LINEAS DE INFLUENCIA, ANALISIS ESTRUCTURAL, 7 CICLO, UNI, UCV

Métodos de Elementos Finitos Aplicaciones Métodos de Elementos Finitos Aplicaciones

en el Análisis Estructuralen el Análisis Estructural

Dr. Ing. Hugo Scaletti Farina

Los Elementos Finitos son herramientas poderosas para la solución de ecuaciones diferenciales

Pueden considerarse como una extensión de los métodos de parámetros indeterminados, ya propuestos por Gauss en el siglo XVIII, pero más desarrollados a inicios del siglo XX

Los procedimientos de parámetros indeterminados en su forma “clásica”, basados en aproximaciones válidas para todo el medio estudiado, están limitados a situaciones relativamente simples

Aplicación de un Método de Parámetros Indeterminados:Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniformemente Distribuida

Lx

senxv

)(

mínimadxwvdxvEIvLL

P 221)(

22)( 2

3

4

21 wL

L

EIP

Aproximación:

función conocida

parámetro indeterminado

puede en este caso interpretarse como la deflexión máxima

Usando la aproximación y sus consecuencias, la energía potencial:

se reduce a una simple función del parámetro indeterminado :

mínimofkP 221)(

EI

wL

EI

wL 44

013021.0384

5La solución exacta es:

0

fkP

EI

wL

EI

wL

k

f 44

5013071.0

4

La forma de la función v(x) antes propuesta no es exacta, pero se parece mucho a la forma correcta, lo que explica los buenos resultados

Sin embargo, cuando se tiene una geometría irregular, más aún si el material no es homogéneo, se hace difícil plantear una aproximación válida para todo el medio estudiado

En las técnicas de elementos finitos se resuelve el problema dividiendo el medio estudiado en numerosos “elementos”, que se interconectan en un número finito de puntos o “nudos”

Para cada elemento se hacen aproximaciones distintas, de carácter local

Habitualmente los parámetros que definen la aproximación son los valores numéricos de la(s) función(es) incógnita en los nudos. En tal caso, las aproximaciones son propiamente interpolaciones

El mayor avance en estos métodos se dio en las décadas de 1960 y 1970, sobre la base de procedimientos ya establecidos para el análisis de estructuras de barras y paralelamente a un desarrollo acelerado de las computadoras digitales

Ya en la década de 1960 se tuvieron aplicaciones a problemas “no estructurales”, como el estudio de flujo de agua en medios porosos

Actualmente se usan elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales en prácticamente todos los campos de la ciencia y la ingeniería

Modelo para el Análisis de la Concentración de Esfuerzos en una Plancha Delgada con un Orificio

Comparación de los resultados obtenidos del Comparación de los resultados obtenidos del modelo numérico con la solución analítica.modelo numérico con la solución analítica.

Abertura Reforzada en una PlanchaCampo de tensiones lejos de la abertura: sx = 100, sy = 50.

Los espesores ABC están en relación 1:3:23

ModeloModelo Esfuerzos PrincipalesEsfuerzos Principales

Análisis Estático Lineal

Modelo de Elementos Finitos. Zienkiewicz (1967)

Sección Transversal – Presa de Contrafuertes

Resultados con Empuje como Presión Intersticial

Análisis para Empuje de Agua como Presión Externa

Filtración bajo una presa cimentada en terreno muy heterogéneo (O.C.Zienkiewicz)

Amplificación de Altura de Ola – Puerto Long Beach (J.R.Houston)

1701 nudos, 2853 elementos

Análisis del acuífero de Musquodoboit, Nueva Escocia (Connor y Brebbia)

Pozo 1

Pozo 2 Pozo 3

Dep

resi

ón (

ft)

Solución por diferencias finitas

Tiempo de Bombeo (min)

Pozo

Río Musquodoboit

Elementos finitos

Filtración bajo una presa cimentada en terreno muy heterogéneo (O.C.Zienkiewicz)

Amplificación de Altura de Ola – Puerto Long Beach (J.R.Houston)

1701 nudos, 2853 elementos

Análisis del acuífero de Musquodoboit, Nueva Escocia (Connor y Brebbia)

Pozo 1

Pozo 2 Pozo 3

Dep

resi

ón (

ft)

Solución por diferencias finitas

Tiempo de Bombeo (min)

