PAUTA TAREA GRUPO 1
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] Un avión de reconocimiento P, que vuela a
10.000 pies sobre un punto R en la superficie del agua,
localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37°
y a un buque-tanque T a un ángulo de depresión de 21°,
como se muestra en la figura. Además, se encuentra que
ángulo SPT=110°. Calcule la distancia entre el
submarino y el buque-tanque.
De acuerdo a la ley del seno se tiene en:
SPR 10.000
16.616,40sin(37 ) sin(37 )
PRPS
y en
TPR 10.000
27.904,28sin(21 ) sin(21 )
PRPT
Y aplicando la ley del coseno en PST se tiene
2 2 2
2 cos(110 )ST PS PT PS PT y reemplazando los valores hallados anteriormente nos
queda:
2 2 216.616,40 27.904,28 2 16.616,40 27.904,28 cos(110 )
37.039,46
ST
ST
R/ Así la distancia entre el submarino y el buque tanque es de 37.039,46 pies
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: y = 3sin (2x +π
12).
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
: 3Amplitud A , y como 1A se tiene una amplitud vertical, además 0A entonces no
existe reflexión respecto al eje X
2 2 :
2Periódo
B
Reducción Horizontal
12Á : 2 24
Cngulo de desface
B
y como 0C luego la gráfica se desplaza 24
hacia la
izquierda.
Así su gráfica tiene dada por.
3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
22 tan ( ) 3sec( ) 0x x
22 tan ( ) 3sec( ) 0x x lo primero es dejar la ecuación en una sola función. Y como
2 2tan ( ) sec ( ) 1x x , y reemplazando en la ecuación se obtiene 22 sec ( ) 1 3sec( ) 0x x
Distribuyendo 2 y ordenando obtenemos 22sec ( ) 3sec( ) 2 0x x .
Sea sec( )u x , luego la ecuación se reduce a 22 3 2 0u u y factorizando la ecuación nos
queda ( 2)(2 1) 0u u y reemplazando u por sec( )x nos queda (sec( ) 2)(2sec( ) 1) 0x x .
Luego sec( ) 2 0x ó 2sec( ) 1 0x .
Si 1 1
sec( ) 2 0 2 cos( )cos( ) 2
x xx
, y como la función coseno es negativa
entonces se encuentra en el II y III cuadrante, luego 2
3x y
4
3x .
Si 2sec( ) 1 0x entonces 1 1 1
2sec( ) 1 sec( )2 cos( ) 2
x xx
. Por lo tanto
tenemos que cos( ) 2x , así 2sec( ) 1 0x no aporta solución porque la función coseno tiene por
recorrido el intervalo 1,1
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
2) sin( ) sin sin( ) cos( ) 1 2cos ( ) ... (1)2
6 a x x x x x
puntos
Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo que
solicita demostrar.
2sin( ) sin sin( ) cos( ) 1 2cos ( )2
sin( )
x x x x x
0
cos( ) sin( ) cos( )x x 1
sin2
1
cos( ) sin( ) cos2
x x
0
2sin( ) cos( ) 1 2cos ( )x x x
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
( sin( )) cos( ) sin( ) cos( ) 1 2cos ( )
sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 2cos ( )
sin ( ) cos ( ) 1 2cos ( )
1 cos ( ) cos ( ) 1 2cos ( )
1 2cos ( ) 1 2cos ( )
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
) sin( ) (1 c6 ot( )) sin( ) c ) os (b x x x x puntos
Primero se distribuye la función seno
sin( ) (1 cot( )) sin( ) cos( )
sin( ) sin( ) cot( ) sin( ) cos( )
sin( ) sin( )
x x x x
x x x x x
x x
cos( )
sin( )
x
x sin( ) cos( )
sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
x x
x x x x
4. [6 puntos] Evaluar 12 4
arcsin arcsin13 5
sen
12 12 4 4arcsin sin( ) arcsin sin( )
13 13 5 5
Así se tienen los triángulos rectángulos:
Donde 5 12 3 4
cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )13 13 5 5
y reemplazando tenemos
sin sin( )cos sin( )cos
12 3 4 5
13 5 5 13
56
65
5. [6 puntos] Encontrar el valor de Z en término de A si tan(25 ) A
𝑧 =cotg(475°) − 3tan (115°)
tan(245°) + tan (−745°)
Las función tangente es una función impar, luego se cumple que tan( 745 ) tan(745 ) así
cotg 475 3tan(115 )
tan(245 ) tan(745 )z
.
