SESION 4 UCV

SESION 4

MATEMATICA PARA LOS NEGOCIOS

FUNCIÓN EXPONENCIAL

COMPETENCIA INDICADORES Aplica contenidos conceptuales y procedimentales

de la Lógica Matemática para solucionar problemas de la realidad, de manera acertada, responsable y proactiva.

Aplica función exponencial en la resolución de problemas

La función exponencial, surge bajo el estudio de diversos fenómenos relacionados a un sin número de procesos de:

CRECIMIENTO: de población, valuación de activos, inflación, tasa en que se usan determinación de recursos, producto nacional bruto.

DECRECIMIENTO: Valor decreciente de ciertos activos, disminución de incidencia de ciertas enfermedades, disminución del poder adquisitivo de los consumidores, deterioro de la eficiencia de una máquina conforme envejece.

Es decir, que sus aplicaciones se relacionan con la vida cotidiana en la economía, la salud y otros.

La función exponencial aparece cada vez que se analiza un proceso que evoluciona de modo que aumenta o disminuye en un pequeño intervalo de tiempo, ya sea proporcional a lo que había al comienzo del intervalo.

Esta función crece más rápidamente que cualquier otra función.

Gran parte de las operaciones con funciones exponenciales guarda una estrecha relación con las operaciones con exponentes.

Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial, por ejemplo:

Un papel que se dobla sucesivamente en 2 partes iguales. La hoja de un determinado grosor tendrá al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el segundo doblez tendrá un grosor equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego grosor 8, 16, 32, 64, … etc.


Introducción

Una función exponencial tiene la forma:

f(x)=k.ax

siendo k una constante cualesquiera (k ∈ R) , con a1 y x es el exponente.

x=0 es una asíntota, f(x) se aproxima infinitamente pero nunca existe la intersección. D(f)= R ; R(f)= [ 0;+∞ >

y y

.

Si a> 1, tendremos una función creciente Si 0< a< 1, tendremos una función decreciente

Observemos que:

El dominio de f: D(f)= R (conjunto de todos los números reales ) y

El rango de f: R(f)= [ 0;+∞ > ; R+ (toma valores reales positivos)

Ejemplo1

Graficar la siguiente función: f(x)= 2x

Para ello realizamos la tabulación resultando los siguientes puntos:

Ejemplo 2:

La gráfica de cierta función exponencial contiene al punto P(3/2; 27). ¿Cuál es la base y la regla de correspondencia de la función?


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 1/16 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16

xx

f(x) = ex

Cuando a = e, donde e es la base de los logaritmos naturales y su valor tiende al número irracional 2,7182818…. que se denota con ; se puede definir como el límite de la sucesión: ex = lim

n→∞

Solución: Sea la función exponencial: f(x)= ax

Si P (3/2; 27) , entonces f → 27= a3/2

→ (33 ) 2/3 = a a = 9 → f = { (x;y)/Y=9x }

Función Exponencial de Base e

1.- Graficar la siguiente función: f(x) = e -0,5x

Solución: si: x=-4 → f(x) = 2,72 -0,5(-4) →f(x) = 2,72 2 → f(x) =7.40

si: x=-3 → f(x) = 2,72 -0,5(-3) →f(x) = 2,72 1,5 → f(x) =4.49 . . .

. . . Tabulamos:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4f(x) 7.40 4.4

92,72

1,65

1 0,61

0,37

0,22

0,14

Graficamos:

f(x) = e -0,5x

Recordando:

1. El dominio de la f, es el conjunto de los números reales: R.


2. El Rango de la función toma los valores reales y positivos.3. Si a >1, cuando x aumenta, f(x) va en forma creciente.4. Si 0< a < 1, cuando x aumenta, f(x) va en forma decreciente.5. Como la función exponencial toma valores positivos, la gráfica se mantienen siempre por

arriba del eje horizontal.6. Cualquiera que sea la base, si x=0, la función toma valor 1, es decir , todos los gráficos

por el punto (0, 1)7. La función exponencial es inyectiva.

