Profesor: Lcdo. Simón Lyon
Unidad de aprendizaje 1 ________________________
Existen situaciones de la vida en las que se establecen relaciones entre cantidades en donde una
de ellas depende de otra, el estudio de la dependencia de una cantidad con respecto a la otra se
hace a partir del concepto de función.
Una función es una relación que asigna a cada elemento de X de un conjunto X, un
único elemento de un conjunto Y. Se denota así: f: X -> Y
La función f: X -> Y tiene las siguientes características:
Conjunto de partida o dominio X
Conjunto de llegada o codominio Y
Los elementos de Y que le corresponden a algún elemento de x son imágenes
La variable independiente es X
la variable dependiente es y (porque depende del valor que tome X)
Las funciones se nombran con letras minúsculas como f, g o , existen tres maneras de
expresarlas:
Mediante expresión verbal como ”el doble de un número”
Mediante fórmulas algebraicas de la forma y = f(x)
Mediante un conjunto de pares ordenados conocidos como grafico de la función.
Para determinar las imágenes de algún elemento se sustituye el valor de la variable
independiente por dicho elemento.
Ejemplo:
Dada la función f(x)= 3x – 2. Determina la imagen de 4. -2 y 0
a) Para x = 4
f(4)= 3(4) – 2 = 12 – 2 = 10
b) Para x = -2
f(-2)= 3(-2) – 2 = -6 – 2 = -8
c) Para x = 0
f(0)= 3(0) – 2 = 0 – 2 = -2
I ACTIVIDAD
1) Determina la imagen de cada uno de los números que se indican en cada función
a) f(x) = 4x – 9 (0 , -2 , -1) d) f(x) = +√3𝑥2 − 1 (4, -2, 0)
b) f(x) = -x + 7 (-1 ,3, -2) e) f(x) = 4𝑥2 −1
𝑥+1 (0 , -2 , -1)
c) f(x) = 𝑥−1
3 (1, 4, -2) f) f(x) =
2𝑥
3 -
𝑥2
5 (-1 < x ≤ 3 )
-1 -
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función está formado por el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente, de tal modo que la función está definida para todos ellos.
Una función no está completamente definida cuando, al intentar calcular la imagen de un
número, se obtiene una indeterminación: por ejemplo la raíz de un número positivo o una división
entre cero.
1. Cuando la variable no está en el denominador de una fracción o dentro de una raízo está
definida para cualquier valor que tome la variable, es decir, su dominio está formado por
todos los números reales. Dom f(x)= R
Ejemplo: a) f(x) = 3x + 5 Dom f(x)= R b) f(x) = 3x2 – 5x + 8 Dom f(x)= R
2. Cuando la variable está en el denominador, esto puede provocar una división entre cero.
Para evitar esta indeterminación debemos hallar las raíces del denominador y descartarlas
de dominio.
Ejemplo: Dom f(x)= R - {5
4 }
3. Cuando la variable está dentro de una raíz par, se pueden presentar una indeterminación
cuando la cantidad subradical sea negativa. Para eliminar esta indeterminación obligamos a
la cantidad subradical a que sea igual o mayor que cero; es decir, la obligamos a ser
siempre positiva.
Ejemplo: a) f(x) = √−2𝑥 − 6
-2x – 6 ≥ 0
-2x ≥ 6
X ≤ 6
−2
X ≤ -3 Dom f(x) = (- ∞ , -3]
4. Cuando la variable está en el denominador y dentro de un radical, se descartan los
números que ocasionarían ambas indeterminaciones.
Ejemplo f(x)= −√3𝑥−3
𝑥2−7𝑥 + 10 3x – 3 ≥ 0 𝑥2 - 7x + 10 Dom f(x) = [1, ∞ ) - {2 , 5}
3x ≥ 3 (x – 5) (x – 2 )
X ≥ 1 x = 5 x= 2
-2 -
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la
variable y o f(x), es decir el rango de una función es el conjunto de imágenes de la función.
Para calcular el rango de una función, se trata de hallar todos los valores de la función (y)
para los cuales existe un (x) esto se logra despejando x en la función.
