7/21/2019 Mathcad - VIGA BPR -L= 33 m-SI
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71.2.2.3.2. DISEÑO DE LAS VIGAS BPR-8 L=33 m.
Propiedades de la sección neta (viga)
n 13:= Numero de Puntos
i 0 n 1−..:= Rango de 0 a n-1
x
i0.28−0.28−0.10−0.10−0.325−0.325−
0.325
0.325
0.10
0.10
0.28
0.28
0.28−0
:= y
i0
0.145
0.33
1.535
1.58
1.70
1.70
1.58
1.535
0.33
0.145
0
0
0
:=
1− 0 10
0.5
1
1.5
yi
xi
h 1.70:= m bt 0.65:= m
A
0
n 2−
i
yi 1+
yi
−
( )
xi 1+
xi
+
2⋅
⎡
⎣
⎤
⎦∑=
−:= A 0.48963= m2
xbar 1
A−
0
n 2−
i
yi 1+
yi
−
8xi 1+
xi
+( )2
xi 1+
xi
−( )2
3+
⎡
⎣
⎤
⎦⋅
⎡
⎣
⎤
⎦∑=
⋅:= xbar 0=
ybar 1
A0
n 2−
i
xi 1+
xi
−
8yi 1+
yi
+( )2
yi 1+
yi
−( )2
3+
⎡
⎣
⎤
⎦⋅
⎡
⎣
⎤
⎦∑=
⋅:= ybar 0.825= m
Ix
0
n 2−
i
xi 1+
xi
−( )yi 1+
yi
+
24⋅
⎡
⎣
⎤
⎦ y
i 1+ y
i+( )
2yi 1+
yi
−( )2
+⎣ ⎦
⋅⎡
⎣
⎤
⎦∑=
:=Ix 0.499= m
4
Ixbar Ix A ybar 2⋅−:= Ixbar 0.166= m
4
wb
Ixbar
ybar := wb 0.201= m
3
wt
Ixbar
h ybar −:= wt 0.19= m
3
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Resumen de Propiedades viga Simple:
A 0.4896= m2
Area de Sección Neta vigayt h ybar −:=
yt 0.875= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra superior yb ybar :=
yb 0.825= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra inferior I Ixbar :=I 0.166019= m
4Momento de Inercia de seccion neta
wt 0.18979= m3
Modulo resistente seccion neta superior
wb 0.2012= m3
Modulo resistente seccion neta inferior
Rendimiento de la seccion
r I
A:= r 0.582= radio de giro
ρ 0.5> vale para secciones esbeltasρ
r 2
yt
yb:=
rendimiento es: ρ 0.4< secciones pesadas
ρ 0.47=
Por tanto el rendimiento de la seccion es optima
PROPIEDADES DE LA SECCION COMPUESTA
El ancho efectivo del patín (be) será el menor de:
L 33:= m t 0.18:= m Siendo L la longitud de la viga t el espesor de la losa y S la separac
entre vigas, todo en metros.S 2.4:= m
be L
4:= be 8.25= m
N
L
4
12 t⋅ bt+
S
⎛ ⎜⎜
⎝
⎞⎟⎟
⎠
:= N
8.25
2.81
2.4
⎛
⎝
⎞
⎠
= mbe 12 t⋅ bt+:= be 2.81= m
be S:= be 2.4= m
entonces be min N( ):= be 2.40= m
Resistencia a la rotura de la losa:fcL 21:= MPa
Resistencia a la rotura de la viga:fcv 35:= MPa
Factor de Corrección de resistencia:
ηfcL
fcv:= η 0.775=
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Area Efectiva de la losa:
AL η be⋅ t⋅:= AL 0.3346= m2
La Inercia de la losa homogenizada será:
IL η be⋅ t3
12⋅:= IL 0.0009= m
4
Tomando como referencia la linea superior de la losa se optiene los datos de la sección compue
Brazo = distancia de linea superior de losa al eje neutro del Item
t 0.18:= m espesor de losaItem Brazo
Losa yLt
2:= m yL 0.09= m
Viga yv yt t+:= m yv 1.055= m
Σ A AL A+:= Σ Ay AL yL⋅ A yv⋅+:=Σ A 0.824= m
2Σ Ay 0.547= m
3
ΣIo IL I+:= Σ Ay2 AL yL2⋅ A yv
2⋅+:=
ΣIo 0.167= m4
Σ Ay2 0.547= m4
Yt Σ Ay
Σ A:= Yt 0.663= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra super
Yb h t+ Yt−:= Yb 1.217= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferio
El momento de inercia de la sección compuesta según Steiner esta dado por:
It ΣIo Σ Ay2+ Yt2
Σ A⋅−:= It 0.35192= m4
Módulo Resistente de la sección compuesta:
WbIt
Yb:= Wb 0.2892= m
3Modulo resistente seccion compuesta superior
WtIt
Yt:= Wt 0.5307= m
3Modulo resistente seccion compuesta inferior
Excentricidad aproximada:
e yb 0.1 h⋅−:= e 0.655= m
Resumen de Propiedades Seccion Compuesta:
Yt 0.663= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior
Yb 1.217= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior
It 0.35192= m4
Momento de Inercia de seccion compuesta
Wb 0.2892= m3
Modulo resistente seccion compuesta superior
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Wt 0.5307= m3
Modulo resistente seccion compuesta inferior
e 0.655= m Excentricidad aproximada:
Cálculo del preesfuerzo
Resumen de solicitaciones
Mpp 1607.54:= kN m⋅ Momento Peso propio
Mlh 1424.41:= kN m⋅ Momento Losa humeda + capa de rodadura
Md 118.96:= KN m⋅ Momento de Diafragmas
Mvi 1983.42:= KN m⋅ Momento Carga viva+Impacto
Msup 584.44:= KN m⋅ Momento Postes, barandado, acera y bordillos
Cálculo de tensiones para cada caso
a) Tensiones por cargas permanentes (pesos propios)
Las tensiones correspondientes a los momentos: Mpp, Mlh y Md, se calculan tomando los mód
resistentes de la sección prefabricada.