y del triángulo rectángulo tenemos
Y reduciendo al primer cuadrante cot(5 90 25 ) tan(90 25 )
tan(3 90 25 ) tan(8 90 25 )Z
cot(5 90 25 ) 3tan(90 25 ) tan(25 ) 3cot(25 )
tan(3 90 25 ) tan(8 90 25 ) cot(25 ) tan(25 )Z
Además 1
cot(25 ) ; tan(25 ) AA
y reemplazando en Z nos queda
2
2
2
3 33
1 1
AA
AA AZA AA
A A
A
2 2
2 2 2
3 3
1 1 1
A AZ
A A A
12
5
13
3
54
25
A
21 A
1
PAUTA TAREA GRUPO 2
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] Para establecer la distancia desde un punto A en la
orilla de un río a un punto B de éste, un agrimensor selecciona un
punto P a 500 metros del punto A, las medidas de los ángulos
BAP y BPA son 38° y 47°32. Obtén la distancia entre A y B.
47,32'BPA entonces 47,53BPA
Sea d la distancia entre A y B . Aplicando la ley del seno, se tiene que
500
sin(47,53 ) sin(94,47 )
d
, y despejando d se obtiene que
500sin(47,53 )
sin(94,47 )d
luego
369,94d
R) Luego la distancia entre A y B es de 369,94 m
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 =1
2𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +
𝜋
6)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
1:
2Amplitud A , y como 1A se tiene una reducción vertical, además 0A entonces no
existe reflexión respecto al eje X
2 2 : 2
1Periódo
B
Luego no hay ni reducción y ampliación horizontal
6
1 6Á :
Cngulo de desface
B
y como 0C luego la gráfica se desplaza 6
hacia la
izquierda.
Así su gráfica tiene dada por.
3. i) Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
22sin ( ) 1 sin( )x x
2 22sin ( ) 1 sin( ) 2sin ( ) sin( ) 1 0x x x x . Sea sin( )u x y reemplazando nos queda
que 22 1 0u u y resolviendo la ecuación de segundo grado
1 2
1 1 8 11
4 2u u u
, lo que nos queda que (2 1)( 1) 0u u , luego
2sin( ) 1 0 sin( ) 1x x .
a) Si sin( ) 1x , entonces 3
2x
b) Si 1
sin( )2
x , la función seno es negativa en el III y IV cuadrante, luego 7
6x y
11
6x
.
Luego 3 7 11 , ,2 6 6
pS
y 3 7 11 2 , 2 , 22 6 6
G k k kS
donde k
ii) [6 puntos] Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
3
) cos cos( ) sin cos 2sin( )2 2 2
a x x x x x
6 puntos
Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo que
solicita demostrar.