Pozo de observación

Pozo

Río Musquodoboit

NudoPozo de bombeo

Elementos finitos

Los modelos de Elementos Finitos se pueden adaptar fácilmente a geometrías irregulares, con contornos arbitrarios

Los Elementos Finitos permiten tratar sin mayor dificultad medios no homogéneos y anisotrópicos

En un gran número de situaciones prácticas se dispone de programas de cómputo que realizan todos los pasos requeridos para la solución

El refinamiento adaptivo de los modelos permitirá simplificar la definición del modelo para conseguir los objetivos de precisión

Análisis DinámicoNo Lineal

t = 0.8 x 10-8s17 h CPU CRAY X-MP48

SAAB Automobile AB

SAAB 9000

14811 elementos

Fuerza de membrana en dirección longitudinal (kip/in)

Fuerza de membrana en dirección transversal (kip/in) Momento Flector en dirección longitudinal (kip in/in)

Momento Flector en dirección transversal (kip in/in)

Modos de Vibración de una Placa en VoladizoE = 3 x 107 psi = 0,3 r = 0,283 lb/pulg2 L = 2” b = 1” t = 0,1”

Modo 1Primer modo flexional

Modo 2Primer modo torsional

Modo 4Deformación de membrana

Modo 3Segundo modo flexional

T = 0.000143 sf = 7009 Hertz

T = 0.000192 sf = 5201 Hertz

T = 0.000280 sf = 3568 Hertz

T = 0.001195 sf = 837 Hertz

Edificio multifamiliar Edificio multifamiliar Programa MiviviendaPrograma Mivivienda

Desplazamientos Verticales (m) – Platea de CimentaciónDesplazamientos Verticales (m) – Platea de Cimentación

Modelo de Elementos FinitosModelo de Elementos Finitos

Proyecto Facultad de ArquitecturaProyecto Facultad de ArquitecturaUniversidad Ricardo PalmaUniversidad Ricardo Palma

Máximos esfuerzos cortantes (kN/m) al ensayar tensores

Momentos flectores verticales (kN m/m) debidos a sismo, considerado como empuje activo

Muro de Contención Atirantado

Deformada al finalizar el proceso constructivo

Momentos flectores horizontales (kN m/m)debidos al tensado y al empuje pasivo del suelo

Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Estacionario

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de Ecuaciones Algebraicas

Ecuaciones Diferenciales paraun Problema Dinámico

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias

Elasticidad Lineal

Continuidad

Venbijij 0,

SenTn iijj

uii Senuu

Venuu ijjiij ,,21

VenC ijijklij

Equilibrio

Leyes constitutivas

(expresiones linearizadas, referidas a la geometría inicial)

Análisis Estructural Estático LinealModelos de Desplazamiento

axNxu )()(Interpolación de desplazamientos:

Deformaciones unitarias:

desplazamientos en un punto

desplazamientos de los nudos

funciones de interpolación

aBaNxε )(

operadores de derivación


matriz deformación - desplazamiento

Esfuerzos: aBDεDxσ )(

matriz esfuerzo - deformación


matriz deformación - desplazamiento


a

faaKa

TNbNaaDBBa

TNabNaBaDBaa

TT

S

T

V

TT

V

TT

S

T

V

T

V

TP

dSdVdV

dSdVdV

21

21

21 )()()()()(

mínimadSdVdVS

T

V

T

V

TP

Tubuεσu 21)(

Energía Potencial:

fuerzas de cuerpo tracciones de borde

Con las aproximaciones se convierte el funcional en una función de los parámetros :

aNu


faK0a

P

mínimaTTP faaKaa 2

1)(Energía Potencial:

Matriz de rigidez:

Matriz de fuerzas:

S

T

V

T

V

T

dSdV

dV

TNbNf

DBBK

Las matrices de rigidez y de fuerzas se ensamblan en la forma habitual

míndxwvdxvEIvLLP 2

21)(

Energía Potencial

21

122

L

EIdxEI

L

T BBK

1

1

12

2wLdxw

L

TNf

aBaN

vL

L

x

L

xL

L

x

L

xv

2

122

11

Matriz de rigidez

Matriz de fuerzas

L

w

2

1

“Aproximación”:

