PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
MECÁNICA VECTORIAL
(ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA
Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: ESTÁTICA DE
PARTÍCULAS. FUERZAS EN EL PLANO. FUERZAS EN EL
ESPACIO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, febrero de 2017.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http;//www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
CONTENIDO.
CONTENIDO........................................................................................................................ 2
PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 5
1.1.- FUERZAS EN UN PLANO. .......................................................................................... 9
Adición o suma de vectores. Solución gráfica. ................................................................... 9
Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23. ............... 9
Ejercicios propuestos. ...................................................................................................... 9
Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno). ................................................ 12
Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer y Jhonston. Estática. Novena Edición.
Página 22. ....................................................................................................................... 12
Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer y Jhonston. Estática. Novena Edición.
Página 23. ....................................................................................................................... 12
Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25. ............. 13
Ejemplo 1.5. ................................................................................................................... 13
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 14
Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26. ............. 19
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 19
Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31. .......... 24
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 25
Ejemplo 1.8. Problemas 2.16 y 2.17 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.
........................................................................................................................................ 26
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 26
Componentes rectangulares de una fuerza. ....................................................................... 29
Teorema. ............................................................................................................................ 30
Ejemplo 1.9. Ejemplo 1 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 28. .................. 31
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 31
Ejemplo 1.10. Ejemplo 2 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29. ................ 34
Ejemplo 1.11. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ....... 34
Ejemplo 1.12. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ....... 35
Ejemplo 1.13. Problema 2.26 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34. ......... 35
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 36
Vectores unitarios. ............................................................................................................. 39
Notación vectorial cartesiana. ........................................................................................... 39
Ejemplo 1.14. Ejemplo 3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29. ................ 40
Operaciones con vectores. ................................................................................................. 40
Resultante de fuerzas coplanares....................................................................................... 40
Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 36. ........... 41
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 41
Suma de un sistema de fuerzas coplanares........................................................................ 46
Ejemplo 1.16. Problema resuelto 2.3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 31......................................................................................................................................... 46
Ejemplo 1.17. ................................................................................................................. 47
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Ejemplo 1.18. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37. ........... 47
Ejemplo 1.19. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40. ........ 48
Ejemplo 1.20. Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38. ........ 48
Ejemplo 1.21. Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41. ........ 48
Ejemplo 1.22. Problema 2.37 del Beer y Jhonston. Novena Edición. Página 35. ......... 49
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 49
1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO. ............................................ 59
Cuerpos sometidos a tres fuerzas. ..................................................................................... 59
Ejemplo 1.23. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. ................... 59
Ejemplo 1.24. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111. ........................ 59
Ejemplo 1.25. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
........................................................................................................................................ 60
Ejemplo 1.26. Problema 3.18 del Hibbeler. Sexta Edición. .......................................... 60
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 61
Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas. ......................................................................... 66
Ejemplo 1.27. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
........................................................................................................................................ 66
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 66
Sistemas que involucran resortes. ..................................................................................... 71
Ejemplo 1.28. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décimo segunda Edición. Página 93. .......... 71
Ejemplo 1.29. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
........................................................................................................................................ 71
Ejemplo 1.30. Problema 3.23 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97. ........ 71
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 72
1.3.- FUERZAS EN EL ESPACIO. ..................................................................................... 78
Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio. ................................................. 78
Representación de un vector cartesiano. ........................................................................... 79
Magnitud o Módulo de la fuerza. ...................................................................................... 79
Vector unitario................................................................................................................... 79
Ejemplo 1.31. Ejemplo 2.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 49. ....................... 80
Ejemplo 1.32. ................................................................................................................. 80
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 80
Ángulos directores de una fuerza. ..................................................................................... 81
Dirección de la fuerza. ...................................................................................................... 82
Ejemplo 1.33. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39. .............................. 83
Ejemplo 1.34. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39. .............................. 83
Ejemplo 1.35. Ejemplo 2.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 47. ......................... 84
Ejemplo 1.36. Problema 2.78 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54. ..................... 84
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 84
Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción. .... 86
Ejemplo 1.37. ................................................................................................................. 88
Ejemplo 1.38. Problema resuelto 1.7 del Beer y Jhonston. Estática. Página 41. ........... 88
Ejemplo 1.39. Ejemplo 2.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 2.14. .................... 88
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Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 89
1.4.- ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO. ............................ 99
Ejemplo 1.40. ............................................................................................................... 100
Ejemplo 1.41. Ejemplo 2.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 48. ....................... 100
Ejemplo 1.42. Problema resuelto 1.8 del Beer y Jhonston. Estática. Página 42. ......... 100
Ejemplo 1.43. Ejemplo 2.11 del Hibbeler. Décima Edición. Página 50. ..................... 101
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 101
1.5.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL ESPACIO. ....................................... 104
Ejemplo 1.44. Ejemplo 3.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 101. ..................... 105
Ejemplo 1.45. Problema 2.77 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54. ................... 105
Ejemplo 1.46. Problema 3.70 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. ................. 105
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 106
Ejemplo 1.47. Problema 3.50 del Hibbeler. Sexta Edición. ........................................ 108
Ejemplo 1.48. Ejemplo 3.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 102. ..................... 108
Ejemplo 1.49. Problema resuelto 2.9 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 58.
...................................................................................................................................... 109
Ejemplo 1.50. Problema 3.74 del Hibbeler. Décima Edición. Página 111. ................. 109
Ejemplo 1.51. Problema 3.45 del Hibbeler. Sexta Edición. ........................................ 110
Ejemplo 1.52. Problema 2.114 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62. ...... 110
Ejemplo 1.53. Problema 3.59 del Hibbeler. Décima Edición. Página 107. ................. 111
Ejemplo 1.54. Problema 2.119 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62. ...... 111
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 112
Sistemas que involucran resortes. ................................................................................... 123
Ejemplo 1.55. Ejemplo 3.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 100. ..................... 123
Ejemplo 1.56. Ejemplo 3.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 103. ..................... 123
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 124
Sistemas que contienen puntales. .................................................................................... 127
Ejemplo 1.57. Problema 3.55 del Hibbeler. Décima Edición. Página 107. ................. 127
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 127
Sistemas en los cuales hay una fuerza compartida. ......................................................... 128
Ejemplo 1.58. Problema 2.137 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 69. ...... 128
Ejercicios propuestos. .................................................................................................. 129
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PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de
Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,
Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de los
ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así
como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su compilación en
atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente la bibliografía especializada en
la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y responsabilidad del autor
sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente
en la literatura.
Esta guía es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y por estudiantes
que están por tomar un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores
que se estén iniciando en el área de enseñanza de Mecánica Vectorial y Física I para
estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.
El concepto de vector fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial,
pues es la base de la mayoría de las definiciones involucradas en el estudio de esta materia
(momento de una fuerza, reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos,
cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en esta guía el autor presenta de
manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de vectores
fuerza, tanto en el plano como en el espacio y las diferentes formas de obtener las
componentes rectangulares de un vector fuerza así como las operaciones que se pueden
realizar con dichos vectores. Adicionalmente se presentan la condición requerida para el
equilibrio de cuerpos en el plano y en el espacio.
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Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante
puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente al momento de una fuerza con
respecto a un punto en el plano, en el espacio y con respecto a un eje.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo
electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,
Maturín, Estado Monagas, Venezuela.
Ing. Willians Medina.
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ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de
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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de
video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y
ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/, es autor de
compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de
Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica,
Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e
Ingeniería Económica. Adicionalmente es tutor certificado en el site www.coursehero.com/.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016)
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual
cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa)
mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros
de Venezuela.
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1.1.- FUERZAS EN UN PLANO.
Adición o suma de vectores. Solución gráfica.
Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23.
La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud
y la dirección de la fuerza resultante.
Solución.
Ejercicios propuestos.
1. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.
Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la
dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
Figura Problemas 1 y 2.
Respuesta: 179 N, 75.1°.
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2. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura.
Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de
su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.
3. [BJ] Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga. Determine gráficamente la magnitud
y la dirección de su resultante con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Respuesta: R = 3.30 kN, 6.66 .
4. [BJ] Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la
magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del
triángulo.
Respuesta: 8.40 kN, 19.0°.
5. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que
se muestran en la figura. Determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su
resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
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Respuesta: 5.4 kN, 12°.
6. [BJ] Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la
tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la
dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A con a) la ley del
paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Respuesta: R =139.1 lb, 0.67 .
Dos elementos estructurales B y C están sujetos con pernos a la ménsula A.
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Figura Problemas 7 y 8.
7. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kN 10P y kN 15Q ,
determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la
ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
8. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que kips 6P (1 kip = 1000
lb) y kips 4Q , determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante
ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.
Respuesta: R = 8.03 kips, 8.3 .
Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno).
Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer y Jhonston. Estática. Novena Edición.
Página 22.
Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante.
Solución.
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Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer y Jhonston. Estática. Novena Edición.
Página 23.
Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por
los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine:
a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que º45 , y b) el valor de tal que
la tensión en la cuerda 2 sea mínima.
Solución.
Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25.
Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura y la magnitud de la fuerza
resultante FR si FR está dirigida a lo largo del eje positivo y.
Solución.
Ejemplo 1.5.
[JB] La ménsula mostrada soporta dos fuerzas. Determine el ángulo de manera tal que la
línea de acción de la resultante quede a lo largo del eje x. ¿Cuál es la magnitud de la
resultante?
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Solución.
Ejercicios propuestos.
9. [BJ] Resuelva el problema 2 mediante trigonometría.
Respuesta: 77.1 lb, 85.4°.
10. [BJ] Resuelva el problema 3 mediante trigonometría.
Respuesta: 3 .30 kN, 66.6°.
11. [BJ] Resuelva el problema 4 mediante trigonometría.
Respuesta: 8.38 kN, 18.76°.
12. [BJ] Resuelva el problema 6 mediante trigonometría.
Respuesta: R =139.1 lb, 67.0°.
13. [BJ] Resuelva el problema 8 mediante trigonometría.
Respuesta: R = 8.03 kips, 3.8°.
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.
Figura Problemas 14 y 15.
x
y
30º
500 N
650 N
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14. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el
ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical,
y b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: 72.2°, 1.391 kN.
15. [BJ] Determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos
fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 500 N y 60 .
Respuesta: 1.302 kN, 75.8°.
Un carrito que se desplaza a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas,
como se muestran en la figura.
Figura Problemas 16 y 17.
16. [BJ] a) Si se sabe que º25 , determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P
tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) ¿Cuál es la magnitud
correspondiente de la resultante?
Respuesta: a) 3660 N. b) 3730 N.
17. [BJ] Determine por trigonometría la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la
resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.
Respuesta: 2 600 N, 53.5°.
Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB.
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Figura Problemas 18 y 19.
18. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es F1 =
30 lb, determine a) la fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las
fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente
de R.
Respuesta: a) 26.9 lb; b) 18.75 lb.
19. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla derecha es F2 = 20 lb,
determine a) la fuerza F1 requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas
ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.
20. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000
lb y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco.
Determinar: a) La tensión en el cable BC. b) La magnitud de la resultante de las dos fuerzas
aplicadas en B.
x
y
30º
40º
A
B
C
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Respuesta: lb)20005072.2383( jiTBC , lb 6068.5847R .
21. [JB] Para mover una mula atravesada en medio de la vía se aplican dos tensiones T1 y
T2. Determinar la magnitud de cada una de ellas sabiendo que la fuerza resultante tendrá
una magnitud de 6 N y estará dirigida a lo largo del eje x.
Respuesta: T1 = 3.5860 N, T2 = 2.9021 N.
22. [JB] Se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si
la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al
eje del automóvil, calcule la tensión en cada cable sabiendo que º30 y º20 .
Respuesta: T1 = 133.9427 lb, T2 = 195.8111 lb.
23. [JB] Para el esquema mostrado, determinar la magnitud de F y su dirección de manera
tal que la resultante tenga una magnitud de 1.5 N y esté dirigida a lo largo del eje x.
x
y
20º
30º
1T
2T
x
2T
y
1T
20º
A 25º
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: º6025.46 , N 5906.1F
Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura
Figura Problemas 24 y 25.
24. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el
elemento A es de 15 kN y en el elemento B es de 10 kN, determine por trigonometría la
magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos
A y B.
25. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el
elemento A es de 10 kN y en el elemento B es de 15 kN, determine por trigonometría la
magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos
A y B.
Respuesta: 21.8 kN, 86.6°.
x
y
70º
F
N 25.11 F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26.
Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la arnella roscada de la figura esté
dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta
magnitud, el ángulo y la fuerza resultante correspondiente.
Solución.
Ejercicios propuestos.
26. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las
fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N
dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que 50 .
Respuesta: FA = 774 N, FB = 346 N.
Figura Problemas 26 y 27.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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27. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de
950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y
FB que actúan en cada cuerda y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea un
mínimo. FA actúa a 20° medidos desde el eje x, como se muestra en la figura.
Respuesta: FA = 893 N, FB = 325 N, 0.70 .
28. [RH] En tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la
magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante
tenga una magnitud FR = 10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que 5 .
Respuesta: FA = 3.66 kN, FB = 7.07 kN.
Figura Problemas 28 y 29.
29. [RH] Si la resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida
a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo del
cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud
de la fuerza en cada cable para esta situación?
Respuesta: FA = 8.66 kN, FB = 5.00 kN, 60 .
30. [RH] Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las
fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de
600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que 45 .
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Figura Problemas 30 y 31.
31. [RH] La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N
dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre
cada cadena y el ángulo de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a
30° desde el eje y, como se muestra en la figura.
Respuesta: FA = 520 N, FB = 300 N.
Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura.
Figura Problemas 32, 33 y 34.
32. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo
, requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicada en el gancho debe ser horizontal
y b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a ) 37.1°. b ) 73.2 N.
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33. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más
pequeña para la cual la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho sea horizontal y
b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a ) 21.1 N. b ) 45.3 N.
34. [BJ] Si se sabe que P = 75 N y º50 , determine por trigonometría la magnitud y
dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho.
Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación.
Figura Problemas 35, 36 y 37.
35. [BJ] Si se sabe que º20 , determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la
fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: a) 392 lb; b) 346 lb.
36. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 500 lb, determine por trigonometría a) el ángulo
requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la
magnitud correspondiente de R.
37. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más
pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la
magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 368 lb; b) 213 lb.
Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a
su posición definitiva.
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Figura Problemas 38, 39 y 40.
38. [BJ] Sabiendo que º25 , determine por trigonometría, a) la magnitud requerida de la
fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: a) 108.6 lb; b) 163.9 lb.
39. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine, por trigonometría, a) el
ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerza aplicadas en A es vertical, b) la
magnitud correspondiente de R.
40. [BJ] Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P
cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud
correspondiente de R.
Respuesta: 45.9 lb; 65.5 lb.
Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura.
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Figura Problemas 41 y 42.
41. [BJ] Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente,
determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas
ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 7.48°; b) 138.4 N.
42. [BJ] Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por
trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima en la porción BC para que
la resultante de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de
una línea que une los puntos A y H, b) la magnitud correspondiente de R.
Respuesta: a) 4.88 N, 6.00°; b) 59.8 N.
Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31.
Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una
magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se
muestra en la figura, determine el ángulo de la tercera cadena, medido en el sentido de
las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en
esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál es la
magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas.
La fuerza F actúa en esta dirección.
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Solución.
Ejercicios propuestos.
43. [RH] Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con
magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se
muestra en la figura, determine el ángulo del tercer cable de modo que la magnitud de la
fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x – y. ¿Cuál
es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas
conocidas.
Respuesta: Fmin = 97.4 lb, 2.16 .
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Ejemplo 1.8. Problemas 2.16 y 2.17 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29.
Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura en componentes
que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine la magnitud de estas componentes.
Solución.
Ejercicios propuestos.
44. [RH] Descomponga F1 y F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v; y determine
las magnitudes de estas componentes.
Respuesta: F2v = 77.6 N, F2u = 150 N.
45. [RH] Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu = 6
kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v.
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Respuesta: F = 3.11 kN, Fv = 4.39 kN.
46. [RH] Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v;
además, determine la magnitud de cada una de estas componentes.
Respuesta: Fu = 22.0 lb; Fv = 15.5 lb.
La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a´ y b-
b´.
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Figura Problemas 47 y 48.
47. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo
de a-a´ es de 240 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-
b´?
Respuesta: a ) 76.1°, b ) 336 lb.
48. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo
de b-b´ es de 120 lb. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-
a´?
49. [RH] Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb.
50. [RH] La fuerza F = 450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en
componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la
magnitud de cada componente.
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Respuesta: FAB = 869 lb, FAC = 636 lb.
Componentes rectangulares de una fuerza.
Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas
componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico,
podemos representar estos componentes en dos formas, mediante notación escalar, o por
notación vectorial cartesiana.
Notación escalar.
Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura se encuentran al
usar la ley del paralelogramo, de manera que yx FFF .
Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden
determinar a partir de las siguientes ecuaciones:
cosFFx y sen FFy .
Si el ángulo es medido con respecto a la vertical, entonces por trigonometría se tiene que
las magnitudes de las componentes son:
sen FFx y cosFFy .
Debido a la ambigüedad en las fórmulas para el cálculo de las componentes rectangulares
de un vector, y la confusión que suele generar sobre si debe utilizar la función seno o la
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función coseno para una u otra componente, se ha enunciado un teorema, según el cual la
determinación de las componentes rectangulares de un vector no está determinada por
identidades trigonométricas tomadas a partir de un triángulo rectángulo, sino por la
proyección del vector sobre los ejes coordenados.
Teorema.