3cos
2
0
3cos( ) sin
2x
1
sin( ) cos( )x
1
cos( ) sin( )x
0
sin( )
sin2
x
1
cos( ) sin( ) cos2
x x
0
cos2
0
cos( ) sin2
x
1
sin( ) 2sin( )x x
sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2sin( )
sin( ) cos( ) cos( )
x x x x x
x x x
0
sin( ) 2sin( )
2sin( ) 2sin( )
x x
x x
2) (1 tan ( )) cos( ) sec( ) b x x x 6 puntos
Sabemos que 2 2sin ( ) cos ( ) 1x x , y dividiendo toda la igualdad por 2cos ( )x se obtiene 2 2tan ( ) 1 sec ( )x x y al reemplazar en 2(1 tan ( )) cos( ) sec( )x x x se obtiene
2
2
2
(1 tan ( )) cos( ) sec( )
sec ( ) cos( ) sec( )
1
cos
x x x
x x x
cos( )( )
xx sec( )
1sec( )
cos( )
sec( ) sec( )
x
xx
x x
4. [6 puntos] Evaluar 15 7
cos arctan arcsin8 25
15 15arctan tan( )
8 8
7 7arcsin sin( )
25 25
Así se tienen los triángulos rectángulos:
Donde 8 15 24 7
cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )17 17 25 25
y reemplazando tenemos
cos cos( )cos sin( )sin
8 24 15 7
17 25 17 25
87
425
5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(15 ) W
𝑁 =tan(−285°) − 2cos(735°)
sin (−105) + tan (375°)
Las funciones seno y tangente son funciones impares, luego se cumple que
tan( 285 ) tan(285 ) y sin( 105 ) sin(105 ) así tan(285 ) 2cos(735 )
sin(105 ) tan(375 )N
. Por
otro lado se tiene que tan(3 90 15 ) 2cos(8 90 15 )
sin(90 15 ) tan(4 90 15 )N
y del triángulo rectángulo
tan(3 90 15 ) 2cos(8 90 15 ) ( cot(15 )) 2cos(15 )
sin(90 15 ) tan(4 90 15 ) cos(15 ) tan(15 )N
Además 2 2
2
1 1cot(15 ) ; cos(15 ) ; tan(15 )
1 1
w w w
w w
y reemplazando en N
2 2
2
2
2 2
22 2
2 2 2
2
1 12
( cot(15 )) 2cos(15 ) cot(15 ) 2cos(15 ) 1
cos(15 ) tan(15 ) cos(15 ) tan(15 ) 1
1 1
1 2 11 1 21 1 2 1
1 1 1
1
w w
wNw w
w
w w ww ww w wwN
ww w w w w w w
w
15
8
17
24
257
15
w
21 w
1
PAUTA TAREA GRUPO 3
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a
10 kmh
con dirección S30°20’O. Una segunda
embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 horas a
12 kmh
con dirección N45°O. ¿Qué distancia separa a
ambos barcos a las 12:30 horas?
Primero se transforma grados y minutos a grado, así se tiene que 30 20' 30,33 , en el
problema se conocen las velocidades de los barcos, luego se convierte a distancia sabiendo
que d
vt
, luego el primer barco transcurrido 2,5 horas ha recorrido
10km
d v thoras
2,5 horas
25 km y el segundo barco después de una hora
12km
d v thoras
1 hora
12 km . Por otro lado 180 45 30,33 104,107
Ahora aplicamos la ley del coseno obteniendo 2 2 225 12 2 25 12 cos(104,107 ) 30,25d
R/ Luego los barcos a las 12:30 horas están separados por 30,25 [kms].
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠 (1
2𝑥 +
𝜋
3)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
: 3Amplitud A , y como 1A se tiene una ampliación vertical, además 0A entonces
existe reflexión respecto al eje X
2 2 : 4
1
2
PeriódoB
Luego se tiene una ampliación horizontal
Á 23
1 3:
2
Cngulo de desface
B
y como 0C luego la gráfica se desplaza 2
3 hacia la
izquierda.
Así su gráfica tiene dada por.
3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
22cos ( ) sin( ) 1x x
La ecuación dada se debe dejar expresada en una sola función, y del hecho que
2 2 2 2sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) 1 sin ( )x x x x y reemplazando se obtiene lo siguiente
2 22 1 sin ( ) ( ) 1 2 2sin ( ) sin( ) 1 0x sen x x x y ordenando la expresión se
obtiene : 22sin ( ) sin( ) 3 0x x , haciendo sin( )u x y reemplazando en la ecuación se obtiene que
22 3 0u u . Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos ( 1)(2 3) 0u u , luego se
tiene que (sin( ) 1)(2sin( ) 3) 0x x .
Si sin( ) 1 0 sin( ) 1x x , luego 2
x
.