M1 Mpp Mlh+ Md+:= M1 3150.91= KN m⋅
fibra superior:
f t1M1
wt:=
N
mm2f t1 16.602= (+)
fibra inferior:
f b1M1
wb:=
f b1 15.663= N
mm2
(-)
b) Tensiones debidas a las cargas vivas y complementos
En este caso la sección resistente pasa a ser la compuesta por la viga y la losa, por lo tanto debe
tomarse en cuenta los módulos resistentes de esta sección.
M2 Mvi Msup+:= M2 2567.86= N mm⋅
fibra superior:
f t2M2
Wt:=
f t2 4.838= N
mm2
(+)
fibra inferior:
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f b2M2
Wb:=
f b2 8.879= N
mm2
(-)
c) Tensiones por pretensión
La fuerza de pretensión inicial necesaria será calculada para una tensión nula en la fibra inferio
tomando en cuenta todas las cargas actuantes.
f bPo
A
Po e⋅
wb+ f b1− f b2−= siendo f b 0:=
Po A wb⋅f b f b1+ f b2+
wb e A⋅+⋅:=
Por lo tanto:
Po 4630.925= kN
Características de los cables de preesfuerzo
Cables de siete alambres
Diámetro nominal 12.7 m
Area nominal del cable Au 98.7:= mm2
Peso por 1000 pies 2333.26 N
Resistencia a la rotura fs1 1860:= Mpa
Resistencia a la Fluencia fsy 0.9 fs1⋅:= fsy 1674= N
mm2
Esfuerzo de diseño:
1o Posibilidad fs 0.6fs1:= fs 1116= N
mm2
2o Posibilidad fs 0.8 fsy⋅:= fs 1339.2= N
mm2
Usar: fs 1116:= N
mm2
2.3.9.5 Número de cables necesarios
Anec Po 1000⋅
fs:= Anec 4149.574= mm
2
Ncables Anec
Au:= Ncables 42.042= Usar: Ncables 44:=
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Areal Ncables Au⋅:= Areal 4342.8= m2
Número y disposición de vainas
Según sistema Freyssinet, las características y dimensiones de los ductos para cables o torones1/2 plg de 7 alambres, de 8 a 12 torones Φext = 65 mm
Según el reglamento el diámetro interior de las vainas será por lo menos de 1/4 plg mayor que e
diámetro del cable, aspecto que se cumple con:
3 vainas de 2 7/8 plg = 73 mm para alojar 36 cables Φ1/2 plg. grado 270 ksi, 12 en la vaina 1, 12
las vainas 2 y 3 contando de abajo hacia arriba.
Momento estático
Posición de las vainas en el centro de la viga:
El recubrimiento mínimo de las vainas no puede ser menor de 5 centímetros por lo que podemo
mejorar la excentricidad para un mejor funcionamiento de preesfuerzo.
con: Areal 4342.8= mm2
e 0.655= m
A1 11 Au⋅:= A1 1085.7= mm2
A2 11 Au⋅:= A2 1085.7= mm2
A3 11 Au⋅:= A3 1085.7= mm
A4 11 Au⋅:= A4 1085.7= mm2
Areal e⋅ A1 yb 87.5−( )⋅ A2 yb 162.5−( )⋅+ A3 yb 237.5−( )⋅+ A4 yb 312.5−( )⋅+=
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162,5237,5
312,5
87,5
75,0
75,0
75,0
yb 825.269= mm
e A1 yb 87.5−( )⋅ A2 yb 162.5−( )⋅+ A3 yb 237.5−( )⋅+ A4 yb 312.5−( )⋅+
Areal:=
e 625.27= mm
yd
d
d
Posición de las vainas en el apoyo:
La separación mínima entre conos de anclaje debe ser de 30 m. para un buen trabajo del gato
ΣMo 0=
d 300:=
A1 y⋅ A2 d y−( )⋅ A3 2d y−( )⋅+ A4 3 d⋅ y−( )⋅+=
y d A2 2 A3⋅+ 3 A4⋅+
A1 A2+ A3+ A4+⋅:=
y 450= m
La fuerza de pretensión inicial necesaria será entonces:
Po A wb⋅f b f b1+ f b2+
wb e A⋅+⋅:=
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Po 4765.007= kN
Tensión efectiva de los cables
Pc Po
Ncables:= Pc 108.296= kN
Tv Pc 1000⋅
Au:= Tv 1097.22=
N
mm2
< fs Ok!
Determinación de pérdidas de preesfuerzo
Pérdidas por fricción de los cables
Las pérdidas de fricción en los miembros postensados aparecen por el cambio de angular en lo
cables plegados y por la excentricidad de los ductos. Las pérdidas por frición se basarán en los
coefientes experimentales K y μ, para el cálculo de las pérdidas por fricción se tiene:
To Tv ek L⋅ μ α⋅+⋅=
Para cables de alambre y ducto en contacto directo con el hormigón se tiene los siguientes val
k 0.004922:=
μ 0.25:=
k = Coeficiente de fricción en tramos rectos o coeficiente de curvatura secundaria por metro d
longitud.
μ = Coeficiente de fricción por curvatura.
To = Tensión del cable en el extremo del gato
Tv = Tensión del cable en un punto cualquiera x
L = Longitud del cable desde el gato hasta el punto x
α = Variación total angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato h
punto x.
Ecuación de la parábola:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=donde: e 0.625= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e
L⋅⎛
⎝ ⎞ ⎠
:= α 0.076= rad
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Tesado un lado
k L
2⋅ μ α⋅+ 0.1= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= To 1207.079=
FR To Tv−:= FR 109.858= N
mm2
%FR FR 100⋅
Tv:= %FR 10.012= %
Pérdidas por hundimiento en los anclajes
Los hundimientos (h), en los clásicos anclajes Freyssinet para cables 12/5 y 12/7 son de 4 a 6 m
respectivamente.
