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5. Equilibrio estático de un sistema:::
Ecuaciones:
Resultantes son cero El sistema está en equilibrio.
En general:
Fi = 0
M0 = 0
Sistema general coplanar fuerzas:
Tres variables desconocidas en el sistema coplanar.
Tres ecuaciones estáticas para encontrar 3 variables.
Equilibrio de un sistema:
Un sistema estructural está en equilibrio estático cuando la resultante de todas las fuerzas y
momentos es igual a cero.
Equilibrio de parte de un sistemas:
Si todo un sistema estructural está en un estado de equilibrio estático, cualquier parte del mismo
también debe estar en equilibrio estático.
Para que exista un estado de equilibrio coplanar, las siguientes tres condiciones deben ser
satisfechas simultáneamente:
Fx = 0, Fy= 0, M= 0
Los subíndices (x,y) representan los ejes a lo largo de los cuales las componentes Fx y Fy son
estudiadas. Estos ejes pueden o no ser ortogonales. La sumatoria de momentos M es tomada
alrededor de un eje cualquiera normal al plano de la estructura. La combinación de estas
ecuaciones es admisible, puesto que las tres son independientes.
La sumatoria puede ser tomada en diferentes puntos:
Mj = 0, Mk = 0, ....... Mi = 0,
Puesto que el equilibrio se debe mantener en cualquier sitio.
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Fuerza Normal: Descripción
La fuerza normal N en una sección dada es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas y componentes actuando normales a un lado de la sección.
Fuerza Cortante:
La fuerza cortante o tangencial es simplemente la fuerza V en una sección, la cual es igual a la
suma algebraica de todas las fuerzas y componentes de las fuerzas actuando paralelas a la
sección transversal considerada.
Momento Flector:
El momento flector M en una sección es igual a la suma algebraica de todas las parejas de fuerzas
y momentos estáticos de todas las fuerzas actuando a un lado de la sección considerada, con
respecto a su centroide.
Para un elemento estructural PLANO tres tipos de fuerzas ocurren en una sección transversal en el
centroide de cada parte o sección determinada:
Fuerza normal = Nx
Fuerza cortante = Vy
Momento flector con respecto al eje Z = Mz
Para un elemento estructural ESPACIAL seis tipos de fuerzas ocurren en una sección transversal
en el centroide de cada parte o sección determinada:
Fuerza normal = Nx
Fuerzas cortantes = Vy , Vz
Momentos con respecto a los tres ejes globales = Mx, My, Mz
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Estructura Geométricamente Estable:
Una estructura es geométricamente estable si para cualquier movimiento incipiente de la
estructura una resistencia al movimiento es desarrollada. Esto requiere al menos la presencia de
tres fuerzas de soporte no concurrentes y no paralelas.
Estructura Geométricamente Inestable:
La estructura tiene un número suficiente de reacciones pero están incorrectamente colocadas para
asegurar estabilidad. Las reacciones no son concurrentes.
Existen varios metodos para determinar la estabilidad geometrica:
Metodo de las dos barras
Metodo de las tres barras
Método de la articulación y la barra
Método de las tres articulaciones
Metodos de las dos barras:
Un sistema geométrico estable que puede formarse agregando a un sistema invariable un nudo
mediante dos barras que no se encuentren en línea recta.
Al disco 1 se agrego la articulación 4 a través de las barras I y H, luego la articulación 3 a través
de las barras F y E, y así sucesivamente.
Las articulaciones 6 y 4 o barras llegando a estos nudos no puede permitirse debido a que el
sistema es instantáneamente variable.
Estable Inestable
Inestable
Metodo de las tres barras:
Dos discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de tres barras que
no se corten en un punto ni que sean paralelas.
Estable Inestable
Métodos de la articulación y la barra:
Dos discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de una articulación
y de una barra que no pase por la articulación.
Estable Inestable
Metodo de las tres articulaciones:
Tres discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de tres
articulaciones que no se encuentren en línea.
Estable Inestable
En la formación de cerchas dos principios básicos aplican:
1. La base o sistema de arranque puede ser un pórtico con tres articulaciones amarrado por
dos articulaciones externas a una cimentación rígida.
2. Por un triángulo de tres articulaciones, cuya rigidez es independiente de la cimentación.
Cercha Dependiente Cercha independiente
(Tres reacciones externas)
* Adicionando a cada sistema básico dos barras por cada nuevo nudo, la cercha es formada siendo dependiente o
independiente de acuerdo a la formación de la base.
Si hay menos de tres reacciones independientes desconocidas (incógnitas), la estructura planar no está en equilibrio y es estáticamente inestable puesto que no hay suficientes incógnitas para satisfacer las ecuaciones de equilibrio simultáneamente.
Si las reacciones son iguales al número de ecuaciones externas suministradas por el
sistema, la solución de las mismas se puede obtener mediante un análisis estático de igual número de incógnitas y ecuaciones simultaneas.
Si tres o mas bielas son concurrentes o paralelas, ellas no son suficientes para mantener
el sistema planar de cargas en equilibrio general. En otras palabras, la estructura puede ser determinada pero su configuración geométrica impide la estabilidad general del sistema.