Si 3
2sin( ) 3 0 sin( )2
x x , luego éste factor no aporta solución ya que
1 sin( ) 1x
Luego 2
pS
y 22
G kS
donde k
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
) cos sin( ) cos cos 3sin( ) cos( )2 2
a x x x x x x
6 puntos
Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) y
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) , reemplazando y simplificando nos queda lo
que solicita demostrar.
cos2
0
cos( ) sin2
x
1
sin( ) sin( )x
0
cos( ) sin( ) cos( )x x 1
cos( )
1
cos( ) sin( )x
0
sin( ) cos2
x
0
cos( ) sin2
x
1
sin( ) 3sin( ) cos( )x x x
sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 3sin( ) cos( )
sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 3sin( ) cos( )
sin( ) cos( ) 3sin( ) cos( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
22cos ( ) 1
) cot( ) tan( )sin( )cos(
)
x
b x xx x
6 puntos
Sabemos que sin( )
tan( )cos( )
xx
x y
cos( )cot( )
sin( )
xx
x y reemplazando en el primer lado de la
igualdad se obtiene:
2 2
2 2
2 2
2
cos( ) sin( )cot( ) tan( )
sin( ) cos( )
cos ( ) sin ( )cot( ) tan( )
sin( )cos( )
cos ( ) 1 cos ( )cot( ) tan( )
sin( )cos( )
cos ( ) 1 cos ( )cot( ) tan( )
sin( )cos( )
2cos ( ) 1cot( ) tan( )
sin( )cos(
x xx x
x x
x xx x
x x
x xx x
x x
x xx x
x x
xx x
x
)x
4. [6 puntos] Evaluar 1 1
arcsin arccos2 3
sen
1 1 1 1arcsin sin( ) arccos cos( )
2 2 3 3y
Así se tienen los triángulos rectángulos:
Donde 3 1 1 2 2
cos( ) ; sin( ) ; cos( ) ; sin( )2 2 3 3
y reemplazando tenemos
sin sin( )cos sin( )cos
1 1 2 2 3 1 2 6
2 3 3 2 6 6
1 2 6
6
5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si cos(15 ) W
𝑁 =sec(285°) − cos(735°)
cos (−105) + sec (375°)
La función coseno es una función par, luego se cumple que cos( 105 ) cos(105 ) así
sec(285 ) cos(735 )
cos(105 ) sec(375 )N
. Por otro lado se tiene que
sec(3 90 15 ) cos(8 90 15 )
cos(90 15 ) sec(4 90 15 )N
y
del triángulo rectángulo
1
3
2
1
32 2
sec(3 90 15 ) cos(8 90 15 ) csc(15 ) cos(15 )
cos(90 15 ) sec(4 90 15 ) sin(15 ) sec(15 )N
Además 2
2
1 1 1csc(15 ) ; cos(15 ) ; sin(15 ) ; sec(15 )
1 11
w w
ww
y reemplazando en
N
2
2
2
222
2 2 2 2 2
1
1csc(15 ) cos(15 ) 1
sin(15 ) sec(15 ) 1 1
1
1 11 11 11
1 1 1 1 1 1 1 1
w
wN
w
w
w ww w ww w ww
Nw w w w w w w w
w
15w
21 w1
PAUTA TAREA GRUPO 4
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] La distancia entre dos puntos A y B es de 20 Km. Los ángulos de elevación de un
globo con respecto a dichos puntos son de 58°20’ y 67°32’. ¿A qué altura del suelo se encuentra?
Al completar el triángulo con sus ángulos nos queda:180° − (58°20´ + 67°32´) = 54°8´
Ahora al aplicar teorema de seno, nos queda:sen(58°20´)
x=
sen(54°8´)
20=> x = 21 km.
Para calcular la altura, aplicamos triangulo rectángulo: sen(67°32´) =h
21=> h = 19,4 km
R. El globo se encuentra a una altura de 19,4 km.
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +𝜋
2)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
Identificamos A, B y C
A=|-1| Lo que nos indica que se mantiene, pero el signo negativo me indica que se refleja.
