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Contenido
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones con conjuntos borrosos Razonamiento borroso
Representación del conocimiento Métodos de inferencia Fuzzificadores-Defuzzificadores
3
Funciones de pertenencia
Relaciones en Conjuntos borrosos
Métodos de inferencia
Conjuntos borrosos
Operaciones borrosas
Representación del
conocimiento
Razonamiento borroso
Orígen
Introducción a la Lógica Difusa
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Fundamentos de FL
Lofty Zadeh es el padre del término “fuzzy”, en 1965 publica “Fuzzy Sets” en la revista Information and Control. La intención de Zadeh era crear un formalismo para manejar de forma más eficiente la imprecisión del razonamiento humano.
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FL
Es una rama de AI que permite trabajar con razonamiento imprecisos partiendo de conocimiento impreciso que se representan mediante conjuntos borrosos (fuzzy sets).
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Conjuntos borrosos
By Zadeh 1965, “A fuzzy set is a class of objects with a
continuum of grades of membership. Such a set is characterized by a membership function which assigns to each object a grade of membership ranging between zero and one.”
Fuzzy Sets = Elements + Membership Functions
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Conjuntos borrosos
Definición Formal: Sea X un espacio de puntos (objetos), con un elemento genérico denotado por x. Así, X = {x}.Un conjunto borroso A en X se caracteriza por una función de pertenencia fA(x) que asocia a cada elemento de X un número
real en [0; 1], donde el valor fA(x) representa el "grado de
pertenencia de x en A".
A={x, fA(x)}
Ej: A = ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn ) considerando el conjunto difuso alta asociado a la variable lingüística estatura:
ALTA = (0/1.65, 0.8/1.75, 0.9/1.85, 1/1.95)
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Tipos de conjuntos
Clásico Borrosos
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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Ej. de conjuntos borrosos
Conjunto de hombres jóvenes Conjunto de hombres de edad media Conjunto de hombres viejos
Cómo se definen los conjuntos?Cuáles son los límites? Son estrictos?
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Ej. de conjuntos borrososDefinición de las funciones de pertenencia
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Funciones de Pertenencia
La “membership function” mapea cada elemento del conjunto borroso a un valor de pertenencia
fA: X -> [0,1]; X es el espacio de entrada o universo del discurso
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Tipos de fs de pertenencia
Triangular Trapezoidal
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Tipos de fs de pertenencia
Sigmoides
Gaussiana
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Fs de pertenencia: obtención
1. Evaluación subjetiva: individuos asignan un grado de pertenencia subjetivo a cada elemento
2. Frecuencias o probabilidades: estadísticas basadas en histogramas o el porcentaje de respuestas afirmativas y negativas sobre la pertenencia de un elemento al conjunto.
3. Funciones ad-hoc: en los sistemas borrosos de control se suele utilizar funciones de pertenencia sencillas (triangulares o trapezoidales).
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Propiedades en conjuntos borrosos Normality, A is called normal if its supreme is one:
Sup fA(x) = 1, for every x in X
Igualdad,
Inclusión,
A=B⇔ f A( x )=f B( x );∀ x∈X
A⊆B⇔ f A( x )≤f B( x ) ;∀ x∈X
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Operaciones básicas con conjuntos borrosos
Unión,
Intersección,
Complemento,
f A∪B( x )=max {f A( x ) ,f B( x ) }
f A∩B( x )=min {f A( x ) ,f B( x )}
f A( x )=1−f A( x )
A B∪A B∩ A
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Complementos, T-normas y T-conormas
Las operaciones básicas no son únicas. Hay distintas formas de complementos (C), intersecciones (T-normas) y uniones (T-conormas) borrosas
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Operadores genéricos: Complemento
Dado un conjunto borroso A={x, fA(x)}, el N(A) se
interpreta como el grado en que x no pertenece a A
Comp = N : [0,1] → [0,1]
Frontera N(0)=1 y N(1)=0 Monotonía N(a) ≥ N(b) if a ≤ b Involución N[N(a)] = a
1
x4 5 80
f A( x )=1− f A( x )
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Operadores genéricos:T-norm
Intersection of fuzzy sets A and B:
fA∩B(x) = T(fA(x), fB(x))
Commutativity: T(a, b) = T(b, a) Associativity: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) Boundary: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a Monotonicity: T(a, b) ≤ T(a, c) if b ≤ c
f A∩B( x )=min { f A( x ) ,f B( x )}1
fA∩B
x4 5 80
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Ej. T-norm
Intersección estándar: Min(a,b) = min(a,b)
Producto algebraico: Prod(a,b) = a · b
Diferencia acotada: W(a,b) = max (0, a+b-1)Lukasiewicz
Intersección drástica: a, si b=1; Z(a,b) b, si a=1;
0 en otro caso.