Aplicaciones de la función exponencial:

1. Crecimiento poblacional: Si: P(t)= Po.ekt, donde: k>0,entonces: t= tiempo

Po=Población inicial, k=Tasa de crecimiento (constante)

2. Desintegración radiactiva: Si: C(t)= Co.e-kt, donde: k>0, k: constante; entonces:

Co=Cantidad inicial del elemento radioactivo, t= tiempo

3. Interés compuesto: Si: M(t)= Co(1 + r )t , donde: M=Monto o valor futuro,

Co = Capital inicial o valor actual, t = tiempo (en años) r = Tasa de interés anual

En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos n veces al año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de interés es r/n y, si existen nt periodos de composición en t años, el nuevo monto después de t años es:

M(t) = C0(1 + r/n)nt donde: n : Periodos de capitalización (en un año)

PROBLEMAS APLICATIVOS.

EJEMPLO 1.El valor de una MAC – APPLE (Ordenador de mesa), está dado por V(t)= 5000.2 -0,5t dólares, donde t es el tiempo en años contado desde que la MAC era nueva.

a) ¿Cuánto costó la MAC al momento de su adquisición?b) ¿Cuánto costará dentro de 8 años?

Sol:a) Hallando el costo de la MAC , al momento de la adquisición, es decir t= 0:

V(0)= 5000.2-0,5(0)

V(0) = 5 000

Respuesta: Cuando se adquirió la MAC costo 5 000 dólares

b) Hallando el costo dentro de 8 años después, es decir cuando t= 8:

V(8)= 5000.2-0,5(8)

V(8)= 5 000.2-4 V(8)= 312,5

Respuesta: Después de 8 años la MAC costo 312,5 dólares

EJEMPLO 2.El Ministerio de Salud ha estimado que en una cierta ciudad la población crecerá en un 2% anualmente. Si en el año 1 996 había 1 000 000 habitantes. Determine:


a. La población en 1 998 b. La población en el 2 017

Años Transcurridos Población 1 996 0 años 1 000 0001 997 1 año 1 000 000 ( 1.02)1 998 2 años 1 000 000 ( 1.02) (1.02)1 999 3 años 1 000 000 ( 1.02) (1.02) (1.02)

.

.

.t años

.

.

.1 000 000 ( 1.02)t

Luego: P(t) =1 000 000 (1.02)t

Para el año 1 998, t = 2 años P(2) = 1 000 000 (1.02)2 P(2) = 1 040 400

Respuesta: La población para el año de 1998 es de 1 040 400 habitantes.

Para el año 2 017, t = 20 años P(20 ) =1 000 000 (1.02)20

P(20) = 1 485 947

Respuesta: La población para el año 2 017 es de 1 485 947 habitantes.

EJEMPLO 3.

Un estudio realizado por un estudiante de Ciencias de la Comunicación en el 2 013, observó que el número de personas que tienen LINE (en miles de millones) está dado aproximadamente por la función:

P(t)= 0,04e0.469t (0 ≤ t ≤ 4)

Donde “t” se mide en años y t= 0 correspondiente al 2 013

Complete el siguiente cuadro y grafica:

AÑOTIEMPO(t)

2 013 2 014 2 015 2 016 2 017t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

Número de personas (en millones)

Solución:

a) Completamos el cuadro con aproximación a centésimas

Para el año 2013, t=0 → P(0)= 0,04e0.469(0) = 0,04 * 1000= 40 millones

Para el año 2014, t=1 → P(1)= 0,04e0.469(1) = 0,06 * 1000= 60 millones . . . . . .

