Métodos de Elementos Finitos Aplicaciones Métodos de Elementos Finitos Aplicaciones
en el Análisis Estructuralen el Análisis Estructural
Dr. Ing. Hugo Scaletti Farina
Los Elementos Finitos son herramientas poderosas para la solución de ecuaciones diferenciales
Pueden considerarse como una extensión de los métodos de parámetros indeterminados, ya propuestos por Gauss en el siglo XVIII, pero más desarrollados a inicios del siglo XX
Los procedimientos de parámetros indeterminados en su forma “clásica”, basados en aproximaciones válidas para todo el medio estudiado, están limitados a situaciones relativamente simples
Aplicación de un Método de Parámetros Indeterminados:Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniformemente Distribuida
Lx
senxv
)(
mínimadxwvdxvEIvLL
P 221)(
22)( 2
3
4
21 wL
L
EIP
Aproximación:
función conocida
parámetro indeterminado
puede en este caso interpretarse como la deflexión máxima
Usando la aproximación y sus consecuencias, la energía potencial:
se reduce a una simple función del parámetro indeterminado :
mínimofkP 221)(
EI
wL
EI
wL 44
013021.0384
5La solución exacta es:
0
fkP
EI
wL
EI
wL
k
f 44
5013071.0
4
La forma de la función v(x) antes propuesta no es exacta, pero se parece mucho a la forma correcta, lo que explica los buenos resultados
Sin embargo, cuando se tiene una geometría irregular, más aún si el material no es homogéneo, se hace difícil plantear una aproximación válida para todo el medio estudiado
En las técnicas de elementos finitos se resuelve el problema dividiendo el medio estudiado en numerosos “elementos”, que se interconectan en un número finito de puntos o “nudos”
Para cada elemento se hacen aproximaciones distintas, de carácter local
Habitualmente los parámetros que definen la aproximación son los valores numéricos de la(s) función(es) incógnita en los nudos. En tal caso, las aproximaciones son propiamente interpolaciones
El mayor avance en estos métodos se dio en las décadas de 1960 y 1970, sobre la base de procedimientos ya establecidos para el análisis de estructuras de barras y paralelamente a un desarrollo acelerado de las computadoras digitales
Ya en la década de 1960 se tuvieron aplicaciones a problemas “no estructurales”, como el estudio de flujo de agua en medios porosos
Actualmente se usan elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales en prácticamente todos los campos de la ciencia y la ingeniería
Modelo para el Análisis de la Concentración de Esfuerzos en una Plancha Delgada con un Orificio
Comparación de los resultados obtenidos del Comparación de los resultados obtenidos del modelo numérico con la solución analítica.modelo numérico con la solución analítica.
Abertura Reforzada en una PlanchaCampo de tensiones lejos de la abertura: sx = 100, sy = 50.
Los espesores ABC están en relación 1:3:23
ModeloModelo Esfuerzos PrincipalesEsfuerzos Principales
Análisis Estático Lineal
Modelo de Elementos Finitos. Zienkiewicz (1967)
Sección Transversal – Presa de Contrafuertes
Resultados con Empuje como Presión Intersticial
Análisis para Empuje de Agua como Presión Externa
Filtración bajo una presa cimentada en terreno muy heterogéneo (O.C.Zienkiewicz)
Amplificación de Altura de Ola – Puerto Long Beach (J.R.Houston)
1701 nudos, 2853 elementos
Análisis del acuífero de Musquodoboit, Nueva Escocia (Connor y Brebbia)
Pozo 1
Pozo 2 Pozo 3
Dep
resi
ón (
ft)
Solución por diferencias finitas
Tiempo de Bombeo (min)
Pozo
Río Musquodoboit
Elementos finitos
Filtración bajo una presa cimentada en terreno muy heterogéneo (O.C.Zienkiewicz)
