la Tabla 4,
completar la tabla 5. Edaddelestudiante fi fr % fr Fi Fr % Fr 9 4
10 8 11 11 12 7 Total (n) /////// /////// ////// Tabla 5 Trabajo en
equipo En un estudio estadstico que se hizo en un barrio de
Jinotega, se investig la edad de las nias y nios entre 1 y 3 aos
cumplidos y se recolectaron los siguientes datos (Complete la tabla
de distribucin de frecuencia). Edad fi fr %fr Fi = fr . 360 1 156 2
167 3 107 Total (n) 430 Tabla 6 Reforzamiento. En una investigacin
sobre la preferencia que se tiene por cierta marca de vehculo, se
utiliza el sistema de llamada telefnica a diferentes personas.
Marca de Auto Cantidad de respuestas afirmativas Tipo A 10 Tipo B
13 Tipo C 7 Tipo D 6 Tipo E 21 Tipo F 12 Con la informacin indicada
en la tabla adjunta, elabore una tabla de distribucin de
frecuencias. 90 140 130 En el diagrama de sectores circulares. El
color celeste significa nios de 3 aos. El color amarillo significa
nios de 2 aos. El color rosado significa nios de 1 ao.
26. 18 Sabas qu? Ma tem ti ca 7 El grfico de barras es tambin
conocido como grfico de columnas y son usados para comparar dos o
ms valores. Grficos Estadsticos Una vez construida la tabla de
frecuencias, se representa mediante un grfico. Entre los grficos ms
utilizado se puede destacar: Variable Representacin Grfica
Cualitativa CC Diagrama de sectores circulares. CC Diagrama de
barras. Cuantitava Discreta CC Polgono de frecuencias CC Ojiva
Cuantitativa Continua CC Histograma CC Polgono de frecuencia CC
Ojiva El tipo de grfico o diagrama depende del tipo de dato, si es
cualitativo o cuantitativo, pero se debe de usar el grfico que sea
ms adecuado a los datos recolectados para presentar mejor la
informacin. Diagrama de sectores circulares Los diagramas de
sectores circulares se utilizan para comparar las distintas
modalidades de una variable. Procedimiento para elaborar un grfico
de sectores circulares: Para construirlo, se traza un circulo y se
asigna cada modalidad un sector circular, cuyo ngulo es
proporcional a su frecuencia relativa. La medida, en grados, de los
ngulos centrales se calcula con la expresin: = fr 360 o bien = 360
fr Los diagramas de sectores circulares y los pictogramas que se
estudian ms adelante son los grficos ms populares, por su fcil
comprensin. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 Si el diagrama se dibuja de
esta forma, se le denomina Diagrama de sectores circulares.
Noticias Novelas Pelculas Documentales Si se le dibuja de esta otra
forma, se le llama Diagrama de pastel. Noticias Novelas Pelculas
Documentales Pero en ambos casos es el mismo.
27. 19 1. El nmero de sectores del grfico es igual al nmero de
categoras de la variable en estudio. 2. Se calcula la medida del
ngulo central de cada sector circular ( agregar una columna, en la
tabla, para escribir la medida del ngulo ). Mate mtic as 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Se aplic una
encuesta a una muestra de 50 personas, acerca de la preferencia que
tienen por el programa de TV que ven entre las 06:00 p.m. y las
08:00 p.m., los resultados fueron: Preferencia fi noticias 16
novelas 8 pelculas 16 documentales 10 Total 50 Tabla 7 La tabla del
ejempo anterior quedara de la siguiente forma: Preferencia fi fr =
fr . 360 noticias 16 0,32 115,2 novelas 8 0,16 57,6 pelculas 16
0,32 115,2 documentales 10 0,2 72 Total 50 1,00 360 Tabla 8 Despus
se dibuja un crculo de radio 3 cm y se mide con un transportador,
el ngulo central de cada sector. Noticias Novelas Pelculas
Documentales 115,2 57,6 115,2 72 Diagrama de Sectores Circulares El
diagrama de sectores circulares sera el de la figura adjunta. e i
+1 = 0 Aprenda un poco ms... Construya un diagrama de barra y
sector circular para cada una de las siguientes tablas: Color de
ojos de 150 estudiantes de sptimo grado. Color de ojos fi Claros 20
Negros 50 Caf 80 Resumen de hbito de lectura de 120 estudiantes de
octavo grado del colegio Carmela Noguera. Cantidad que lee fi Mucho
70 Regular 40 Poco 10
28. 20 Diagrama de Barras Es un grfico de columnas. Esta
representacin grfica consiste en construir tantos rectngulos como
modalidades presenta el carcter en estudio, todos ellos de igual
amplitud. La altura se toma igual a la frecuencia absoluta o
relativa (segn la distribucin de frecuencias que estamos
representando). De esta forma, todos los rectngulos tienen reas
proporcionales a las frecuencias que se quieren representar. 16 10
8 16 Si usamos los mismos datos del ejemplo anterior, el grfico es
igual al ubicado a la izquierda de esta explicacin. Histograma.
Cuando la variable sea de tipo continuo y los datos estn agrupados
en intervalos, para representar grficamente la informacin que
tenemos, utilizaremos el histograma. Procedimiento para construir
un histograma Se dibuja un sistema de cordenadas. Se coloca en el
eje horizontal los valores de la variable. En el eje vertical se
colocan las frecuencias absolutas o las frecuencias porcentuales.
Se ordenan los datos de menor a mayor y se agrupan en intervalos o
clases de igual amplitud, sin traslaparse. Se registra el nmero de
datos (frecuencia absoluta fi ) en cada intervalo y se construyen
rectngulos cuyo ancho coincide con la amplitud de cada intervalo.
La altura de cada rectngulo es igual a la frecuencia absoluta o
frecuencia porcentual de cada clase. Las barras deben de
construirse juntas sin traslaparse, ya que se trata de variables
cuantitativas continuas. La naturaleza grfica del histograma nos
permite ver pautas que son difciles de observar en una simple tabla
numrica. El smbolo es la letra griega sigma. En matemtica se
denomina sumatoria porque indica la suma de varios trminos. e i +1
= 0 Aprenda un poco ms... Noticias Novelas Pelculas Documentales 0
10 20 Los diagramas de barra tambin se pueden dibujar en forma
horizontal. En un histograma las barras van juntas porque estn
asociados al comportamiento de variables cuantitativas continuas.
