Instituto Superior de Formación Docente Pablo VI – Profesorado Educación Primaria | 3° año – Didáctica de la Matemática II | Tofoni, Gabriela
1) Los números sirven para guardar en la memoria una cantidad, y así
poder comunicarla a otros, es decir, tiene una función denominada como “memoria
de la cantidad”. Entonces, si es posible guardar en la memoria una cantidad,
también será posible compararla con otra. Es por eso, que los números también
posibilitan la comparación de cantidades, función denominada “memoria de
cantidad” y que está ligada con el aspecto cardinal del número.
Los números también permiten guardar en la memoria un orden, una
posición de los objetos contados, cumpliendo una función de “memorizar
posiciones” siendo un aspecto ordinal de los números.
Otra función es que permiten anticipar acciones aún no realizadas, es decir
se pueden realizar cálculos, en donde el niño anticipa cuántas figuritas va a tener si
compra dos paquetes, sabiendo que cada uno trae 4 figuritas.
Por último, los números también se utilizan para identificar objetos, es decir,
se usan como códigos. En estos casos, no representan cantidades ni orden, como
por ejemplo los códigos de barra, los números de colectivos.
Considerando estas funciones, es importante entender el para qué de los
números, ya que permitirá que los docentes seleccionen tipos de problemas y
secuencias de actividades, para crear situaciones propicias para la intervención
didáctica.
2) El desafío de la escuela respecto a la enseñanza de los números y el sistema
de numeración es intentar disminuir la complejidad que tienen estos y hacerlo accesible
para los alumnos de grados bajos. Una de las cosas que hace es banalizar y naturalizar
el objeto, es decir, se lo transforma banalizándolo como si no fuera complejo y, al
mismo tiempo, se lo trata como si su apropiación fuera natural o espontánea.
Entonces el gran desafío de la enseñanza es lograr vincular tales
conceptualizaciones de los niños con los saberes considerados válidos. El problema
didáctico al que se enfrentan los docentes, entonces, es lograr enseñar un objeto complejo
produciendo argumentaciones al nivel del conocimiento de los alumnos. Para esto, los
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maestros deben realizar una reconstrucción de ese objeto que lo haga apropiable por los que
aún no disponen del conocimiento acabado en el momento en el que tiene que estudiarlo.
Esto hace necesario “desnaturalizar” nuestro saber adulto sobre las reglas que rigen nuestro
sistema.
3) Se afirma que nuestro sistema de numeración es “complejo “gracias
a sus características principales que son :
* El sistema está compuesto de 10 signos que, combinados entre sí, pueden
representar cualquier número.
*Es un sistema decimal porque está organizado en base 10, es decir, que cada
unidad de un orden equivale a 10 unidades del orden anterior.
*Además, es un sistema posicional, porque la misma cifra adquiere diferente valor
según la posición que ocupe en un número; por ejemplo, la cifra 7 vale diferente en 7, 70,
700, etc. Esta organización procura una enorme economía tanto para anotar o la leer los
números, como también, para operar con ellos.
*Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha: las cifras que
representan cantidades mayores, a la izquierda; y las menores, a la derecha.
*Incluye el cero.
*Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene a la
izquierda el número mayor.
*Entre dos números de diferente cantidad de cifras, es mayor el que tiene más
cifras.
4) Las concepciones que poseen los niños acerca del sistema de
numeración son:
a- Los chicos construyen muy tempranamente ideas particulares para producir,
interpretar y comparar representaciones numéricas.
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Por ejemplo: una niña de 5 años al tener que comparar y decidir cuál de los
siguientes números es más grande entre 367 y 57, dice “éste (señalando al 367), porque
tiene más números”. A pesar de que la niña no puede aún leer esos números, “sabe” que, a
mayor cantidad de cifras, es mayor el número.
Frente al pedido de comparación de dos números de igual cantidad de cifras, 34y78
un niño argumenta “es más grande éste (señalando el 78), porque el 7 es más grande que el
3 y, si el primero es más grande todo el número es más grande”. A pesar de no saber
leerlos, puede argumentar poniendo en juego su hipótesis acerca de que los números
“valen” diferente en fusión del lugar que ocupen. Ese argumento está ligado al
conocimiento y a la información que brinda la numeración hablada
b-Los chicos construyen la escritura convencional de los números sin seguir tal
cual el orden de la serie numérica.
