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ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE UNO
Presentado a:xxxxxxx
Tutor
Entregado por:
Xxxxxxx Xxxxx XxxxxxCódigo: xxxxx
Xxxxxxx Xxxxx XxxxxxCódigo: xxxxx
Xxxxxxx Xxxxx Xxxxxx
Código: xxxxx
Xxxxxxx Xxxxx XxxxxxCódigo: xxxxx
Xxxxxxx Xxxxx XxxxxxCódigo: xxxxx
rupo:xxxxxx
UNI!ERSIDAD NACIONAL A"IERTA # A DISTANCIA $ UNADESCUELA DE CIENCIAS AR%COLAS& PECUARIAS # DEL 'EDIO A'"IENTE
PRORA'A DE INENIERIA A'"IENTALCEAD (OS) ACE!EDO # *'E+
FE"RERO ,- de. /0,1"OOT2 D3C3
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INTRODUCCION
DESARROLLO DE LA ACTI!IDAD INDI!IDUAL
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Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias
1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:
= 1 + +1 , (0) = 0
Respuesta
No45re estudiante 6ue rea.i7a e. e8er9i9io:PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESI*N 'ATE'2TICA
RA+ON O EXPLICACION
= 1 + +1
E(E'PLO: (elimínelo en la entrega del trabajo)
Resolver la siguiente ecuación diferencial.
d y
d x− x2= x2 . y
No45re estudiante 6ue rea.i7a e. e8er9i9io: Xxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx
PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION 'ATE'ATICA
RA+ON O EXPLICACION
d y
d x− x2= x2 . y
Forma original de la E.
Nota: !e identifica "ue se resuelve por variablesseparables.
d y
d x= x2 . y+ x2
#ransposición de t$rminos
d y
d x= x2( y+1) Factori%ando x
2
(se aplica factor com&n monomio )
d y
( y+1)= x2 . d x
!eparando t$rminos (se tiene en cuenta "ue todo
est' multiplic'ndose yo dividiendo). En un lado
de la ecuación todo lo relacionado con la variable
X y en el otro lado todo con
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∫ d y
( y+1)=∫ x2 . d x
!e integra en ambos t$rminos de la Ecuación
iferencial
ln| y+1|+C 1=
x3
3 +C
2
Resolviendo la integrales b'sicas.
ln| y+1|= x3
3 + K
*+ , *- /0 la suma o resta de dos constantes1 da
como resultado otra constante.
eln| y+1|=e
x3
3+ K 2plicando e en ambos lados la Ecuación
iferencial.
y+1=e x
3
3+ K 3ropiedad del inverso e
ln=1
y+1=e x
3
3 . e K
3ropiedad de los exponentes
am+n=am . an
y+1= K . e x
3
3 e
K
= K
1 (e) elevado a una constante da comoresultado otra constante.
R y+1= K . e x
3
3 −1#ransposición de t$rminos y se finali%a el
ejercicio.
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E(ERCICIO # SOLUCI*N PLANTEADA O"SER!ACIONES& ANEXOS&
'ODIFICACIONES A LA SOLUCI*N
PLANTEADA
escarga de un condensador en una resistencia
!upongamos un condensador "ue tiene una diferencia
de potencial 4o entre sus placas cuando se tiene una
línea conductora R0 la carga acumulada viaja a trav$s
de un condensador desde una placa 5asta la otra0
estableci$ndose una corriente de intensidad i
intensidad. 2sí la tensión v en el condensador va
disminuyendo gradualmente 5asta llegar a ser cero
tambi$n la corriente en el mismo tiempo en el circuito
R*.
Ri=v
i=−c dv
dt
v' +
1
RC v =0
!olucionar por series de potencias la siguiente
ecuación diferencial.
*undo R=1 M Ω y C =1 μF
3or lo cual se toma arbitrariamente0
v=∑m=1
∞
vm x
m=v0+ v
1t + v
2t 2+v
3t 3+…
entonces0
v' =∑
m=1
∞
m avm t m−1=v
1+2v
2t +3 v
3t 2+…
Reempla%ado en la ecuación original0
v
(¿¿1+2 v2t +3v
3t 2+…)+ (v0+v1 t +v2t
2+v3t 3+
¿6os t$rminos semejantes se suman0
v
(¿¿1+v0)+ (2v2+v1 ) t + (3v3+v2 ) t 2+…=0
¿
2l igualar termino a t$rmino se encuentra0
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v1+v
0=0
2v2+v
1=0
3v3+v
2=0
!e resuelve el sistema de ecuaciones en t$rminos de
a0
v1=−v
0
v2=−v
1
2 =
v0
2
v3=−v
2
3 =
−v0
3
*on los nuevos coeficientes "ueda
v=v0−vt +
v0
2 t
2−v0
3 t
3−…
2l factori%ara0 se tiene0
v=v0(1−t + t
2
2−
t 3
3 +…)
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CONCLUSIONES
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REFERENCIAS "I"LIOR2FICAS
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