Los grficos de barras se utilizan para representar el
comportamiento de variables cualitativas o cuantitativas discretas.
Los rectngulos se dibujan de manera separada.
29. 21 La siguiente tabla indica las edades de una muestra de
46 personas que asistieron a una pelicula en un cine de la ciudad
de Managua: Intervalos de Edades Lmites reales fi 8 - 13 (7,5 ;
13,5] 2 14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7 20 - 25 (19,5 ; 25,5] 13 26 - 31
(25,5 ; 31,5] 15 32 - 37 (31,5 ; 37,5] 9 46 Tabla 9 Lmites reales
Los lmites reales se determinan restando 0,5 o 2 1 al lmite
inferior y al superior le sumamos 2 1 o 0,5 La notacin de
intervalos de clase [ LI, LS ] o bien [ Li , Ls ] expresa: Li :
Lmite inferior de un intervalo. Ls : Lmite superior de un
intervalo. Marca de clase (Xi ): Se calcula sumando el lmite
inferior y el lmite superior , luego dividimos el resultado por 2.
X = L +L 2 i i s e i +1 = 0 Aprenda un poco ms... 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 F r e c u e n c i a A b s o l u t a Histograma
Intervalos reales 7,5 13,5 19,5 29,5 31,5 37,5 Si a la tabla 9 le
agregamos una columna para las marcas de clases (Xi ), obtenemos:
Intervalo de Edades Lmites reales fi Marca de Clase (Xi ) Fi 8 - 13
(7,5 ; 13,5] 2 8 13 10,5 2 + = 2 14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7 16,5 9 20
- 25 (19,5 ; 25,5] 13 22,5 22 26 - 31 (25,5 ; 31,5] 15 28,5 37 32 -
37 (31,5 ; 13,5] 9 34,5 46 Tabla 10
30. 22 El polgono de frecuencias Una vez construido el
histograma, el polgono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos
medios de la base superior de cada rectngulo. A partir de la tabla
10 se construye a continuacin el polgono de frecuencias: Sabas qu?
Ma tem ti ca 7 La mayora de las grficas estadsticas se representan
en el plano cartesiano. Para la mayora de las grficas se acostumbra
usar el criterio de los 3 4 ; es decir, que la altura mxima de la
informacin que se representa en el eje vertical sea 3 4 de la
informacin que se representa en el eje horizontal. Ojiva Tambin
llamada polgono de frecuencia acumulada, es la grfica de una
distribucin de frecuencias acumulada que se construye uniendo con
una lnea recta el punto de coordenada formado por el lmite superior
real y la frecuencia acumulada. Las caractersticas de una ojiva
son: a.Muestra las frecuencias acumuladas. b.Se prefiere para el
tratamiento de datos cuantitativos. Polgono de Frecuencias 10,5
16,5 22,5 28,5 34,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Intervalos
reales FrecuenciaAbsoluta 15 10 20 30 40 50 13,5 25,5 31,5 37,5
Ojiva Lmites reales superiores 9 FrecuenciaAcumulada 2 9 22 37 46 .
. . .. 19,5
31. 23 Pictogramas Los pictogramas, tambin llamados
representaciones visuales figurativas, utilizan smbolos para
representar un conjunto de datos. La mayor frecuencia se identifica
por la mayor acumulacin de smbolos. Estas grficas de datos tienen
como objetivo ofrecer una descripcin, lo ms explcita posible, de la
distribucin de datos y se emplean para hacer ms entendibles los
informes estadsticos. Para construirlos se dibujan figuras que
aluden a la distribucin que se est estudiando y cuyos tamaos son
proporcionales a la frecuencia absoluta. Mate mtic as 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo Elaborar un
pictograma a partir de la siguiente tabla: Ao Venta anual de
bombillas en una fbrica 2007 250 000 2008 320 000 2009 400 000 2010
520 000 Tabla 11 Venta anual de bombillas en una fbrica 550 000 450
000 350 000 250 000 2007 2008 2009 2010 (Aos) FrecuenciaAbsoluta
UnidadesVendidas Pictograma 0 El diagrama de Pareto, es una grfica
de barras de frecuencia que se presenta en orden de mayor a menor (
de la barra ms alta a la barra ms baja). Los diagramas de Pareto
son herramientas grficas muy utilizadas en control de procesos y de
calidad. Pueden ayudar a los ingenieros a identificar defectos
importantes y sus causas. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 En los siglos
XVII y XVIII la estadstica tuvo un mayor desarrollo gracias a dos
matemticos notables, Bernoulli y De Moivre quienes desarrollaron en
1930 la forma de distribucin normal. En el siglo XIX Laplace y
Gauss desarrollaron el clculo de probabilidades aplicado a la
Astronoma. Quetelet, estadstico belga, aplic la estadstica a
problemas sociales y educativos y Francis Galton la aplic en la
Ciencias Sociales y a los estudios de la herencia eugenesia,
sociologa, antropometra, etc. En Estados Unidos James Mckeen
Cattell y su discpulo E. L. Thomdike aplicaron mtodos estadsticos a
problemas de la sociologa y ciencias de la educacin. En el siglo XX
varios estadsticos principalmente Fischer introducen varios mtodos
y tcnicas en el estudio de muestras pequeas en el campo agrcola y
biolgico.