Caso Particular de una Viga a Flexión

Elemento Finito Triangular (CST)

iiiii LycxbaA

N )(2

1

mji

mji

yyy

xxxA

111

21

jmi

mji

jmmji

xxcyyb

yxyxa

i, j, m son permutaciones cíclicas de los índices 1, 2, 3

332211 ),(),(),( uyxNuyxNuyxNu

2

1

3

Elementos Triangulares Simples

CST:

Triángulo cuadrático:

Triángulo cúbico:

ii LN

111 12 LLN

11121

1 2313 LLLN

13 12129

4 LLLN

214 4 LLN

32110 27 LLLN

Nudos de vértice

Nudos laterales

Nudo interior

Nudos de vértice

Nudos laterales

Elemento Finito Rectangular

xyyxu 4321

44332211 )()()()( uNuNuNuNu xxxx

Coordenadas normalizadas

1141

4N

1141

1N

1141

2N

1141

3N

axx c /

byy c /

Funciones de interpolación

u

u1

Y

X

1

2

3

u3

u2

c

4

u4

Elementos de Lagrange

)()(, jiij ffN

121

0f

21 1 f

121

2f

121

0f

121

1f

Interpolación lineal:

Interpolación cuadrática:

Interpolación cúbica:

00

02

01 21

22

20

12

11

10

00

01 11

10

00

33

32

31

30

03

02

01

13

10

12

11

22

21

23

20

119 2161

0f

119 2161

3f

311 2169

1f

311 2169

2f

Elementos de Serendip

i

i

0

0

Interpolación lineal:

Interpolación cuadrática:

Interpolación cúbica:

0041 11 iN

Nudos de vértice

Nudos laterales

111 000041 iN

02

21 110 ii N

202

1 110 ii N

Nudos de vértice

Nudos laterales

10911 220032

1 iN

02

0329

31

91111

i

ii

Ny expresiones análogas permutando y

Convergencia en Modelos de Elementos Finitos

Se dice que hay convergencia si los errores se reducen a medida que se refina la malla, es decir, a medida que se reducen las dimensiones de los elementos

Para que se tenga convergencia, las funciones de aproximación (interpolación) deben ser suficientemente derivables y deben poder representar exactamente las condiciones que se dan en un elemento diferencial

Además, si en la formulación se tienen derivadas hasta de orden m, la funciones y todas sus derivadas hasta de orden m-1 deben ser continuas en los bordes entre elementos

Observación del Error

Las derivadas de orden m (o cantidades dependientes de esas derivadas) no son necesariamente continuas. Las discrepancias en tales valores son una manifestación de la (no) calidad del modelo

Si en un elemento de tamaño h se tienen aproximaciones polinómicas que contienen todos los términos hasta de grado p, éstas podrán ajustarse localmente a la solución correcta con errores del orden O(h p+1)

Las derivadas m-ésimas de la(s) función(es) incógnita convergen con un error de orden O(h p+1-m)

Elementos “Shell” SAP2000

Esfuerzos Cortantes en un Muro Debidos a Fuerza Lateral

Elementos “Plane” SAP2000

Error en desplazamientomáximo - Viga en voladizocon carga en un extremo

Errores en Norma de Energía – Elementos Triangulares Lineales (CST)

108 GDL

= 34.2 %

1201 GDL

= 8.47 %

Errores en Norma de Energía – Elementos Triangulares Cuadráticos

94 GDL

= 18.3 %

482 GDL

= 4.06 %

Mapeo de Elementos Distorsionados

• El tratamiento de elementos distorsionados se facilita si se hace un mapeo tal que éstos se convierten en regulares.

• A cada punto del elemento distorsionado, en XYZ, corresponde un punto del elemento mapeado, regular, en .

• Las funciones de interpolación se obtienen fácilmente en términos de .

XYZ

321 LLL

Transformaciones Isoparamétricas

Los mapeos más utilizados en elementos finitos son los llamados “isoparamétricos”.