Z ≤ W ≤ Prod ≤ Min
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Operadores genéricos:T-conorm
Union of fuzzy sets A and B fAUB(x) = S(fA(x), fB(x)); T-conorm or S-norm
Commutativity: S(a, b) = S(b, a) Associativity: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) Boundary: S(a, 1) = 1, S(a, 0) = a Monotonicity: S(a, b) ≤ S(a, c) if b ≤ c
{ })(),(max)( xfxfxf BABA =∪1
fAUB
x4 5 80
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Ej. T-conorm
Unión estándar: Max(a; b) = max(a; b) Suma algebraica: Prod*(a; b) = a + b – a.b Suma acotada: W*(a; b) = min(1;a + b)
dual de Lukasiewicz Unión drástica: a, si b=0;
Z*(a,b) = b, si a=0; 1 en otro caso.
Max ≤ Prod* ≤ W*≤ Z*
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Prop. de operaciones borrosas
A A=Involución
A B B A∪ = ∪Commutativa A B B A∩ = ∩
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪Asociativa ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩Distributiva ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
A A A∪ =Idempotencia A A A∩ =
( )A A B A∪ ∩ =Absorción ( )A A B A∩ ∪ =
A B A B∪ = ∩Leyes de De Morgan A B A B∩ = ∪
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Prop. de operaciones borrosas
Prop. en gral inválidas por abandonar el concepto de pertenencia: un elemento puede pertenecer a un conjunto y a su complemento.
Ley de la contradicción
Ley de exclusión media
A A∩ = ∅
A A U∪ =
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Ejemplo- Supongamos que:
Una persona desea ir a tomar una cerveza que sea barata,
en un local tradicional, y que el local quede cerca de su casaEl dispone de 4 lugares conocidos
Podemos distinguir tres conjuntos difusos1) Cerveza barata2) Local tradicional3) Cercanía a su hogar
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Una cerveza barata es una que cueste alrededor de $1000 o menos
Un local tradicional es un local que al menos tenga 5 años funcionando.
Que quede cerca de su casa es que no quede a más de 10 cuadras
Conjunto: cerveza barata Conjunto: local tradicional Conjunto: cercanía de su hogar
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Características de los localesPrecio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras
Local 1 1400 3 3Local 2 800 7 12Local 3 1000 4 9Local 4 1250 5 10
Precio Cerveza ($) Años de servicio CuadrasSolución clásica
Local 1 0 0 1Local 2Local 3Local 4
Precio Cerveza ($) Años de servicio Cuadras Solución difusa
Local 1 0,2 0,5 1Local 2Local 3Local 4 T-norm
Conjunto: cerveza barata Conjunto: local tradicional Conjunto: cercanía de su hogar
Características de los locales
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Precio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras
Local 1 1400 3 3Local 2 800 7 12Local 3 1000 4 9Local 4 1250 5 10
Características de los locales
Precio Cerveza ($) Años de servicio Cuadras Solución difusa
Local 1 0,2 0,5 1Local 2 1 1 0,6667Local 3 1 0,875 1Local 4 0,5 1 1
Conjunto: cerveza barata Conjunto: local tradicional Conjunto: cercanía de su hogar
Precio Cerveza ($) Años de servicio CuadrasSolución clásica
Local 1 0 0 1Local 2 1 1 0Local 3 1 0 1Local 4 0 1 1
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Características de los localesPrecio Cerveza ($) Años de servicio (años) Cuadras
Local 1 1400 3 3Local 2 800 7 12Local 3 1000 4 9Local 4 1250 5 10
Precio Cerveza ($) Años de servicio CuadrasSolución clásica
Local 1 0 0 1 0Local 2 1 1 0 0Local 3 1 0 1 0Local 4 0 1 1 0
Precio Cerveza ($) Años de servicio Cuadras Solución difusa
Local 1 0,2 0,5 1 0,2Local 2 1 1 0,6667 0,6667Local 3 1 0,875 1 0,875Local 4 0,5 1 1 0,5 T-norm
Conjunto: cerveza barata Conjunto: local tradicional Conjunto: cercanía de su hogar
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Ejemplo
Mediante la solución clásica el individuo no encuentra un local