32. 24 Tambin se usan los cartogramas, que se basan, en mapas
geogrficos que utilizan distintas tramas, colores o intensidades
para remarcar las diferencias entre los datos. Trabajo en equipo
Elaboren un pictograma con los siguientes datos. Tomen en cuenta
las sugerencias que se les dan y aporte ideas propias para el
grfico. La demanda anual de un tipo particular de vehculos en
algunos pases de Suramrica se muestra a continuacin en la tabla
siguiente: Pas Demanda Colombia 20 000 Venezuela 40 000 Argentina
120 000 Chile 150 000 Brasil 160 000 Tabla 12 Sugerencias: 1.El
smbolo que emplearemos tendr forma de vehculo, haciendo referencia
al tema de la tabla. Cada smbolo podra tener una equivalencia de 20
000 unidades demandadas. 2.En el eje cartesiano vertical colocamos
los pases y las demandas en el horizontal. Los economistas y
gerentes de empresas nicaragenses pueden predecir los volmenes de
venta, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevos
productos, tomar decisiones de cmo invertir el presupuesto en
campaas publicitarias y determinar los mejores metodos para el
control de las habilidades y aptitudes de sus trabajadores con el
fin de promoverlos, hacer control de calidad de los productos
elaborados, entre otros. Una herramienta valiosa es la estadstica,
debido a que constituye la base para que los economistas analicen
funciones bsicas tales como la demanda, el ingreso, la funcin
produccin y la funcin costo, entre otros, esto se conoce como
Econometra. Sabas qu? Ma tem ti ca 7
33. 25 Trabajo en equipo Estudie cada uno de los siguientes
pictogramas y elabore una tabla de frecuencias para los incisos 1,
2 , 3, 4, y 5 . 1) Municipio San Jorge Diriomo Bluefields El Rama
Malpaisillo rboles Nmero de rboles sembrados por municipio = 1 000
rboles 2) 1930 1950 1970 1990 Poblacin demogrfica por ao del
municipio de Masaya equivale a 5 000 Ao 3) Aparatos telefnicos
vendidos por ao 1998 1999 2000 equivale a 10 000 Las principales
caractersticas de los pictogramas son: HH Su formato es libre. HH
Emplean una secuencia de smbolos para representar frecuencias. HH
Se emplean para el tratamiento de datos tanto cualitativos como
cuantitativos. Sabas qu? Ma tem ti ca 7 Herbert George Wells mejor
conocido como H.G. Wells dijo: El pensamiento estadstico ser un da
tan necesario para el ciudadano eficiente como la capacidad de leer
y escribir. Herbert George Wells 1 866 - 1 946
34. 26 Tome nota Medidas de tendencia central: Son estadsticos
alrededor de los cuales se concentran gran parte de los valores de
la distribucin MEDIANA (Me ) o x Es una medida de centralizacion
que se caracteriza por lo siguiente: deja tras de s el 50% de la
distribucin. El smbolo de la mediana x se lee equis circunflejo.
MODA (Mo ) Se define como el valor de la variable que tiene mayor
frecuencia absoluta LA MEDIA ARITMTICA (x) Es un estadstico que nos
da una idea de entorno a qu valor se encuentran concentrados los
valores de una variable estadstica, aunque en ocasiones no resulte
un valor demasiado representativo. El smbolo de la media es x y se
lee como equis barra. x : media aritmtica para una muestra . :
media aritmtica para una poblacin. 4) Hectreas sembradas de trigo
cada ao 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Ao 5 500 ha 9 836 ha 12 162
ha 18 400 ha 21 645 ha 7 389 ha 5) Poblacin en los departamentos de
la IV regin de Nicaragua Granada Masaya Carazo Rivas Nota: Para
elaborar la tabla verifique los datos de la poblacin con su docente
de Ciencias Sociales Medidasdetendenciacentralcondatosnoagrupados
En estadstica, adems de recopilar, organizar y representar
grficamente los datos, es necesario hacer resmenes de los mismos en
un solo nmero. Para esto se usan las medidas de tendencia central.
Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin
grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo La
edad promedio de las y los estudiantes de sptimo grado de tu saln
de clases. El salario promedio de las y los decentes de secundaria.
El promedio de las notas de matemtica del 1er semestre de 7 mo .
grado en el municipio de Ciudad Sandino.
35. 27 Medidas de tendencia central Son valores que
generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos
estadsticos. Estos valores permiten analizar los datos alrededor a
un valor central. Entre estas medidas tenemos: a. La media
aritmtica o promedio. b. La mediana. c. La moda. La media
aritmtica. La media aritmtica es la medida que se obtiene al
dividir la suma de todos los datos de una variable entre el total
de datos. La media aritmtica se simboliza x. Procedimiento para
calcular la media aritmtica: Dado un conjunto de datos x1, x2, x3,
..., xn, la media aritmtica se obtiene con la expresin: x= x1 + x2
+x3 +...+ xn n donde n es el total de datos de la muestra. Mate
mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin
grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo En
Matemtica, una estudiante tiene las siguientes notas 54, 78, 65 y
83. La media aritmtica para estos cuatro datos (n = 4) es: x =
54+78+65+83 4 = 4 280 = 70 Reforzamiento Es posible que en un grupo
de datos existan cuatro modas? Es posible que un grupo de datos
estadsticos no tenga moda? Es posible que en un conjunto de datos
estadsticos, la media, la mediana y la moda sean iguales? Proponga
un ejemplo. Es posible que un conjunto de datos no tenga media
aritmtica? Es posible que la media aritmtica sea la medida ms
representativa de las tres medidas de tendencia central estudiadas?
Proponga un ejemplo.
36. 28 Explique. Por qu la media aritmtica solo es aplicable a
datos cuantitativos? Reforzamiento Si las notas de un estudiante en
Matemtica en sus cuatro cortes evaluativos del ao anterior fueron:
97, 30, 89 y 30 Determine las medidas de tendencia central de esas
notas. La media aritmtica: La mediana: La moda: Por qu esta
diferencia? Cul es la medida de tendencia central ms confiable?
Disctanlo en equipo. Trabajo en equipo 1. Investiguen el
rendimiento acadmico de Matemtica, Lengua y Literatura y Ciencias
Naturales del curso escolar anterior, en su centro de estudios. 2.
