PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integracion numerica.
Objetivos: Aprender los metodos mas sencillos de integracion numerica y aplicarlos en diversosproblemas.
Formulas de cuadratura.
Sea f(x) una funcion continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo sera encontrar
formulas aproximadas para calcular la integral
∫ b
a
f(x) dx. En caso de conocer la primitiva F (x) es
evidente que podemos encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del
calculo integral:
∫ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo,
para la funcion f(x) = e−x2
no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funcioneselementales. En esta practica vamos a aprender tres metodos para calcular aproximadamente el valornumerico de las integrales definidas.
Formula de los rectangulos.
Una aproximacion de la integral
∫ b
a
f(x) dx consiste en aproximar el area bajo la curva y = f(x)
por un rectangulo de base b − a y altura f(
a+b2
)
(ver figura 1), entonces
∫ b
a
f(x) dx = (b − a)f
(
a + b
2
)
+ R(ξ), ξ ∈ [a, b], (1)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma
R(ξ) =(b − a)2
24f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (2)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
Figura 1: Aproximacion de una integral por el metodo de los rectangulos.
Ahora si queremos aproximar la integral
∫ b
a
f(x) dx con mejor exactitud podemos dividir el inter-
valo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la particion del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
donde
xk = a +b − a
nk, n = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
De∫ b
a
f(x) dx =
∫ x1
a
f(x) dx + · · · +
∫ xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
∫ b
xn−1
f(x) dx.
1
si aplicamos a cada integral
∫ xk+1
xk
f(x) dx la formula (1)obtenemos la ecuacion
∫ b
a
f(x) dx =b − a
n
n−1∑
k=0
f
(
xk + xk+1
2
)
+ R(ξ), (3)
y
|R(ξ)| ≤ M(b − a)2
24n2, M = max
x∈[a,b]|f ′′(x)|. (4)
Problema 1 Utilizando las formulas (1) y (2) demostrar las formulas (3) y (4).
Problema 2 (Opcional) Prueba la formula (1) y (2) .
Formula de los trapecios.
Otra aproximacion de la integral
∫ b
a
f(x) dx consiste en aproximar el area bajo la curva y = f(x)
no por un rectangulo sino por un trapecio de base b − a (ver figura 2), entonces
∫ b
a
f(x) dx = (b − a)
(
f(a) + f(b)
2
)
+ R(ξ), (5)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma
R(ξ) = −(b − a)2
12f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (6)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
Figura 2: Aproximacion de una integral por el metodo de los trapecios.
Problema 3 Demostrar las formulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:
1. Demostrar que
∫ b
a
f ′′(x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)[f(a) + f(b)] + 2
∫ b
a
f(x) dx. (7)
2. Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que
∫ b
a
f ′′(x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)3
6f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (8)
3. Usando los dos apartados anteriores obten las formulas (5) y (6).
Ahora podemos aproximar la integral
∫ b
a
f(x) dx con mejor exactitud dividiendo, igual que antes,
el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la particion del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
2
donde
xk = a +b − a
nk, k = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
Nuevamente,
∫ b
a
f(x) dx =
∫ x1
a
f(x) dx + · · · +
∫ xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
∫ b
xn−1
f(x) dx,
y, por tanto, si aplicamos a cada integral
∫ xk+1
xk
f(x) dx la formula (1) obtenemos la expresion
∫ b
a
f(x) dx =b − a
2n
(
f(a) + f(b) + 2
n−1∑
k=1
f(xk)
)
+ R(ξ), (9)
donde
|R(ξ)| ≤ M(b − a)2
12n2, M = max
x∈[a,b]|f ′′(x)|. (10)
Problema 4 Utilizando las formulas (5) y (6) demostrar las formulas (9) y (10).
Problema 5 (Opcional) Prueba la formula (5) y (6) .
Metodo de Simpson.