Ejemplos:
1. Hallar el rango de la siguiente función f(x)= 3x – 1
Se cambia f(x) por y resultando y = 3x – 1
Se despeja x y + 1 = 3x => x = 𝑦+1
3
Como la y no quedo en denominador ni dentro de un radical el rango será: Rgo f(x) = R
2. Hallar el rango de la siguiente función
Se cambia f(x) por y resultando
Se despeja x = => =>
=>
Como la y quedo en el denominador se descartan los números que causan una división
entre cero: y – 2 = 0 => y = 2 entonces el rango será: Rgo f(x) = R - {2}
II ACTIVIDAD
1) Determina el dominio de las siguientes funciones
k) f(x) = 𝟒𝒙−𝟏
−√𝟑𝒙−𝟗
2) Determina el rango de cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = 𝟓𝒙−𝟑
𝟐 c) f(x) =
𝒙
−√𝒙𝟐−𝟒 e )f(x) = √ 𝑥2 − 9
b) f(x) = 𝒙𝟐 −𝟖
𝟐 d) f(x) =
𝟑𝒙𝟐
𝒙𝟐−𝟒
f)
g)
h)
i)
j)
a)
b)
c)
d)
e)
-3 -
X Y (X,Y)
-1 -4 (-1,-4)
2 5 (-2,5)
Gráfico de una función
El gráfico de una función f: A -> B esta formado por todos los pares ordenados de la
forma (x. f(x)) o (x , y), como x perteneciente al dominio de la función y f(x) como la imagen
correspondiente a cada uno de ellos.
Funcion lineal: la gráfica de una función lineal de primer grado es una línea recta, para
graficarla, basta conocer dos puntos de ella y luego prolongarla.
Se construye la tabla de valores, dando valores albitrarios a la variable
independiente y luego calculamos sus respectivas imágenes:
Ejemplo: f(x)= 3x – 1
f(-1)= 3(-1) – 1 = -4
f(2)= 3(2) – 1 = 5
Se grafican los pares ordenados obtenidos
Función cuadrática: La gráfica de una función cuadrática AX2 + BX + C es una curva,
llamada parábolas, cuya concavidad depende del signo que posee el coeficiente A de X2 ; si
es positivo. La parábola abre hacia arriba y, si es negativo, abre hacia abajo.
Corte con el eje Y: es el valor del término independiente C
Corte con el eje X: para saber si la parábola corta al eje x se calculan las
raíces de la ecuación.
El vértice de la parábola: es el par ordenado
Ejemplo:
Cy= (0,-2)
Cx= −1±√12−4.1.−2
2.1
X1 = -2 x2= 1
VX = −1
2.1= -0.25
VY= − 12
2.1+ −2 = -2.25
Dom f(x)=R Rgo f(x) = [-5
2 . ∞)
-4 -
X Y
-2 5
-3 3
-5 2
0 -3
1 -1
3 0
Función racional: es la función donde la variable independiente aparece en el denominador
de una fracción.
Para graficar funciones de este tipo, en las que la incógnita aparece en el
denominador de una fracción, se recomienda calcular el dominio y el rango, para
determinar las regiones del plano por las que la curva nunca pasará, llamadas asíntotas.
Ejemplo:
Graficar f(x) = −4
𝑥+1 + 1
Se halla el dominio x+ 1 = 0 => x = -1 Dom f(x) = R - { -1 } la asíntota vertical pasara por -1
Se halla el rango y = −4
𝑥+1 + 1 => y - 1 =
−4
𝑥+1 => (y – 1) (x + 1) = -4 => x =
−4
𝑦−1+ 1
=> y – 1 = 0 => y = 1 la asíntota horizontal pasa por 1
Funciones exponenciales
Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y
tiene de base una constante a. Su expresión es:
siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1,
es una función creciente.
Características:
La base a, de la función exponencial debe ser positiva y diferente de 1.
Si la variable x, es x=0 , la función es f(x)= 1
Si la variable x, es x=1 , la función es f(x)= a
El dominio y rango de la función son todos los números reales. Es una función
continua.
Creciente a>1 Decreciente a<1
Se realiza la tabla de
datos, teniendo en cuenta
que ala variable
independiente (x) se deben
dar valores que sean
mayores y menores que la
asíntota.
-5 -
X Y
-3 0,13
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
Gráfica de una exponencial
Graficar F(X)=2X
III ACTIVIDAD
1) Gráfica y determina dominio y rango de las siguientes funciones
a) Y = 3x2 + 6x – 1 b) y = √𝑥 + 3 c) y = x2 -3 d) y = 𝑥
𝑥−3 e) y =
2𝑥−5
𝑥−3
f) Y = - √𝑥 + 3 g) y = x3 h) y = 3-x i) y = 2 x+ 1 j) y = 2 + 1
2
𝑥
2) Identifica a qué tipo de función pertenece cada gráfico e indica su dominio y rango
Unidad de aprendizaje 2
Se llama logaritmo en base a de un número x, al número y, que al ser el exponente de la potencia de
base a, da como resultado x, es decir,
Se realiza la tabla de
datos, verificando la
característica de función
tomando en cuenta que el
domino son todos los
números R,
La expresión log3 81 = 4 se lee “logaritmo
en base 3 de 81 es igual a 4”. Esta igualdad
se cumple pues el resultado de la potencia
34 = 81
Si se quiere calcular el log2 16 se hace lo
siguiente: log2 16 = y se escribe en forma
exponencial así: 2𝑦 = 16 como 24 = 16,
entonces y = 4
-6 -
Aplicando la definición de logaritmo se puede calcular cualquiera de sus partes, siempre
que se conozcan las otras dos.