Realicen una encuesta entre los estudiantes de su seccin, acerca de
la nota obtenida en estas tres disciplinas. 3. Calculen la media
aritmtica en cada materia y por ltimo, en un plenario, den a
conocer los resultados, utilizando una tabla de frecuencias con un
grfico de sectores. 4. Como conclusin, anote las dificultades que
afectaron este rendimiento acadmico y las alternativas para
superarlo. La mediana Es el valor que divide a un grupo ordenado de
nmeros en dos partes iguales, de tal forma que la mitad de los
nmeros se encuentra por debajo de la mediana y la otra mitad se
encuentra por encima. Procedimiento para calcular la mediana de
datos no agrupados: Se ordenan los datos de menor a mayor. Si el
nmero de datos es impar, la mediana es el dato que est en el centro
de los datos ordenados: Me : queda en la posicin: n+1 2 Si el nmero
de datos es par, la mediana es igual a la media aritmtica de los
dos datos centrales esto es: La mediana es igual a la media
aritmtica de los datos dados por las posiciones determinadas a
partir de: n 2 y n+1 2
37. 29 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as
7 Ejemplo a) Calculemos la mediana: 12,6,18,24,6,23,7,13 Solucin.
Paso 1: Ordenamos los datos 6 7 12 13 18 23 24 Me Paso 2: El nmero
de datos es impar (n = 7), por tanto la mediana es el valor del
centro: n +1 2 = 7+1 2 = 4 dato ubicado en cuarta posicin: Me = 13.
b) Calculemos la mediana 17, 15, 9, 13, 21, 32, 41, 7, 12. Solucin.
Paso 1: Ordenamos los datos 7 9 12 13 15 17 21 32 41 Me Paso 2: El
nmero de datos es impar (9), por tanto la mediana es el valor del
centro: n+1 2 = 9+1 2 =5 dato ubicado en la quinta posicin en la
lista anterior: Me = 15 c) Calculemos la mediana 150, 162, 135,
184, 177, 256. Solucin. Paso 1: Ordenamos los datos 135, 150, 162,
177, 184, 256. Reforzamiento Calcule las medidas de tendencia
central de los siguientes datos: Datos x Me Mo 2,4,7,8,9
6,8,7,5,3,7 34,25,22,20,15, 25,17,16,15,17 Los siguientes datos
indican el ndice de depresin de 13 personas que asistieron a
consulta psiclogica en el centro de salud Sinforoso Bravo de la
ciudad de Granada, 2,5,7,2,4,2,6,6,4,2,2,3,2. Cal es la medida de
tendencia central ms apropiada para indicar el ndice de depresin ms
frecuente en los pacientes? Los socilogos utilizan los conceptos y
tcnicas de la estadstica para medir y comparar la conducta, las
actitudes, la inteligencia y las aptitudes del ser humano. Al
estudio de la psicologa por medio de la estadstica se denomina
psicometra. Sabas qu? Ma tem ti ca 7
38. 30 Reforzamiento Los siguientes datos corresponden al nmero
de accidentes laborales que se producen durante la temporada de
cortes de caf en las fincas cafetaleras de la ciudad de Matagalpa:
8 7 9 10 3 15 4 7 8 9 3 10 4 2 0 14 7 9 3 7 11 12 14 1 3 9 8 6 3 4
Construya una tabla de distribucin de frecuencia que represente
estos datos. Elabore una grfica apropiada para estos datos. Calcule
la media aritmtica, la mediana y la moda Como el conjunto tiene un
nmero par de elementos (6 nmeros), no hay un dato en el centro:
Calculamos la posicin n 2 = 6 2 =3 dato en la tercera posicin = 162
n+1 2 = 6+1 2 = 3,5 4 dato en la cuarta posicin = 177 135 150 162
177 184 256 Me = x = 162 + 177 2 = 169,5 Mediana = Media Aritmtica
(x) de datos centrales La moda Definicin La moda de un conjunto de
datos estadsticos no agrupados es el valor que ocurre con mayor
frecuencia. Se simboliza M0. Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha:
27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Mate mtic as 7 Ejemplo En cada uno de los siguientes
ejercicios determine la moda: En una evaluacin sistemtica efectuada
a 15 estudiantes del Instituto Salomn Ibarra Mayorga de Managua, el
resultado fue: 79, 72, 80, 98, 90, 72, 83, 72, 70, 75, 72, 72, 100
Solucin. Podemos observar que la nota con ms frecuencia absoluta es
72, por tanto: M0 = 72.
39. 31 Encuentre la moda para la serie de nmeros dados: a) 8,
12, 13, 8, 11, 10, 9. Solucin. El nmero que tiene mayor frecuencia
es el 8, por tanto: Mo = 8. b) 23, 31, 45, 23, 38, 27, 45. Solucin.
Tanto el nmero 23 como el 45 tienen la misma frecuencia. Entonces
el conjunto tiene dos modas o sea es bimodal: Mo 1 = 23 , Mo 2 = 45
c) 122, 135, 234, 167, 432, 328. Solucin. En este caso, ningn dato
se repite, por tanto no tiene moda. Trabajo en equipo Formen
equipos de trabajo, elijan un coordinador y resuelvan los
siguientes ejercicios: I) Para cada grupo de datos, calculen la
media aritmtica(x), la mediana (Me) y la moda (M0). 1. 3, 7, 12,
16, 23. 2. 21, 25, 32, 48, 53, 62. 3. 128, 230, 196, 224, 196, 233.
4. 26, 31, 46, 31, 26, 29, 31. 5. 3,1; 4,5; 6,2; 7,1; 4,5; 3,8;
6,2; 6,3. 6. 14 320, 16 950, 17 330, 14 470. Las medidas
estadsticas resumen la informacin de la muestra, para un mejor
conocimiento de la poblacin. Las medidas de tendencia central son
valores que, generalmente, se ubican alrededor de un conjunto de
datos. e i +1 = 0 Aprenda un poco ms...
40. 32 II) Se ha lanzado un dado 100 veces, obtenindose los
siguientes resultados: 6 1 6 3 1 4 5 2 5 6 1 5 3 4 1 4 6 1 2 1 3 1
4 6 2 5 4 3 1 5 2 2 3 6 3 5 2 4 1 6 5 2 4 5 3 6 4 6 3 6 6 4 4 2 2 5
1 6 3 1 2 5 3 1 1 4 3 5 1 5 3 3 1 6 5 2 6 1 4 5 5 1 4 4 3 2 5 6 5 2
2 4 1 3 3 4 6 4 3 2 Determinen: 1.La media, la mediana y la moda.
