Número= la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.
Los números naturales. El conjunto N. Expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.
EJ: 1,2,3…
Números Enteros: Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos
Números decimales: Expresión de una fracción en número. Ej: 0´5; 26´333;…
Multiplicar decimales
Multiplica normalmente, ignorando los puntos decimales.
Después pon el punto decimal en la respuesta - tiene que haber tantas cifras decimales como había en los dos números juntos.
En otras palabras, sólo tienes que contar cuántas cifras hay después del punto decimal en los dos números que multiplicas, y la respuesta tiene que tener esa cantidad después de su punto decimal.
Ejemplo: Multiplica 0,03 por 1,1
Empieza por: 0,03 × 1,1
multiplica sin puntos decimales: 3 × 11 = 33
0,03 tiene 2 cifras decimales, y 1,1 tiene 1 cifra decimal, así que la respuesta tiene 3 cifras decimales:
0,033
Dividir números decimales:
1 Sólo el dividendo es decimal
Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, colocamos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.
Ejemplo: 526.6562 : 7 = 75.2366
2 Sólo el divisor es decimal
Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.
Ejemplo: 5126 : 62.37 = 82.18
3 El dividendo y el divisor son decimales
Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.
Ejemplo: 5627.64 : 67.5261 = 83.34
División por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.
Ejemplo:
235 : 10 = 23.5 235 : 100 = 2.35
235 : 1 000 = 0.235 235 : 10 000 = 0.0235
Fracción: es la expresión de una cantidad dividida por otra.
Simplificar o Reducir una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor).
Por ejemplo: Simplificar 30/42Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15.Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21.Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.
30 30/6 5
—— = ——— = —
42 42/6 7
Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible.
Suma Y Resta De Fracciones
Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Ejemplo:
3 2 (3 + 2) 5 5 2 (5 – 2) 3
— + — = ——— = — ; — – — = ——— = —
6 6 6 6 7 7 7 7
Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común. Ejemplo:
2 3 (2 x 7) (3 x 5) 14 15 29
— + — = ——— + ——— = —— + —— = ——
5 7 (5 x 7) (7 x 5) 35 35 35
Multiplicación De Fracciones
El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo:
3 4 2 (3 x 4 x 2) 24 2
— x — x — = ———— = —— simplificando = —
4 5 3 (4 x 5 x 3) 60 5
Fracción De Un Número
Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número.Ejemplo: Calcular los 2 / 3 de 60:
2 2 (2 x 60) 120
— de 60 = — x 60 = ——— = —— = 40
3 3 3 3
División De Fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ejemplo:
4 3(4 x 5)
20
— :
— =
———
=——
9 5(9 x 3)
27
Operaciones combinadas y prioridades (Números naturales, decimales, enteros y fracciones)
1 Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y l laves.
4 Efectuar los productos y cocientes.
5 Realizar las sumas y restas.
Ejemplo:
1 Primero operamos con las productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
2 Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el
tercero y operamos en el último.
3 Realizamos el producto y lo simplificamos.
4 Realizamos las operaciones del paréntesis.
5 Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado .
Lenguaje algebraico: Es el lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y,
además, las trata como números en operaciones y propiedades.
Ecuaciones de primer grado con una incognita
Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en
una identidad.
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades:
Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.
Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.
Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado:
• Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores. (Propiedad 2)
• Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva)
• Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b . (Propiedad 1).
• Despejar la incógnita. (Propiedad 2).
• Comprobar la solución.
Ej.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Magnitudes directas e inversamente proporcionales. Porcentajes.
Directamente proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, almultiplicar o dividir una
de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el
mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde más.
A menos corresponde menos .
Son magnitudes directamente proporcionales , el peso de un producto y su precio.
Ejemplo:
Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos.
Es decir: A más ki lógramos de tomate más euros. A menos ki lógramos de
tomate menos euros.
También son directamente proporcionales:
El espacio recorrido por un móvil y el t iempo empleado.
El volumen de un cuerpo y su peso.
La longitud de los lados de un polígono y su área.
Inversamente proporcionales:
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una
de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el
mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde menos .
A menos corresponde más.
Son magnitudes inversamente proporcionales , la velocidad y el t iempo:
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más tiempo.
Ejemplos:
Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si
doblamos la velocidad el t iempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120
km/h el t iempo del trayecto será de 3 horas.
Porcentajes:
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.
Ejemplos
Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
100 € 7.5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140
€
100 € 92.5 €
8800 € x €
Magnitudes y medidas. Sistema Internacional. Unidades de longitud, capacidad, masa, superficie, volumen y tiempo. Escalas.
Magnitud es algo cuantificable, es decir, medible. Las magnitudes pueden ser
directamente apreciables por nuestros sentidos, como los tamaños y pesos de las
cosas, o más indirectas (aceleraciones, energías). Medir implica realizar un
experimento de cuantificación, normalmente con un instrumento especial (reloj,
balanza, termómetro).