Ejemplos
log2 𝑥 = 4 entonces 34 = x desarrollando la potencia x = 81
log𝑥 32 = 5 entonces 𝑥5 = 32 descomponiendo 𝑥5 = 25 por lo tanto x = 2
Propiedades de los logaritmos
Ejemplo
𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂.𝒃
𝒄
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂.𝒃 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂. + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂. + 1 - 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒄
IV ACTIVIDAD
1) Calcula los siguientes logaritmos:
A) log3 27 B) log4 64 C) log21
8 D) log7 √49
3 E) log4
4
16
2) Simplifica la siguiente expresión:
a)log2 4+log4 2
log155+ log1
39
3) Hallar x aplicando la definición de logaritmo:
A) log𝑋 49 = 2 B) log31
81= 𝑋 C) log√3 81 = 𝑋 D) log3 √92
3= 𝑋
E) log2 √𝑋3
= 2 F) log4 𝑋 =3
2
4) Simplifica aplicando las propiedades de los logaritmos:
A) log𝑛𝑚.𝑛. 𝑝 = b) log𝑚𝑚3 .𝑛
𝑝8= c) log𝑏
√𝑎2.𝑏33
.
𝑏3= d) log2
√3𝑏45
. √2𝑎𝑏24
√6𝑎𝑏=
-7 -
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Funciones logarítmica
Una función logarítmica es aquella que se expresa como y= f (x) = log𝑎 𝑥, siendo a la base
de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
Propiedades de la función logarítmica.
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su
inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
•La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su
dominio es x>0
•Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier
elemento del conjunto de los números reales ℜ( -∞ , +∞)
•En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log𝑎 1 = 0, en cualquier base.
•Finalmente, la función logarítmica es continua y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Gráfica de una función logarítmica
Se construye la tabla de valores, procurando que los valores que se le den a la variable x sean
potencia de la base.
Ejemplo: Graficar; f(x) = log2 𝑥
Logaritmos decimales y neperianos
Aunque la base de un logaritmo puede ser cualquier numero positivo distinto de uno, los
logaritmos más populares y los más utilizados son aquellos que tienen como base a los números
10 y e (e = 2,718281…)
Todo logaritmo cuya base es el número 10 se denomina logaritmo decimal y se indica log x;
por lo tanto log x = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐱
Neperianos: es todo logaritmo cuya base es número e y se indica ln x; por lo tanto:
Ln x = 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙
2𝑦 = 𝑥
2𝑦 = 1
8
2𝑦 = 8−1
2𝑦 = 2−3
Y = -3
-8-
Calculo de logaritmos decimales usando la tabla
Con la tabla se pueden determinar directamente los logaritmos desde 1 hasta 9.9 entonces
según la tabla: log 1.5 = 0,1761 , log 5,3 = 0.7243 …
Debemos tomar en cuenta que, con la ayuda de la tabla, se calculan valores aproximados de
los logaritmos:
Si queremos calcular log 950 buscamos en la tabla log 9,5 = 0.9777
Luego escribimos el número en notación científica:
Log 950 = 9,5 . 102 = log 9,5 + log 102 = 0.9777 + 2 = log 950 = 2,9777
Si queremos calcular log 0.0036, buscamos en la tabla log 3,6 = 0,5563
Escribimos el número en notación científica: log 0.0036 = log 3,6 + log 10−3 = 0,5563 – 3 el
número -3,5563 se acostumbra a escribirlo 3 , 5563. Entonces el log 0,0036 = 3 , 5563
En los logaritmos decimales, a la cifra entera se le conoce como características y a las cifras
decimales mantisa
Cambio de base de un logaritmo
Con el cambio de base se puede calcular el logaritmo en cualquier base utilizando la tabla
de logaritmos decimales o naturales.
Ejemplo: log log3 54 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓𝟒
𝒍𝒐𝒈 𝟑 buscamos en la tabla logaritmo de 54 y 3=> log
𝟏,𝟕𝟑𝟐𝟒
𝟎,𝟒𝟕𝟕𝟏 = 3,6311
VI ACTIVIDAD
1) Graficar cada una de las siguientes funciones y su inversa en el mismo sistemas de
coordenadas
A) log3 𝑥 b) log12
𝑥 c) f(x) = 5𝑥
2) Hallar característica y mantisa de cada uno de los siguientes logaritmos
a) Log 5700 b) log 0.71 c) log 0,0000063 d) log 26000 e) log 740
3) Halla los siguientes logaritmos aplicando cambio de base
a) log2 68 b) log12 0,73 c) log12 980000 d) log0.2 64 e) log0.03 99
-9-
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