Amplificación de Altura de Ola – Puerto Long Beach (J.R.Houston)
1701 nudos, 2853 elementos
Análisis del acuífero de Musquodoboit, Nueva Escocia (Connor y Brebbia)
Pozo 1
Pozo 2 Pozo 3
Dep
resi
ón (
ft)
Solución por diferencias finitas
Tiempo de Bombeo (min)
Pozo de observación
Pozo
Río Musquodoboit
NudoPozo de bombeo
Elementos finitos
Los modelos de Elementos Finitos se pueden adaptar fácilmente a geometrías irregulares, con contornos arbitrarios
Los Elementos Finitos permiten tratar sin mayor dificultad medios no homogéneos y anisotrópicos
En un gran número de situaciones prácticas se dispone de programas de cómputo que realizan todos los pasos requeridos para la solución
El refinamiento adaptivo de los modelos permitirá simplificar la definición del modelo para conseguir los objetivos de precisión
Análisis DinámicoNo Lineal
t = 0.8 x 10-8s17 h CPU CRAY X-MP48
SAAB Automobile AB
SAAB 9000
14811 elementos
Fuerza de membrana en dirección longitudinal (kip/in)
Fuerza de membrana en dirección transversal (kip/in) Momento Flector en dirección longitudinal (kip in/in)
Momento Flector en dirección transversal (kip in/in)
Modos de Vibración de una Placa en VoladizoE = 3 x 107 psi = 0,3 r = 0,283 lb/pulg2 L = 2” b = 1” t = 0,1”
Modo 1Primer modo flexional
Modo 2Primer modo torsional
Modo 4Deformación de membrana
Modo 3Segundo modo flexional
T = 0.000143 sf = 7009 Hertz
T = 0.000192 sf = 5201 Hertz
T = 0.000280 sf = 3568 Hertz
T = 0.001195 sf = 837 Hertz
Edificio multifamiliar Edificio multifamiliar Programa MiviviendaPrograma Mivivienda
Desplazamientos Verticales (m) – Platea de CimentaciónDesplazamientos Verticales (m) – Platea de Cimentación
Modelo de Elementos FinitosModelo de Elementos Finitos
Proyecto Facultad de ArquitecturaProyecto Facultad de ArquitecturaUniversidad Ricardo PalmaUniversidad Ricardo Palma
Máximos esfuerzos cortantes (kN/m) al ensayar tensores
Momentos flectores verticales (kN m/m) debidos a sismo, considerado como empuje activo
Muro de Contención Atirantado
Deformada al finalizar el proceso constructivo
Momentos flectores horizontales (kN m/m)debidos al tensado y al empuje pasivo del suelo
Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Estacionario
Aproximaciones de Elementos Finitos
Sistema de Ecuaciones Algebraicas
Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Dinámico
Aproximaciones de Elementos Finitos
Sistema de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
Elasticidad Lineal
Continuidad
Venbijij 0,
SenTn iijj
uii Senuu
Venuu ijjiij ,,21
VenC ijijklij
Equilibrio
Leyes constitutivas
(expresiones linearizadas, referidas a la geometría inicial)
Análisis Estructural Estático LinealModelos de Desplazamiento
axNxu )()(Interpolación de desplazamientos:
Deformaciones unitarias:
desplazamientos en un punto
desplazamientos de los nudos
funciones de interpolación
aBaNxε )(
operadores de derivación
desplazamientos de los nudos
matriz deformación - desplazamiento
Esfuerzos: aBDεDxσ )(
matriz esfuerzo - deformación
desplazamientos de los nudos
matriz deformación - desplazamiento
Análisis Estructural Estático LinealModelos de Desplazamiento
a
faaKa
TNbNaaDBBa
TNabNaBaDBaa
TT
S
T
V
TT
V
TT
S
T
V
T
V
TP
dSdVdV
dSdVdV
21
21
21 )()()()()(
mínimadSdVdVS
T
V
T
V
TP
Tubuεσu 21)(
Energía Potencial:
fuerzas de cuerpo tracciones de borde
Con las aproximaciones se convierte el funcional en una función de los parámetros :
aNu
Análisis Estructural Estático LinealModelos de Desplazamiento
faK0a
P
mínimaTTP faaKaa 2