Si un vector de módulo V en el plano forma un ángulo con respecto a uno de los
semiejes coordenados, se tiene que el valor absoluto de la componente proyectada a lo
largo de dicho semieje es cosV , mientras que la proyección en su semieje
complementario es sen V .
Otra forma útil de enunciar el teorema anterior es: El valor absoluto de la componente de
un vector sobre un semieje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del
ángulo barrido en la proyección, mientras que a lo largo del semieje complementario, es
igual al producto del módulo del vector por el seno del ángulo.
Para la siguiente figura:
Si se desea obtener la componente horizontal, la fuerza F debe proyectarse en el eje x, y
para ello en su proyección pasa por encima del ángulo (hace el barrido del ángulo), por
lo cual debe utilizarse la función coseno: cosFFx .
Si se desea obtener la componente vertical (componente complementaria), la fuerza F debe
proyectarse en el eje y , y para ello su proyección no pasa por encima del ángulo , por lo
cual debe utilizarse la función seno: sen FFy . El signo negativo se coloca puesto que
la componente vertical yF apunta hacia la parte negativa del eje.
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La dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de
“pendiente”, como el que se muestra en la figura
Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud
proporcional de los lados da las componentes rectangulares de la fuerza.
Componente x.
c
F
a
Fx
Fc
aFx
Componente y.
c
F
b
Fy
Fc
bFy
Ejemplo 1.9. Ejemplo 1 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 28.
Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese
las componentes horizontal y vertical de la fuerza.
Solución.
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Ejercicios propuestos.
51. [JB] Una fuerza de 2.5 kN se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en
la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza?
Respuesta: Fx = –2.3492 N, Fy = 0.8550 N.
52. [RS] Un vector fuerza en el plano x y tiene una magnitud de 50.0 kips y está dirigido en
un ángulo de 120.0º en relación con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes
rectangulares de este vector?
Respuesta: Fx = –25.0000 kips, Fy = 43.3013 kips.
53. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
54. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
x
y
F
20º
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55. [JB] Determinar las componentes en x y y de cada una de las fuerzas mostradas. F1 = 50
N, F2 = 100 N, F3 = 20 N.
Respuesta: F1,x = 43.3013 N, F1,y = –25.0000 N, F2,x = 34.2020 N, F2,y = –93.9693 N, F3,x =
–15.3209 N, F3,y = –12.8558 N.
56. [JB] Un vector fuerza F, forma un ángulo con el eje x+. Halle las componentes
rectangulares de F para los siguientes valores:
a) F = 8 N, º60
b) F = 6 lb, º120
c) F = 12 N, º225
Respuesta: a) Fx = 4.0000 N, Fy = 6.9282 N; b) Fx = –3.0000 lb, Fy = 5.1962 lb; c) Fx = –
8.4853 N, Fy = –8.4853 N.
57. [JB] Descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares. B = C = 5
N. D = 10 N. BD , CD .
x
3F
y
1F
30º
20º
50º
2F
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Respuesta: Bx = –2.5000 N, By = 4.3301 N, Cx = 2.5000 N, Cy = –4.3301 N, Dx = –8.6602
N, Dy = –5.0000 N.
Ejemplo 1.10. Ejemplo 2 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra
en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la
cuerda en el punto A?
Solución.
Ejemplo 1.11. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34.
Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura.
Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.
x
D
y B
30º
C
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Solución.
Ejemplo 1.12. Problema 2.230 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34.
El cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AC. Si se
sabe que P debe tener una componente vertical de 350 lb, determine a) la magnitud de la
fuerza P y b) su componente horizontal.
Solución.
Ejemplo 1.13. Problema 2.26 del Beer – Jhonston. Novena Edición. Página 34.
El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está
dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 750 N
perpendicular al elemento ABC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente
paralela a ABC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejercicios propuestos.
El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC una fuerza P dirigida a lo
largo de BD.
Figura Problemas 58 y 59.
58. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 120 N perpendicular al poste AC,
determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea AC.
59. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 180 N a lo largo de la línea AC,
determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente en una dirección perpendicular a
AC.
60. [BJ] El elemento CB de la prensa de banco que se muestra en la figura, ejerce sobre el
bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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horizontal de P debe tener una magnitud de 1 220 N, determine a) la magnitud de la fuerza
P y b) su componente vertical.
61. [BJ] El elemento BD ejerce sobre el elemento ABC una fuerza P dirigida a lo largo de
la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente horizontal de 300 lb, determine a)
la magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical.
62. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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63. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la
figura.
64. [RH] Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: F1x = 0, F1y = 300 N, F2x = –318 N, F2y = 318 N, F3x = 360 N, F3y = 480 N.
Vectores unitarios.
Notación vectorial cartesiana.
También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de
vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud
adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar as direcciones de los ejes x
y y, respectivamente.
Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está
representada por los escalares (positivos) xF y yF , entonces podemos expresar F como un
vector cartesiano.
jFiFF yx
Magnitud de la fuerza.
22
yx FFF
Dirección de la fuerza.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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x
y
F
F1tan
Ejemplo 1.14. Ejemplo 3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
Una fuerza jiF )lb1500()lb700( se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de
la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal.
Solución.
Operaciones con vectores.
Resultante de fuerzas coplanares.
Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de
cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x
y y de todas las fuerzas, esto es,
xxR FF
yyR FF
Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y
y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base
en una suma vectorial como se muestra en la figura
Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de RF por medio del teorema
de Pitágoras; es decir,
22
yRxRR FFF
Asimismo, el ángulo , que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por
trigonometría:
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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xR
yR
F
F1tan
Ejemplo 1.15. Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 36.
La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la
magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
Solución.
Ejercicios propuestos.
65. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y
su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.
Respuesta: FR = 6.80 kN, 103 .
66. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y
especifique su dirección con respecto al eje x+. Considere F = 5 N y P = 7 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: jiR 5266.20355.7
67. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el apoyo mostrado.
Especifique la dirección con respecto a x+.
Respuesta: N )0868.2012726.299( jiR , N 5551.360R , º10.146 .
68. [JB] Dos personas tiran de una mula obstinada que interrumpe el tránsito y utilizan dos
cuerdas como se muestra en la figura. Las magnitudes de las tensiones en las cuerdas son
TAC = 400 N y TAB = 500 N. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos
fuerzas ejercidas por las cuerdas.
x
P
y
F
30º
45º
x
300 N
y
100º
400 N
40º
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Respuesta: N )1150.75949.126( jiR , N 7947.126R , º78.176 .
69. [RH] Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la
fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo que forma la
línea AB sobre el bloque de escalera.
Respuesta: FR = 400 N, º60 .
70. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido
contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
x
B
y
C
40º
A 60º
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Respuesta: FR = 721 N, 9.43 .
71. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a
partir de la ley de coseno y aplicando métodos geométricos. F1 = 1500 N, F2 = 2000 N.
Respuesta: N )8887.24482794.2120( jiR , N 2346.3239R , º89.130 .
72. [RH] Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza
resultante.
x
y
1F
30º 45º
2F
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Respuesta: FR = 666 N.
73. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante si: a) FR = F1 + F2, b) FR = F1 – F2.
Respuesta: a) N )5685.1060340.30( jiFR , N 7200.110RF , º74.105 . b)
N )5685.61711.143( jiFR , N 3216.143RF , º63.182 .
74. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método
de las componentes).
Respuesta: N )6109.152474.85( jiFR , N 6650.86RF , º62.169 .
75. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante representada en la
figura, siendo A = 50 N la primera fuerza y B = 20 N la segunda. (Método de las
componentes).
x
y
F2 = 80 N
60º 45º
F1 = 100 N
x
y
45º 50 N
100º 80 N
x
y
45º
A
100º B
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: m )8269.469723.18( jiR , m 5243.50R , º94.67 .
76. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante la tensión AB es de
4500 lb y la tensión en el cable BC es 2000 lb. Determine la magnitud y dirección de la
resultante de las dos fuerzas aplicadas en B.
Respuesta: m )0906.25396676.5960( jiR , m 9304.6478R , º07.23 .
77. [JB] Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza
resultante actúe a lo largo del eje AB. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza resultante?
Respuesta: F = 715.9063; 3427.716R .
Suma de un sistema de fuerzas coplanares.
Ejemplo 1.16. Problema resuelto 2.3 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 31.
Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la
resultante de las fuerzas sobre el perno.
x
y
20º
30º A
B
C
x
y
88º
F
B
25 N
A
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Solución.
Ejemplo 1.17.
[JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de
las componentes).
Solución.
Ejemplo 1.18. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37.
El extremo de la barra O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares
concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
x
y
60º
45º
100 N
200 N
300 N
200 N
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Solución.
Ejemplo 1.19. Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40.
Si 30 y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo
del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante.
Solución.
Ejemplo 1.20. Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38.
Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo
largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección .
Solución.
Ejemplo 1.21. Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41.
Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está
dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F1 y su dirección .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejemplo 1.22. Problema 2.37 del Beer y Jhonston. Novena Edición. Página 35.
a) Si se sabe que º40 , determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la
figura. b) determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas
debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.
Solución.
Ejercicios propuestos.
78. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 53.
79. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 54.
80. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 62.
81. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema 63.
82. [RS] Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas que tienen
componentes rectangulares N )00.2,00.3( , N )00.3,00.5( y N )00.1,00.6( .
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Respuesta: 7.2111 m a 56.31º.
83. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método
de las componentes).
Respuesta: N )2641.744819.1030( jiFR , N 1544.1033RF , º88.175 .
84. [RS] Tres vectores se orientan como se muestra en la figura, donde 20A unidades,
40B unidades y 30C unidades. Encuentre a) las componentes x y y del vector
resultante, y b) la magnitud y dirección del vector resultante.
Respuesta: jiR 0711.274975.49 , Unidades4167.56R , º68.28 .
85. [JB] Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar
la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas. F1 = 150 N, F2 = 80 N, F3 = 110
N, F4 = 100 N. º20 , º30 , º15 .
x
y
60º
45º
500 N
600 N
700 N
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: N )2935.141348.199( jiFR , N 6471.199RF , º11.4 .
86. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante 321 FFFFR encontrando la
resultante 21 FFF y formando después 3* FFFR . F1 = 30 N, F2 = 40 N, F3 = 20 N.
Respuesta: jiF 2843.433035.2 , jiF 2843.233035.23
87. La fuerza resultante se compone de cuatro fuerzas ¿cuál es la fuerzas resultante?
x
y
30º 45º
3F
1F
2F
x
y
1F
2F
3F
4F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: m )7949.2019038.129( jiR , m 9920.239R , º23.237 .
88. [JB] Hallar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura sabiendo que la
magnitud de los vectores son iguales 24 CBA unidades.
Respuesta: jiR 1928.01928.4 , 1972.4R , º38.357 .
89. [RH] Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
x
y 30º
B
C
A
45º
45º
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Respuesta: FR = 567 N, 1.38 .
90. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como
su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x.
Respuesta: FR = 1254 lb, 259 .
91. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección medida en
sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: FR = 31.2 kN, 8.39 .
92. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así
como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
93. [JB] La fuerza A tiene una magnitud de 9 N y está dirigido según el eje x. Otra fuerza B
está en el plano x y, su magnitud es de 6 N y forma un ángulo de 45º con el eje x. La fuera
C se halla en el plano x y, su magnitud es 15 N y forma un ángulo de 75º con el eje x.
Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Utilice métodos geométricos y
analíticos.
Respuesta: cm )7315.181249.17( jiR , cm 3799.25R , º57.47 .
94. [JB] Tres fuerzas horizontales actúan sobre un objeto. La magnitud de la fuerza A es de
25 kgf en dirección 60º al noreste. La magnitud de la fuerza B es de 70 kgf y actúa hacia el
eje y. La magnitud de C es 55 kgf y actúa hacia el sudoeste 45º. Determine la magnitud y
dirección de la fuerza resultante utilizando el método de las componentes.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: fkg )7598.523939.51( jiFR , fkg 6520.73RF , º75.45 .
95. [JB] Dados las fuerzas A, B, C y D, de magnitudes y direcciones con respecto al eje x
están dadas por:
A = 2500 N, º290
B = 1800 N, º330
C = 3500 N, º195
D = 7000 N, º39
a) Encontrar el vector suma.
b) Demostrar la propiedad asociativa de los vectores para la adición.
c) Determinar (A – C) y (C – A). ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción
de vectores?
d) Comprobar la propiedad conmutativa para la adición de vectores.
Respuesta: a) m )1445.2501774.4473( jiR ; c) m )3649.14437908.4235( jiCA ,
m )3649.14437908.4235( jiAC , No se cumple la propiedad conmutativa para la
sustracción de vectores.
96. [BJ] Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las
tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.
Figura Problemas 96 y 97.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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97. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable BC si la resultante de las tres fuerzas
ejercidas en el punto B debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante.
98. [BJ] Si se sabe que º35 , determine la resultante de las tres fuerzas mostradas en la
figura.
Figura Problemas 98 y 99.
99. [BJ] Para el collarín del problema anterior, determine a) el valor requerido de si la
resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de
la resultante.
100. [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de
las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC,
b) la magnitud correspondiente de la resultante.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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101. [BJ] Si se sabe que º75 , determine la resultante de las tres fuerzas que se
muestran en la figura.
Figura Problemas 101 y 102.
102. [BJ] Determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas
debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante.
103. [RH] Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80
lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección .
Respuesta: F = 62.5 lb, 3.14 .
104. [RH] Determine la magnitud de F1 y su dirección de manera que la fuerza resultante
esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: F1 = 275 N, 1.29 .
105. [JB] Tres vectores están dados por iA 6 , jB 9 y jiB 43 . Determine: a) La
magnitud y dirección del vector resultante, b) Un vector que sumado a estos tres de un
vector resultante igual a cero.
Respuesta: jiR 133 , 3417.13R , º01.77 .
106. [RS] La pista del helicóptero en la figura muestra a dos personas que jalan una
obstinada mula. Encuentre: a) la única fuerza equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b)
la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza
resultante igual a cero.
Respuesta: a) N )1971.1812945.39( jiR , b) N )1971.1812945.39( jiR .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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107. [JB] Dos fuerzas A y B que están en el plano x y actúan sobre un objeto pequeño
colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en la dirección
correspondiente a un ángulo de 30º con el eje x+. La magnitud de la fuerza B es de 80 N y
actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje x+. ¿Qué magnitud y dirección
debe tener una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres
fuerzas?
Respuesta: N )5685.812673.13( jiC , km 6405.82C , º24.99 .
1.2.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO.
Cuerpos sometidos a tres fuerzas.
Ejemplo 1.23. Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110.
Un tornillo mantiene a la tubería en su posición. Si este tornillo ejerce una fuerza de 50
libras en la tubería en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los
contactos suaves de A y B ejercen en la tubería.
Solución.
Ejemplo 1.24. Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111.
Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un
soporte como en la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53° con la
horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán
si la tensión en ellos supera los 100 N. ¿El semáforo permanecerá colgado en esta situación,
o alguno de los cables se romperá?
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejemplo 1.25. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es soportado por un
cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil sobre la posición
deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la
cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
Solución.
Ejemplo 1.26. Problema 3.18 del Hibbeler. Sexta Edición.
La carga de 500 lb está siendo elevada utilizando las cuerdas AB y AC. Cada una de éstas
puede soportar una tensión máxima de 2500 libras antes de que se rompa. Si AB permanece
horizontal siempre, determine el mínimo valor del ángulo al que debe elevarse la carga.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejercicios propuestos.
108. [RS] Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres alambres,
como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman ángulos 0.601 y 0.252
con la horizontal. Si se supone que el sistema está en equilibrio, encuentre las tensiones T1
y T2 en los alambres.
109. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que º20 , determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
110. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine
la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.
Figura Problemas 111 y 112.
111. [BJ] Si se sabe que P = 500 N y º60 , determine la tensión a) en el cable AC y b)
en el cable BC.
112. [BJ] Se sabe que la tensión permisible máxima es de 600 N en el cable AC y 750 N en
el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor
correspondiente de .
113. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine
la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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114. [BJ] Si se sabe que º20 , determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda
BC.
Figura Problemas 114 y 115.
115. [BJ] Para la situación descrita en el problema anterior, determine a) el valor de para
el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la
tensión.
116. [BJ] Si se sabe que 55 y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una
fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la
tensión en el cable BC.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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117. [BJ] Para la estructura y la carga del problema anterior, determine a) el valor de
para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.
118. Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la
longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en
éste no debe ser mayor que 870 N.
119. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800 N, determine a) la magnitud de la
fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Figura Problemas 119 y 120.
120. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe
que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200 N y que en el cable BC es de
600 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el
valor correspondiente de .
El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una
carga de 50 lb, como se muestra en la figura.
Figura Problemas 121 y 122.
121. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio
cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in.
122. Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P =
48 lb.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas.
Ejemplo 1.27. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que
puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto
en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del
canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es
de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerza de arrastre ejercida
sobre el casco y la tensión en el cable AC.
Solución.
Ejercicios propuestos.
Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se
muestra en la figura.
Figura Problemas 123 y 124.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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123. [BJ] Si se sabe que P = 500 lb y Q = 650 lb y que la pieza de ensamble se encuentra en
equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B.
124. [BJ] Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las
magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son FA = 750 lb y FB = 400 lb,
determine las magnitudes de P y Q.
Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se
muestran en la figura.
Figura Problemas 125 y 126.
125. [BJ] Si se sabe que FA = 8 kN y que FB = 16 kN, determine las magnitudes de las dos
fuerzas restantes.
