MATEMÁTICAS I - SEMANA 5
Logro D1
Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas
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Logro D1
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• Definir y calcular la derivada de una función interpretándola
como una razón de cambio entre sus dos variables o como la
pendiente de la recta tangente en un punto.
• Aplicar las reglas de derivación a funciones simples
Recordamos:
La razón de cambio es𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
MATEMÁTICAS I
DERIVADAS Y RAZÓN DE CAMBIO
Definición (Derivadas)
La derivada de una función 𝑓 en un
número 𝑥 = 𝑎 es
𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎también
𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚ℎ→0𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
MATEMÁTICAS I
Pendiente de la recta tangente en un punto
Definición:
La pendiente de la recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒙 = 𝒂 está dado
por la derivada de 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 es decir es 𝒇′(𝒂)
Determinando
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola
𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (3 ;−6)
Veamos:
Determinando la pendiente 𝑚 = 𝑓′ 3 = 2 3 − 8 = −2
𝐿: 𝑚 =𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥0𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 2 =
𝑦− −6
𝑥−3
Por lo tanto 𝑳: 𝒚 = −𝟐𝒙
MATEMÁTICAS I
Razón de cambio instantánea
La derivada 𝑓′ 𝑎 es la razón de cambio instantánea de 𝑦 = 𝑓 𝑥 respecto a 𝑥 cuando 𝑥 = 𝑎
Tres maneras para que 𝒇 no sea derivable en 𝒙 = 𝒂
Encuentre la derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑥 = 𝑎
MATEMÁTICAS I
Determinando
Veamos:
𝑓 𝑎 = 𝑎2 − 8𝑎 + 9
Entonces por definición: 𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑥2 − 8𝑥 + 9 − 𝑎2 − 8𝑎 + 9
𝑥 − 𝑎
Agrupando 𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 −8 𝑥−𝑎
𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑥−𝑎 𝑥+𝑎−8
𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑥 + 𝑎 − 8 = 2𝑎 − 8
Así 𝑓′ 𝑎 = 2𝑎 − 8
MATEMÁTICAS I
Derivadas de funciones, reglas básicas
MATEMÁTICAS I
Repaso 01Una familia no sabe si ir en su auto o en un servicio de taxi al aeropuerto distante 20
kilómetros de su casa. Al utilizar un aplicativo de taxi, nos indica que el costo será
de 40 soles el servicio regular y 60 soles en servicio Vip. En
el trayecto debemos pagar un peaje de 5.70 soles y sabemos que el consumo de
gasolina depende de la velocidad del carro (medido en litros consumidos por cada
100km recorridos). Considerar que, en promedio, los 10 primeros kilómetros lo
recorremos con 40km/h, los siguientes 5 kilómetros los recorremos con 50km/h y los
últimos 5 kilómetros lo recorremos con 60km/h. Se sabe, además, que la curva que
modela el consumo versus la velocidad es una parábola con vértice en (20,2) y esta
parábola pasa por el punto (40,3).
El costo de combustible el da de hoy es de 10 soles por litro. Además, el costo del
estacionamiento viene dado por la siguiente tabla.
El tiempo de anticipación con el que se debe estar en el aeropuerto es de 3 horas
para viajes a Europa y nosotros queremos esperar a que el avión despegue.
a) Determine la regla de correspondencia de la función consumo versus velocidad.
b) Modele y grafique la función Costo total (usando el carro) versus tiempo de espera
dentro del aeropuerto (en minutos).
MATEMÁTICAS I
Solución (a)
De la figura podemos ver que la función consumo C(x) es una función cuadrática con vertice ℎ , 𝑘 = (20 , 2)
Para hallar la constante 𝑎 usamos el punto que nos brinda el enunciado del
problema, es decir, (40,3):
𝐶 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 = 𝑎 𝑥 − 202 + 2
𝑎(40 − 20)2+2 = 3→ 𝑎 = 1/400Finalmente la regla de correspondencia de la
función costo es:
𝐶 𝑥 =1
400(𝑥 − 20)2+2
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
100𝐾𝑚
El dominio de la función costo es 𝑥 ≥ 0
X: Velocidad
MATEMÁTICAS I
Solución (b)
𝐶𝑇 𝑡 = 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 + 𝑃𝑒𝑎𝑗𝑒 + 𝐸(𝑡) , Donde E(t): Costo del estacionamiento
𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝐶 𝑣 ∗ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑘𝑚 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 𝐶 𝑣 ∗ 𝑑 𝑣 ∗ 10
Como 𝐶 𝑣 : consumo en litros /100km
Así 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝐶 𝑣 ∗𝑑 𝑣
100∗ 10 = 3
10
10+ 4,2
5
10+ 6
5
10= 8,1
E(t) : Costo por estacionamiento y se define por tramos según el valor de t:
Por lo que la función costo total se expresa 𝐶𝑇 𝑡 = 8,1 + 5,70 + 𝐸(𝑡)
𝐶𝑇 𝑡 = ቐ19 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 45
20,8 ; 45 < 𝑡 ≤ 6020,8 + 0,12 𝑡 − 61 ; 𝑡 ≥ 61
𝐸 𝑡 = ቐ5,2 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 45
7 ; 45 < 𝑡 ≤ 600,12 𝑡 − 61 ; 𝑡 ≥ 61
MATEMÁTICAS I
Repaso 02
En la preparación para las misiones de exploración tripuladas a Marte, la NASA ha enviado naves
espaciales para explorar la superficie marciana. Dado Marte y de la Tierra tienen velocidades orbitales
diferentes la distancia entre Marte y la Tierra está en constante cambio. En un proyecto de exploración
de Marte, los astronautas permanecerán en la superficie de Marte durante aproximadamente 18 meses.