Sistema Internacional:
Escala de unidades métricas:
Triángulos: clasificación, área y perímetro
Definición de triángulo: Un triángulo es un polígono de tres lados.
Propiedades de los triángulos:
1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Clasificación de los triángulos según sus lados:
Triángulo equilátero: Tres lados iguales
Triángulo isósceles: Dos lados iguales
Triángulo escaleno: Tres lados desiguales
Clasificación de los triángulos según sus ángulos:
Triángulo acutángulo: Tres ángulos agudos (menos de 90º)
Triángulo rectángulo: Un ángulo recto (90º). El lado mayor es la hipotenusa(h). Los lados
menores son los catetos(c)
Triángulo obtusángulo: Un ángulo obtuso (más de 90° pero menos de 180º)
Cuadriláteros: clasificación, área y perímetroLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero es igual a 360°.
Clasificación de cuadriláteros
Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado : Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.
Rectángulo : Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.
Rombo : Tiene los cuatro lados iguales.
Romboide : Tiene lados iguales dos a dos.
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, l lamados base mayor y base
menor. Se clasifican en:
Trapecio rectángulo : Tiene un ángulo recto.
Trapecio isósceles : Tiene dos lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno : No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.
Trapezoides: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.
Longitud de la circunferencia y área del círculo
Áreas y volúmenes
Área y volumen del cubo
Área y volumen del ortoedro
Área y volumen del prisma
Área y volumen de la pirámide
Área y volumen del cilindro
Área y volumen del cono
Área y volumen de la esfera
Tablas , Recuentos y FrecuenciasRecuento de datos.Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.
Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. fi. Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
Hi. Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los
valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi. También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.
Ejemplo:
TIEMPO (EN SEGUNDOS) QUE TARDAN LOS ALUMNOS DE UNA CLASE EN RECORRER UNA DETERMINADA DISTANCIA
32 23 28 20 31 30 28 25 22 2123 25 24 28 31 23 26 29 24 2221 27 28 26 30 21 28 25 21 20
Tabla de frecuencias Variable
Frecuencias Frecuencias
Acumuladas
Xi fi hi hi(%) Fi Hi Hi ( %)20 2 0,0666667 6,666666
72 0,0666667 6,666666
721 4 0,1333333 13,33333
36 0,2 20
22 2 0,0666667 6,6666667
8 0,2666667 26,666667
23 3 0,1 10 11 0,3666667 36,666667
24 2 0,0666667 6,6666667
13 0,4333333 43,333333
25 3 0,1 10 16 0,5333333 53,333333
26 2 0,0666667 6,6666667
18 0,6 60
27 1 0,0333333 3,3333333
19 0,6333333 63,333333
28 5 0,1666667 16,666667
24 0,8 80
29 1 0,0333333 3,3333333
25 0,8333333 83,333333
30 2 0,0666667 6,6666667
27 0,9 90
31 2 0,0666667 6,6666667
29 0,9666667 96,666667
32 1 0,0333333 3,3333333
30 1 100
Totales 30 1 100
Representaciones gráficas
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una
tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o
variable x .
La que se representa en el eje vertical se l lama variable dependiente o variable y . La
variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo
varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
Kg de patatas 1 2 3 4 5
Precio en € 2 4 6 8 10
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio
se va incrementando.
Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota
comprendida entre 4 y 7.
Medidas de centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Son:
Media aritmética : La media es el valor promedio de la distribución.
Mediana : La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la
distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.
Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la
distribución. Son:
Rango o recorrido: El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
Desviación media : La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de
las desviaciones respecto a la media.
Varianza : La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a
la media.
Desviación típica : La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Probabilidad
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibil idades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas : Son los experimentos de los que podemos predecir el
resultado antes de que se realicen.
Ej: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra
bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de
tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios : Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que
éste depende del azar.
Ej: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado
tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidades : se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado
que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y
saber si un suceso es más probable que otro.
Suceso : Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ej. Al lanzar
una moneda salga cara. Al lanzar un dado se obtenga 4.
Espacio muestral : Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Ej: Espacio muestral de
una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej. Tirar un dado un
suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplo completo:
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Ley de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos
igualmente probables (equiprobables), entonces si A es un suceso, la probabil idad de que
ocurra el suceso A es:
Ej. Hallar la probabil idad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
Ej. Calcular la probabil idad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
Diagrama de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de
las posibil idades, acompañada de su probabil idad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas,
según las posibil idades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del
experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabil idades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Ej. Calcular la probabil idad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan tres caras.
Ej. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la
probabil idad de:
1. Seleccionar tres niños.
2. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4. Seleccionar tres niñas.
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