2.Complete la siguiente tabla de distribucin de frecuencias:
Resultado fi Fi fr = fr 360 1 2 3 4 5 6 Total Elaboren los
siguientes grficos: a) Un grfico de barras b) Un diagrama de
sectores circulares. c) Un diagrama de Pareto III) Los siguientes
datos muestran las edades de 20 personas convocadas a formar el
jurado en el Juzgado Primero de lo Penal: 48 58 33 42 57 32 52 25
46 60 61 49 38 53 30 47 52 63 41 34. Determine las medidas de
tendencia central. Reforzamiento El nmero de accidentes de 60
operarios de mquina que fueron analizados en tres meses por el
experto Elas Martnez, se muestran en la tabla siguiente: Nmero de
Accidentes fi 0 27 1 12 2 6 3 6 4 3 5 3 6 2 7 1 Determinar: HH
Media aritmtica HH Moda HH Mediana HH Interprete cada medida de
tendencia central HH Elabore un diagrama de Pareto
41. 33 Actividades finales de la primera unidad 1. Seale en qu
caso es ms conveniente estudiar la poblacin o la muestra. a. La
longitud (en pulgadas) de las reglas que corta una mquina de
aserrar ininterrumpidamente. b. La estatura de los y las
estudiantes de 7mo . grado de Nicaragua. c. El peso en libras de
los estudiantes de 7mo . grado A del Instituto Rubn Daro. d. El
nmero de aprobados de 7mo . grado del departamento de Chontales en
el curso acadmico 2014. 2. Seale las variables cualitativas y las
cuantitativas de la siguiente lista. Si son cuantitativas, decir
cules son discretas y cules continuas. a. Color de los ojos de un
grupo de seis personas. b. Altura de los estudiantes de un grado de
educacin secundaria. c. Nmero de hijos de una familia. d. Color de
piel de un grupo de personas. e. Credo religioso de los estudiantes
de un Instituto. f. Gnero de los estudiantes de un Colegio. g.
Estado civil. 3. Escriba la letra correspondiente a la par de cada
enunciado en el parntesis, identifique cul es la muestra (M) y cul
es la poblacin (P). a. Se extrae cien tornillos de los que produce
una fbrica en un da determinado ( ) b.Obtenemos las calificaciones
de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Econmicas ( )
c.Obtenemos la informacin de las horas trabajadas en un da por los
obreros de la Zona Franca. ( ) d.Extraemos dos galones de gasolina
de un tanque de 500 galones para que sean examinados ( )
42. 34 4. Seale con una A las series constituidas por datos
cualitativos (o atributos) y con una V los datos cuantitativos.
a.Preferencia musicales (Rock, Pop, Bachata, Reggae, Bolero). ( )
b.Marcas de galletas ( ) c.El peso en libras ( ) d.Velocidad en
km/h ( ) e.Nivel educativo (primario, secundario, universitario) (
) f.Nmero de empleados de una empresa. ( ) g.Aos de antigedad
laboral. ( ) h.La clase social (bajo, media o alta) ( ) 5. Seale
cul de las siguientes variables son continuas ( C ) y cuales son
discretas ( D ). a.Cantidad de quintales de caf cortados en un
perodo determinado ( ) b.Cantidad de cajas de fsforos en un
determinado conteo fsico( ) c.Galones de gasolina consumidos por un
automvil en una semana ( ) d.Cantidad de camisas vendidas
diariamente ( ) e.Tiempo de vida de los bombillos elctricos( ) 6.
Se realiz una encuesta por parte de los estudiantes de sptimo grado
del Instituto Nacional de Oriente a los vecinos del barrio El
Arsenal, acerca de las preferencias en los programas de TV,
obteniendo los siguientes datos: Preferencia fi Fi fr = fr . 360
Novelas 48 Pelculas 35 Series de accin 22 Programas infantiles 38
Programascientficos 27
43. 35 Complete la tabla de distribucin de frecuencias. Con los
datos del problema 3 dibuje: un grafico de barra, un diagrama
sector circular. 7. Elabore una tabla de distribucin de frecuencias
y un diagrama de sector circular con la informacin brindada por el
siguiente grfico. Deporte preferido. 8. Misael Martnez obtuvo las
siguientes notas, durante el primer corte evaluativo: 98, 95, 93,
63, 89, 95, 91, 89. a. Calcular la media aritmtica, la mediana y la
moda de estas notas. b. Cul de las medidas de tendencia central es
el ms indicado para destacar las habilidades acadmicas de Misael
Martnez? 9. Los siguientes datos son las notas de Matemtica de 7mo
. grado A, obtenidas por los estudiantes del Instituto Gaspar Garca
Laviana. 43, 44, 47, 57, 57, 58, 59, 59, 60, 60 61, 61, 62, 62, 62,
63, 70, 80, 92, 68. a. Calcular la media aritmtica, la mediana y la
moda de estas notas. b. Qu medida en el clculo anterior es la ms
representativa de los datos. c. Explique su respuesta. 10. Resolver
cada uno de los siguientes problemas. En un estudio que se realiz
en el asilo de ancianos La Providencia de Granada, se tom las
edades en aos cumplidos de los que pueden caminar sin dificultad,
recolectndose los siguientes datos: 69, 73, 65, 70, 71, 74, 65, 69,
60 y 62. Calcular la media aritmtica, la mediana y la moda .
44. 36 11.A continuacin, se proporcionan los pesos (redondeados
a la libra ms prxima) de los bebs nacidos durante un cierto
intervalo de tiempo en un hospital Bertha Caldern de la ciudad de
Managua, capital de Nicaragua: 4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9,
7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11,
8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5 a.Construir una
tabla de distribucin de frecuencias de estos pesos. b.Construir un
grfico de barra. c.Construir un diagrama de sectores circulares. d.