126. [BJ] Si se sabe que FA = 5 kN y que FD = 6 kN, determine las magnitudes de las dos
fuerzas restantes.
En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Figura Problemas 127 y 128.
127. [BJ] Si se sabe que Q = 60 lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable
BC.
128. [BJ] Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que
60 lb en cualquiera de los cables.
Una carga de 160 kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestra en la
figura.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Figura Problemas 129 y 130.
129. [BJ] Si se sabe que 20 , determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que
debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.
(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos las de una cuerda que pasa por una polea
simple.)
130. [BJ] Si se sabe que 40 , determine a) el ángulo y b) la magnitud de la fuerza P
que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio.
Un pescador es rescatado con una silla de contramaestre que se encuentra suspendida de
una polea que puede rodar libremente sobre el cable de apoyo ACB y es jalada a una
velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que 30 y 10 , y que el peso
combinado de la silla y el pescador es de 900 N, determine la tensión a) en el cable de
soporte ACB, b) en el cable de arrastre CD.
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La carga Q se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se
sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa
a través de la polea A y sostiene una carga P.
Figura Problemas 131 y 132.
131. [BJ] Si se sabe que P = 750 N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud
de la carga Q.
132. [BJ] Una carga Q de 1800 N se aplica a la polea C, determine a) la tensión en el cable
ACB, b) la magnitud de la carga P.
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Sistemas que involucran resortes.
Ejemplo 1.28. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décimo segunda Edición. Página 93.
Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera
que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no
deformada del resorte AB es m 4.0ABl , y el resorte tiene una rigidez de N/m 300ABk .
Solución.
Ejemplo 1.29. Problema resuelto 2.4 del Beer – Jhonston, Novena Edición. Página 29.
Una carga con peso de 400 N está suspendida de un resorte y dos cuerdas, las cuales se
unen a dos bloques de pesos 3W y W como se muestra en la figura. Si la constante del
resorte es de 800 N/m, determine a) el valor de W, b) la longitud sin estirar del resorte.
Solución.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Ejemplo 1.30. Problema 3.23 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97.
Una fuerza vertical P = 10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del
resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo
necesario para el equilibrio. Considere k = 15 lb/pie.
Solución.
Ejercicios propuestos.
133. [RH] El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m.
Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una
fuerza F = 175N a la cuerda.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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134. [RH] La lámpara de 10 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no
alargada de 4 pies y rigidez k = 5 lb/pie. Determine el ángulo por equilibrio.
135. [RH] El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y una longitud no alargada de 200 mm.
Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición
mostrada.
136. [RH] a) Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg
está en equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.
b) La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición
de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D.
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Respuesta: m = 8.56 kg.
137. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando
0 . Determine la tensión en cada cuerda cuando F = 90 lb. No tome en cuenta el
tamaño de las poleas localizadas en B y D.
Figura Problemas 137 y 138.
Respuesta: T = 53.1 lb.
138. [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie
cuando 0 . Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que 30 .
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: F = 39.3 lb.
El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del
resorte.
Figura Problemas 139 y 140.
139. [RH] Si el resorte tiene una rigidez k = 10 lb/pulg y una longitud sin estirar de 12
pulg, determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en
equilibrio.
Respuesta: d = 7.13 pulg.
140. [RH] Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio
cuando d = 4 pulg, determine la rigidez k del resorte.
Respuesta: k = 6.80 lb/pulg.
141. [RH] Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P = 80 lb genera
un ángulo 60 para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud.
Considere k = 50 lb/pie.
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Respuesta: l´ = 2.66 pies.
142. [BJ] Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos
resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los
resortes son kAB = 9 lb/in y kAD = 3 lb/in, determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del
bloque.
El collarín A puede deslizarse sin fricción en una barra vertical y está conectado a un
resorte como indica la figura.
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Figura Problemas 143 y 144.
143. [BJ] La constante del resorte es de 4 lb/in, y éste no se encuentra estirado cuando h =
12 in. Si el sistema está en equilibrio cuando h = 16 in determine el peso del collarín.
144. [BJ] El peso del collarín A es 9 lb y el resorte no está estirado cuando h = 12 in. Si la
constante del resorte es de 3 lb/in, determine el valor de h para el cual el sistema está en
equilibrio.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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1.3.- FUERZAS EN EL ESPACIO.
Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio.
Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares
x, y, z.
x
y
z
F
Fh
Fx
Fy
Fz
La fuerza puede descomponerse en una componente vertical Fz y una componente
horizontal Fh mostradas en la figura. Las componentes rectangulares correspondientes son
cos FFz y sen FFh .
La fuerza Fh puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares:
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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cossen cos FFF hx y sen sen sen FFF hy a lo largo de los ejes x y y,
respectivamente. Esta operación, mostrada en la figura, se realiza en el plano x y.
De esta manera se obtienen las expresiones siguientes para las componentes escalares
correspondientes:
cossen cos FFF hx
sen sen sen FFF hy
cos FFz
La fuerza F se ha descompuestos en tres componentes vectoriales rectangulares Fx, Fy y Fz,
dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados.
Representación de un vector cartesiano.
Con el uso de los vectores unitarios i, j y k, dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z,
respectivamente, se puede expresar F en forma cartesiana
kFjFiFF zyx
Donde las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz están definidas por las relaciones
indicadas anteriormente.
Magnitud o Módulo de la fuerza.
Si se combinan las tres ecuaciones y se resuelve para F se obtiene la siguiente relación
entre la magnitud de F y sus componentes rectangulares escalares.
222
zyx FFFF
Por consiguiente, la magnitud de F es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los
cuadrados de sus componentes.
Vector unitario.
El vector unitario en la dirección de la fuerza está dado por:
F
FuF
F
kFjFiFu
zyx
F
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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kF
Fj
F
Fi
F
Fu zyx
F
Ejemplo 1.31. Ejemplo 2.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 49.
Exprese las fuerzas F1 y F2 mostradas en la figura como un vector cartesiano.
Solución.
Ejemplo 1.32.
[JB] Dado el vector kjiF 253 , hallar un vector unitario en la dirección de F.
Solución.
Ejercicios propuestos.
145. Exprese la fuerza F1 como un vector cartesiano.
Respuesta: lb )4053.4407.53(1 kjiF
146. Exprese la fuerza F1 como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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147. Una fuerza F es aplicada en la parte superior A de la torre. Si la fuerza actúa en la
dirección mostrada de manera que una de sus componentes localizada en el plano y-z
sombreado tiene una magnitud de 80 lb, determine su magnitud F y sus ángulos
coordenados de dirección , y .
Respuesta: lb 280F , º45 , )(cos4
21 , y )(cos4
61 .
Ángulos directores de una fuerza.
Considere una fuerza F que actúa en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares
x, y, z.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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x
y
z
F
Fh
Fx
Fy
Fz
Si representamos por , y los ángulos que forma F con los ejes x, y y z,
respectivamente, entonces se escribe
cos FFx
cos FFy
cos FFz
Dirección de la fuerza.
Los tres ángulos , y definen la dirección de la fuerza F y son más usados que los
ángulos y . Los cosenos de , y se conocen como los cosenos directores de la
fuerza F. De las ecuaciones anteriores se tiene para los cosenos directores:
F
Fx cos
F
Fy cos
F
Fzcos
Y para los ángulos directores:
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F
Fx1cos
F
Fy1cos
F
Fz1cos
El vector uF es un vector unitario que tiene la misma dirección que la fuerza F. Por
definición:
kF
Fj
F
Fi
F
Fu zyx
F
Por comparación con las ecuaciones de los cosenos directores, se ve que las componentes
del vector unitario representan los cosenos directores de F, esto es,
kjiuF )(cos)(cos)(cos
Como la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los
cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y uF tiene una magnitud de 1, puede
formularse entonces una importante relación entre los cosenos directores como
1)(cos)(cos)(cos 222
1coscoscos 222
Si el vector F se encuentra en un octante conocido, esta ecuación puede usarse para
determinar uno de los ángulos coordenados de dirección si los otros dos son conocidos.
Ejemplo 1.33. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39.
Una fuerza F tiene las componentes lb 20xF , lb 30yF y lb 60zF . Determine la
magnitud de F y los ángulos , y que forma con los ejes coordenados.
Solución.
Ejemplo 1.34. Ejemplo 2 del Beer - Jhonston. Estática. Página 39.
Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los ejes x, y y z,
respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza. Escribir F como un
vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejemplo 1.35. Ejemplo 2.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 47.
Exprese la fuerza F mostrada como un vector cartesiano.
Solución.
Ejemplo 1.36. Problema 2.78 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54.
Tres fuerzas actúan sobre el gancho. Determine los ángulos coordenados de dirección de F1
y FR.
Solución.
Ejercicios propuestos.
148. [RS] Las componentes x, y y z del vector F son de 4.00, 6.00 y 3.00 unidades,
respectivamente. Calcule la magnitud de F y los ángulos que forma F con los ejes de
coordenadas.