1)(Energía Potencial:
Matriz de rigidez:
Matriz de fuerzas:
S
T
V
T
V
T
dSdV
dV
TNbNf
DBBK
Las matrices de rigidez y de fuerzas se ensamblan en la forma habitual
míndxwvdxvEIvLLP 2
21)(
Energía Potencial
21
122
L
EIdxEI
L
T BBK
1
1
12
2wLdxw
L
TNf
aBaN
vL
L
x
L
xL
L
x
L
xv
2
122
11
Matriz de rigidez
Matriz de fuerzas
L
w
2
1
“Aproximación”:
Caso Particular de una Viga a Flexión
Elemento Finito Triangular (CST)
iiiii LycxbaA
N )(2
1
mji
mji
yyy
xxxA
111
21
jmi
mji
jmmji
xxcyyb
yxyxa
i, j, m son permutaciones cíclicas de los índices 1, 2, 3
332211 ),(),(),( uyxNuyxNuyxNu
2
1
3
Elementos Triangulares Simples
CST:
Triángulo cuadrático:
Triángulo cúbico:
ii LN
111 12 LLN
11121
1 2313 LLLN
13 12129
4 LLLN
214 4 LLN
32110 27 LLLN
Nudos de vértice
Nudos laterales
Nudo interior
Nudos de vértice
Nudos laterales
Elemento Finito Rectangular
xyyxu 4321
44332211 )()()()( uNuNuNuNu xxxx
Coordenadas normalizadas
1141
4N
1141
1N
1141
2N
1141
3N
axx c /
byy c /
Funciones de interpolación
u
u1
Y
X
1
2
3
u3
u2
c
4
u4
Elementos de Lagrange
)()(, jiij ffN
121
0f
21 1 f
121
2f
121
0f
121
1f
Interpolación lineal:
Interpolación cuadrática:
Interpolación cúbica:
00
02
01 21
22
20
12
11
10
00
01 11
10
00
33
32
31
30
03
02
01
13
10
12
11
22
21
23
20
119 2161
0f
119 2161
3f
311 2169
1f
311 2169
2f
Elementos de Serendip
i
i
0
0
Interpolación lineal:
Interpolación cuadrática:
Interpolación cúbica:
0041 11 iN
Nudos de vértice
Nudos laterales
111 000041 iN
02
21 110 ii N
202
1 110 ii N
Nudos de vértice
Nudos laterales
10911 220032
1 iN
02
0329
31
91111
i
ii
Ny expresiones análogas permutando y
Convergencia en Modelos de Elementos Finitos
Se dice que hay convergencia si los errores se reducen a medida que se refina la malla, es decir, a medida que se reducen las dimensiones de los elementos
Para que se tenga convergencia, las funciones de aproximación (interpolación) deben ser suficientemente derivables y deben poder representar exactamente las condiciones que se dan en un elemento diferencial
Además, si en la formulación se tienen derivadas hasta de orden m, la funciones y todas sus derivadas hasta de orden m-1 deben ser continuas en los bordes entre elementos
Observación del Error
Las derivadas de orden m (o cantidades dependientes de esas derivadas) no son necesariamente continuas. Las discrepancias en tales valores son una manifestación de la (no) calidad del modelo
Si en un elemento de tamaño h se tienen aproximaciones polinómicas que contienen todos los términos hasta de grado p, éstas podrán ajustarse localmente a la solución correcta con errores del orden O(h p+1)
Las derivadas m-ésimas de la(s) función(es) incógnita convergen con un error de orden O(h p+1-m)
Elementos “Shell” SAP2000
Esfuerzos Cortantes en un Muro Debidos a Fuerza Lateral
Elementos “Plane” SAP2000
Error en desplazamientomáximo - Viga en voladizocon carga en un extremo
Errores en Norma de Energía – Elementos Triangulares Lineales (CST)
108 GDL
= 34.2 %
1201 GDL
= 8.47 %
Errores en Norma de Energía – Elementos Triangulares Cuadráticos
94 GDL
= 18.3 %
482 GDL
= 4.06 %
Mapeo de Elementos Distorsionados
• El tratamiento de elementos distorsionados se facilita si se hace un mapeo tal que éstos se convierten en regulares.
• A cada punto del elemento distorsionado, en XYZ, corresponde un punto del elemento mapeado, regular, en .
• Las funciones de interpolación se obtienen fácilmente en términos de .
XYZ
321 LLL
Transformaciones Isoparamétricas
Los mapeos más utilizados en elementos finitos son los llamados “isoparamétricos”.