En general:
a) Los cables largos se tesan de dos lados y no existe pérdida th a medio cable. b) Los cables cortos se tesan de un lado y existe un valor de th a medio cable.
Es 191590:= N
mm2
X
Es 6⋅ L 1000⋅
2⋅
FR:= X 13140= mm menor a
L 1000⋅2
16500= mm
th 2 Es⋅ 6⋅X
2 FR⋅−:= th 44.746−=
%th th 100⋅
Tv:= %th 4.078−=
Acortamiento elástico del Concreto (ES)
ES 0.5Es
Eci⋅ f cir ⋅=
Ppi 0.63
fs1
1000⋅ Areal⋅:= Ppi 5088.893= kN
f cpi
Ppi
A
Ppi e2⋅
I+:= f cpi 22377.331= kN/m2
f gMpp e⋅
I:= f g 6054.375= kN/m2
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f cir f cpi f g−:= f cir 16322.955= kN/m2
Es 191590:= N
mm2
fc 24.5:= N/mm2
Ec 24001.5
0.043⋅ fcv:= Ec 29910.202= N/mm2
ES 0.5Es
Ec⋅ f cir ⋅:= ES 52.278= N/mm2
%ES ES
Tv100⋅:= %ES 4.765= %
Contracción del Concreto (SH)
SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅= N/mm2
RH 80:= % La humedad relativa media anual de 14 septiembre
SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅:= SH 27.632= N/mm2
%SH SH
Tv100⋅:= %SH 2.518= %
Fluencia del Concreto (CRc)
Para miembros pretensados y postensados
CRc 12 f cir ⋅ 7 f cds⋅−=
f cds Mlh e
I⋅ Md
e
I⋅+:= f cds 5812.696= kN/m2
CRc 12 f cir ⋅ 7 f cds⋅−:= CRc 155.187= N/mm2
%CRc CRc
Tv100⋅:= %CRc 14.14= %
Relajación de los cables (CRs)
CRs 137.9 0.3 FR⋅− 0.4 ES⋅− 0.2 SH CRc+( )⋅−:=
CRs 47.467= N/mm2
%CRs CRs
Tv100⋅:= %CRs 4.326= %
Pérdidas totales
Según la norma AASTHO(art. 9.16.2.2) una estimación total de pérdidas de 227.36 N/mm2
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puede usarse, este valor no toma en cuenta la pérdida por fricción.
En nuestro caso:
Σ SH ES+ CRc+ CRs+:= Σ 282.56= N/m m2
muy cercano al recomendado y por lo tanto usamos el valor calculado.
∆f s SH ES+ CRc+ CRs+ FR+ th+:= ∆f s 347.68= N/mm2
%∆f s %SH %ES+ %CRc+ %CRs+ %FR+ %th+:= %∆f s 31.69= %
%∆f s∆f s
Tv100⋅:= %∆f s 31.69= %
Preesfuerzo Final
Pf Tv 1%∆f s
100+
⎛ ⎝
⎞ ⎠
⋅:= Pf 1444.9= N
mm2
= 0.78 fs1<0.8fs1 Ok!
%∆f sm %SH %ES+ %CRc+ %CRs+:=
Pfmi Tv 0.8Σ+:= Pfmi 1323.272= N
mm2
Para miembros postensados segun AASHTO (art. 9.15.1) una tensión a 0.8 fs1 es permitido par
compensar las pérdidas por hundimiento de anclajes y fricción, este esfuerzo es conocido como
esfuerzo máximo temporal; pero el esfuerzo de servicio no debe exceder de 0.7 fs1 después de t
las pérdidas.
Las pérdidas por acortamiento elástico tomará lugar gradualmente, si aun quedan tendones por
por lo que se deduce el factor de 0.5 usado en la fórmula para el cálculo de esta pérdida.
Pn Pf %FR Pf ⋅ %ES Pf ⋅+ %th+
100−:= Pn 1231.4=
N
mm2 = 0.69 fs1<0.7fs1 Ok!
VERIFICACION DE TENSIONES DEL CONCRETO
P = Fuerza de presfuezo inicial antes de que se produzcan las pérdidas:P
Pf
1000Ncables⋅ Au⋅:=
P 6274.9= kN
P1 = Fuerza de preesfuerzo después de las perdidas por fricción, anclaje y acortamiento elástico
P1 Pn
1000Ncables⋅ Au⋅:=
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P1 5347.831= kN
P2 = Fuerza de presfuezo final después de todas las pérdidas:
P2 Po:=
P2 4765.007= kN
Verificación para t=0
fc 35:= Mpa
fci 0.8 fc⋅:= fci 28= Mpa
(-)máxima tracción permisible: 0.79 fci⋅ 4.18=
N
mm2
(+)Máxima compresión permisible: 0.55 fci⋅ 15.4=
N
mm2
Fibra superior:
fct P
AP
e
wt⋅−
Mpp
wt+:= fct 0.613= fct 0.79 fci< CorrectoN
mm2
Fibra Inferior:
fcb P
AP
e
wb⋅+
Mpp
wb−:= fcb 24.328=
N
mm2
fcb 0.55fci> Incorrecto
Debido al sobretensión que se produce en la fibra inferior (compresión) se opta por preesforzar
dos etapas. El primer preesfuerzo aplicado a la viga se lo realizará en las vainas 1 y 2; este pree
debe ser capaz de resistir el peso propio de la viga;losa y diafragmas dejando un segundo prees
para resistir las demas cargas.
P3 = Fuerza de preesfuerzo en la 1o etapa.