B: 2 Sabemos que P =2π
B=
2π
2= π por lo tanto el periodo se reduce a π, es decir se reduce
horizontalmente.
C: π
2 , para obtener el ángulo de desfase se calcula
C
B=
π
2
2=
π
4 y se desplaza hacia la izquierda.
3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
24cos ( ) 3 4cos( )x x
4𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 4 cos(𝑥) − 3 = 0 => 𝑠𝑖 cos(𝑥) = 𝑢 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 4𝑢2 + 4𝑢 − 3 = 0
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑢 =−4 ± √42 − (4 ∗ 4 ∗ −3)
2 ∗ 4=> 𝑢1 =
1
2; 𝑢2 =
−3
2
Pero como cos(𝑥) = 𝑢 => cos(𝑥) =1
2 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎, 𝑥1 =
𝜋
3,
5𝜋
3
cos(𝑥) =−3
2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛. y la solución final S:{
𝜋
3,
5𝜋
3} 𝑥 ∈ [0,2𝜋]
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
23) tan( ) ( ) 1 cos (
2 )a x sen x sen x x
6 puntos
(tan(𝜋) − tan(𝑥)
1 + tan(𝜋) tan(𝑥)) (𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos (
3𝜋
2) + 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2) cos(𝑥)) (𝑠𝑒𝑛(𝜋) cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝜋))
= 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
(−tan (𝑥))(−cos (𝑥))(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
(𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑐)(cos(𝑥))(𝑠𝑒𝑛(𝑥))) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
sec( )
) cos( )tan( ) tan(
)
c xb x
x c x
6 puntos
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)
+cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= cos (𝑥)
4. [6 puntos] Evaluar 4 12
cos arctan3 13
arsen
cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽))
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (4
3) = 𝛼 ↔ tan(𝛼) =
4
3 Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras
funciones.
𝑐 = √(42 + 32) = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =4
5 ; cos(𝛼) =
3
5
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (12
13) = 𝛽 ↔ sen(β) =
12
13 igual que caso anterior, pero esta vez solamente cos(β)=?
5. (13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝛽) =5
13
cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽))
cos(𝛼 + 𝛽) =3
5∗
5
13−
4
5∗
12
13=
15
65−
48
65=
−33
65
6. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(25 ) W
𝑁 =tan(−1825°) − cos(745°)
sin (−115°) + 4csc(655°)
𝑁 =tan(−1825°)−cos(745°)
sin (−115°)+4csc(655°)
tan(−1825°) = tan(−20 ∗ 90° − 25°) = − tan(25°) =−𝑤
√1 − 𝑤2
cos(745°) = cos(8 ∗ 90° + 25°) = cos(25°) = √1 − 𝑤2
sin(−115°) = sin(−1 ∗ 90° − 25°) = − cos(25°) = −√1 − 𝑤2
csc(655°) = csc(7 ∗ 90° + 25°) = − sec(25) =−1
√1 − 𝑤2
𝑁 =
−𝑤
√1 − 𝑤2− √1 − 𝑤2
−√1 − 𝑤2 + 4−1
√1 − 𝑤2
=𝑤2 − 𝑤 − 1
𝑤2 − 5
PAUTA TAREA GRUPO 5
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con
una velocidad de 70 kilómetros por hora. Al mismo tiempo, pero en
dirección noreste, otro buque viaja a razón de 80 kilómetros por hora.
¿A qué distancia se encontrarán uno del otro después de media hora?
Como en una hora recorre 70km, en media hora recorrerá 35km.
Y también para los 80km. en una hora, en media hora recorrerá 40 km.
Por lo tanto aplicamos el teorema del coseno:
𝑑2 = (35)2 + (40)2 − 2(35)(40) cos(45°) => 𝑑 = 29,07 𝑘𝑚
R. Después de media hora se encontraran a una distancia de 29,07 km
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −0.5𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +𝜋
2)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
A=|-0,5| Lo que nos indica que se reduce verticalmente, y el signo negativo me indica que se
refleja.