Las coordenadas xyz de un punto cualquiera se obtienen interpolando las coordenadas de los nudos con el mismo tipo de expresiones usadas para interpolar las incógnitas:
Los mapeos isoparamétricos cumplen las condiciones de consistencia y continuidad requeridas para la convergencia.
ii xNx ,,
ii yNy ,,
ii zNz ,,
Condiciones de Unicidad
Deflexión
Esfuerzo x en A-A
Malla regular (R)
Malla irregular (I)
Malla regular, 8 ó 9 nudos
Malla irregular, 9 nudos (Lagrange)
Malla irregular, 8 nudos (Serendip)
Efecto de la Distorsión de los Elementos
Modelos de Desplazamiento
ii uNu ,
ii vNv ,
aNu
2
2
1
1
321
321
000
000
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
• Aproximaciones para los desplazamientos:
2
2
1
1
2211
21
21
00
00
v
u
v
u
x
N
y
N
x
N
y
Ny
N
y
Nx
N
x
N
x
v
y
uy
vx
u
xy
y
x
ε
aBBBaNu 21ε
• Ecuaciones deformación - desplazamiento:
y
Nx
N
y
Nx
N
yx
yx
N
N
i
i
i
i
i
i
J
0ε-εDσ
12
EG
21
2 G
• Relaciones constitutivas (caso isotrópico y lineal):
0
0
0
21
2
100
01
01
1xyxy
yy
xx
xy
y
xE
0
0
0
00
02
02
xyxy
yy
xx
xy
y
x
G
G
G
Estado plano de esfuerzos
Estado plano de deformación
faK • Sistema de ecuaciones:
e
e)(ff
e
e)(KK
p q
Tqp
V
Te wwtdVe
JBDBDBBK )(
dSdVdVS
T
V
T
V
Te
ee
TNDBbNf o)( ε
p
Tp
p q
TTqp www JTNJDBbN ˆεo
Iglesia de la Sagrada Familia Iglesia del TriunfoBasílica Catedral
Catedral del CuzcoCatedral del CuzcoCISMID (2002)CISMID (2002)
Modelo de un pilar con elementos sólidos
Catedral de LimaCatedral de LimaCISMID (2005)CISMID (2005)
Catedral de LimaCatedral de LimaCISMID (2005)CISMID (2005)
Catedral de LimaCatedral de LimaCISMID (2005)CISMID (2005)
Desplazamientos Desplazamientos laterales de sismo laterales de sismo
(cm), nivel +13.00(cm), nivel +13.00
Puente Billinghurst, Puerto Maldonado
Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaCortado en el Plano de Simetría
Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaEntre Plano de Cables y Plano de Simetría
Esfuerzos Principales Máximos (kg/cm2) - Plano de cables
Esfuerzos Cortantes XZ (kg/cm2) - Plano de cables
Bibliografía
L.J. Segerlind (1984). Applied Finite Element Analysis. 2aedición. Wiley, N.Y.
R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha y R.J. Witt (2003). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 4a edición. Wiley, N.Y.
K.J. Bathe (1995). Finite Element Procedures. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J.
Bibliografía
O.C. Zienkiewicz y R.L. Taylor (2004). El Método de los Elementos Finitos. 5a edición. CIMNE, Barcelona.
O.C. Zienkiewicz , R.L. Taylor y J.Z. Zhu (2005). The Finite Element Method. 6th edition. Elsevier Butterworth Heinemann, Oxford - Burlington.
Kojic, M. y Bathe, K.J. (2005). Inelastic Analysis of Solids and Structures. Springer, Berlín.
Desarrollo de zonas plásticas en una placa perforada sometida a tracción
ANÁLISIS NO LINEAL
Análisis de Vasija de Presión
Pandeo de una cubierta esférica
Curvas Carga Anular - DesplazamientoCurvas Carga Anular - Desplazamiento
Formulación Incremental
dSdVdVAS
T
V
T
VP
Tubuuu
nnn uuu 1
nnn εεε 1nnn TTT 1
nnn bbb 1
ntT
nnT
nnn AA εDεσεuu 21
1
dVV nt
Tnn
TnnPnP εDεσεuu 2
11
dVdVV n
TnV n
Tn bubu 1
dSdSS n
TnS n
Tn
TuTu 1
Formulación Incremental
nn aNu
dVV n
TTnnPnP σBauu 1
nV tTT
n dV aBDBa 21
nn aBε
nn aNu
nn aBε
dVdVV n
TTnV n
TTn bNabNa 1
dSdSS n
TTnS n
TTn
TNaTNa 1
Formulación Incremental
0 nP u
nV tTT
nnP dV aBDBau 21
1
dVdSdV
V nT
S nT
V nTT
n σBTNbNa 11
01 nP unnt faK
eV t
Tt dV
e
BDBK 21
eV n
T
S nT
V nT
n dVdSdSee
σBTNbNf 11