P3 Pf
100024⋅ Au⋅:=
P3 3422.673= kN
La excentricidad de las dos vainas es:e1 513:= mm
e2 588:= mm
e0
e1 e2+
2:= e0 550.5= mm
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1o PREESFUERZO
Verificación para t = 0
fibra superior:
fct P3 A
P3 e0
wt⋅− Mpp
wt+:= fct 5.533= N
mm2
(+) fct 0.79 fci< Correcto
Fibra Inferior:
fcb P3
AP3
e0
wb⋅+
Mpp
wb−:= fcb 8.366=
N
mm2
(+) fcb < 0.55fci 15.4= Correcto
2o PREESFUERZO
Verificación para t = Intermedio
En esta etapa se considera la pérdia de fricción y acortamiento elástico (no existe pérdida por
hundimiento de anclaje a medio tramo) en las vainas 1 y 2 y se añade el preesfuerzo en la vain
y 4. Para esto calculamos la nueva fuerza P4
P4 Pn 22⋅ Au⋅ Pf 22⋅ Au⋅+:=
P4 5811365.5= N
fibra
superior:
fct P4
AP4
e
wt⋅− M1
wt+:= fct 9.325=
N
mm2
(+) Correcto
Fibra Inferior:
fcb P4
AP4
e
wb⋅+
M1
wb−:= fcb 14.269=
N
mm2
(+) fcb 0.55fci< Correcto
Verificación para t = oo
máxima tracción permisible: 1.6 fc⋅ 9.466= kN
m2
(-)
Máxima compresión permisible: 0.45 fc⋅ 15.75= kN
m2
(+)
M3 M1 Mpp−:= M3 1543370000= N mm⋅
M2 2567860000= N mm⋅
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Mpp 1607540000= N mm⋅
fibra superior:
fct P2
AP2
e
wt
⋅− Mpp
wt
+ M3
Wt
+ M2
Wt
+:= fct 10.25= N
mm2
(+) fct 0.45fc< Correcto
Fibra Inferior:
fcb P2
AP2
e
wb⋅+
Mpp
wb−
M3
Wb−
M2
Wb−:= fcb 2.335=
N
mm2
(+) fcb 1.6 fc⋅> Correcto
Verificación de la losa
fctlosa η fct⋅:= η 0.775= fctlosa 7.94= <0.45fclosa = 10.98 N
mm2
Ok!
Pérdidas por Fricción y Elongación de los torones en cada vaina
Vaina 1
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=
donde: e1 513= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e1
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠:= α 0.062= rad
Tesado por un lado
k L
2⋅ μ α⋅+ 0.097= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= To 1203.363=
FR1 To Tv−:= FR1 106.143= N
mm2
%FR1 FR1 100⋅
Tv:= %FR1 9.674= %
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http://slidepdf.com/reader/full/mathcad-viga-bpr-l-33-m-si 15/34
X
Es 6⋅ L 1000⋅
2⋅
FR1:= X 13367.727= mm menor a
L 1000⋅2
16500= mm
th12 Es⋅ 6⋅
X
2 FR⋅−:= th1 47.73−=
%th1 th 100⋅
Tv:= %th1 4.078−=
Tensión para el gato de la vaina 1 es:
T1 Tv FR1+:= T1 1203.363= N/mm2 = 0.79 fs1
Alargamiento:
L1 18 e1
2⋅
3 L2⋅
+⎛
⎝
⎞
⎠L⋅:= L1 33.021=
∆L1
L1 1000⋅ T1⋅
Es:= ∆L1 207.4= mm
Vaina 2
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=
donde: e2 588= m
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e2
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠:= α 0.071= rad
Tesado por un lado
k L
2⋅ μ α⋅+ 0.099= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= To 1205.846=
7/21/2019 Mathcad - VIGA BPR -L= 33 m-SI
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FR2 To Tv−:= FR2 108.626= N
mm2
%FR2 FR2 100⋅
Tv:= %FR2 9.9= %
XEs 6⋅
L 1000⋅2⋅
FR2:= X 13214.086= mm menor a
L 100⋅2
1650= m
th22 Es⋅ 6⋅
X2 FR2⋅−:= th2 43.265−=
%th2 th 100⋅
Tv:= %th2 4.078−=
Tensión para el gato de la vaina 1 es:
T2 Tv FR2+:= T2 1205.846= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L2 18 e2
2⋅
3 L2
⋅+
⎛
⎝
⎞
⎠L⋅:= L2 33.028=
∆L2
L 1000⋅ T2⋅
Es:= ∆L2 207.698= mm
Vaina 3
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=
donde: e3 663:= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e3
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠:= α 0.08= rad
7/21/2019 Mathcad - VIGA BPR -L= 33 m-SI
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Tesado por ambos lados
k L
2⋅ μ α⋅+ 0.101= To Tv 1 k
L
2⋅+ μ α⋅+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= To 1208.325=
FR3 To Tv−:= FR3 111.105=
kN
m2
%FR3 FR3 100⋅
Tv:= %FR3 10.126= %
X
Es 0.6⋅ L 100⋅
2⋅
FR3:= X 1306.581= mm menor a
L 1000⋅2
16500= mm
th32 Es⋅ 6⋅
X2 FR3⋅−:= th3 1537.404=
%th3 th 100⋅Tv
:= %th3 4.078−=
Tensión para el gato de la vaina 1 es:
