124
Determinantes
b) Si sumamos las ecuaciones tenemos:
21 1
2 1
1 2
1 1
2 3
3X C C
t
22
13
23
21
X
X Y C Y C X Y C X
1 1 1( )
C X1 1
2 1
13
23
21
01
21
20
Y (( )C X1 0 2
2 0
104 Sean F1, F2, F3 y F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4 4, cuyo
determinante vale 3. Calcula razonadamente el valor del determinante de la inversa
de P, el valor del determinante de la matriz P, donde denota un número real
no nulo, y el valor del determinante de la matriz cuyas filas son 2F1 F4, F3, 7F2 y F4.
(Galicia. Junio 2001. Bloque 1. Pregunta 2)
P PP
31 1
3
1
P P4 43
det ( , , , ) det ( , , , )2 7 7 21 4 3 2 4 1 4 3 2 4F F F F F F F F F F 7 2
7 2
1 4 2 3 4
1 2 3
det ( , , , )
det ( , , ,
F F F F F
F F F F44 1 2 3 414
14 3 42
) det ( , , , )F F F F
PREPARA TU SELECTIVIDAD
1 Sea P x
x
x
x
x
( )
1 1 1
1 1 1
3 3 3
3 3 3
.
Halla dos raíces de este polinomio de grado cuatro.
(La Rioja. Junio 2007. Propuesta A. Ejercicio 2)
x
x
x
x
x
x x
x x
x
1 1 1
1 1 1
3 3 3
3 3 3
1 1 1
1 1 0 0
3 3 0 3 0
3 3 0 00 3
1 0 0
3 3 3 0
3 3 0 3
1
1 1
3 3
x
x
x x
x x
x
x
x( ) xx
x x
x x x x x x
3 0
3 3 0 3
1 3 1 3 22 2( )( ) ( ) ( ) ( 3 3 3
1 3 1 32
)( )
( )( ) ( )( ) (
x
x x x x x x 3 2 3 3
1 3 3 3 62
) ( )
( )( ) ( ) (
x
x x x x x 66
1 3 4 92
x
x x x x
)
( )( )( )
por tanto, x 1 y x 3 son dos raíces del polinomio.
125
2SOLUCIONARIO
2 Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente:
x x x
x x x
x x x
2 1 3 2
2 3 3 4
2 5 3 6
Enuncia las propiedades que has utilizado.
(Castilla-La Mancha. Junio 2003. Bloque 1. Pregunta B)
x x x
x x x
x x x
x
x x
x
2 1 3 2
2 3 3 4
2 5 3 6
1 2 1 3 2
1 2 33 3 4
1 2 5 3 6
1 2 1 3 2
0 2 2
0 4 4
0x
x x
x
x x
En primer lugar, utilizamos la siguiente propiedad: si todos los elementos
de una columna de la matriz están multiplicados por un mismo número,
su determinante queda multiplicado por ese número. A continuación,
a las dos últimas $las le restamos la primera $la de la matriz por la propiedad
que dice que el determinante no varía si a una $la le sumamos una combinación
lineal de las demás. Por último, el determinante es nulo porque tiene
dos $las iguales.
3 Teniendo en cuenta que
a b c
p q r
x y z
7, calcular el valor del siguiente determinante
sin desarrollarlo:
3 3 3a b c
a p b q c r
x a y b z c
(Aragón. Septiembre 2006. Opción B. Cuestión 1)
3 3 3
3
a b c
a p b q c r
x a y b z c
a b c
a p b q c r
xx a y b z c
a b c
p q r
x a y b z c
a b c
p q
3
3 rr
x y z
a b c
p q r
x y z
3 3 7 21
4 Hallar los valores de k para que la matriz
k
k
k k
k k k
4 5 6
1 2 3
0 1
1
:
a) No tenga inversa.
b) Tenga rango 3.
(Canarias. Septiembre 2006. Opción B. Cuestión 3)
126
Determinantes
a)
k
k
k k
k k k
k4 5 6
1 2 3
0 1
1
4 5 6
0 3 3 3
0 kk
k k
k k
k
4 5 7
0 4 5 7
3 3 3
4 5 7
4 kk
k k
k k
k k
k k
5 7
3
1 1 1
4 5 7
4 5 7
3
1 1 1
3 2 0
3 2 0
33 2
3 2
3 3 2 2 3
kk
k k
k k k k[( )( ) ( )] 33 32k k( )
Si k 0 o si k 3 → El determinante es nulo. La matriz no tiene inversa.
b) Si k 0 o si k 3 → El menor de orden 4 es igual a cero.
Comprobamos si hay un menor de orden 3 no nulo.
Si k 0:
4 5 6
1 2 3
0 0 1
4 5
1 23 0 El rango de la matriz es 33.
Si k 3:
4 5 6
1 2 3
3 0 1
12 0 El rango de la matriz es 3.
5 Dada la matriz M
a
a
a
2 1
2 1 1
2 1
:
a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a.
b) Determinar para qué valores de a existe matriz inversa de M. Calcular dicha matriz
inversa para a 2.
(Madrid. Junio 2006. Opción B. Ejercicio 3)
a)
2 1
2 1 1
2 1
2 2 2 13 2
a
a
a
a a a a( )
b) Si a R { , , }1 0 1 → El menor de orden 3 es distinto de cero. El rango
de la matriz es 3.
Si 0 El rango de la matriz esa2 1
0 12 0 2.
Si 1 El rango de la matriz esa1 1
1 12 0 22.
Si 1 El rango de la matriz esa2 1
2 14 0 2.
127
2SOLUCIONARIO
6 Dadas las matrices A
2 2 1
1 1 1
2 4 3
y T
2 4 1
1 3 1
1 2 1
se pide:
a) Probar que la matriz T tiene inversa, T 1, y calcular dicha inversa T 1.
b) Dada la ecuación con matriz incógnita B, A T 1BT, calcular el determinante de B.
c) Obtener los elementos de la matriz B considerada en el apartado b).
(C. Valenciana. Junio 2006. Ejercicio B. Problema 1)
a) T T1 0
1 2 1
0 1 1
1 0 2
1
b) A T BT B TAT B T A T T A1 1 1 1
2T
A
c) B TAT1
2 4 1
1 3 1
1 2 1
2 2 1
1 1 1
2 4 3
1 2 1
0 1 1
1 0 2
2 4 1
1 3 1
2 4 2
1 2 1
0 1 1
1 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 2
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