Estable: Tres reacciones no comcurrentes Inestable: Tres reacciones no paralelas
Inestable: Dependiendo del valor de F la estructura
rota y se cae Inestable: Tres reacciones paralelas
Inestable: Tres reaciones concurrentes Estable: Tres reaciones no concurrentes
Estable: Tres reacciones no concurrentes en un
mismo punto
Estable: reacciones no concurrentes Inestable: Reacciones concurrentes
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Estructura Estáticamente Determinada:
Una estructura es estáticamente determinada si sus reacciones y fuerzas internas pueden ser determinadas a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Estructura Estáticamente Indeterminada:
Una estructura es estáticamente indeterminada si sus reacciones y fuerzas internas no pueden ser computadas a partir de las ecuaciones de equilibrio y condiciones de deformación deben ser consideradas.
Se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio simultáneamente:
Fy = 0
Fx = 0
M0 = 0
Menos de tres reacciones son insuficientes, por tanto la estructura es Estáticamente Inestable.
Mas de tres reacciones pueden ser encontradas si existe la posibilidad de establecer
ecuaciones especiales mediante la presencia de articulaciones o guías intermedias.
Las ecuaciones especiales están determinadas por:
Articulación interna Guia vertical Guia horizontal
Una viga es estáticamente determinada si el número de ecuaciones de equilibrio (3) y el numero
de ecuaciones especiales son iguales al número de reacciones (r). Entonces:
r = 3 + s
donde la variable s representa el numero de ecuaciones especiales y r son las reacciones
externas.
Ejemplos tipícos:
Vigas en voladizo
Vigas simples - simplemente soportadas en ambos extremos
Vigas con uno o dos voladizos
Vigas compuestas - Combinación de todas las anteriores con voladizos conectados por
articulaciones o guías internas. Cada articulación interna equivale a una ecuación especial de momento.
Ejemplos tipicos de vigas:
vigas simples
Vigas simples con voladizos
Vigas compuestas
Ejemplos típicos de pórticos y arcos triarticuladas :
Arco simple triartculado portico simple triarticulado
Arco compuesto isostático Pórtico compuesto isostático
Una cercha es estáticamente determinada si puede ser calculada por ecuaciones de equilibrio
estático. Es indeterminada si no puede ser calculada por las ecuaciones de equilibrio estático y se
deben usar deformaciones para obtener las redundantes. En número de redundantes es definido
por:
GI = (b+r )– (2n)
donde,
GI = Grado de indeterminación (número de redundantes),
r = Número de reacciones,
b = Fuerzas internas de la estructura; b = Numero de barras,
2n = Ecuaciones de equilibrio externo; n = numero de nudos
Determinación Estática: Una cercha plana es estáticamente determinada si:
GI = b + r - 2n = 0
Determinación Estática y Estabilidad Geométrica: Una cercha plana es estáticamente determinada y geométricamente estable si:
GI = b + r - 2n = 0 y det (A) 0
Geométricamente Inestable: Una cercha plana es geométricamente inestables si:
GI = b + r - 2n < 0 y det (A) = 0
Estáticamente y geométricamente Inestable: Una cercha plana es estáticamente y geométricamente inestables si:
GI < b + r – 2n y det (A) = 0
Estáticamente Indeterminada: Una cercha plana es estáticamente determinada si:
GI = b + r - 2n > 0
Estáticamente Indeterminada: Una cercha plana es estáticamente determinada si:
GI = b + r - 2n > 0
b =23, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 26-28 = -2
Estáticamente Inestable
b =25, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 28-28 = 0
Estáticamente Estable
b =27, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 30-28 = +2
Estáticamente Indeterminada
Estructura Geométricamente Inestable:
Reacciones son paralelas
Para establecer la indeterminación de una estructura plana se define el número de redundantes
así:
GI = (3b+r ) – (3n + s)
donde,
GI = grado de indeterminación (número de redundantes),
r = número de reacciones,
3b = fuerzas internas de la estructura; b = numero de barras,
3n = ecuaciones de equilibrio externo; n = numero de nudos,
s = número de ecuaciones especiales.
Las ecuaciones especiales están determinadas por:
Articulación interna Guia vertical Guia horizontal
Ejemplo:
n = 4
s = 3
b = 3
r = 8
3b + r 3n + s
3 x 3 + 8 3 x 4 +
3
17 15
n = Numero de nudos
s = Numero de articulaciones
b = Numero de barras
r = Numero de reaccioens
Estructura estatica indeterminada GI = 2
Alternativa de solución:
n = 7
s = 3
b = 6
r = 8
3b + r 3n + s
3 x 6 + 8 3 x 7 + 3
26 24
n = Numero de nudos
s = Numero de articulaciones
b = Numero de barras
r = Numero de reaccioens
Estructura estaticamente indeterminada GI = 2
n = 8
s = 2
b = 7
3b + r 3n + s
3 x 7 + 8 3 x 8 +
2
r = 8 29 26
Estructura estaticamente indeterminada GI = 3
n = 7
s = 0
b = 6
r = 9
3b + r 3n + s
3 x 6 + 9 3 x 7 +
0
27 21
Estructura estaticamente indeterminada GI = 6
Caso especial:
s = número de elementos que llegan al nudo menos uno.
n = 18
s = 19
b = 21
r = 11
3b + r 3n + s
3 x 21 + 11 3 x 18 + 19
63+11 54+19
74 73
Estructura estaticamente indeterminada GI = 1
Tres dimeciones:
Seis fuerzas internas: F, Vx, Vy, Mx, My, Mz
n = 8
s = 0
b = 8
r = 24
6b + r 6n + s
6 x 8 + 24 6 x 8 + 0
72 48
Estructura estaticamente indeterminada
GI = 24