T3 Tv FR3+:= T3 1208.325= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L3 18 e3
2⋅
3 L
2
⋅
+⎛
⎝
⎞
⎠
L⋅:= L3 33.036=
∆L3
L3 1000⋅ T3⋅
Es:= ∆L3 208.349= mm
Vaina 4
Pérdida por fricción:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=
donde: e4 738:= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
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Para X=L/2
tan α( ) 4e
L⋅= α atan 4
e4
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠:= α 0.089= rad
Tesado por ambos lados
k L2
⋅ μ α⋅+ 0.104= To Tv 1 k L2
⋅+ μ α⋅+⎛ ⎝ ⎞ ⎠⋅:= To 1210.801=
FR4 To Tv−:= FR4 113.581= kN
m2
%FR4 FR3 100⋅
Tv:= %FR4 10.126= %
X
Es 0.6⋅ L 100⋅
2⋅
FR4:= X 1292.263= mm menor a
L 1000⋅2
16500= mm
th42 Es⋅ 6⋅
X2 FR4⋅−:= th4 1551.95=
%th4 th 100⋅
Tv:= %th4 4.078−=
Tensión para el gato de la vaina 1 es:
T4 Tv FR4+:= T4 1210.801= N/mm2 = 0.79fs1
Alargamiento:
L4 18 e4
2⋅
3 L2
⋅+
⎛
⎝
⎞
⎠L⋅:= L4 33.044=
∆L4
L4 1000⋅ T4⋅
Es:= ∆L4 208.83= mm
Verificación de los momentos
Momento Último Actuante
MD Mpp Mlh+ Md+ Msup+:= MD 3735.35= kN m⋅
ML Mvi:= ML 1983.42= kN m⋅
Mua 1.3 MD 1.67 ML⋅+( ):= Mua 9162= kN m⋅
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Según norma AASHTO (art. 9.17.4), se tiene:
b be η⋅ 1000⋅:= b 1859.032= mm
d yt e+ t+:= d 1680= mm
ρ Areal
b d⋅:= ρ 0.00139=
fsy 1674= N
mm2
fsu1 fsy 1 0.5 ρ⋅ fsy
fc⋅−⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= fsu1 1618.334= N
mm2
Momento Último Resistente
t1 1.4 d⋅ ρ⋅ fsy
fc⋅:= t1 156.422= mm t 180= mm t1 t<
Según norma AASHTO (art. 9.17.2):
Mur Areal fsy
1000⋅ d⋅ 1 0.6 ρ⋅
fsu1
fc⋅−
⎛ ⎝
⎞ ⎠
⋅:= Mur 11742193= N m⋅
Mur Mua> Ok!
Máximo porcentaje de acero de preesfuerzo
La norma AASHTO en su artículo 19.8.1 señala que los miembros de hormigón pretensado se
diseñarán de manera que el acero entre en fluencia mientras se acerca su capacidad última, el í
la armadura será tal que:
ρfsu1
fc⋅ 0.3< ρ
fsu1
fc⋅ 0.064= 0.057 0.3<
Por tanto la falla se producirá en el acero en primera instancia
Análisis de fuerza cortante en las vigas
La fuerza cortante será analizado en dos tramos, para los cuartos exteriores y el centro
Por carga muerta:
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peso propio: qpp 12.08:= postes, barandado,
aceras, bordillos:
qsup 4.37:= kN
mkN
m
losa+rodadura: qlh 10.46:= kN
m
qg qpp qlh+ qsup+:= qg 26.91= kN
m
Cortante producido por la carga uniforme será:
para L Qg1
qg L⋅
2:= Qg1 444.015= kN
Cortante producida por los diafragmas será:
Qg2 10.82:= kN
Cortante total será:
Qg Qg1 Qg2+:= Qg 454.835= kN
a h/2 la fuerza cortante será: Vg1 Qg qg 0.029⋅ L⋅−:= Vg1 429.082= kN
a L/4 la fuerza cortante será: Vg2 Qg qgL
4⋅−:= Vg2 232.827= kN
a L/2 la fuerza cortante será: Vg3 0:=
Por Carga viva:
La fuerza cortante máximo calculado en programa es:
Para camión tipo HS20-44
para h/2 qv1 133.72:= kN
para L/4 qv2 106.04:= kN
para L/2 qv3 66.01:= kN
cortante producido por la sobrecarga en las aceras
qsobrecarga 2.843 0.60⋅2
2⋅:= qsobrecarga 1.706=
kN
m
para h/2 Qs1 qsobrecarga 0.471⋅ L⋅:= Qs1 26.513= kN
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para L/4 Qs2
qsobrecarga L⋅
4:= Qs2 14.073= kN
para L/2 Qs3 0=
por tanto la fuerza cortante debido a la carga viva será:
para h/2 Vv1 qv1 Qs1+:= Vv1 160.233= kN
para L/4 Vv2 qv2 Qs2+:= Vv2 120.113= kN
para L/2 Vv3 qv3:= Vv3 66.01= kN
Por impacto:
para h/2 VI1 0.3 Vv1⋅:= VI1 48.07= kN
para L/4 VI2 0.3 Vv2⋅:= VI2 36.034= kN
para L/2 VI3 0.3 Vv3⋅:= VI3 19.803= kN
Cortante Último
para h/2 Vmax1 1.3 Vg1 1.67 Vv1 VI1+( )⋅+⋅:= Vmax1 1010.033= kN
para L/4 Vmax2 1.3 Vg2 1.67 Vv2 VI2+( )⋅+⋅:= Vmax2 641.67= kN
Vmax3 1.3 Vg3 1.67 Vv3 VI3+( )⋅+⋅:= Vmax3 186.3= kN para L/2
Cortante Debido al Preesfuerzo
La componente transversal del preefuerzo en los cables, ocasionan esfuerzos cortantes favora
que contrarestan las ocasionadas por las cargas exteriores.