Calcular las medidas de tendencia central. 12.La siguiente tabla de
distribucin muestra las edades en aos de 40 estudiantes que
estudian el primer nivel de bachillerato en el Proyecto Educativo
Sandino 2 del Colegio Pblico Dr. Salvador Mendienta Cascante de la
ciudad de Managua. Intervalo de Edades Lmites reales fi Marca de
Clase (Xi ) Fi fr = fr . 360 16 - 17 5 18 - 19 11 20 - 21 10 22 -
23 9 24 - 25 3 26 - 27 2 Total (n) Complete la tabla de distribucin
de frecuencia anterior y elabore los siguientes grficos
estadsticos: a.Diagrama de sectores circulares. b. Histograma. c.
Polgono de frecuencias. d. Ojiva.
45. 37 13. Dada la siguiente tabla de distribucin de
frecuencias sobre el peso en libras de los estudiantes de undcimo
grado del Instituto Pblico Douglas Sequeira. Intervalo de peso
(libras) Lmites reales fi Marca de Clase (Xi ) Fi fr = fr . 360 100
- 109 10 110 - 119 26 120 - 129 20 130 - 139 15 140 - 149 14 150 -
159 19 160 - 169 12 Total (n) Complete la tabla de distribucin de
frecuencia anterior y elabore los siguientes grficos estadsticos:
a. Diagrama de sectores circulares. b. Histograma. c. Polgono de
frecuencias. d. Ojiva. 14. La siguiente tabla muestra la
preferencia que 1 250 personas televidentes tienen en relacin a
seis noticieros que se transmiten diariamente por la televisin
nacional de Nicaragua. Noticiero Nmero de personas que lo prefieren
A 200 B 300 C 300 D 100 E 250 F 100 Total
46. 38 Elabore un: a. Diagrama de sectores circulares. b.
Diagrama de Pareto. 15.El Gobierno de Reconciliacin y Unidad
Nacional otorg prstamos a 30 campesinos para la siembra y produccin
de frijoles. El nmero de manzanas de tierra financiada a traves de
ALBA-CARUNA fueron: 17 57 10 35 26 3 21 11 7 72 5 86 6 20 95 40 14
42 12 32 28 13 19 28 45 8 19 21 38 20 a.Construya una distribucin
de frecuencias que contenga 5 clases. b.Elabore un histograma.
c.Elabore un polgono de frecuencia. d.Elabore una ojiva. e.Calcule
la media aritmtica. f.La mediana. g.La moda. h.Interprete los
resultados. 16. A continuacin se presenta la cantidad de familia
beneficiada en el plan techo que impulsa el Gobierno de
Reconciliacin y Unidad Nacional en 25 comarcas del departamento de
Boaco. 15 17 7 15 20 5 3 19 10 3 11 10 4 8 13 9 15 6 2 8 12 1 2 13
4
47. 39 a.Construya una tabla de distribucin de frecuencias que
contenga 4 clases. b. Elabore un grfico de barra y un diagrama de
sectores circulares. 17. La revisin de 8 documentos revel el
siguiente nmero de equivocaciones en cada uno: 2, 4, 2, 3, 2, 0, 1,
0 Determine: a) El nmero promedio de equivocaciones. b) El nmero
mediano de equivocaciones. c) El nmero modal de equivocaciones. 18.
Los datos siguientes son los pasatiempos favoritos de un grupo de
estudiantes de un internado, que resultaron de una encuesta
realizada. Msica TV Leer TV Leer Msica TV TV TV Descansar TV Msica
Dibujar Leer Leer Baseball Leer Leer Leer Msica Leer Dialogar
Dialogar Leer Baseball Leer Investigar Leer Pintar Noticias Leer
Msica Noticias Leer Dialogar Msica Msica Noticias Dibujar Baseball
TV Leer Dibujar Descansar Investigar Msica Leer Descansar Elabore:
a.Una tabla de distribucin de frecuencias. b.Un grfico de barras.
c.Un grfico de sectores circulares. 19. Construir un diagrama de
barras para representar el resultado obtenido al tirar un dado 100
veces, que se resume en la siguiente tabla: Nmero que muestra el
dado 1 2 3 4 5 6 Total Frecuencia 20 15 22 18 14 11 100
48. 40 20. Construir un diagrama de barras para un estudio de
la procedencia de los estudiantes de una escuela, si se observ que:
Procedencia Urbana Rural Suburbana Total No. de estudiantes 24 36
140 200 Construya un grfico de sectores circulares para los datos
de este ejercicio. 21. Dado el siguiente cuadro: Ocupacin Obreros
Tcnicos Administrativos Cantidad de Personas 80 10 10 Construya un
grfico de sectores circulares para la distribucin ocupacional del
personal de una fbrica. 22. Dado un conjunto de datos que
representan informacin sobre el peso en gramos (g) de 48 muestras
minerales. 25 43 12 38 23 45 17 19 23 24 31 38 15 32 35 17 34 41 40
27 19 31 41 44 24 28 12 36 38 33 42 35 31 26 29 26 37 40 18 19 27
28 47 23 21 17 19 29 Elabore: a.Una tabla de distribucin de
frecuencias. b.Un histograma. c.Un polgono de frecuencia. d.Una
ojiva.
49. Conjunto de los Nmeros Enteros Unidad 2 El Gobierno de
Reconciliacin y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto
como es la construccin del puente Santa Fe y paralelo a la
construccin del puente tambin se construy la carretera ubicada en
la costa Sur del Ro San Juan de Nicaragua hasta concluir en la
frontera con Costa Rica, lo que facilitar que las exportaciones de
la zona central del pas puedan salir en esa direccin hacia Puerto
Limn en Costa Rica, adems de la entrada y salida de nicaragenses
hacia el pas vecino del Sur. Fuente: 19 digital. Abril 2014. 1 2 3
4 5 6 7 . . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Enteros positivos Enteros
positivos Enteros negativos Enteros negativos Ni positivo ni
negativo
50. 42 Teora de Conjuntos (II) Tipos de conjuntos Repaso. a.