Es decir, no aprenden primero el 1, después el 2, 3, 4, 5, etc. Hay ciertos números
que son privilegiados; y estos son los números “redondos” o los “nudos”, es decir, las
decenas enteras, las centenas enteras, etc. En general, primero pueden escribir números
vinculados a la potencia de la base, como el 10, 100, 1000, etc.; luego, y apoyándose en
esas escrituras, aprenden la escritura de números, como el 20, 30, 200, 400, etc.
Posteriormente, acceden a la escritura convencional de los intervalos entre esos nudos.
5) Los niños elaboran hipótesis respecto de escrituras numéricas.
Puestos a comprar dos números dicen, que “es más grande el que tiene más
números” entendiendo a la cantidad de cifras, es decir a la hora de comparar
números, por ejemplo entre el 13 y el 8 van a decir que el 13 es más grande, porque
tiene más números.
También comparan teniendo en cuenta que “el primero es el más grande”
entendiendo el lugar de las cifras, comparando números con la misma cantidad, por
lo que miran las decenas, y ven “cuál es más grande” en el caso que los números
empiecen con la misma cifra, miran la segunda para decidir cuál es más grande.
Algunos niños conocen algunos números antes que otros, y manejan la
escritura de los números redondos, es por eso que puede dificultarles escribir 56 que
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el 100, el 1000 o el 2000 porque les dificulta las escrituras de los números que se
encuentran en los intervalos de la serie.
En muchos casos, establecen relaciones respecto de la numeración hablada,
es decir, se apoyan en ella para producir escrituras. Por lo general, los resultados
son escrituras no convencionales, producen escrituras del tipo 107 para el 17.
Cuando esto sucede, el criterio de comparación por la cantidad de cifras y el
conocimiento entran en funcionamiento, cuestionando e intentando una nueva
aproximación.
6) Los niños llegan a la escuela con diversas ideas acerca de los
números, es por eso que el docente debe conocer estas ideas para ampliarlas,
difundirlas y someterlas a prueba. Resulta imprescindible, desde primer año, crear
un ambiente que sea propicio para la alfabetización matemática. Es decir, un aula
donde estén presentes los números a través de por ejemplo: calendarios del mes,
almanaques con agendas donde se pueda registrar información, reloj que permita
indicar la hora, cinta métrica, banda numérica, cuadro de números, etc.
Se propone trabajar así, ya que una presentación parcializada, fragmentada,
enseñando los números de uno en uno, no favorece el trabajo de apropiación porque reduce
el objeto de conocimiento a su mínima expresión y por ende el trabajo didáctico. Es por eso
que la docente deberá presentar los cien primeros números. Utilizando cuadros numéricos
permite facilitarlo, ya que puede decirse que “en la primera columna todos terminan en 0”
“en la última todos terminan en 9”. Y es una gran variable para que los niños pongan en
funcionamiento los conocimientos que poseen sobre algunos nombres y/o escrituras y
avanzan hacia otros aún no conocidos.
7) Se propone el trabajo con descomposiciones aditivas de los números
en los primeros años de la escolaridad, ya que permiten que los niños se apoyen en
la numeración oral, 123: como 100+20+3.
La tradición escolar indicaba la presentación de la decena cuando se llegaba al
número diez en la enseñanza de la serie y para ello se trabaja con recursos didácticos como
ataditos de diez para comprender las nuevas docenas. Las palabras referidas a estos
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agrupamientos –unidades, decenas, centenas, unidad de mil- son palabras que circulan
exclusivamente en los ámbitos escolares. Es más usual utilizar en nuestro lenguaje
cotidiano el termino docenas que decenas.
A su vez, “analizar los números en términos de unidades y decenas 24= 2d+4u
implica una multiplicación 2 x 10+ 4 aun cuando esta escritura no lo explicite” o no se
enseñe directamente. En efecto, si se analizan los números en estos términos, se dejan
afuera otras descomposiciones posibles.