Respuesta: b) 8102.7F ; º19.59 , º81.39 , º41.67
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149. [RS] Un vector está determinado por kjiR 32 . Encuentre a) las magnitudes de
las componentes x, y y z. b) la magnitud de R, y c) los ángulos entre R y los ejes x, y y z.
Respuesta: a) 2xR , 1yR , 3zR ; b) 7417.3R ; º69.57 , º50.74 ,
º70.36
150. [JB] Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza kjiF 960820700 .
Respuesta: 6066.1443F ; º99.60 , º61.124 , º32.48 .
151. [JB] Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º en los ejes x, y y z
respectivamente. Determinar las componentes Fx, Fy y Fz dirigidas a lo largo de los tres ejes
de coordenadas.
Respuesta: Fx = 250.0000 N, Fy = 353.5534 N, Fz = –250.000 N.
152. Calcular las componentes del vector F de módulo 10 unidades, cuyos ángulos
directores son: 120 , 60 .
Respuesta: Dos soluciones: Fx = –5, Fy = 5, Fz = 7.0711; Fx = –5, Fy = 5, Fz = –7.0711.
153. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por
los ángulos º3.69 y º9.57 . Si se sabe que la componente y de la fuerza es de –174
lb, determine a) el ángulo , b) las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.
Respuesta: a) 140.3º; b) Fx = 79.9 lb, Fy = 120.1 lb, Fz = 226 lb.
154. Exprese las fuerzas F1 y F2 como un vector cartesiano.
155. La pieza montada sobre el torno está sometida a una fuerza de 60 N. Determine el
ángulo coordenado y exprese la fuerza como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: º90 . kiF 33030 .
156. El perno está sometido a la fuerza F cuyas componentes actúan a lo largo de los ejes x,
y y z como se muestra. Si la magnitud de F es de 80 N, º60 y º45 , determine las
magnitudes de sus componentes.
Respuesta: N 40xF , N 40yF , N 240zF .
Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción.
En muchas aplicaciones la dirección de una fuerza F está definida por las coordenadas de
dos puntos ),,( 111 zyxA y ),,( 222 zyxB , localizadas sobre su línea de acción.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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x
y
z
x2
y2
z1
x1
y1
z2
uAB
A
B
F
Si un vector AB se representa por medio del segmento orientado que va del punto
),,( 111 zyxA al ),,( 222 zyxB , entonces la expresión en componentes de AB es
kajaiaAB zyx , siendo 12 xxax , 12 yyay y 12 zzaz .
kzzjyyixxAB )()()( 121212
Un vector escrito en componentes también se denomina vector cartesiano.
Si F es el módulo de la fuerza y ABu es un vector unitario de la dirección de la
fuerza, entonces el vector fuerza (F) es igual al producto de F y ABu :
ABuFF
El vector unitario en la dirección de la fuerza está dado por:
AB
ABuAB
2
12
2
12
2
12
121212
)()()(
)()()(
zzyyxx
izziyyixxuAB
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Ejemplo 1.37.
[JB] Expresar en función de los vectores unitarios i, j, k la fuerza de 200 N que parte del
punto )3,5,2( C y pasa por el punto )1,2,3(D .
Solución.
Ejemplo 1.38. Problema resuelto 1.7 del Beer y Jhonston. Estática. Página 41.
El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre
es de 2500 N. Determine: a) las componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa sobre el
perno, y b) los ángulos , y , que definen la dirección de la fuerza.
Solución.
Ejemplo 1.39. Ejemplo 2.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 2.14.
La placa circular mostrada en la figura está parcialmente soportada por el cable AB. Si la
fuerza del cable sobre el gancho en A es F = 500 N, exprese F como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Solución.
Ejercicios propuestos.
157. Exprese el vector F en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus
ángulos coordenados de dirección.
Respuesta: kjiF 884 , pies 12F , 53.70 , 19.48 , 81.131 .
158. Exprese el vector F en forma cartesiana vectorial; luego determine su magnitud y sus
ángulos coordenados de dirección.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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159. El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el
alambre es de 1300 N. Determine a) las componentes xF , yF y zF de la fuerza que actúa
sobre el perno en A y b) los ángulos , y que definen la dirección de la fuerza.
Respuesta: kjiF 960720500 , 38.67 , 63.123 , 40.42 .
160. La placa abisagrada está soportada por la cuerda AB. Si la fuerza en la cuerda es
340F lb, exprese esta fuerza dirigida de A hacia B como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: kjiF 240180160 .
161. El sujeto que aparece en la figura jala la cuerda con una fuerza de 70 lb. Represente
esta fuerza actuando sobre el soporte A, como un vector cartesiano y determine su
dirección.
Respuesta: kjiF 24812 , 62.64 , 60.106 , 00.149 .
162. Los cables de retén se utilizan para dar soporte al poste telefónico. Represente la
fuerza en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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163. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 1425 N, determine las componentes de la
fuerza ejercida sobre la placa en B.
Respuesta: kjiF 7501125450 .
164. Dos cables BG y BH está unidos al marco ACD como se muestra en la figura. Si la
tensión en el cable BG es de 450 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el
cable BG sobre el marco en el punto B.
Respuesta: Fx = 200 N, Fy = 370 N, Fz = –160 N.
165. Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircular con 36 in de radio que
está sostenido parcialmente por los cables BD y BE, las cuales se unen al anillo en el punto
B. Si la tensión en el cable BE es de 600 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida
por el cable sobre el soporte colocado en E.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: kjiF 360288384 .
166. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres alambres, los cuales están anclados
por medio de pernos en B, C y D. a) Si la tensión en el alambre AB es de 525 lb, determine
las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B; b) si la tensión en
el alambre AD es de 315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre
sobre el perno en D.
Respuesta: a) kjiF 500100125 : b) kjiF 25050185 .
167. a) Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres anclados con
pernos B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 2100 N, determine las componentes
de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno colocado en B.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: Fx = 400 N, Fy = 2000 N, Fz = –500 N.
168. Un marco ABC está sostenido en parte por el cable DBE, el cual pasa a través de un
anillo sin fricción en B. Si se sabe que la tensión en el cable es de 385 N, a) determine las
componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en D; b) determine las
componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en E.
Respuesta: a) kjiF 255240160 : b) kjiF 200135300 .
169. La fuerza F tiene una magnitud de 70 lb y actúa en el punto medio C de la barra
delgada. Exprese la fuerza como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: kjiF 602030 .
170. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; luego determine sus ángulos
coordenados de dirección.
171. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; luego determine sus ángulos
coordenados de dirección.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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172. El cable unido al tractor en B ejerce una fuerza de 350 lb sobre la estructura. Exprese
esta fuerza como un vector cartesiano.
173. El tubo está soportado en sus extremos por una cuerda AB. Si la cuerda ejerce una
fuerza F = 12 lb sobre el tubo en A, exprese esta fuerza como un vector cartesiano.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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174. El cable unido a la grúa ejerce sobre ésta una fuerza de F = 350 lb. Exprese esta fuerza
como un vector cartesiano.
175. La carga en A genera una fuerza de 60 lb en el alambre AB. Exprese esta fuerza como
un vector cartesiano actuando en A y dirigido hacia B como se muestra.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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176. La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la tensión en AB y CD es
FA = 300 N y FC = 250 N, respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en forma
vectorial.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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177. El cable AB tiene 65 ft de largo y una tensión de 3900 lb. Determine a) las
componentes x, y y z de la fuerza ejercida por el cable sobre el ancla B, b) los ángulos
, y que definen la dirección de esta fuerza.
Respuesta: a) –1861 lb, 3360 lb, 677 lb; b) 118.5º, 30.5º, 80.0º.
1.4.- ADICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES EN EL ESPACIO.
La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes
rectangulares. Los métodos gráficos o trigonométricos no son muy prácticos en el caso de
fuerzas en el espacio.
Se establece que FR . Se descompone cada fuerza en sus componentes
rectangulares y se escribe
)( kFjFiFkRjRiR zyxzyx
kFjFiFkRjRiR zyxzyx )()()(
de la cual se desprende que
xx FR
yy FR
zz FR
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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La magnitud de la resultante y los ángulos , y que ésta forma con el eje de
coordenadas se obtienen por las ecuaciones siguientes:
222
zyx RRRR
R
Rxcos
R
Rycos
R
Rzcos
Ejemplo 1.40.
[JB] Se tienen dos vectores kjiA 32 y kjiB 235 . Determine un tercer
vector C tal que 023 CBA .
Solución.
Ejemplo 1.41. Ejemplo 2.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 48.
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante que
actúa sobre el anillo en la figura.
Solución.
Ejemplo 1.42. Problema resuelto 1.8 del Beer y Jhonston. Estática. Página 42.
Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables
mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1200 lb en el cable AC;
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables
AB y AC sobre la estaca A.
Solución.
Ejemplo 1.43. Ejemplo 2.11 del Hibbeler. Décima Edición. Página 50.