AÑOTIEMPO(t)

2 013 2 014 2 015 2 016 2 017t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

Número de 40 60 130 190 260


personas (en millones)

b) Trazando la gráfica. De P(t)

Dom= [ 0 ; 4]

Ran = [ 40 ; 260]

EJEMPLO 4:

Se tiene un elemento radioactivo que sufre decaimiento, de tal manera que después de t semanas el número de M miligramos presentes, está dado por M= 50.e-0.045t, determina:

a) ¿Cuál es la cantidad inicial de miligramos del elemento radioactivo?

b) ¿Cuántos miligramos tendrá después de 20 semanas?

Solución:

a) Cantidad inicial de miligramos: calcular M cuando t = 0

M(0) = 50.e-0.045(0)

M(0) = 50 miligramos

Respuesta: El elemento radioactivo tiene inicialmente 50 miligramos.

b) Cuando t = 20

M(20) = 50.e-0.045(20) M(20) = 50.e-0.9 M(20) = 50(0,4063) M(20) = 20.32

Respuesta: El elemento radioactivo tendrá 20,32 miligramos después de 20 semanas.

EJEMPLO 5:

El crecimiento exponencial de una población, que tiene una cantidad inicial de 5000 bacterias; donde por cada hora duplica su tamaño.


a) Encuentra la expresión para el número A(t) de bacterias presentes después de t horas.

b) ¿Cuántas bacterias tendrá dicha población después de 10 horas?

Solución:

a) Si:

Después de una hora, t=1: A(1) = 5000(2)(1), tenemos 10 000 bacterias

Después de 2 horas, t=2: A(2) = 5000(2)(2), tenemos 20 000 bacterias

Después de 3 horas, t=3: A(3) = 5000(2)(2)(2), tenemos 40 000 bacterias y así

sucesivamente, por lo cual obtenemos la siguiente fórmula :

A(t)= 5000.2t

b) Finalmente: Cuando t=8; A(8) = 5000.28 = 1 280 000.

Respuesta: después de 8 horas la población tendrá 1 280 000 bacterias.

EJEMPLO 6:

Un trabajador independiente dedicado a la venta de productos de limpieza, desea invertir S/3 000 en una cuenta bancaria que proporciona 15% de interés anual a plazo fijo de 2 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?

DATOS:P=3000i=15%n= 2

M(2)= 3000.(1 + 0,15 )2 M(2)= 3000.(1,15 )2 M(2)= 3000(1,323) M(2)= S/. 3967,5

Respuesta: El monto que recibirá al concluir el plazo del depósito es de S/. 3 967,5

OJA DE TRABAJO # 1HOJA DE TRABA# I. Grafica las siguientes funciones exponenciales:


HOJA DE TRABAJO # 14

a)

b)


c)

d)


f)


g)

h)


II. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas haciendo uso de las funciones exponenciales:


1111

Una persona muy devota al Señor de los Milagros envió una oración por correo electrónico, rogando a Dios para que no ocurra el tan publicitado Terremoto en el Perú, dicha persona envió a cinco de sus amistades, pidiéndoles que la enviaran a otras cinco personas diferentes, y así sucesivamente hasta formar una cadena de oraciones. Encontrar:a) El modelo matemático para “n” envíos.b) Cuando la cadena completó 12 envíos, ¿cuántas personas rezaban?

22

El Ministerio de Educación a determinado que la población de estudiantes en Educación Inicial, en la I.E.E. “Los ángeles del Saber” está dada por: P(t) = 156.108 x (4,2)t/35 , donde t es el número de años después de 2013.Indicar cuál será la población para el año 2020.

3 Un nutricionista decide ayudar a su paciente que tiene 120 Kg de peso, sometiéndolo a un régimen dietético, que le hará bajar el 6% de su peso mensualmente.

a) Determine un modelo matemático que permita calcular su peso en función a los meses que está sometido a la dieta.

b) Indicar el peso del paciente que tendrá al cabo de 7 meses.