Mediante la solución difusa deducimos que el individuo posiblemente iría al Local 3.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Razonamiento
La lógica borrosa trata con proposiciones borrosas que asignan un valor a una variable lingüística, p. ej.“estatura”, el valor “estatura es alta”, mediante un conjunto difuso A definido sobre el universo de discurso X de la variable lingüística. Analogamente, para la variable lingüística “peso”, el valor “peso elevado”,se define en el universo de discurso Y de dicha variable lingüística.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Variable lingüística Una variable linguística es caracterizada por una
quíntupla
Dondex: Variable base (nombre de la variable)T(x): Conjunto de términos linguísticos de x que
refieren a la variable baseX: Conjunto universoG: Es una regla sintáctica (gramática) para
generar términos linguísticosM: Es una regla semántica que asigna a cada
término un significado
( x,T ( x ) ,X,G,M )
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Ej. De variable lingüística La velocidad puede ser interpretada como una variable
lingüística T(velocidad) podría serT(velocidad)={lento, moderado, rápido, muy lento, mas o
menos rápido, ...} Cada término es caracterizado por un conjunto difuso
definido sobre un conjunto universal X=[0,100] Podemos interpretar las etiquetas Lento como “una velocidad menor a 40 Km/h”Moderado como “una velocidad cercana a 55 Km/h”Rápido como “una velocidad alrededor de 70 Km/h”
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Ej. De variable lingüística
( muyLento )( x )=( Lento )p ( x ) p>1
(mas o menosLento )( x )=( Lento )p ( x ) 0<p<1
Podemos encontrar el número difuso “muy lento” o “mas o menos lento” a partir de “lento”
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Implicaciones
Definir una implicación es asignar una función de pertenencia a una agrupación antecedente-consecuente del tipo P→Q
Nos permite razonar con afirmaciones tales como:
SI “la velocidad es normal” ENTONCES “la fuerza de frenado debe ser moderada”
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Conocimiento: representación en reglas borrosas
.
Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO
Premisa ConclusiónVariables de entrada
Variable de salida
Términos lingüísticos
Operador lógico borroso
(Normas)
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Implicaciones
Modus Ponens Clásico
Modus Ponens Generalizado (GMP)
Premisa Si P entonces QHecho P
Consecuencia Q
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
Premisa Si P entonces QHecho P*
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Implicaciones
Opciones para definir:
Teórica: Darle el mismo significado de lógica clásica.
P→Q ≡ ¬P∨Q mp→q(u,v) = max(1-mp(u), mq(v))
P→Q ≡ ¬(P∧(¬Q)) mp→q(u,v) = 1 – min[mp(u), 1-mq(v)]
Práctica: Darle un significado causa-efecto.
Implicación de Mamdani
P→Q ≡ P∧Q mp→q(u,v) = min( mp(u), mq(v))
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Implicaciones Implicaciones usuales:
Luckasiewicz, que se deduce de la regla: P Q = ¬ P v Q
Gracias a estos modelos podemos determinar el conjunto borroso de la regla
Luckasiewicz y Zadeh son compatibles con la lógica clásica. Los de Mamdani y de Larse no son compatibles con la lógica clásica:
Nombre FórmulaZadeh Max(1-p, Min(p,q))Min (de Mamdani) Min(p,q)Luckasiewicz Min(1, 1-p+q)Larsen p x q
a b Zadeh Mamdani Luckas. Larsen1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 00 1 1 0 1 00 0 1 0 1 0
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Implicaciones
Los operadores de Mamdani y de Larsen no son compatibles con la lógica clásica. ¿Por qué se usan? Supongamos un modelo causal donde las
consecuencias sólo se dan por la aparición de las causas especificadas en la KB => es falsa la relación de implicación en la que el antecedente es falso y el consecuente verdadero. Esto es, es falso que no se produzca la causa pero si la consecuencia.