La ecuación de la parábola es:
X2
L2 Y
e1+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅=
donde: e 625.269= mm
Derivando la ecuación se tiene:
2XdX L
2dY⋅
4e=
dY
dX8e
X
L2
⋅= tan α( )=
Para X=h/2
tan α( ) 3.769e
L⋅= α atan 3.769
e
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠:= α 0.071= rad
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para h/2 VD1P2
1000sin α( )⋅:= VD1 339.42= kN
Para X=L/4
tan α( ) 2e
L⋅= α atan 2
e
1000
L⋅
⎛
⎝
⎞
⎠
:= α 0.038= rad
para L/4 VD2P2
1000sin α( )⋅:= VD2 180.441= kN
para L/2 VD3 P2 0⋅:= VD3 0= kN
Cortante Absorbido por el Concreto
con: j7
8:= b 200:= mm d yt e+:= d 1500= mm fc 35=
N
mm2
Vc 0.06 b⋅ fc
1000⋅ j⋅ d⋅:= Vc 551.25= kN
admVc17.64
1000b⋅ j⋅ d⋅:= admVc 4630.5= kN
Vc admVc<
Cortante Último Actuante
para h/2 Vu1 Vmax1 VD1−:= Vu1 670.613= kN
para L/4 Vu2 Vmax2 VD2−:= Vu2 461.23= kN
para L/2 Vu3 Vmax3 VD3−:= Vu3 186.3= kN
Armadura Resistente al Corte
Los miembros sujetos a cortante pueden ser diseñados con:
Vu ϕ Vc Vs+( )≤
ϕ 0.85:=
donde:
Vu = es la fuerza cortante factorada en la sección de análisis
Vc = es la fuerza cortante nominal absorvida por el hormigón
Vs = es la fuerza cortante nominal resistida por el acero de refuerzo (estribos)
Vs Av fy⋅ j⋅ d⋅
S=
Av = area del acero de refuerzo
S = separación entre aceros de refuerzo.
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Para los cuartos exteriores de la viga:
con: fy 420:= N
mm2
para las barras de acero
Vs
Vu1
ϕ Vc−:= Vs 237.706= kN
Av 157:= mm2
dos ramasasumiendo Φ10y una separación S 100:= mm
tenemos:
Vsi Av fy⋅ j⋅ d⋅
S 1000⋅:= Vsi 865.462= kN > Vs 237.706= kN
USAR eΦ10c/10
S 150:=Para los cuartos interiores de la viga:
VsVu2
ϕVc−:= Vs 8.627−= kN Vsii
Av fy⋅ j⋅ d⋅
S 1000⋅:=
Vsii 576.975= kN > Vs 8.627−= kN
Según ACI (11.5.5.3) AASHTO (9.20.3.3) el área mínima de refuerzo por cortante para eleme
presforzados y no preesforzados se deberá calcular por medio de:
Avmin 0.35
b S⋅
fy⋅:= Avmin 25= mm
2
ACI (115.5.4) Para elementos preesforzados que tengan una fuerza de preesfuerzo efectiva no
menor del 40 % de la resistencia a la tensión del acero de refuerzo por flexión, el área del acer
refuerzo por cortante no debe ser menor que el menor valor de Avmin dado por la ecuación an
y la siguiente:
Aps = área del acero preesforzado en la zona de tensión, m2
fpu = resistencia especificada a la tensión de los cables de preesfuerzo, kN/m2
Aps Ncables Au⋅:= Aps 4342.8= m2
fpu fs1:= fpu 1860= kN
m2
Avmin Aps fpu⋅ S⋅
80 fy⋅ d⋅
d
b⋅:= Avmin 65.838= m
2
USAR eΦ10C/30 estribos U
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Para la mitad del tramo:
VsVu3
ϕVc−:= Vs 332.074−= kN
por lo tanto disponer de armadura mínima.
USAR eΦ10C/30 estribos U
Conectores de Corte
En la construcción mixta, el esfuerzo cortante ν entre las porciones precoladas y coladas en e
se calcula basándose en la teoría elástica ordinaria, a través de la fórmula:
ν V Q⋅
Ib=
donde:
V = esfuerzo cortante total aplicado después de que ha sido colada la porción en el lugar;
Q = momento estático del área de la sección transversal de la porción colada en el lugar con re
al eje centroidal de la sección compuesta;
I = momento de inercia de la sección compuesta; y
b = ancho del área de contacto entre las porciones precoladas y coladas en el lugar.
Para los cuartos exteriores
V Vu1:= V 670.613= kN
b 63.5:= m
I It:= I 0.352= m4
Q η 250⋅ 19⋅ 48.67719
2+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= Q 214052.625= m3
ν V Q⋅
I b⋅:= ν 6423453.424=
kN
m2
Se utilizarán los siguientes valores para la resistencia a la ruptura por adherencia en las superfi
contacto:
Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) 75 lb/plg2 (5.27 kN/m2)
Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) y la superficie de contacto
hace rugosa artificialmente, 150 lb/plg2 (10.5 kN/m2)
Cuando los amarres de acero en exceso de llos requisitos de (*) se proporcionan y la superfici
contacto del elemento precolado se hace rugosa artificialmente, 225 lb/plg2 (1.548 N/mm2).
(*) Todo el refuerzo del alma se extenderá dentro de cubiertas coladas en el lugar. El espacia
de los amarres verticales no será mayor a cuatro veces el espesor mínimo de cualquiera de los
elementos compuestos y, en ningún caso, mayor a 24 plg (60.96 m). El área total de los amarr
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verticales no será menor que el área de dos varillas del numero 3 (10 mm) espaciadas a 12 plg
(30.48).
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que
deberá extender los estribos U calculados anteriromente.
USAR eΦ10c/30 continuamos con la separación de estribos anteriormente calculados
Para los cuartos interiores
V Vu2:= V 461.23= kN
b 650:= mm
I It 1000000000000⋅:= I 351924982715.723= mm4
Q η be⋅ t⋅ Yb t
2+⎛
⎝ ⎞ ⎠
⋅:= Q 437331130.07= mm3
ν V 1000⋅ Q⋅
I b⋅:= ν 0.882=
N
mm2
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que
deberá extender los estribos U calculados anteriromente.