Dos fuerzas actúan sobre el gancho mostrado en la figura. Especifique la magnitud y los
ángulos coordenados de dirección de F2 de modo que la fuerza resultante actúe a lo largo
del eje y positivo y tenga una magnitud de 800 N.
Solución.
Ejercicios propuestos.
178. [JB] Hallar las componentes de un vector unitario que tenga la misma dirección que la
resta de los vectores A – B. kjiA 534 , kjiB 79 .
Respuesta: kjiU BA 2857.08571.04286.0
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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179. La ménsula está sometida a las dos fuerzas mostradas. Exprese cada fuerza en forma
vectorial cartesiana y luego determine la fuerza resultante FR. Encuentre la magnitud y los
ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante.
Respuesta: kjiF 20022002002 .
180. El aguilón OA está sostenido por dos cables, según muestra la figura. Si en el cable AB
la tensión es de 510 N y en el cable AC es de 765 N, determine la magnitud y dirección de
la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.
Respuesta: N )4.2758.532948( kjiR , N 7954.1121R ; º68.147 ,
º64.61 , º21.104
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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181. El aguilón OA está sostenido por dos cables, según muestra la figura. Si en el cable AB
la tensión es de 150 N y en el cable AC es de 170 N, determine la magnitud y dirección de
la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.
Respuesta: kji 13624048 , 87.99 , 00.149 , 94.60 .
182. Si se sabe que las tensiones en los cables AB y AC son de 510 lb y de 425 lb
respectivamente, determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas
ejercidas en A por los dos cables.
Respuesta: kjiFR 423580564 . 333375RF .
183. A fin de mover un camión volcado, se atan dos cables en A y se jalan mediante las
grúas B y C como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 10
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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kN y en el cable AC es de 7.5 kN, determine la magnitud y dirección de la resultante de las
fuerzas ejercidas en A por los cables.
Respuesta: 15.13 kN, º4.133 , º6.43 , º6.86 .
1.5.- EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL ESPACIO.
Una partícula A está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre A es
cero. Las componentes Rx, Ry y Rz de la resultante están dadas por
xx FR
yy FR
zz FR
Al expresar que las componentes de la resultante son cero, se escribe
0 xF
0 yF
0 zF
Las ecuaciones anteriores representan las condiciones necesarias y suficientes para lograr el
equilibrio de una partícula en el espacio. Estas ecuaciones pueden usarse para resolver
problemas que tratan con el equilibrio de una partícula y en los que intervienen no más de
tres incógnitas.
Para resolver tales problemas, se traza el diagrama del cuerpo libre donde se
muestre a la partícula en equilibrio y todas las fuerzas que actúan sobre ella. Deben
escribirse las ecuaciones de equilibrio y despejar las tres incógnitas. En los tipos de
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problemas más comunes, estas incógnitas representan 1) las tres componentes de una sola
fuerza o 2) la magnitud de tres fuerzas, cada una con dirección conocida.
Ejemplo 1.44. Ejemplo 3.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 101.
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F en la figura
que son requeridos para obtener el equilibrio de la partícula O.
Solución.
Ejemplo 1.45. Problema 2.77 del Hibbeler. Décima Edición. Página 54.
Tres fuerzas actúan sobre el gancho. Si la fuerza resultante FR tiene la magnitud y dirección
mostradas, determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F3.
Solución.
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Ejemplo 1.46. Problema 3.70 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110.
Determine las magnitudes de las fuerzas F1, F2 y F3 necesarias para mantener la fuerza
kN )589( kjiF en equilibrio.
Solución.
Ejercicios propuestos.
184. Determine la magnitud y dirección de F1 requeridas para mantener el sistema de
fuerzas concurrentes en equilibrio.
Respuesta: F1 = 608 N, º2.79 , º4.16 , º8.77 .
185. Determine las magnitudes necesarias F1, F2 y F3 para que la partícula esté en
equilibrio.
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Respuesta: F1 = 800 N, F2 = 147 N, F3 = 564 N.
186. Determine las magnitudes necesarias F1, F2 y F3 para que la partícula esté en
equilibrio.
Respuesta: F1 = 5.60 kN, F2 = 8.55 kN, F3 = 9.44 kN.
187. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P requerida para mantener el sistema
de fuerzas concurrentes en equilibrio.
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Ejemplo 1.47. Problema 3.50 del Hibbeler. Sexta Edición.
Tres cables se utilizan para soportar la lámpara de 800 N. Determine la fuerza desarrollada
en cada uno de ellos para lograr el equilibrio.
Solución.
Ejemplo 1.48. Ejemplo 3.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 102.
Determine la fuerza desarrollada en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb que se
muestra en la figura.
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Solución.
Ejemplo 1.49. Problema resuelto 2.9 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 58.
Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables AB y AC que se amarran en la
parte más alta de una pared vertical. Una fuerza horizontal P perpendicular a la pared lo
sostiene en la posición mostrada. Determine la magnitud de P y la tensión en cada cable.
Solución.
Ejemplo 1.50. Problema 3.74 del Hibbeler. Décima Edición. Página 111.
Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la carga de 500 lb.
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Solución.
Ejemplo 1.51. Problema 3.45 del Hibbeler. Sexta Edición.
Si cada una de las cuerdas puede soportar una tensión máxima de 50 N antes de que se
rompa, determine el peso máximo del florero que pueden soportar dichas cuerdas.
Solución.
Ejemplo 1.52. Problema 2.114 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62.
Una placa circular horizontal que pesa 60 lb está suspendida de tres alambres que forman
ángulos de 30º respecto de la vertical y se encuentran unidos a un soporte en D. Determine
la tensión en cada alambre.
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Solución.
Ejemplo 1.53. Problema 3.59 del Hibbeler. Décima Edición. Página 107.
El candelabro de 80 lb está soportado por los tres alambres como se muestra. Determine la
fuerza en cada alambre en la posición de equilibrio.
Solución.
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Ejemplo 1.54. Problema 2.119 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 62.
Dos trabajadores descargan de un camión un contrapeso de 200 lb de hierro fundido usando
dos cuerdas y una rampa con rodillos. Si se sabe que en el instante mostrado el contrapeso
está inmóvil, determine la tensión en cada cuerda si las coordenadas de posición de los
puntos son )in 40,in 20,0( A , )0,in 50,in 40(B y )0,in 40,in 45(C ,
respectivamente. Suponga que no hay fricción entre la rampa y el contrapeso. (Sugerencia:
Puesto que no hay fricción, la fuerza ejercida por la rampa sobre el contrapeso debe ser
perpendicular a éste)
Solución.
Ejercicios propuestos.
Se usan tres cables para amarrar el globo que se muestra en la figura.
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Figura Problemas 188, 189, 190 y 191.
188. Determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el
cable AB es de 259 N.
Respuesta: 1031 N.
189. Determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el
cable AC es de 444 N.
190. Determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el
cable AD es de 444 N.
Respuesta: 926 N.
191. Si se sabe que el globo ejerce una fuerza vertical de 800 N en A, determine la tensión
en cada cable.
192. Si el cable AB está sometido a una tensión de 700 N, determine la tensión presente en
los cables AC y AD y la magnitud de la fuerza vertical F.
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Respuesta: FAC = 130 N, FAD = 510 N, F = 1.06 kN.
193. Si la cubeta y su contenido tienen un peso total de 20 lb, determine la fuerza presente
en los cables de soporte DA, DB y DC.
194. La caja de 2500 N va a ser levantada, con velocidad constante, desde la bodega de un
buque usando el arregla de cables que se muestra. Determine la tensión en cada uno de los
tres cables por equilibrio.
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Respuesta: FAB = 0.980 kN, FAC = 0.463 kN, FAD = 1.55 kN.
195. Determine la tensión presente en los cables AB, AC y AD, los cuales son requeridos
para mantener la caja de 60 lb en equilibrio.
196. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor que
tiene una masa de 8 Mg.
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Respuesta: FAB = FAC = 16.6 kN, FAD = 55.2 kN.
Tres cables sostienen una caja como se muestra en la figura.
Figura Problemas 197, 198, 199 y 200.
197. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AB es de 750 lb.
Respuesta: 2100 lb.
198. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AD es de 616 lb.
Respuesta: 1868 lb.
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199. Determine el peso de la caja, si se sabe que la tensión en el cable AC es de 544 lb.
Respuesta: 1049 lb.
200. Determine la tensión en cada cable si el peso de la caja es 1600 lb.
201. Un contenedor de peso W = 1165 N se sostiene por medio de tres cables como se
muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.
Respuesta: TAB = 500 N, TAC = 459 N, TAD = 516 N.
Tres cables están conectados en A, donde se aplican las fuerzas P y Q, como se muestra en
la figura.
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Figura Problemas 202, 203, 204, 205 y 206.
202. Si se sabe que Q = O, encuentre el valor de P para el cual la tensión en el cable AD es
de 305 N.
