MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Interés y Tasas de Interés
Alvaro Hernán Sarria
Interés y Tasas de interés
DefiniciónEl rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.
Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido.
La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERES.
Modalidades de Interés
Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación:
• Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta aparte.
• Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados.
El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.
Interés Simple
Mes CapitalInicial ($)
Intereses generados ($)
Capital final ($)
Intereses acumulados ($)
1 100,000,000 2,000,000 100,000,000 2,000,000
2 100,000,000 2,000,000 100,000,000 4,000,000
3 100,000,000 2,000,000 100,000,000 6,000,000
4 100,000,000 2,000,000 100,000,000 8,000,000
5 100,000,000 2,000,000 100,000,000 10,000,000
6 100,000,000 2,000,000 100,000,000 12,000,000
Final en cuentas 100,000,000 12,000,000
Total por cancelar 112,000,000
Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de interés = 2% mensual
Interés Compuesto
Mes CapitalInicial ($)
Intereses generados ($)
Capital final ($)
Intereses acumulados ($)
1 100,000,000 2,000,000 102,000,000
2 102,000,000 2,040,000 104,040,000
3 104,040,000 2,080,800 106,120,800
4 106,120,800 2,122,416 108,243,216
5 108,243,216 2,164,864 110,408,080
6 110,408,080 2,208,162 112,616,242
Total por cancelar 112,616,242
Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de interés = 2% mensual
Interés Simple - Fórmulas
Monto de Intereses
I = P * i * tdonde:I: Monto de interés ($)P: Monto de capital principal ($)i: Tasa de interés por período (%)t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)
Ejemplo:
Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses:
Capital: $500,000Tasa de interés: 1.5% = 0.015Tiempo: 18 meses
I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000
Interés Simple - Fórmulas
Relación entre valor presente y valor futuroVF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t)
Ejemplo:Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple.
I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 oVF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000
Interés Simple - Fórmulas
Relación entre valor presente y valor futuroVP = F / (1 + i * t)
Ejemplo:Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el interés pactado es del 3% mensual:
VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052
Interés Simple - Fórmulas
Cálculo de Tasa de Interési = (VF/P -1)/t
Ejemplo:Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses:
i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = 3% mensual
Interés Simple - Fórmulas
Cálculo de Tiempot = (VF/P -1)/i
Ejemplo:Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual:
t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 = 18 meses
Interés Simple - Fórmulas
Equivalencia de tasas:
Tasa nominal o anual (in) = ip*n
Donde n el número de períodos en un año.
Igualmente, Tasa periódica (ip) = in/n
Interés Simple - Fórmulas
Relación entre valor presente y valor futuro
Interés Compuesto
Período Capital al inicio del período
Interés del período
Capital al final del período
1 P P*i P + P*i = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3
*
*
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n
VFn = P(1+i)n
Ejemplo:Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años?
VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12
VF = $10,217,391
Interés Compuesto
Similarmente:VP = F / (1 + i)n
Ejemplo:¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)?
VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42
Interés Compuesto
Similarmente, despejando para ii = (F / P)1/n – 1
Ejemplo:¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año?
i = (3P / P)1/12 – 1 = 31/12 – 1 = 0.0959 = 9.59% mensual
Interés Compuesto
Finalmente despejando para nn = log(F / P) / log(1 + i)
Ejemplo:¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual?
n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 meses
Interés Compuesto
Interés Compuesto
Flujos de Fondos MúltiplesHasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos múltiples:
FF0
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 FFn
FF3 FF4
Interés Compuesto
Flujos de Fondos MúltiplesCálculo de valor presente:
VP
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 FFn
FF3 FF4
Interés Compuesto
Flujos de Fondos MúltiplesCálculo de valor futuro:
0 1 2 3 4 n
FF1
FF2 VF
FF3 FF4
Ejemplo Flujos Múltiples:Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual?
Interés Compuesto
VP
0 1 2 3 4 125
7 12
431 )025.1(12
)025.1(7
)025.1(5 VP
VP = $22.25 MM
Ejemplo Flujos Múltiples:Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su viaje?
Interés Compuesto
412312212112 %)31(*50%)31(*50%)31(*40%)31(*30 VFVF
0 1 2 3 4 12
30 40 50 50
VF = $223.86 MM
Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales:
Interés Compuesto
VP
0 1 2 3 … n-1 n
A A A A A A
Interés Compuesto
n
n
n
n
n
n
nnn
n
n
nn
nn
nn
nn
iii
AVP
ii
AVPiii
AiVP
ii
Aii
iA
iAVPiVPecec
eciiii
AiVP
iiiiiAiiVP
eciiiii
AVP
iA
iA
iA
iA
iA
VP
n
)1(1)1(
)1(1)1(
)1(1)1(
)11(
)1(1)1(
)1(1
)1()1(
)1(1
1)1(12
2)1(1
)1(1
...)1(
1)1(
11)1(
)1(1
)1(1
...)1(
1)1(
1)1(
1)1()1(
1)1(
1)1(1
...)1(
1)1(
1)1(
1
)1()1(...