Por tanto, los operadores de Mamdani y Larsen son útiles para hacer un modelo de implicador como relación de causa-efecto. Son ampliamente utilizados en ingeniería, en donde es falso que “falso verdadero”.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Razonamiento aproximado Con lo visto podemos determinar las distribuciones de
posibilidad de la regla según el hecho: Regla: µ (PQ)(x,y)
Hecho: µP*(x)
Pero todavía no podemos definir la conclusión, µQ*(x), ya que para ello necesitamos componer Regla y Hecho.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Teoría del Razonamiento aproximado
Razonamiento con información imprecisa o incierta
Nuevamente: Modus Ponens clásico dice
Interpretación:Si P es verdadero y P→Q es verdadero, entonces
Q es verdadero
Premisa Si P entonces QHecho P
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La inferencia difusa de la implicación está basada en la regla composicional de inferencia
Regla composicional de inferencia
Premisa: Si u está en P entonces v está en Q
Hecho: u está P*
Consecuencia: v está Q*
Donde Q* está determinado por la composición Q* = P* ◦ (P→Q)
matriz asociativa M
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Composición
Disponiendo de la matriz M[nxq] obtenida a partir de PQ, el proceso de inferencia difusa permite a partir de la información P* (subconjunto de P), inducir un subconjunto Q* de Q.
Siendo P=(p1, …, pn) y Q=(q1,…,qq)
p1→q1 p1→q2 … p1→qq
p2→q1 … p2→qj
M = μPxQ= si usamos →=min, mij=min(pi,qj)
pi→q1
pn→q1 p1→q2 … p1→qq
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Regla composicional
En casos prácticos se utiliza la composición max-T-norma
Q* = P* ◦ (P→Q)
{T [ P∗(u ) , ( P→Q )(u,v ) ] } ,v∈V
Sean dos conjuntos P y Q definidos en U y V resp.
T: si existe un solo camino de conexión entre Pi* y (P→Q)ij, tomamos “el menor” de los grados de pertenecia asociados de cada tramo. Carece de sentido que la intensidad de la relación fuese mayor al tramo más débil.max: si existe más de un camino de conexión, tomamos “el mayor” (en relaciones binarias, es análogo a “si existe al menos un camino”)
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Ej. de implicaciones (INTELIGENCIA ARTIFICIAL, M. ALFONSO et al)
REGLA: Si ddest es lejana entonces v debe ser rápida
250 300 350 400 450
flejana= [ 0,25 0,5 0,75 1 1 ] (P)
40 50 60 70
frapida= [ 0 0,2 0,6 1 ] (Q)
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Ej. Mandani (max-min), INTELIGENCIA ARTIFICIAL, M. ALFONSO et al
REGLA: Si ddest es lejana entonces v debe ser rápida
250 300 350 400 450 Q
flejana= [ 0,25 0,5 0,75 1 1 ] 40 50 60 70
0 0,2 0,25 0.25 250
40 50 60 70 flejana→rapida= 0 0,2 0,5 0,5 300 = Mfrapida= [ 0 0,2 0,6 1 ] 0 0,2 0,6 0,75 350
P 0 0,2 0,6 1 400
0 0,2 0,6 1 450
Para un hecho borroso (vector de ajuste) 250 300 350 400 450
ddest= [ 0,75 1 0,75 0 0 ]
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Inferencia borrosa: Mamdani
1. Entrada: valores crisp; una regla2. Entrada: valores crisp, varias reglas3. Entrada: una lectura borrosa
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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1. Inferencia borrosa: max-min
REGLA: IF A THEN B
Cuando A* tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, p. ej., xk
se puede utilizar solo µA (xk) directamente con la representación
de Q, µQ (y) para inducir B* como
B* = µ A (xk) ∧ µ B (y)
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
125º
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E l s u b c o n j u n t o A ’ ( l e c t u r a ú n i c a )
i n d u c e u n c o n j u n t o d i f u s o B ’ u t i l i z a n d o l a c o m p o s i c i ó n m a x - m i n :
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Regla 1: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es medio entonces nivel en 3 es medioRegla 2: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es alto entonces nivel en 3 es alto
Bajo Medio Alto
C1 Caudal en 1
Bajo Medio Alto
C2 Caudal en 2
.49
.56
.2
Valores de entrada: C1, C2
Grados de pertenencia
2. Inferencia borrosa
Se aplica cuando las reglas tienen el mismo consecuente
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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.