El metodo de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral
∫ b
a
f(x) dx de
la siguiente forma∫ b
a
f(x) dx = Af(a) + B f
(
a + b
2
)
+ C f(b) + R(ξ), (11)
donde A,B,C son tales que R(ξ) es igual a cero si f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2, respectivamente.Es decir si sustituimos en (11) la funcion f por cualquiera de las funciones f(x) = 1, f(x) = x of(x) = x2, la formula es exacta, o sea R(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el area debajo de f
por una parabola (ver figura 3)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE SIMPSON
a b
f FORMULA DE SIMPSON
Figura 3: Aproximacion de una integral por el metodo de Simpson.
Problema 6 Sustituyendo f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2 en (11) encontrar un sistema de ecuacio-nes para las incognitas A,B,C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma
∫ b
a
f(x) dx =b − a
6f(a) +
4(b − a)
6f
(
a + b
2
)
+b − a
6f(b) + R(ξ). (12)
Si f es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrarque R(ξ) se expresa de la forma
R(ξ) =(b − a)5
2880f (4)(ξ), ξ ∈ [a, b]. (13)
3
Problema 7 Demostrar la formula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos.
1. Comprobar que la funcion F (x, t), con x = a+b2 , definida por
F (x, t) =
∫ x+t
x−t
f(ξ)dξ −t
3[f(x − t) + 4f (x) + f(x + t)] , (14)
es continua y tres veces diferenciable para todo t ∈ [0, b−a2 ], y F ′′′(x, t) = − t
3 [f ′′′(x+t)−f ′′′(x−t)],ademas F (x, 0) = F ′(x, 0) = F ′′(x, 0) = 0.
2. Probar que F ′′′(x, t) es tal que existen dos numeros reales m y M (¿quienes son dichos numeros?)tales que
2
3mt2 ≤ F ′′′(x, t) ≤
2
3Mt2,
y deducir de aquı que1
90mt2 ≤ F (x, t) ≤
1
90Mt5.
3. Finalmente, substituyendo t = b−a2 , deducir el resultado deseado.
Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral
∫ b
a
f(x) dx con mejor exactitud
dividiendo el intervalo [a, b] en 2n puntos de la forma
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [x2n−2, x2n−1] ∪ [x2n−1, b],
donde
xk = a +b − a
2nk, k = 0, 1, 2, ..., 2n, x0 = a, x2n = b.
Apliquemos ahora la formula de Simpson (12) para cada subintervalo [x2k, x2k+2], k = 0, 1, ..., n − 1,o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales
∫ b
a
f(x) dx =
∫ x2
a
f(x) dx + · · · +
∫ x2k+2
x2k
f(x) dx + · · · +
∫ b
x2n−2
f(x) dx.
y apliquemos el metodo de Simpson a cada uno de los sumandos. Notese que los intervalos siguenteniendo una longitud x2k+2 − x2k = b−a
nigual que antes. Esto nos conduce a la expresion
∫ b
a
f(x) dx =b − a
6n
(
f(a) + f(b) + 4n∑
k=1
f(x2k−1) + 2n−1∑
k=1
f(x2k)
)
+ R(ξ), (15)
donde
|R(ξ)| ≤ M(b − a)5
2880n4, M = max
x∈[a,b]|f (4)(x)|. (16)
Problema 8 Utilizando las formulas (12) y (13) demostrar las formulas (15) y (16).
Comparacion de los metodos de cuadratura de los rectangulos, los trapecios y de
Simpson.
Problema 9 Sea la funcion f(x) = cos x. Calcular la inegral
I =
∫ 1
2
0cosxdx,
utilizando las formulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto
∫ 1
2
0cos xdx = sin
1
2= 0,4794255386 . . .
Calcular una aproximacion de la integral cambiando la funcion f(x) por su polinomio de McLaurinde orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.
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Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral
I =
∫ 1
0f(x) dx f(x) =
sinx
x, x 6= 0
1, x = 0
por los metodos de de los rectangulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todosellos una particion del intervalo [0, 1] con n = 4 puntos. ¿Quien aproxima mejor?
Problema 11 (Opcional) Calcular la integral
I =
∫ 1
0e−x2
dx,
utilizando los metodos de de los rectangulos, los trapecios y de Simpson cuando n = 4. Comparar losresultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...
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