)1()1()1(
1221
1321
1321
1321
Despejando de la ecuación anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota)
para futuros, como VFn=P(1+i)n
Interés Compuesto
1)1()1(
n
n
iii
PVA
ii
Aiiii
AVFn
nn
n 1)1()1(
)1(1)1(
1)1( ni
iVFVA
Si usted compra un automóvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cuál es el monto de las cuotas mensuales?
P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000i = 1% mensualn = 60 mesesA (cuota) =
Interés Compuesto
33.822,711$1)01.01()01.01(01.0
*000,000,32$ 60
60
Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporación que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cuánto tendrá en dos años?
A = $700,000i = 0.7% mensualn = 24 mesesF = A((1+i)n – 1)/i =
Interés Compuesto
55.447,224,18$007.0
1)007.01(*000,700$
24
Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada período. Se le llama gradiente geométrico.
Interés Compuesto
1 2 3 4 5 n
B
B(1+j)
b(1+j)2
b(1+j)3
b(1+j)4
b(1+j)n-1
Interés Compuesto
1)1()1(
)(
1)1()1(
1)1()1(
)(
1)1()1(
)1(1
)1(1
)1()1(
)1()(
)1()(
)1()1()1(
)1()1(
)1()1(
1)1()1(
)1(1
)1()1(
)1()1(
1.2.
.2.)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1(1
)1()1(
)1()1(
.1.)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1(1
)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1(
1
1
14
3
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ij
ijB
VP
ij
Bij
BijVP
ij
iB
iij
Biij
VP
iij
VPi
ijVP
ii
ij
VPij
VP
iij
BVPij
VPecec
ecij
ij
ij
ij
Bij
VP
ij
ij
ij
iij
Bij
VP
ecij
ij
ij
iBVP
ijB
ijB
ijB
iB
VP
Ejemplo:Calcular el valor del préstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de interés 2% mensual a 12 meses.
B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12
VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)]n-1} VP = 100,000/(0.01-0.02)*{[(1+0.01)/(1+0.02)]n -1}VP = $1,115,062
Interés Compuesto
En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podría ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales:
Interés Compuesto
iA
VP
iA
iA
iiA
VP
iiA
VP
iii
iA
ii
iA
iii
AVP
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
011
1)1(1
1
)1(1
1
)1(1
)1()1(
)1(1)1(
)1(1)1(
¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento y actualización ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual?
VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667
Interés Compuesto
Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.
Interés Compuesto
1)(
1)1()1(
)(
,
)(10
)(1
)1()1(
)(
,
1)1()1(
)(
ijB
ij
ijB
VP
jiSi
jiB
ijB
ij
ijB
VP
jiSi
ij
ijB
VP
n
n
n
Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.
Interés Compuesto
)1()1(
)1(1
...)1(
1)1(
1)1(
1
)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1(1
)1()1(
...)1()1(
)1()1(
)1(
,
1
3
2
2
1
3
2
2
inB
in
BVP
iiiiBVP
ii
ii
ii
iBVP
ijB
ijB
ijB
iB
VP
jisi
n
n
n
n
¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%.
VP = B/(i-j) = $4,000,000 / (0.15-0.045) = $38,095,238
Interés Compuesto
Plazo MuertoPeriodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del préstamo.
Interés Compuesto
1)1()1(
PMn
PMn
iii
PVA
Periodo de GraciaPeríodo en el cual no se hacen pagos pero sí se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total.
Interés Compuesto
1)1()1(
1)1()1(
)1(
PGn
n
PGn
PGnPG
iii
PVA
iii
iPVA
AmortizaciónFórmulas:INTt = SIt * i
ABt = Ct – INTt
SFt = SIt – ABt
SIt+1 = SFt
donde:INTt = Monto de los intereses del período t
ABt = Abono a capital período t
Ct = Monto de pago o cuota período t
SIt = Saldo inicial del período t
SFt = Saldo final del período t
i = Tasa de interés a aplicar en cada período
Ejemplo en Excel (alicuota):
Amortización
P 100,000,000
i 30%
n 5
Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin
1 100,000,000 30,000,000 11,058,155 41,058,155 88,941,845
2 88,941,845 26,682,554 14,375,601 41,058,155 74,566,244
3 74,566,244 22,369,873 18,688,282 41,058,155 55,877,962
4 55,877,962 16,763,389 24,294,766 41,058,155 31,583,196
5 31,583,196 9,474,959 31,583,196 41,058,155 0
Ejemplo en Excel (gradiente geométrico):
Amortización
P 100,000,000
i 30%
j 10%
n 5
Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin
1 100,000,000 30,000,000 5,320,535 35,320,535 94,679,465
2 94,679,465 28,403,839 10,448,750 38,852,589 84,230,715
3 84,230,715 25,269,215 17,468,633 42,737,848 66,762,082
4 66,762,082 20,028,625 26,983,008 47,011,633 39,779,074
5 39,779,074 11,933,722 39,779,074 51,712,796 0
Tasas de interés
Denominaciones de la Tasa de Interés
Según como proponga la información de los períodos de tiempo:
• Periódica – corresponde al periodo de composición (día, mes, trimestre, etc.)
