Imagen tomada de http://3.bp.blogspot.com/-s91QbnloH8E/Tb93Rq8BBVI/AAAAAAAAAZI/vWPFHafDKYk/s1600/feria+ciencias.png
Curso de Física para Estudiantesde grado Décimo
I.E.M. Luis Eduardo Mora Osejo
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
-2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2,5
2
1,5
1
-1
-1,5
-2
-2,5
�̂�
�̂�
se denomina vector unitario i
Características:magnitud 1Dirección Medida respecto al eje xSentido: Este
se denomina vector unitario j
Características:magnitud 1Dirección Medida respecto al eje xSentido: Norte
Vectores unitariosY (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
-2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2,5
2
1,5
1
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
− �̂�
− �̂�
se denomina vector unitario i
Características:magnitud 1Dirección Medido respecto al eje xSentido: oeste
se denomina vector unitario j
Características:magnitud 1Dirección Medido respecto al eje xSentido: Sur
Vectores unitariosY (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
Actividad 1Para los vectores indicados en la figura, determine las características, magnitud, dirección y sentido
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Y (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Los vectores escribir en términos de los vectores unitarios
Para ello haremos uso de las Características de los vectores
• Magnitud• Dirección • Sentido
Y (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟐
�̂�
Características:magnitud 1Dirección Medido respecto al eje xSentido: Este
Características:
magnitud 4Dirección Medido respecto al eje xSentido: Este=4
Y (m)
X (m)
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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Actividad 21. Escriba los vectores
indicados en la figura, en función de los vectores unitarios ,
2. Grafique los siguientes vectores
Y (m)
X (m)
Vectores en el Plano
0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2
1
-1
-2
𝒓𝟐
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3 mComponente de
en el eje x
2 mComponente de
en el eje y
l
l
l
Características:magnitud ?Dirección Medida respecto al eje xSentido: NE
Y (m)
X (m)
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚
Vectores en el Plano
0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2
1
-1
-2
𝒓𝟐
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Magnitud 3 m Dirección 0
Sentido: Este 𝒓𝟐=𝟑 �̂�+𝟐 �̂�
l
l
l
Características:magnitud ?Dirección Medida respecto al eje xSentido: NE
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚Magnitud 2 m Dirección 90
Sentido: Norte
Y (m)
X (m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Actividad 31. Escriba los vectores
indicados en la figura, en función de los vectores unitarios ,
Y (m)
X (m)
Teorema de Pitágoras
TEOREMA DE PITAGORAS:
bh
a
bh
a
a
hb
a
h b
h hipotenuza
b cateto
a cateto
612
5
4
Determinar el lado faltante de los triángulos
1. En el triángulo de la figura el lado faltante es un cateto. Utilizamos el teorema de Pitágoras, para determinar el lado faltante
2. En el triángulo de la figura el lado faltante es la hipotenusa. Utilizamos el teorema de Pitágoras, para determinar el lado faltante
a=a=
=h=
35
16
a
8
3
4
7 Actividad 41. Para cada triángulo de la
figura, determine el lado faltante
Vectores en el Plano
0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2
1
-1
-2
𝒓𝟐
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
Magnitud 3 m Dirección 0
Sentido: Este 𝒓𝟐=𝟑 �̂�+𝟐 �̂�
l
l
l
Características:magnitud ?Dirección Medida respecto al eje xSentido: NE
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚Magnitud 2 m Dirección 90
Sentido: Norte
Y (m)
X (m)
Vectores en el Plano𝒓𝟐
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚
𝒓𝟐
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚
TEOREMA DE PITAGORAS:h
a
b
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚𝒓𝟐 (𝒓 𝟐)𝟐=√ (𝒓 𝟐𝒙 )𝟐+ (𝒓𝟐 𝒚 )𝟐
Magnitud
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Actividad 51. Escriba, los siguientes vectores, en función de los vectores unitarios ,
2. Determine la magnitud y el sentido de los vectores indicados en la figura.
Y (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
Funciones Trigonométricas
bh
a𝜽
Cuando en un triángulo se conoce otro de los ángulos, como el que se muestra en la figura, los catetos reciben los nombres:
Cateto opuesto es el lado que queda frente al ángulo.
Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
Cateto adyacente es el lado que queda junto al ángulo.
𝜽Cateto opuesto
Cateto adyacente
hipotenusa
35
16
a
8
3
4
7
Actividad 6
1. En cada triángulo determine:
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Hipotenusa
𝜽
𝜸
𝜶
𝜷
La función de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes
Funciones Trigonométricas
SENO
bh
a𝜽
La función de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes
Funciones Trigonométricas
COSENO
bh
a𝜽
La función de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes
Funciones TrigonométricasTANGENTE
bh
a𝜽
812,05
9𝜷
CosTan
𝑺𝒆𝒏𝜷=𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
=𝒃𝒉
𝑪𝒐𝒔 𝜷=𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=𝒂𝒉
𝑻𝒂𝒏𝜷=𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆=𝒃𝒂
Funciones Trigonométricas
35
16
a
8
3
4
7
Actividad 7
1. En cada triángulo determine las funciones trigonométricas para el ángulo indicado:
𝜽
𝜸
𝜶
𝜷
Se llama función inversa de f , a otra función que se nota como f −1 que cumple que:
Si f (a) = b, entonces f −1 (b) = a.
a es el argumento de la función
Ejemplo:Consideremos el argumento x potencia 2
Si la función es la función inversa es
Puesto que
Funciones Inversas
Funciones Trigonométricas Inversas
Función trigonométrica
notación Función trigonométrica
inversa
notación
Seno Sen Arcoseno Asen ,
Coseno Cos Arcocoseno Acos ,
Tangente Tan Arcotangente Atan ,
𝑺𝒆𝒏−𝟏 (𝑺𝒆𝒏 𝜷 )=𝜷
𝑪𝒐𝒔−𝟏 (𝑪𝒐𝒔 𝜽 )=𝜽
𝑻𝒂𝒏−𝟏 (𝑻𝒂𝒏𝜹 )=𝜹
Es decir, cuando aplicamos, la función trigonométrica inversa a la función trigonométrica, obtenemos el argumento. Que en este caso corresponde al ángulo
812,05
9𝜷
𝑺𝒆𝒏−𝟏 (𝑺𝒆𝒏 𝜷 )=𝑺𝒆𝒏−𝟏 (𝟎 ,𝟔𝟔 )=𝟒𝟏 ,𝟐𝟗
Actividad 8
1. En cada triángulo determine las funciones trigonométricas y el valor del ángulo indicado utilizando las funciones trigonométricas inversas
35
16
a
8
3
4
7𝜽
𝜸
𝜶
𝜷
Vectores en el Plano
0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
2
1
-1
-2
𝒓𝟐
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
𝒓𝟐=𝟑 �̂�+𝟐 �̂�
l
l
l
Características:Magnitud =
Dirección
Sentido: NE
𝒓𝟐 𝒙
𝒓𝟐 𝒚
Y (m)
X (m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝒓𝟒
Actividad 91. Escriba, los siguientes vectores, en función de los vectores unitarios ,
2. Determine la magnitud dirección y el sentido de los vectores indicados en la figura.
Y (m)
X (m)
http://4.bp.blogspot.com/_-3l71Noi7iY/TLIaE1TEe8I/AAAAAAAAAVk/opLMvQ3tXBo/s1600/PUNTOS+cardinales.gif
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