Respuesta: 960 N.
203. Si se sabe que P = 1200 N, encuentre los valores de Q para los cuales el cable AD está
tenso.
Respuesta: N 3600 Q .
204. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = 0.
205. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = 576 N.
206. Determine la tensión en cada cable si se sabe que P = 2880 N y Q = –576 N (Q tiene
dirección descendente).
Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres que están unidos a una
articulación en A y se anclan mediante pernos en B, C y D.
Figura Problemas 207, 208 y 209.
207. Si la tensión en el alambre AB es de 630 lb, determine la fuerza vertical P ejercida por
la torre sobre la articulación en A.
Respuesta: 1572 lb.
208. Si la tensión en el alambre AC es de 920 lb, determine la fuerza vertical P ejercida por
la torre sobre la articulación en A.
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209. Determine la tensión en cada alambre si se sabe que la torre ejerce una fuerza vertical
ascendente de 2100 lb sobre la articulación en A.
Respuesta: TAB = 842 lb, TAC = 624 lb, TAD = 1088 lb.
Una placa rectangular está sostenida por tres cables como se muestra en la figura.
Figura Problemas 210, 211 y 212.
210. Si se sabe que el cable AC es de 60 N, determine el peso de la placa.
Respuesta: 845 N.
211. Si se sabe que la tensión en el cable AD es de 520 N, determine el peso de la placa.
Respuesta: 768 N.
212. Determine la tensión en cada uno de los tres cables si se sabe que el peso de la placa es
de 792 N.
213. Determine la fuerza necesaria en cada cable para soportar la plataforma de 3500 lb.
Considere d = 4 pies.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: FAD = 1.42 kip, FAC = 0.914 kip, FAB = 1.47 kip.
214. La maceta de 50 kg está soportada en A por los tres cables mostrados. Determine la
fuerza que actúa en cada cable en la posición de equilibrio. Considere d = 2.5 m.
Figura Problemas 214 y 215.
215. Determine la altura del cable AB de manera que la fuerza en los cables AD y AC
tenga la mitad del valor de la fuerza presente en el cable AB. ¿Cuál es la fuerza presente en
cada cable para este caso? La maceta tiene una masa de 50 kg.
Respuesta: d = 3.61 m, FAB = 520 N, FAC = FAD = 260 N.
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216. Un contenedor de peso W está suspendido del aro A. El pable BAC pasa a través del
aro y se une a los soportes fijos en B y C. Dos fuerzas P y Q se aplican en el aro para
mantener al recipiente en la posición mostrada. Determine P y Q, si W = 376 N.
(Sugerencia: La tensión es la misma en ambos tramos del cable BAC).
Figura Problemas 216 y 217.
Respuesta: P = 131.2 N, Q = 29.6 N.
217. Para el sistema del problema anterior, determine W y Q si se sabe que P = 164 N.
218. Un contenedor de peso W está suspendido del aro A, al cual se une los cables AC y
AE. Una fuerza P se aplica al extremo F de un tercer cable que pasa sobre una polea en B y
a través del anillo A y que está unido al soporte en D. Si se sabe que W = 1000 N,
determine la magnitud de P. (Sugerencia: La tensión es la misma en todos los tramos del
cable FBAD).
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Figura Problemas 218 y 219.
Respuesta: 378 N.
219. Si la tensión en el cable AC del sistema descrito en el problema 21 es de 150 N,
determine a) la magnitud de la fuerza P, b) el peso W del contenedor.
220. Tres cables se usan para soportar un anillo de 900 lb. Determine la tensión en cada
cable en la posición de equilibrio.
221. El cilindro de 800 lb está soportado por tres cadenas como se muestra. Determine la
fuerza presente en cada cadena en la posición de equilibrio. Considere d = 1 pie.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Respuesta: FAB = 468.63 lb, FAC = FAD = 331.3 lb.
Sistemas que involucran resortes.
Ejemplo 1.55. Ejemplo 3.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 100.
Una carga de 90 lb está suspendida del gancho mostrado en la figura. La carga está
soportada por dos cables y un resorte con rigidez k = 500 lb/pie. Determine la fuerza
presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable
AD se encuentra en el plano x – y y el cable AC en el plano x – z.
Solución.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Ejemplo 1.56. Ejemplo 3.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 103.
El cajón de 100 kg mostrado en la figura está soportado por tres cuerdas, una de las cuales
se conecta a un resorte. Determine la tensión en las cuerdas AC y AD, así como el
alargamiento del resorte.
Solución.
Ejercicios propuestos.
222. Determine el alargamiento de cada uno de los dos resortes requeridos para mantener el
cajón de 20 kg en la posición de equilibrio mostrada. Cada resorte tiene una longitud no
alargada de 2 m y rigidez k = 300 N/m.
Respuesta: sOB = 327 mm, sOA = 218 mm.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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223. Una pequeña clavija P descansa sobre un resorte que está contenido dentro de un tubo
liso. Cuando el resorte se comprime de modo que s = 0.15 m, ejerce hacia arriba una fuerza
de 60 N sobre la clavija. Determine el punto de unión )0,,( yxA de la cuerda PA para que
la tensión en las cuerdas PB y PC sea de 30 y 50 N, respectivamente.
Respuesta: x = 0.190 m, y = 0.0123 m.
224. Determine la tensión desarrollada en los cables OD y OB y en la barra OC requerida
para sostener la caja de 50 kg. El resorte OA tiene una longitud no alargada de 0.8 m y
rigidez kOA = 1.2 kN/m. La fuerza presente en la barra actúa a lo largo del eje de ésta.
Respuesta: FOB = 120 N, FOC = 150 N, FOD = 480 N.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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225. La bola de 80 lb está suspendida del anillo horizontal usando tres resortes, cada resorte
tiene longitud alargada de 1.5 pies y rigidez de 50 lb/pie. Determine la distancia vertical h
del anillo hasta el punto A por equilibrio.
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Sistemas que contienen puntales.
Ejemplo 1.57. Problema 3.55 del Hibbeler. Décima Edición. Página 107.
Determine la fuerza que actúa a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales necesarios
para dar soporte al bloque de 500 kg.
Solución.
Ejercicios propuestos.
227. La lámpara tiene masa de 15 kg y está soportada por un poste AO y los cables AB y
AC. Si la fuerza presente en el poste actúa a lo largo de su eje, determine las fuerzas en AO,
AB y AC por equilibrio.
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Figura Problemas 226 y 227.
Respuesta: FAO = 319 N, FAB = 110 N, FAC = 85.8 N.
227. Los cables AB y AC pueden soportar una tensión máxima de 500 N, y el poste soporta
una compresión máxima de 300 N. Determine el peso máximo de una lámpara para que
pueda ser sostenida en la posición mostrada. La fuerza presente en el poste actúa a lo largo
del eje del poste.
Respuesta: W = 138 N.
228. El cable AB soporta una cubeta y su contenido que tienen una masa total de 300 kg.
Determine las fuerzas desarrolladas en los puntales AD y AE y la tensión en el cable AB en
la posición de equilibrio. La fuerza en cada puntal actúa a lo largo de su eje.
Respuesta: FAE = FAD = 1.42 kN, FAB = 1.32 kN.
Sistemas en los cuales hay una fuerza compartida.
Ejemplo 1.58. Problema 2.137 del Beer - Jhonston. Novena Edición. Página 69.
Los collarines A y B se conectan por medio de un alambre de 525 mm de largo y pueden
deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas. Si una fuerza P = (341 N) j se aplica al
collarín A, determine a) la tensión en el alambre cuando y = 155 mm y b) la magnitud de la
fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema.
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Solución.
Ejercicios propuestos.
Los collarines A y B están unidos por medio de un alambre de 25 in de largo y pueden
deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas.
Figura Problemas 229 y 230.
229. Si una fuerza Q de 60 lb se aplica al collarín B como se muestra en la figura,
determine a) la tensión en el alambre cuando x = 9 in y b) la magnitud correspondiente de
la fuerza P requerida para mantener el equilibrio del sistema.
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Respuesta: a) 125.0 lb; b) 45.0 lb.
230. Determine las distancias x y z para las cuales se mantiene el equilibrio del sistema
cuando P = 120 lb y Q = 60 lb.
Respuesta: a) x = 13.42 in; z = 6.71 in.
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BIBLIOGRAFÍA.
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TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA).
Capítulo 1. Estática de partículas. Fuerzas en el plano. Fuerzas en el espacio.
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Serie Problemas Resueltos y Propuestos de:
- Electricidad (Física II).
- Química.
- Cálculo Diferencial.
- Cálculo Integral.
- Cálculo Vectorial.
- Ecuaciones Diferenciales.
- Métodos Numéricos.
- Estadística.
- Termodinámica Básica.
- Termodinámica Aplicada.
- Fenómenos de Transporte.
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Videotutoriales.
Cálculo diferencial: Límites de funciones.
Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
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