4 Un grupo de estudiantes desean vender sus fotocopiadoras que ya no son utilizadas, para lo cual estiman que el valor V(t) de una máquina copiadora disminuye de acuerdo con la

función definida por V(t) = 5000(2)-

0,5t ,donde t es el número de años transcurridos desde la adquisición de la máquina y V(t) está en dólares.

a) ¿Cuál es el valor de la máquina 3 años después de haberla comprado?

b) ¿Después de cuantos años tendré la maquina copiadora costara $312.5?


5 La población del distrito “Puerto Nuevo” crece de acuerdo con la fórmula: P (t) = 4×104e 0,05t

Donde:P (t): población en el instante t.t: tiempo (en años)¿Cuánto tardará la población en incrementarse en un 50%?

66

La municipalidad de Lima Metropolitana proyecta que a partir del 2014 deben circular P(t) unidades de vehículos, donde P(t)=25.104 x (1,15)t/10 , y t es el número de años después del 2014.Determine:

a) ¿Cuál es la cantidad estimada de vehículos que estarán en circulación para el año 2024.

b) ¿Cuál será el número de vehículos autorizados por la municipalidad para el servicio de taxi, indicándose que aproximadamente solo el 35% del total, en el año 2016 estarán autorizados?

77

Hace cuatro años la ONG ambientalista “Perú Green” repobló una zona con 100 ejemplares de una nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la función: N = AeBt

Donde A y B son dos constantes. El tiempo t es expresado en años desde el momento de la repoblación. ¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200 000 ejemplares de pinos?

88

Un estudiante de Ciencias de la Comunicación decidió investigar la influencia de los mensajes enviados por Internet, para ello observó que la primera semana 10 personas enviaron su mensaje, la segunda semana cada uno de ellos envió 10 mensajes, la tercera semana estos enviaron cada uno a 10 personas más y así sucesivamente. Determine:

a) El modelo matemático en función a las semanas de los mensajes enviados por internet.

b) ¿Cuántas personas recibieron los mensajes en la 8va semana; sabiendo que los mensajes enviados no fueron interrumpidas?

12

Un grupo de alumnos de ingeniería ambiental realizan un estudio de los desechos sólidos municipales generados en millones de toneladas entre los años del 2013 al 2 020, y está definida por la expresión:

f(x)= 157.28(1.0204)x donde x=0 , corresponde a 2013.¿Utilice este modelo para aproximar el número de toneladas de desechos en el año 2 020?

11

Un equipo de Ingenieros Ambientales utiliza un modelo matemático para poder calcular el número de partículas contaminantes por metro cúbico de aire en la ciudad donde residen.

Donde el tiempo t expresado en semanas.Si el Alcalde de dicha ciudad no aplica medidas correctores para evitar la contaminación del aire:a) ¿Cuántas partículas contaminantes hay por metro cúbico en el momento inicial? b) Si el máximo admisible para personas con problemas respiratorios es de 2 000 partículas por metro cúbico, ¿al cabo de cuántas semanas se presentan problemas de salud para esas personas?


99

10

Si el valor de un automóvil se reduce por depreciación a la mitad de su valor al cabo de t años, encuentre:

a. La función que exprese esta variación.

b. ¿Cuál será su valor después de 4 años si el automóvil costara $30 000?

Un novel empresario se presta de una COOPERATIVA la cantidad de S/. 4 000 durante 3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a este novel empresario a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.


15

La familia Huamán Rojas deposita 7 500 dólares en una cuenta de ahorros que paga el 9% con capitalización bimestral para poder construir el segundo piso de la casa, el cual se estima en 10 500 dólares. ¿En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción?

16

Para poder supervisar unas obras a las afueras de Lima un Ingeniero Civil compró una 4x4 por 18 000 dólares. Si el precio de dicha 4x4 baja un 10% por año de uso. ¿Cuánto tardará en reducir su costo a la mitad?

14

¿Cuál es el valor actual de un monto de S/6 220. 80 durante 2 años, colocado al 40% capitalizable semestralmente dólares.