USAR eΦ10c/25
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Trayectoria de los cables
La ecuación general es:
A
B
Y
C
X
Y2
L2
Ya 2 Yb⋅− Yc+( )⋅ X2
⋅1
L3− Ya⋅ 4 Yb⋅+ Yc−( )⋅ X⋅+ Ya+=
VAINA 1
A ( 0 , 1.275 )Y 3.535 10
3−⋅ X2⋅ 11.667 10
2−⋅ X⋅− 1.275+=B ( 16.50 , 0.3125 )
C ( 33 , 1.275 )
VAINA 2
A ( 0 ,0 .975 )
B (16.50 , 0.2375 ) Y 2.709 103−⋅ X
2⋅ 8.939 102−⋅ X⋅− 0.975+=
C ( 33 , 0.975 )
VAINA 3
A ( 0 , 0.675 )Y 1.882 10
3−⋅ X2⋅ 6.212 10
2−⋅ X⋅− 0.675+=B ( 16.50 , 0.1625 )
C ( 33 , 0.675 )
VAINA 4
A ( 0 , 0.375 )Y 1.056 10
3−⋅ X2
⋅ 3.485 102−⋅ X⋅− 0.375+=
B ( 16.50 , 0.0875 )
C ( 33 , 0.375 )
A continuación se presenta las coordenas correspondientes a las vainas, ques son redondeadas a
dos decimales.
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Progresiva
cada 1.0 m. Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 Vaina 4
m. cm cm cm cm
0.00 127.50 97.50 67.50 37.50
1.00 115.83 88.83 61.48 34.12
2.00 105.58 80.70 55.83 30.95
3.00 95.68 73.12 50.56 28.00
4.00 86.49 66.08 45.66 25.25
5.00 78.01 59.58 41.15 22.72
6.00 70.23 53.62 37.00 20.39
7.00 63.16 48.20 33.24 18.28
8.00 56.79 43.32 29.85 16.38
9.00 51.14 38.99 26.84 14.69
10.00 46.19 35.20 24.20 13.21
11.00 41.94 31.94 21.94 11.94
12.00 38.41 29.24 20.06 10.89
12.85 35.96 27.36 18.76 10.16
13.00 35.58 27.07 18.56 10.04
14.00 33.46 25.44 17.43 9.41
15.00 32.05 24.36 16.67 8.99
16.00 31.34 23.82 16.30 8.78
16.50 31.25 23.75 16.25 8.75
17.00 31.34 23.82 16.30 8.78
18.00 32.05 24.36 16.67 8.99
19.00 33.46 25.44 17.43 9.41
20.00 35.58 27.07 18.56 10.04
21.00 38.41 29.24 20.06 10.89
22.00 41.94 31.94 21.94 11.94
23.00 46.19 35.20 24.20 13.21
24.00 51.14 38.99 26.84 14.69
25.00 56.79 43.32 29.85 16.38
26.00 63.16 48.20 33.24 18.28
27.00 70.23 53.62 37.00 20.39
28.00 78.01 59.58 41.15 22.72
29.00 86.49 66.08 45.66 25.25
30.00 95.68 73.12 50.56 28.00
31.00 105.58 80.70 55.83 30.95
32.00 116.19 88.83 61.48 34.12
33.00 127.50 97.50 67.50 37.50
Ordenada
Determinación de Flechas
El cálculo de las deflexiones debidas a las cargas externas es similar al de las vigas no preesfoMientras el concreto no se agriete, la viga puede tratarse como un cuerpo homogeneo y se le a
la teoría elástica usual para el cálculo de deflexiones.
Deflexión Admisible
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L 33000= mm δ L
1000:= δ 33= mm
Se pueden considerar dos etapas principales de deformación, en las que se considera la defor
originada por las cargas actuantes en el proceso de tesado de los cables y la que se produce posterior a las pérdidas de preesfuezo y cargas adicionales.
Primera Etapa
Deflexión Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1 y 2 con fuerzas que actuan
el concreto.La carga uniforme que actúa a lo largo de la viga será:
w8 F⋅ e⋅
L
2=
Los cables 1 y 2 tendrán una excentricidad e0
e0 550.5= mm
F Pn 22⋅ Au⋅:= F 2673915.58= N
w8 F⋅ e0⋅
L2
:= w 10.814= N
mm
Mediante la fórmula de deflexión:
δ5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅=
donde:
Ec = módulo de elasticidad del concretoI = momento de inercia de a sección
Ec 29910.202= N
mm2
I 351924982716= mm4
por tanto la deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:
δp15 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δp1 15.863= mm hacia arriba
Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produci
un momento M:
M F
2403⋅
F
20⋅+:= M 538793990.05= N mm⋅
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Los momento en los extremos producen una deflexión que vale:
δmM L
2⋅
8 Ec⋅ I⋅:= δm 6.968= mm hacia abajo
El peso propio de la viga es:
qpp 12.08= N
mm
El peso propio de la viga produce una flecha igual a:
δg
5 qpp⋅ L4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δg 17.721= mm hacia abajo
Por tanto la deflexión total inicial será:
δini1 δp1 δm− δg−:= δini1 9−= mm hacia arriba
Segunda Etapa
Deformación Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1, 2 y 3 con fuerzas que actu
sobre el concreto.
F Pn Ncables⋅ Au⋅:= F 5347831.17= N
w8 F⋅ e⋅
L2
:= w 24.564= N
mm
La deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:
δp25 w⋅ L4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δp2 36= mm hacia arriba
deflexión originada por preesfuerzo, peso propio y se elimina el momento en los extremos.