B: 2 Sabemos que P =2π
B=
2π
2= π por lo tanto el periodo se reduce a π, es decir se reduce
horizontalmente a un periodo π.
C: π
2 , para obtener el ángulo de desfase se calcula
C
B=
π
2
2=
π
4 y se desplaza hacia la izquierda.
3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
2 23cos ( ) ( ) 3x sen x
2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 3 => 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 2 => 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 => cos(𝑥) = ±1
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑥 = {0, 𝜋, 2𝜋} 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [0,2𝜋]
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
sec
tan( )2) sec( ) sec( ) 1
( )c
os2
c xx
a x c xsen x
x
6 puntos
1
𝑠𝑒𝑛 (𝜋2
+ 𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝜋2 − 𝑥)
−
tan(𝜋) − tan(𝑥)1 + tan(𝜋) tan(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)=
1
𝑠𝑒𝑛 (𝜋2
) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝜋2
)
𝑐𝑜𝑠 (𝜋2) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
−− tan(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)=
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)+
1
cos(𝑥)=
1
cos(𝑥)[
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+ 1]
= sec (𝑥)(𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 1)
sec( )
) cos( )tan( ) tan(
)
c xb x
x c x
6 puntos
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)
+cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
=
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= cos (𝑥)
4. [6 puntos] Evaluar 3 5
tan arccos5 13
arcsen
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (3
5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = (
3
5) Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras
funciones.
52 = 32 + 𝑥2 => 𝑥 = 4 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛼) =3
4
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (5
13) = 𝛽 ↔ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = (
5
13) Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras
funciones.
(13)2 = 52 + 𝑦2 => 𝑦 = 12 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛽) =12
5
tan(𝛼 − 𝛽) =
34
−125
1 +34
125
=
15 − 4820
20 + 3620
=−33
56
5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si sin(15 ) W
𝑁 =𝑡𝑎𝑛2(465°) − cos(−735°)
sin (−105) + tan (1815°)
𝑆𝑖 sin(15°) = 𝑊 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑁 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑊
𝑁 =𝑡𝑎𝑛2(465°)−cos(−735°)
sin(−105)+tan(1815°)
12 = 𝑤2 + 𝑥2 => 𝑥 = √1 − 𝑤2
tan(465°) = tan(5 ∗ 90° + 15°) = −ctg(15°) =−√1 − 𝑤2
𝑤
cos(−735°) = cos(−8 ∗ 90° − 15°) = cos(15°) = √1 − 𝑤2
sin(−105°) = sin(−1 ∗ 90° − 15°) = − cos(15°) = −√1 − 𝑤2
tan(1815°) = tan(20 ∗ 90° + 15°) = tan(15°) =𝑤
√1 − 𝑤2
𝑁 =
(−√1 − 𝑤2
𝑤 )
2
− √1 − 𝑤2
−√1 − 𝑤2 +𝑤
√1 − 𝑤2
=
1 − 𝑤2 − 𝑤2√1 − 𝑤2
𝑤2
−(1 − 𝑤2) + 𝑤
√1 − 𝑤2
=(1 − 𝑤2 − 𝑤2√1 − 𝑤2)(√1 − 𝑤2)
𝑤2(𝑤2 + 𝑤 − 1)
PAUTA TAREA GRUPO 6
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] La distancia que hay de un punto hacia los
extremos de un lago son de 145 y 215 metros, mientras que el
ángulo entre las dos visuales es de 56°10’. Calcula la
distancia entre los extremos del lago.
Aplicando teorema del coseno, ya que tenemos el ángulo
comprendido entre las distancias y las distancias.
𝑑2 = (215)2 + (145)2 − 2(215)(145) cos(56°10´) => 𝑑
= 180,37 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
R. La distancia entre los extremos del lago son: 180,37 metros.
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛 (𝑥
2+
𝜋
12)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
A=|-2| Lo que nos indica que se amplía verticalmente en dos unidades y el signo negativo me
indica que se refleja.
B: 1
2 Sabemos que P =
2π
B=
2π1
2
= 4π por lo tanto el periodo es de 4π, es decir, se amplía
horizontalmente.