El trabajo con las escrituras numéricas hará progresar a los niños en la idea de que
con solo visualizar las cifras del número se pueden saber cuántos “cienes, dieces y unos”
hay.
8) Así como en el Primer Ciclo se ha propuesto como parte del trabajo
la resolución de problemas que demanden identificar regularidades en función del
nombre y la escritura de los números, en este ciclo se propone avanzar con el mismo
tipo de problemas pero incluyendo números más grandes, incluso, sin límite en el
tamaño. Es decir, se busca que los alumnos/as puedan reconocer que las
regularidades válidas para números menores, lo siguen siendo para números
mayores, por ejemplo que es posible contar de mil en mil, de un millón en un millón
tal como se contaba de diez en diez, o de cien en cien.
Hay referentes que el maestro/a deberá presentar que serán los miles, millones,
los miles de millones, etc. Los nombres de los números ofrecen información sobre
cómo escribirlos y viceversa. Se trata de promover avances en la generalización de
ciertas regularidades que subyacen a la estructura del sistema de numeración, a partir de
escribir, leer y comparar números.
9) En el marco de la investigación de la UBACYT Broitman y Kuperman
proponen intervenciones docentes para estas interpretaciones:
Poner en duda lo correcto solicitando justificación;
Poner en duda la interpretación mostrando su “inverso”: 23 y 32;
Hacer público un error para generar discusión acerca de él;
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Remitir a los números ya escritos en el pizarrón, en el cuadro numérico, en
una banda numérica, etc.
Podemos, además, proponer actividades como las siguientes:
Juegos con lotería donde se lee y se reconoce el número escrito. Los niños
juegan en pequeños grupos, para que tengan mayores oportunidades de cantar los números
y vincularse con estos problemas;
Completar grillas donde solamente estén las decenas;
Escribir en una agenda de números telefónicos;
Interpretar números grande. El docente explica cómo se lee un número y los
niños tratan de leerlo;
Armar un álbum de figuritas. En el mismo están involucradas situaciones de
interpretación de escrituras numéricas porque las figuritas poseen un número detrás. Es
necesario identificar dónde está ese número para saber dónde hay que pegarla y registrarla
en la grilla de control del álbum.
10) El análisis de las regularidades deberá permitir la identificación de
nuevas características del sistema de numeración. Para ello será conveniente que
los alumnos/as puedan enfrentarse a problemas que exijan componer y
descomponer números apelando a sumas y multiplicaciones por potencias de 10
(345 = 300 + 40 + 5 = 3 × 100 + 4 × 10 + 5). Se trata de favorecer que los
alumnos/as puedan pensar un número de diferentes maneras. La resolución de
una variedad de problemas permitirá conceptualizar el sistema en términos de la
organización recursiva de los agrupamientos, el rol jugado por la base 10 y el
significado de la posición de las cifras.
Por otro lado, se espera que los alumnos/as se enfrenten con problemas que
permitan establecer relaciones entre la escritura de los números y la multiplicación por
la unidad seguida de ceros. Por ejemplo, que puedan explicar por qué cuando se
multiplica un número por 10 se agrega un cero con argumentos similares al siguiente:
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“por cada unidad, tengo una decena, entonces si multiplico 12 por 10 tengo 12 decenas
que son 120 unidades”.
Del mismo modo, se propone que los alumnos/as identifiquen cómo funcionan
estas relaciones en la división por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo, poder
reconocer que el resto de hacer 1523: 100 será 23 y su cociente 15 pues 15 × 100 + 23 =
1523.
Es decir, se trata de que la enseñanza permita a los alumnos/as explicitar las
relaciones aritméticas subyacentes a la escritura de un número y que sean capaces de
utilizar la información contenida en la escritura decimal para desarrollar métodos de
cálculo.
11) El fundamento es explorar diversos sistemas de numeración para
compararlos con nuestros sistemas de numeración posicional, de esta forma se
pone en evidencia la conveniencia de nuestros sistemas de numeración, tanto
para representar cantidades como para operar con ellas
12) A) A través de los recursos didácticos: cuadro numérico, banda numérica,
recta numérica, centímetro, y también con el uso de objetos (chapitas, figuritas)
representaciones, dibujos, para contar u ordenar.