Regla 1: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es medio entonces nivel en 3 es medioRegla 2: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es alto entonces nivel en 3 es alto
Bajo Medio Alto
C1 Caudal en 1
Bajo Medio Alto
C2 Caudal en 2
.49
.56
.2
Regla Ant. 1 Ant. 2 (A_1∧A_2)
Regla 1
0.49 0.2 0.2
Regla 2
0.49 0.56 0.49
Norma T: MIN
Grado de veracidad de la regla
Fuzzyficador
2. Inferencia borrosaOrígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
60
Bajo Medio Alto
Nivel en 3
.49.2
Regla 1Bajo Medio Alto
C1 Caudal 1
Bajo Medio Alto
C2 Caudal 2
.49.56
.2
Bajo Medio Alto
Nivel en 3
.49.2
Regla 2
Bajo Medio Alto
C2 Caudal 2
.56
.2
Regla 1: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es medio entonces nivel en 3 es medioRegla 2: Si caudal en 1 es medio y caudal en 2 es alto entonces nivel en 3 es alto
Bajo Medio Alto
C1 Caudal 1
.49
MIN
Bajo Medio Alto
Nivel en 3
.49.2
Regla 1
Regla 2
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ReglaGrado de
veracidad de la regla
Regla 1
0.2
Regla 2
0.49
Bajo Medio Alto
Nivel en 3
.49.2
Regla 1
Regla 2
2. Inferencia borrosa
Nivel en el punto 3
C3=u=∑i=1
l
ui μU (u i)
∑i=1
l
μU (u i ) C3 Caudal en el punto 3
.49.2
DefuzificaciónCentro de área o Centro promedio
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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3. Inferencia borrosa: max-T
En el caso que la entrada a la regla sea una lectura difusa, nosotros podemos considerar la intersección de A y A*, es decir: min (ai, a*i) para inducir el B*
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Métodos de Defuzificación
La salida de un proceso de inferencia es un conjunto difuso, en procesos en línea se requieren valores crisp
Reglas
Inferencia
Codificador Decodificador
u U p
Conjuntos difusos entrada
v VConjuntos
difusos salida
Entrada crisp
x U p y=f(x) V
Salidacrisp
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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Métodos de Defuzificación
La salida de un proceso de inferencia es un conjunto difuso, en procesos en línea se requieren valores crisp
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
Reglas
Inferencia
Codificador Decodificador
u ∈Up
Conjuntos difusos entrada
v ∈VConjuntos
difusos salida
Entrada crisp
x ∈Up y=f(x) ∈V
Salidacrisp
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Métodos de Defuzificación
Por ej.:
Centro de Gravedad
•Valor máximo
•Promedio de max.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
∑∑
∈
∈=
XxA
XxA
c e n t r o i d ex
xx
y)(
)(
µ
µ
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Métodos de Defuzificación
Por ej.:
Centro de Gravedad
•Valor máximo
•Promedio de max.
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
∑∑
∈
∈=
XxA
XxA
c e n t r o i d ex
xx
y)(
)(
µ
µ
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Resumen de tareas: Modelando un Fuzzy System Definir las variables de entradas y salidas Definir el universo de discurso Determinar el número de funciones de
pertenencia Distribuir las funciones de pertenencia Definir el método de borrosificación Definir el método de inferencia Definir el método de desborrosificación Examinar la conducta del modelo y la
superficie de salida: Redefinir reglas Ejemplo
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
69
En resumen: Cuándo usar lógica borrosa
En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo
Cuando haya que introducir la experiencia de un operador “experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia
Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable
En general cuando se desea representar y operar con conceptos que tengan imprecisión
Orígenes Conjuntos borrosos Operaciones Razonamiento
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En resumen: Desventajas
Estabilidad: No hay garantía teórica que un sistema difuso no tenga un comportamiento caótico y no siga siendo estable, aunque tal posibilidad parece ser baja debido a los resultados obtenidos hasta ahora
La determinación de las funciones de pertenencia y las reglas no siempre son sencillas
La verificación de los modelos y sistemas borrosos expertos requiere de gran cantidad de pruebas
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