C: π
12 , para obtener el ángulo de desfase se calcula
C
B=
π
121
2
=π
6 y se desplaza hacia la izquierda.
i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
22cos ( ) 3 ( ) 0x sen x
2(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 => 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 = 0 𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = 𝑢
2𝑢2 − 3𝑢 − 2 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:
𝑢 =3 ± √(−3)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−2)
4=
3 ± 5
4=> 𝑢1 = 2 𝑛𝑜𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑢2 = −
1
2
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −1
2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟í𝑎
𝑆𝑓 = {7𝜋
6,11𝜋
6} 𝑜 {210°, 330°} 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [0,2𝜋]
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
3cos
2 2) 1
sec( ) sec
( )
sen x x
ax c x
6 puntos
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 (3𝜋2 ) − 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋2 ) cos (𝑥)
sec(𝑥)+
𝑐𝑜𝑠 (𝜋2) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)=
cos (𝑥)
1cos (𝑥)
+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1
) ( ) cos( ) tan( ) sec( ) b sen x x c x c x 6 puntos
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)=
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)=
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)= 𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)
4. [6 puntos] Evaluar 4 12
tan arccos5 13
arcsen
tan(𝛼 + 𝛽) =tan(𝛼) + tan (𝛽)
1 − tan(𝛼) tan (𝛽)
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (4
5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
4
5 Aplicando triangulo rectángulo, para obtener las otras funciones.
52 = 42 + 𝑥2 => 𝑥 = 3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛼) =4
3
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (12
13) = 𝛽 ↔ cos(𝛽) =
12
13
(13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tan(𝛽) =5
12
tan(𝛼 + 𝛽) =
43 +
512
1 −43 ∗
512
=
48 + 1536
36 − 2036
=63
16
5. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si cos(15 ) W
𝑁 =csc(285°) −
12 cos(735°)
cos (−105) + sec (−375°)
csc(285°) = csc(3 ∗ 90° + 15°) = −𝑠𝑒𝑐(15°) = −1
𝑤
cos(735°) = cos(8 ∗ 90° + 15°) = cos(15°) = 𝑤
cos(−105°) = cos(−1 ∗ 90° − 15°) = − sen(15°) = −√1 − 𝑤2
sec(−375°) = sec(4 ∗ 90° + 15°) = sec(15°) =1
𝑤
𝑁 =
−1𝑤 −
12 𝑤
−√1 − 𝑤2 +1𝑤
=
−2 − 𝑤2
2𝑤
−𝑤√1 − 𝑤2 + 1𝑤
= (−(2 + 𝑤)
2𝑤) (
𝑤
1 − 𝑤√1 − 𝑤2)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑁 =−(2 + 𝑤2)
2(1 − 𝑤√1 − 𝑤2)
PAUTA TAREA GRUPO 7
ALGEBRA I CM-114
1. [8 puntos] Dos aviones parten de una ciudad y sus
direcciones forman un ángulo de 74°23’. Después de una
hora, uno de ellos se encuentra a 225 [Km] de la ciudad,
mientras que el otro está a 300 [Km]. ¿Cuál es la distancia
entre ambos?
Primeramente se convierte el ángulo en grados y minutos
a grados, así 74°23’=74,38°.
Utilizando teorema del coseno y considerando d como la
distancia entre ambos aviones, así 2 2 2225 300 2 225 300 cos(74,38 )d , luego 322.92d km
R/ Luego los aviones se encuentran a una distancia de 322.92 km una vez que han transcurrido
una hora.
2. [10 puntos] Dada la función trigonométrica: 𝑦 = −0.25𝑐𝑜𝑠 (0.5𝑥 +𝜋
4)
Indique período, amplitud, desfase y obtenga su gráfica.
A=|-1
4| Lo que nos indica que se reduce a un cuarto de unidad, pero el signo negativo me indica
que se refleja.
B: 1
2 Sabemos que P =
2π
B=
2π1
2
= 4π por lo tanto el periodo es de 4π, es decir, se amplía
horizontalmente.