La capacidad de comunicación entre Marte y la Tierra será muy crítico. La información enviada desde
Marte a la Tierra se realiza en las ondas de radio que viajan a la velocidad de la luz en el espacio.
Debido a que la distancia entre los dos planetas es, en promedio, más de 100 millones kilómetros, hay
todavía un retardo de tiempo de la comunicación significativa. Los ingenieros y científicos de la NASA
están trabajando para entender este retraso mediante la recopilación de datos y el modelado de la
distancia entre Marte y la Tierra en ciclos de 26 meses, el tiempo requerido para que Marte este en su
máximo acercamiento a la tierra.
MATEMÁTICAS I
Solución
a) Use dos funciones trigonométricas para modelar el tiempo de comunicación y la
distancia de Marte a la Tierra.
b) Esboce las funciones del ítem anterior.
Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, aproximamos por una curva senoidal, así:
𝑔 𝑥 = 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑡 − 𝐶 + 𝐷
Con los datos ubicados en el gráfico:
2*A=22,2 - 3,1 = 19,1 entonces A= 9,55
T/2=378 entonces T=756
B=2π/756 ; D = 12,65 ; C = 222 (desface a la derecha)
La función es: 𝑔 𝑡 = 9,55 𝐶𝑜𝑠2𝜋 𝑡−222
756+ 12,65
D
C
2A
MATEMÁTICAS I
Solución
Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, aproximamos por una curva senoidal, así:
𝑓 𝑥 = 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑡 − 𝐶 + 𝐷
Con los datos ubicados en el gráfico:
2*A=3,99 – 0,557 entonces A= 1,7165
T/2=600-222 entonces T=756
B=2π/756 ; D = 2,2735 ; C = 222 (desface a la derecha)
La función es: f 𝑡 = 1,7165 𝐶𝑜𝑠2𝜋 𝑡−222
756+ 2,2735
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 01:
Para la función 𝑔 cuya gráfica está dada,
reordene los números siguientes en orden
creciente y explique su razonamiento
0 ; 𝑔′ −2 ; 𝑔′ 0 ; 𝑔′ 2 ; 𝑔′(4)
Solución
El orden sería: 𝑔′ 0 < 0 < 𝑔′ 4 < 𝑔′ 2 < 𝑔′ −2
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 02:Sea 𝐷 𝑡 la deuda nacional de EU en el tiempo t.
La tabla proporciona valores aproximados de esta
función siempre que se estime a fin de año, en
miles de millones de dólares, desde 1980 hasta el
2005. Interprete y estime el valor de 𝐷′(1990)
La derivada 𝐷′(1990) significa la razón de cambio de
D respecto de t cuando 𝑡 = 1990
Es decir: 𝐷′ 1990 = 𝐿𝑖𝑚𝑡→1990𝐷 𝑡 −𝐷(1990)
𝑡−1990
Solución
Como el t=1990 se encuentra entre 1985 y 1995, se
puede estimar que 𝐷′ 1990 es el promedio (aprox)
303 miles de millones de dólares por cada año.
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 03:Dibuje la gráfica de la función 𝑔
para la cual verifica:
𝑔 0 = 𝑔 2 = 𝑔 4 = 0
𝑔′ 1 = 𝑔′ 3 = 0
𝑔′ 0 = 𝑔′ 4 = 1
Solución:
MATEMÁTICA I
Ejercicio 04:
Solución:
Encuentre la deriva de cada una de las siguientes funciones
ℎ 𝑥 = 𝑒5 ; 𝑓 𝑡 = 5𝑡2 − 2𝑡3 ; 𝑔 𝑥 = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5
b) 𝑓′ 𝑡 = 10𝑡 − 6𝑡2
c) 𝑔′ 𝑥 = −2 3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = −6𝑥2 + 2𝑥 − 3
a) ℎ′ 𝑥 = 0
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