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8/3/2019 Olimpo Matematico-Geometria-Año 1-Folleto 3

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OLIMPO MATEMATICO-GEOMETRIA Año 1- Fol leto Nº 3

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El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 1 [email protected]

Problema 1

Uno de polígonos, medio teórico y subliminal………………….

Un polígono regular de 2n vértices esinscrito en un círculo de radio 5. La

suma de los cuadrados de las distan-

cias de cualquier punto en el círculo alos vértices del polígono es 1200.

Hallar el valor del valor entero n.

Fuente: Fuente: Inscribed polygon-Brut3Forc3-05 Diciembre 2007-Art of problem solving

Problema 2

Aquí va con figura desde el inicio, un poco para aliviar la densidad del enunciado.

Se toman dos cuadrados (O,M,N,P) y

(O,S,R,T) [O es el único punto común]. Si A

es el punto medio de PS probar que r(AO) es

perpendicular a r(MT). Las letras están en el

sentido de las agujas del reloj

Fuente: two squares

Problema 3

Cuadriláteros y más cuadriláteros,

este es muy mono, y no te olvides

de Menelao, ya verán…………

Sea ABCD un cuadrilátero. Sean

M, N, P, Q puntos en las líneas

AB, BC, CD, DA, respectivamente.

Probar que las líneas MQ, NP, BD

son concurrentes si y solo si las

líneas MN, PQ, AC son concurren-

tes.

Fuente: Math Links- Easy but Useful!-Small exercise-Agosto 2004

Problema 4

Nuevamente con Gergonne en auxilio para la solución de este encanto………..

Sea P un punto interior en el triángulo ABC , A´ es la intersección de AP con BC,

B´ la intersección de AC con PB y C´ la intersección de AB con CP. Además

APx

PA=

BPy

PB= ,

CPz

PC= , Demostrar que: xyz =x+y+z+2.

Fuente: Aparecido en Mathlinks-Italian triangle equality-Italian Mathematical Olympiad

2004 (problem 6)


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Problema 5

Ayayay…, con lo que me gustan los de lugar

geométrico, este es bueno, y viene de una

revista japonesa que me cayo por allí (en In-

ternet, claro)…..

Suponer un punto A dentro de un círculo (di-

ferente del centro). Considerar todas las

cuerdas (excluyendo el diámetro) que pasan

por A. ¿Cuál es el lugar geométrico de la in-

tersección de las tangentes a los puntosextremos de las cuerdas?

Fuente: Aparecido en Mathematical Excalibur Vo-

lumen 1-Nº 5-1995-Problema 19




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Problema 5:

Sea O el centro y r el radio. Sea A' un punto en la prolongación de OA lejos de A

tal que OA x OA' = r2

. Suponemos que BC es una cuerda que pasa por A y las

tangentes en B y C se interceptan en D'. Por simetría D' esta en OD, donde D

es el punto medio de BC. De aquí ∠OBD' = 90º, OD x OD' = OB2

(= OA X

OA'.) Así el triángulo OAD es semejante al triángulo OD'A'. De aquí ∠ODA=90º,

D' esta sobre la línea L perpendicular a OA en A'. Recíprocamente, para D' en L,

sea la cuerda que pasa por A perpendicular a OD' que intercepta el círculo en B

y C. Sea D la intersección de la cuerda con OD'. Ahora los triángulos OAD y OD-

'A' son triángulos rectángulos semejantes. Así OD x OD' = OA x OA' = OB2 =

OC2. Lo cual implica que ∠OBD'=∠OCD'=90º. De aquí, D' esta en la ubicación

OD. Esto demuestra que el lugar geométrico es la línea L.

Solución: Wong Him Ting-Diagramación y traducción por Aldo Gil

Saludos y abrazos

Aldo