Las coordenadas xyz de un punto cualquiera se obtienen interpolando las coordenadas de los nudos con el mismo tipo de expresiones usadas para interpolar las incógnitas:

Los mapeos isoparamétricos cumplen las condiciones de consistencia y continuidad requeridas para la convergencia.

ii xNx ,,

ii yNy ,,

ii zNz ,,

Condiciones de Unicidad

Deflexión

Esfuerzo x en A-A

Malla regular (R)

Malla irregular (I)

Malla regular, 8 ó 9 nudos

Malla irregular, 9 nudos (Lagrange)

Malla irregular, 8 nudos (Serendip)

Efecto de la Distorsión de los Elementos

Modelos de Desplazamiento

ii uNu ,

ii vNv ,

aNu

2

2

1

1

321

321

000

000

v

u

v

u

NNN

NNN

v

u

• Aproximaciones para los desplazamientos:

2

2

1

1

2211

21

21

00

00

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

Ny

N

y

Nx

N

x

N

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

ε

aBBBaNu 21ε

• Ecuaciones deformación - desplazamiento:

y

Nx

N

y

Nx

N

yx

yx

N

N

i

i

i

i

i

i

J

0ε-εDσ

12

EG

21

2 G

• Relaciones constitutivas (caso isotrópico y lineal):

0

0

0

21

2

100

01

01

1xyxy

yy

xx

xy

y

xE

0

0

0

00

02

02

xyxy

yy

xx

xy

y

x

G

G

G

Estado plano de esfuerzos

Estado plano de deformación

faK • Sistema de ecuaciones:

e

e)(ff

e

e)(KK

p q

Tqp

V

Te wwtdVe

JBDBDBBK )(

dSdVdVS

T

V

T

V

Te

ee

TNDBbNf o)( ε

p

Tp

p q

TTqp www JTNJDBbN ˆεo

Iglesia de la Sagrada Familia Iglesia del TriunfoBasílica Catedral

Catedral del CuzcoCatedral del CuzcoCISMID (2002)CISMID (2002)

Modelo de un pilar con elementos sólidos

Catedral de LimaCatedral de LimaCISMID (2005)CISMID (2005)

Catedral de LimaCatedral de LimaCISMID (2005)CISMID (2005)

Desplazamientos Desplazamientos laterales de sismo laterales de sismo

(cm), nivel +13.00(cm), nivel +13.00

Puente Billinghurst, Puerto Maldonado

Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaCortado en el Plano de Simetría

Modelo de la Cámara de Anclaje IzquierdaEntre Plano de Cables y Plano de Simetría

Esfuerzos Principales Máximos (kg/cm2) - Plano de cables

Esfuerzos Cortantes XZ (kg/cm2) - Plano de cables

Bibliografía

L.J. Segerlind (1984). Applied Finite Element Analysis. 2aedición. Wiley, N.Y.

R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha y R.J. Witt (2003). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 4a edición. Wiley, N.Y.

K.J. Bathe (1995). Finite Element Procedures. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J.

Bibliografía

O.C. Zienkiewicz y R.L. Taylor (2004). El Método de los Elementos Finitos. 5a edición. CIMNE, Barcelona.

O.C. Zienkiewicz , R.L. Taylor y J.Z. Zhu (2005). The Finite Element Method. 6th edition. Elsevier Butterworth Heinemann, Oxford - Burlington.

Kojic, M. y Bathe, K.J. (2005). Inelastic Analysis of Solids and Structures. Springer, Berlín.

Desarrollo de zonas plásticas en una placa perforada sometida a tracción

ANÁLISIS NO LINEAL

Análisis de Vasija de Presión

Pandeo de una cubierta esférica

Curvas Carga Anular - DesplazamientoCurvas Carga Anular - Desplazamiento

Formulación Incremental

dSdVdVAS

T

V

T

VP

Tubuuu

nnn uuu 1

nnn εεε 1nnn TTT 1

nnn bbb 1

ntT

nnT

nnn AA εDεσεuu 21

1

dVV nt

Tnn

TnnPnP εDεσεuu 2

11

dVdVV n

TnV n

Tn bubu 1

dSdSS n

TnS n

Tn

TuTu 1


nn aNu

dVV n

TTnnPnP σBauu 1

nV tTT

n dV aBDBa 21

nn aBε

nn aNu

nn aBε

dVdVV n

TTnV n

TTn bNabNa 1

dSdSS n

TTnS n

TTn

TNaTNa 1


0 nP u

nV tTT

nnP dV aBDBau 21

1

dVdSdV

V nT

S nT

V nTT

n σBTNbNa 11

01 nP unnt faK

eV t

Tt dV

e

BDBK 21

eV n

T

S nT

V nT

n dVdSdSee

σBTNbNf 11

LINEAS DE INFLUENCIA, ANALISIS ESTRUCTURAL, 7 CICLO, UNI, UCV

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