13

El Ministerio de Salud indica que t semanas después del brote de cierta clase de alergia debido a los rayos solares, aproximadamente f(t) = 2 1+ 3e -0,8t

miles de personas que han contraído esta enfermedad.a) ¿Cuántas personas están

presentando esta alergia al comienzo del brote?

b) ¿Cuántas personas presentaron problemas alérgicos después de 4 semanas?


17

El papá de Pedrito lo lleva al nutricionista porque está preocupado por la estatura de su pequeño, quien tiene 3 años de edad. Pedrito midió al nacer 30cm de longitud, y ha aumentado su estatura a razón de 45% anual en sus 3 primeros años de vida. a) Determine la función de crecimiento de Pedritob) Qué estatura tiene Pedrito actualmente.

19

. Los registros de salud han determinado que después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas (en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la función:

a) Después de cuatro semanas y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas tendrán influenza?b) Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar mil infectados?

20

Se tiene una cantidad de 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Dicha cantidad se reduce, de modo que después de t años el número de miligramos presente N, está dado por: N= 100.e-0,036t

a)¿Cuántos miligramos habrá después de 8 años.b)¿Después de cuantos años tendré 52,309 miligramos aproximadamente?

18

El total de “hamburguesas de carne” vendidas por una cadena nacional de comida rápida crece exponencialmente. Si vendió 5 millones de estas hamburguesas en el 2012 y 8 millones en el 2013. ¿Cuántas proyecta vender para el 2014?

Un estudiante de administración desea saber cuántas partes iguales se obtiene al doblar una hoja 8 veces. Si se sabe que al doblar la hoja una vez obtiene 2 partes iguales, si dobla 2 veces obtiene 4 partes iguales, si dobla 3 veces obtiene 8 partes iguales y así sucesivamente. a)Determine el modelo matemático que ayudara al estudiante. b)¿Cuantas partes se obtendrá si se dobla 8 veces?


23

Francisco tiene ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de ahorro le pagara un interés compuesto. Si el banco paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero recibirá Francisco después de cinco años?

24

Una compañía de teléfonos obtiene ganancias por la venta de cierto modelo de Smartphone, luego de “x” años de ser lanzado al mercado el modelo esta dado por cierto modelo:

G(x)= 100 000 -272 000 .

Determinar los años que el producto lleva en el mercado, si se reporta una ganancia de s/. 91 500.

21

Se adquiere una cierta maquina por $ 10 000 y se desprecia continuamente desde la fecha de su adquisición. Su valor después de 1 año está ado por la fórmula:

V(t)= 10 000.e -0,25t

a) Calcular el valor de la maquina después de 5 años.b) Determinar el porcentaje de

depreciación de su valor cada año.

22

La ganancia G, en miles de dólares, que produce un negocio de 4 socios después de “t” años está dada por la expresión:

Si después de 5 años los socios deciden repartirse en partes iguales la ganancia: ¿Cuánto le corresponde a cada uno

25

Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la función:

R = 6ekx

Donde:x: es la concentración de alcohol en la sangrek: es una constanteSabiendo que una concentración de 0,04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% de sufrir un accidente. Además si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos. ¿Cuál es la mínima concentración de alcohol en la sangre con la que un conductor debe ser arrestado y multado?

26

En un cierto distrito de la ciudad de Lima que tiene 70 000 habitantes, se esparce una epidemia de gripe; de modo que cada hora que pasa se triplica la cantidad de personas infectadas. Determine el número de personas infectadas al cabo de 10horas.

BIBLIOGRAFIA

511.3 C95Céspedes, C. (2005). Lógica y Matemática. Lima: Universidad César Vallejo-Trujillo.

510 F47Figueroa, R. (2009) Matemática Básica 1 (10.ª ed.) Lima: Ediciones RFG.

511.33R19Rangel N. (2008). Funciones y relaciones. (5.ª ed.). México DF: Trillas.


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