El conocimiento se construirá no por el material, sino por lo que se propone hacer
con ese material. Los objetos para contar son más interesantes cuando funciona como
“comprobación” de anticipaciones o de procedimientos que ya han realizado los niños. Este
enfoque no adhiere a propuestas muy difundidas del tipo “resuelvan con material concreto”
porque de este modo se establece con qué y cómo resolver el problema. No todos los niños
necesitan usar material concreto para resolver por ejemplo 6 + 8. Algunos resuelven
haciendo marcas, palitos (Utilizando representaciones gráficas), otros a partir de la escritura
de 8 hacen 6 marcas y otros directamente escriben el resultado 14.
B) Las particularidades que se deben tener en cuenta para la utilización de los
portadores son:
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La banda numérica es una franja que representa la sucesión de números
escritos y sigue la orientación de la escritura (de izquierda a derecha). Permite que la misma
se vaya extendiendo incorporándose nuevos números. Es importante, sobre todo para el
nivel inicial, que la banda comience en el número 1, porque desde la oralidad no
empezamos el recitado desde el 0. Si los niños quieren averiguar cómo se escribe el 7,
hacen corresponder su “dedo” con el recitado para averiguarlo. Si empezara esta
correspondencia desde el “cero” no encontrarán el número 7 sino el 6.
El cuadro numérico, a diferencia de la banda, tiene otras particularidades. En
ocasiones, los niños, cuando llegan al final de la primera fila, suelen no darse cuenta de que
hay que bajar a la siguiente para continuar la lectura. Por ejemplo algunos llegan hasta el 9
y siguen diciendo 10, 11, 12, aunque su dedo señale 19, 18, 17. Es parte de la tarea del
docente trabajar sobre la localización de los números en el mismo. La potencialidad de este
cuadro numérico radica en la organización que porta, haciendo más visible las
regularidades de nuestro sistema.
La recta numérica, es un recurso de la disciplina que permite representar los
números en la misma. Es usual su trabajo con el campo de número racionales, pero también
podemos utilizarla con los números naturales. Las actividades en torno a ella están
relacionadas con el intervalo que presenta, con la escala que puede ir de 1 en 1, 10 en 10,
100, 1.000 en 1.000, con los números antecesores y sucesores, con la escritura y ubicación
de algunos números.
Cada oportunidad que brindemos de usar los números en diferentes contextos
favorecerá el logro de nuevas conceptualizaciones. De este modo se estarán promoviendo
nuevos aprendizajes posibles.
13)
4° 5° 6°Propuesta de enseñanza“valor posicional”
-usando que 9x7=63A) 9x70B) 9X700C)90X70D)90X7E)900X7
-En una ferretería envasan cajas de 10 unidades de tornillos y en otras 100 unidades para vender.- ¿Cuántas
-¿Cuál de estos números es mayor?A)6X1000+3X100B)3X1000+2XX100C)2X100.000+8X100
-¿Cuál de estos números se define el numero 756.987?
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-¿Qué multiplicaciones se pondrán realizar? Para los siguientes resultados :
calculo
resultado
3 309 9002 200
0
cajas llenas pueden armar en cada caso?- X 100
unidades
789 -908 -2.145 -- - lo mismo x 100 (o por otros números)- - en una calculadora no funciona la tecla del 4 ¿cómo pueden hacerse los siguientes cálculos?- A) 128X14- B?240X48- C) 1.404X40
756x100+9x100+8x10+7
7x100.000+56x1000x7x1+8x100+100x9
- Para resolver 1.800x12Laura utilizo el siguiente procedimiento:
1.800x12=1.800x8+1.800x4
¿es correcto?
“comprar sistemas de numeración”
- -En el siglo que estamos es el veintiuno, en números romanos se escribe XXI- ¿Cómo se escribirán estos siglos?VENITEDIECISÉISQUINCE
-Marcar lo que corresponde a cada número del sistema decimal
Sistema decimal
Sistema romano
990 DMXXM
999 CIM
-completa la tablaL 4 8 10 12ml
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