Los conceptos: conjunto, elemento y pertenencia son conceptos
primitivos de la Teora de Conjuntos b.
Unconjuntoesunacoleccindeelementosconcaractersticas bien definidas,
que permitan decir con claridad, si este objeto est o no est en el
conjunto. c. Para indicar la pertenencia de un elemento en un
conjunto se usa la letra griega epsiln (). La expresin a M se lee
el elemento a pertenece o est en el conjunto M. La negacin de esta
expresin es a M y se lee el elemento a no pertenece al conjunto M.
d. El conjunto universo es un conjunto que contiene a otros
conjuntos, dentro de un contexto definido. Determinacin de
conjuntos Determinar un conjunto es definir sus elementos. Los
conjuntos se pueden determinar de dos formas: 1.Por extensin, si se
escriben los elementos del conjunto, agrupados en llaves y
separados por una coma. Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}. 2.Por
comprensin, si se determinan los elementos del conjunto con una
definicin, una regla, o una propiedad que los caracterice. Por
ejemplo: A = {xx es una vocal}. Matem ticas 7 Area: Matemtica
fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las operaciones con
conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Describir el conjunto formado por
los elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. a) Por extensin: A =
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}. b) Por comprensin: A = {x x es un
dgito}. Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor 1 845 - 1 918 HH Era
un matemtico alemn de origen ruso conocido como el creador de la
teora de conjuntos. HH Fue el primero en probar la no numerabilidad
de los nmeros reales. HH Cantor recibi su doctorado en 1 867 y
acept una posicin en la universidad de Halle, en 1 869 donde
permaneci. HH Nunca dud de su absoluta confianza en su trabajo
pero, despus del descubrimiento de las paradojas de la teora de
conjuntos, dej la teora de los conjuntos transfinitos, a matemticos
ms jvenes tales como David Hilbert, Bertrand Russell y Ernest
Zermelo.
51. 43 Matem ticas 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Matem ticas
7 Ejemplo Determinar, primero por extensin y despus por comprensin,
los siguientes conjuntos. a) A: el conjunto de los nmeros primos
menores que 15. Solucin. Por extensin: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Por compresin: A = {x|x es un nmero primo menor que 15}. b) B: el
conjunto de los departamentos de la regin del pacfico de Nicaragua.
Solucin. Por extensin: B = {Chinandega, Len, Managua, Granada,
Masaya, Carazo, Rivas}. Por comprensin: B = {x|x es un departamento
de la regin del pacfico de Nicaragua}. Trabajo en equipo Escriba
por extensin y despus por comprensin diez conjuntos tomados de su
entorno. Al referirnos a elementos de un conjunto, estamos hablando
de personas, animales. cosas, conjuntos numricos, etc, que tienen
caractersticas bien definidas. Tome nota Recuerde: Es ms cmodo
escribir algunos conjuntos por extensin, que por comprensin, y
viceversa. La expresin x|x que se lee x tal que x, significa que
los elementos del conjunto cumplen la regla, definicin, propiedad o
relacin que determinan los elementos del conjunto. Tome nota
52. 44 El conjunto vaco se representa con el smbolo o tambin {
}. No se debe escribir {} para simbolizar el vaco porque estaramos
escribiendo un conjunto con un elemento. Sabas qu? Ma tem ti ca 7
Algunos autores de libros de matemtica, incorrectamente dicen que
el smbolo para representar el vaco es la letra griega (fi), esto es
falso, recuerde que es una vocal utilizada en las lenguas danesa,
feroesa y noruega... Conjunto finito y conjunto infinito A veces
nos encontramos con la situacin de contar los elementos de un
conjunto, por ejemplo, contar las monedas que estn en una bolsa,
las y los estudiantes de un instituto o los habitantes del barrio.
Este proceso de contar puede tener un final o no. Con esta idea
podemos clasificar los conjuntos en: a. Conjunto finito:
intuitivamente un conjunto es finito si los diferentes elementos
del conjunto se pueden contar y este proceso tiene un final. b. En
caso contrario el conjunto es infinito. Matem ticas 7 Area:
Matemtica fecha: 27-07-87 Tema: Representacin grfica de las
operaciones con conjuntos. Matem ticas 7 Ejemplo Algunos conjuntos
particulares: a. Conjunto vaco: F = {x|x es un mltiplo de 5 entre
los nmeros 11 y 14}. b.Conjunto unitario: M = {x|x es un dgito par
de la cifra 2 395. c.Conjunto finito: el abecedario espaol.
d.Conjunto infinito: los nmeros naturales. El conjunto Universo
Sean los conjuntos: A: Los nmeros pares. B: Los nmeros impares. C:
Los nmeros mltiplos de tres. D: Los nmeros primos. : Los nmeros
naturales. El conjunto de los naturales contiene a los dems
conjuntos o sea, es un conjunto de referencia, por tanto, podemos
definir a como el conjunto universo o universal y decir que = U.
Reforzamiento: Escriba cada uno de los siguientes conjuntos, por
extensin y despus por comprensin. a. El conjunto de los nmeros
enteros b. Los meses que tienen treinta das. c. Los planetas de
nuestro sistema solar. d. Los nmeros dgitos.
53. 45 Una forma de representar los conjuntos es con diagramas
(figuras geomtricas). Las relaciones entre conjuntos puede ser: 1.
B A A est incluido en B A B 2. B no est incluido en A B A 3. = A =
B 4. A B A y B son disjuntos 5. A, B, C U fig.1 Tome nota Trabajo
en equipo Con materiales del entorno y/o dibujos, represente el
conjunto vaco y mencione, sus caractersticas. Representacin grfica
de conjuntos Los conjuntos se pueden representar con figuras
geomtricas llamadas diagramas de Venn. A 1 2 B (Ver informacin
adjunta en la columna izquierda). Relaciones entre conjuntos Entre
dos conjuntos A y B, se pueden establecer las siguientes
relaciones: 1.Todo elemento de A pertenece a B, entonces A est
incluido en B y se simboliza A B. 2.Parte de los elementos de A
estn en B, entonces A no est incluido en B y se simboliza A B.