C: π
4 para obtener el ángulo de desfase se calcula
C
B=
π
41
2
=π
2 y se desplaza hacia la izquierda.
3. i) [6 puntos] Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
2cos( ) 9 ( ) 1x sen x
La ecuación dada se debe dejar expresada en una sola función, y del hecho que
2 2 2 2sin ( ) cos ( ) 1 sin ( ) 1 cos ( )x x x x y reemplazando se obtiene lo siguiente 2 2 2cos( ) 9sin ( ) 1 cos( ) 9(1 cos ( )) 1 0 cos( ) 9 9cos ( ) 1 0x x x x x x y
ordenando la expresión se obtiene : 29cos ( ) cos( ) 8 0x x , haciendo cos( )u x y reemplazando en la ecuación se obtiene que
29 8 0u u . Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos ( 1)(9 8) 0u u , luego
se tiene que (cos( ) 1)(9cos( ) 8) 0x x .
Si cos( ) 1 0 cos( ) 1x x , luego 0x
Si 8
9cos( ) 8 0 cos( )9
x x , luego 𝑥 = {152,73° ,207,27°} 𝑜 {1697
2000𝜋,
2303
2000𝜋}
Luego 𝑆𝑓 = {0°,1697
2000𝜋,
2303
2000𝜋} 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [0,2𝜋]
ii) Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.
2
4cos( 2 )) ( 2 ) cos 4
2sec
2
xa sen x x
c x
6 puntos
Se sabe que sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) , 1
sec( )sin( )
c xx
y
cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) reemplazando y simplificando nos queda lo que
solicita demostrar. 2
2
2
4cos( 2 )( 2 ) cos 4
2sec
2
4cos( 2 )( 2 ) cos 4
12
sin2
( 2 ) cos 4sin cos( 2 ) 42 2
xsen x x
c x
xsen x x
x
sen x x x x
sin( ) cos(2 )x 1
sin(2 )0
cos( ) cos2
x
0
cos( ) sin2
x
21
sin( )
4 sin2
x
1
cos( ) sin( ) cos2
x x
0
cos( ) cos(2 )x
1
sin( ) sin(2 )x
0
2
2 2
2 2
2 2
4
sin( ) sin( ) 4cos( ) cos( ) 4
2sin( ) 4cos ( ) 4
4sin ( ) 4cos ( ) 4
4 sin ( ) cos ( )
x x x x
x x
x x
x x
1
4
4 4
2 2) 2cos ( ) 1 1 2 ( ) b x sen x 6 puntos
2(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) − 1 = 2 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 1 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
5. [6 puntos] Evaluar 4 12
arccos5 13
sen arcsen
𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)cos (𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛽)cos (𝛼)
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (4
5) = 𝛼 ↔ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
4
5 , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 cos (𝛼)
52 = 42 + 𝑥2 => 𝑥 = 3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 cos(𝛼) =3
5
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (12
13) = 𝛽 ↔ cos(𝛽) =
12
13
(13)2 = (12)2 + 𝑥2 => 𝑥 = 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 sen(𝛽) =5
13
𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) = (4
5) (
12
13) − (
5
13) (
3
5) =
48 − 15
65=
33
65
6. [6 puntos] Encontrar el valor de N en término de W si tan(15 ) W
𝑁 =tan(555°) − cotg(735°)
cotg(−105) + tan (375°)
tan(555°) = tan(6 ∗ 90° + 15°) = 𝑡𝑎𝑛(15°) = 𝑤
cotg(735°) = cotg(8 ∗ 90° + 15°) = cotg(15°) =1
𝑤
cotg(−105°) = cotg(−1 ∗ 90° − 15°) = tan(15°) = w
tan(375°) = tan(4 ∗ 90° + 15°) = tan(15°) = 𝑤
𝑁 =𝑤 −
1𝑤
𝑤 + 𝑤=
𝑤2 − 1𝑤
2𝑤=
𝑤2 − 1
2𝑤2
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