• Nominal – la expresión anualizada de la tasa periódica, es decir, la tasa periódica multiplicada por el número de períodos al año
• Efectiva – la expresión equivalente a una tasa periódica pero con período igual a un año
Denominaciones de la Tasa de Interés
Según la causación:
• Anticipada – cuando el interés se causa en forma anticipada en el período.
• Vencida - cuando el interés se causa en forma vencida en el período. La tasa efectiva solamente se expresa como vencida.
Ejemplos de Tasas de Interés
Tasa periódica:
2% m.v. 2% mes vencido, es decir, paga de interés el 2% del valor prestado al final de cada mes.
3% t.a.3% trimestre anticipado, es decir, paga anticipadamente el 3% del valor prestado cada tres meses empezando desde el mes cero.
Ejemplos de Tasas de Interés
Tasa nominal:
24% a.m.v.24% anual compuesto mensualmente causado al final del mes, es decir, equivalente al 2% m.v. de la página anterior (2%*12)
12% a.t.a.12% anual compuesto trimestralmente con pago anticipado, equivalente al 3% t.a. anterior (3%*4).
Ejemplos de Tasas de Interés
Tasa efectiva:
Fórmulas de conversión de tasas periódicas y nominales a efectivas:
de periódica anticipada a periódica vencida: ipv = ipa/(1-ipa)
de periódica vencida a periódica anticipada: ipa = ipv/(1+ipv)
de periódica vencida a efectiva: ie = (1 + ipv)n – 1
de efectiva a periódica vencida: ipv = (1 + ie)1/n – 1
Ruta de Equivalencia de Tasas
m periodos por año ñ periodos por año
inv ipv ie ipv inv
ina ipa ipa ina
ipv=ipa/(1-ipa) ipa=ipv/(1+ipv)
ipa=ina/m
inv=ipv*ñ
ina=ipa*ñ
ie=(1+ipv)m-1 ipv=(1+ie)1/ñ-1ipv=inv/m
Ejemplos de Tasas de Interés
Tasa efectiva:
24% a.m.v. = 24% / 12 m.v. = 2% m.v. = (1 + 2%)12 - 1 e.a. =(1.02)12 – 1 = 0.2682 = 26.82% e.a.
12% a.t.a. = 12% / 4 t.a. = 3% t.a. = 3% / (1 – 3%) t.v. =0.03/0.97 t.v. = 0.0309 t.v. = 3.09% t.v. = (1 + 3.09%)4 -1 e.a. =(1.0309)4 – 1 e.a. = 0.1296 e.a. = 12.96% e.a.
Tasa real
Tasa de interés sobre moneda constante, es decir, libre del efecto de la inflación.
Fórmula: iR = (1 + ie) / (1 + if) - 1
Ejemplo 1: 20% e.a. con inflación del 5% e.a.Tasa real = (1 + 20%)/(1 + 5%) -1 = 14.29% e.a.
Tasa real
Ejemplo 2Hoy Tengo : $10,000Precio panela : $100Puedo comprar : 100 panelas
Inflación = 5% e.a.Tasa inversión = 20% e.a.
En un añoTengo : $10,000*(1+20%)=$12,000Precio panela : $100*(1+5%)=$105Puedo comprar : $12,000 / $105 = 114.29 panelas
Tasas Mixtas
Una tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una variable o de referencia y una fija.
Las dos tasas deben referirse al mismo período antes de sumarse. Normalmente se acepta como guía la declaración de la fija a menos que ésta no se defina y en ese caso se toma la declarada por la variable.
Ejemplo: DTF + 5% a.t.v. (si el DTF está en 7% ea)1)Pasar la DTF a a.t.v.
7% e.a. -> (1+7%)(1/4)-1 t.v.=1.706% t.v.=6.823% a.t.v.
2)Sumar las tasas6.823% + 5% = 11.823% a.t.v.
3)Pasar la tasa a efectiva anual para comparación:11.823% a.t.v. -> 2.956% t.v. -> (1+2.956%)4-1 e.a. = 12.358% e.a.
Otras tasas de referencia: Libor, Prime rate
Tasas Mixtas
Tasas Compuestas
Cuando la tasa se define entre dos o más tasas y una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaración de la tasa original.
Fórmula: i = (1 + iu)(1 + ic) - 1
Ejemplo 1: Inversión que gana 9% e.a. en dólares – tasa equivalente en pesos si la devaluación es del -2% e.a.
i = (1 + 9%)(1 – 2%) – 1 = 6.82% e.a.
Tasas Compuestas
Ejemplo 2:Hoy:Tengo : $100,000,000 COPTRM : $2,500 COP/USDCompro: $40,000 USD
Tasa inversión USD : 9% e.a.Devaluación : -2% e.a.
En un año:Tengo : $40,000*(1+9%) = $43,600 USDTRM: $2,500*(1-2%) = $2,450 COP/USDCompro : $43,600*2,450 = $106,820,000 COPUtilidad : ($106,820,000 / $100,000,000 )-1 = 6.82%
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