3.Todos los elementos de A estn en B y todos los elementos de B
estn A, entonces A B y B A implica que A = B 4.Los conjuntos A y B
no tienen elementos comunes, entonces A y B son conjuntos
disjuntos. 5.Si A, B, C...,Y, Z son conjuntos dentro de un mismo
estudio, entonces existe un conjunto referencial o universal U tal
que A, B,..., Z U. Trabajo en equipo Estudie los diagramas de la
fig.1 y despus elabore con otras figuras, diagramas que expresen
las relaciones entre conjuntos.
54. 46 El conjunto de los nmeros naturales () Breve resea
histrica. Al iniciar el estudio de la Matemtica en la educacin
Primaria, se comienza contando elementos de conjuntos por ejemplo,
los dedos de las manos o algunos objetos del entorno, relacionando
dos conjuntos, igual a como pudieron hacerlo nuestros ancestros,
contar y haciendo marcas, ya sea en un pedazo de hueso (se descubri
uno en China), en un trozo de madera o seales en la pared, etc. 9
19 21 11 1719 13 11 Marcas en un hueso
Conelnacimientodelaescritura,haciaelsigloIVa.deC.enlabaja
Mesotopotamia, se emplean los primeros signos matemticos para
contar y medir. Se comprob, con el descubrimiento de las tablillas
pictogrficas de Erech del 3500 a. de C. que son las ms antiguas que
se conocen, que este inicio matemtico toma mayor consistencia.
Nmero natural En la escuela primaria nos familiarizamos con el
conjunto de los nmeros naturales: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10,...} los que usamos para contar los elementos de un conjunto.
Entonces se deduce que, un conjunto cualquiera tiene un nmero de
elementos llamado la cardinalidad del conjunto y representado con
un smbolo denominado numeral. El nombre de nmero natural se debe,
segn los historiadores, a la afirmacin que hizo el matemtico alemn
Leopoldo Kronecker en el siglo XIX: Dios hizo los nmeros naturales,
lo dems lo hizo el hombre. Leopold Kronecker 1 823 - 1 891 HH Las
actividades del hombre prehistrico: pensar, hablar y fabricar
instrumentos, estn ligadas con los conceptos bsicos de la
matemtica: nmero, medida y orden. HH Casi todos los sistemas
antiguos de escritura, disponen de signos especiales para
representar los nmeros. Historia de la Matemtica
55. 47 Mate mtic as 7 Area: Matemtica fecha: 27-07-87 Tema:
Representacin grfica de las operaciones con conjuntos. Mate mtic as
7 Ejemplo La figura adjunta, es una pintura donde estn varios
cazadores y un conjunto de animales, cuntos animales?, el numeral
para este conjunto (llamado tambin la cardinalidad) es el 10,
porque son diez elementos (animales) que tiene dicho conjunto. En
este libro no haremos distincin entre numeral y nmero. En los
siguientes grados de Primaria, se comprende que este proceso de
contar no tiene fin: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ..., 1000,
1001, ... Porque, despus de cada nmero existe el siguiente llamado
el sucesor, por eso se escribe punto suspensivo indicando que, el
proceso de contar contina indefinidamente, no tiene fin. El
conjunto 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ... se denomina el
conjunto de los nmeros naturales, es un conjunto infinito y se
escribe por extensin: = {1, 2, 3, 4, 5,...} Los nmeros naturales y
la recta numrica. Si establecemos una correspondencia entre el
conjunto de los nmeros naturales y algunos puntos de una recta: 1 2
3 4 5 6.... Quedara la siguiente figura: 1 2 3 4 5 6... Que se
denomina semirrecta numrica. Una teora matemtica est basada en los
siguientes elementos: 1. Conceptos primitivos. No se pueden definir
con otros conceptos ms fundamentales. 2. Axiomas: Verdades tan
evidentes que no necesitan demostrarse. 3. Definiciones. 4.
Teoremas: Afirmaciones que deben demostrarse. 5. Lenguaje lgico.
Pintura rupestre (prehistrica) Sabas qu? Ma tem ti ca 7
56. 48 Propiedades del conjunto El conjunto de los nmeros
naturales presenta las siguientes caractersticas: a.Todo elemento n
tiene un sucesor n + 1, llamado tambin el consecutivo de n. b. es
un conjunto discreto, esto quiere decir que entre dos nmeros
naturales consecutivos, no existe otro nmero natural. c.El conjunto
no tiene ltimo elemento. Relaciones de orden en el conjunto de los
nmeros naturales Si a y b son dos nmeros naturales, una y solamente
una de las siguientes afirmaciones es verdadera: ab (se lee a es
menor que b) ab (se lee a es mayor que b) a = b (se lee a es igual
que b) Por ejemplo, si los naturales son 34 y 26, entonces es
cierto que 3426 o tambin que 2634 pero, es falso que 34 = 26. Orden
en el conjunto En la recta numrica, se puede afirmar que un nmero
natural a es mayor que otro b, si el punto correspondiente al nmero
a est a la derecha del punto que le corresponde al nmero b. Por
ejemplo, sean tres nmeros naturales a, b y m, si la grfica de estos
tres nmeros es: b a m entonces podemos decir que ma y tambin bm.
Las expresiones ma y bm se denominan desigualdades. El orden en el
conjunto queda especificado a travs del trmino preceder y decir
que: x precede a y significa que xy. El conjunto de los naturales
tiene el siguiente orden: 123456789... Los segmentos pueden medirse
de 1 en 1, de 5 en 5, de 10 en 10, de la forma que le facilite el
grfico de los diferentes puntos. Ejemplo: Grafiquemos los puntos
24, 76 y 105. Solucin. En este caso cada segmento mide 10. Los
conjuntos de los nmeros primos, pares e impares son subconjuntos de
. El siguiente diagrama de Venn representa esta relacin: Pares
Primos Impares 2 P: nmeros naturales primos. P = {2, 3, 5, 7,11,
13, . . .} A: nmeros naturales pares. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . .
.} B: nmeros naturales impares B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} e i
+1 = 0 Aprenda un poco ms...