δini2 δp2 δg−:= δini2 18.31= mm hacia arriba
Deformación secundaria
Tomando el preesfuerzo efectivo se calcula:
w8 P2⋅ e⋅
L
2:= w 21.887=
N
mm
δpe5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δpe 32.1= mm hacia arriba
deflexión originada por peso de la losa+capa de rodadura:
w 17.08:= kN
m
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δlh5 w⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δlh 25.056= mm hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas
Pd 7.21:= kN
δd23 Pd⋅ L
3⋅
648 Ec⋅ I⋅:= δd 0.874= mm hacia abajo
deflexión originada por peso del bordillo, acera poste y baranda:
wsup 4.37:= kN
m
δsup5 wsup⋅ L
4⋅
384 Ec⋅ I⋅:= δsup 6.41= mm hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas
δsec2 δpe δlh− δd− δsup−:= δsec2 0−= mm hacia arriba
Deformación final
δfinal δsec2:= δfinal 0−= mm hacia arriba
RESUMEN DE ESFUERZOS
Esfuerzo admisible a Trac cion 4.67 N/mm2
Esfuerzo admisible a Compresion -19.25 N/mm2⎯ admisible 33 mm
ESTADOS DE CARGAS
In f. (N/mm2) Sup. (N/mm2) (mm)Peso Propio viga 7.99 -8.47 -10.24
Pretensado -22.87 0.14 52.66
-14.88 -8.33 42.41
Peso Propio losa+capa rodadura 4.93 2.68 -23.19
-9.95 -5.65 19.22
Diafragma 0.41 0.22 -0.846
-9.54 -5.42 18.37
Bordillo+acera+poste y baranda 2.05 1.12 -3.17
-7.49 -4.30 15.21
PERDIDAS Diferidas(40%) 1.81 -0.01
-5.68 -4.31 15.21
Carga viva + impacto: 6.86 -3.74 -14.75
1.18 -8.05 0.45
PERDIDAS Diferidas(60%) 2.71 -0.02
3.89 -8.07 0.45
TENSIONES
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Bloques finales de anclaje
La zona de anclaje es geométricamente definido como el volúmen de concreto através del cual
fuerza de pretensión concentrada en el aparato de anclaje propaga tranversalmente a una distri
de esfuerzo lineal através de toda la sección transversal.
Los bloques extremos tendrán el área suficiente para permitir el espaciamiento del acero de
preesfuerzo. Preferiblemente, serán tan anchos como el patín mas angosto de la viga. Tendrán
longitud de por lo menos igual a las tres cuartas partes del peralte de la viga y en ningún caso
(60.96m).
En los miembros postensados se colocará una malla espaciada cercanamente, tanto las barras
verticales como horizontales, cerca de la cara del prisma (bloque) extremo para resistir el
reventamiento y se colocará un refuerzo espaciado cercanamente, tanto vertical como
horizontalmente, a través de la longitud del prisma.
Para la mayoría de los casos se ha demostrado suficiente suministrar acero para una tensióntransversal total de 0.03F (Y Guyon). Para el postensado, este acero se coloca tan cerca del
extremo como sea posible. Se pueden utilizar mallas de alambre o varillas de acero.
Para soportar la tensión en la zona de desgarramiento se pueden usar estribos o acero en espira
Para el refuerzo local bajo el anclaje se adoptan espirales de 9.53 mm (3/8plg) con un paso de
mm (11/2 plg)
La determinación de las tensiones cerca a los anclajes es un problema dificil pra el cual un mé
aproximado de cálculo como el de Morsch puede ser utilizado.
T P
2tan α( )⋅=
P
2
d
4
d1
4−
d
2
⋅=
T P
4
d d1−
d
⎛ ⎝
⎞ ⎠
⋅= P
41
d1
d−
⎛ ⎝
⎞ ⎠
⋅=
siendo:
d 1/d = Factor de concentración de carga. (0.53)
P = Fuerza total de preesfuerzo por cable.
d 1 = ancho del cono de anclaje (16 m)
d = ancho de distribución (30 m)con: P2 4765007.25= N
P P2
3:= P 1588335.75= N
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T P
41 0.53−( )⋅:= T 186629.45= N
fy 420= kN
mm2
As
T
fy:= As 444.356= mm2
USAR 5 ESTRIBOS EN U Φ10 mm
El area requerida de acero de refuerzo en la parilla será:
As0.03 P2⋅
fy:= As 340.358= cm
2
USAR Φ12c/10 Horizontal y Verticalmente
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DATOS PARA LA FICHA DE TESADO
Se usara el sistema freyssinet con tendones 10φ1/2" - 270k
Carga minima de rotura 1836.2 kN/tendon
Area del tendon At 987:= mm2
fs1 1860= kN
m2Tension minima de rotura:
Tension de trabajo admisible: fsu 1884.5= kN
m2
Tension temporal maxima: 0.76 fs1⋅ 1413.6=
Fuerza final de tesado: P2 4765007.25= N
Tension de trabajo en CL: P2
Ncables Au⋅1097.22=
N
mm2
OEFICIENTES ADOPTADOS
k 0.004922:=
μ 0.25:=Gato freyssinet (USA) TIPO L : Area de piston: Ap 34900:= mm
2
Coeficiente de fricción: C 1.07:=
Es 191590=
Hundimiento del cono: hc 6:= mm
Colocacion de marcas a 20 cm del anclaje con presion inicial de 50
Presion de cuña en anclaje activo 6500 Psi
Humedad Relativa Ambiente de 57°
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FICHA DE TESADO
DESCRIPCION TENDON 1 TENDON 2 TENDON 3 TENDON 4
Tension Inicial T1 1203.363= T2 1205.846= T3 1208.325= T4 1210.801=
Tension Final req Pf 1097.22= Pf 1097.22= Pf 1097.22= Pf 1097.22=
T1 1203.363= T2 1205.846= T3 1208.325= T4 1210.801=Tension gato
kN
m2
⎛
⎝
⎞
⎠
Presión Manometro Pm1 36414.329= Pm2 36489.454= Pm3 36564.482= Pm4 36639.402=
N
mm2
⎛
⎝
⎞
⎠
Elongación total ∆L1 207= mm ∆L2 208= mm ∆L3 208.35= mm ∆L4 209= mm