PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integracion numerica.

Objetivos: Aprender los metodos mas sencillos de integracion numerica y aplicarlos en diversosproblemas.

Formulas de cuadratura.

Sea f(x) una funcion continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo sera encontrar

formulas aproximadas para calcular la integral

∫ b

a

f(x) dx. En caso de conocer la primitiva F (x) es

evidente que podemos encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del

calculo integral:

∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo,

para la funcion f(x) = e−x2

no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funcioneselementales. En esta practica vamos a aprender tres metodos para calcular aproximadamente el valornumerico de las integrales definidas.

Formula de los rectangulos.

Una aproximacion de la integral

∫ b

a

f(x) dx consiste en aproximar el area bajo la curva y = f(x)

por un rectangulo de base b − a y altura f(

a+b2

)

(ver figura 1), entonces

∫ b

a

f(x) dx = (b − a)f

(

a + b

2

)

+ R(ξ), ξ ∈ [a, b], (1)

donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma

R(ξ) =(b − a)2

24f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (2)

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE LOS RECTANGULOS

a b

f FORMULA DE LOS RECTANGULOS

Figura 1: Aproximacion de una integral por el metodo de los rectangulos.

Ahora si queremos aproximar la integral

∫ b

a

f(x) dx con mejor exactitud podemos dividir el inter-

valo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la particion del intervalo

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],

donde

xk = a +b − a

nk, n = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.

De∫ b

a

f(x) dx =

∫ x1

a

f(x) dx + · · · +

∫ xk+1

xk

f(x) dx + · · · +

∫ b

xn−1

f(x) dx.

1

si aplicamos a cada integral

∫ xk+1

xk

f(x) dx la formula (1)obtenemos la ecuacion

∫ b

a

f(x) dx =b − a

n

n−1∑

k=0

f

(

xk + xk+1

2

)

+ R(ξ), (3)

y

|R(ξ)| ≤ M(b − a)2

24n2, M = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|. (4)

Problema 1 Utilizando las formulas (1) y (2) demostrar las formulas (3) y (4).

Problema 2 (Opcional) Prueba la formula (1) y (2) .

Formula de los trapecios.

Otra aproximacion de la integral

∫ b

a

f(x) dx consiste en aproximar el area bajo la curva y = f(x)

no por un rectangulo sino por un trapecio de base b − a (ver figura 2), entonces

∫ b

a

f(x) dx = (b − a)

(

f(a) + f(b)

2

)

+ R(ξ), (5)

donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma

R(ξ) = −(b − a)2

12f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (6)

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE LOS TRAPECIOS

a b

f FORMULA DE LOS TRAPECIOS

Figura 2: Aproximacion de una integral por el metodo de los trapecios.

Problema 3 Demostrar las formulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:

1. Demostrar que

∫ b

a

f ′′(x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)[f(a) + f(b)] + 2

∫ b

a

f(x) dx. (7)

2. Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que

∫ b

a

f ′′(x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)3

6f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]. (8)

3. Usando los dos apartados anteriores obten las formulas (5) y (6).

Ahora podemos aproximar la integral

∫ b

a

f(x) dx con mejor exactitud dividiendo, igual que antes,

el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la particion del intervalo

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],

2

donde

xk = a +b − a

nk, k = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.

Nuevamente,

∫ b

a

f(x) dx =

∫ x1

a

f(x) dx + · · · +

∫ xk+1

xk

f(x) dx + · · · +

∫ b

xn−1

f(x) dx,

y, por tanto, si aplicamos a cada integral

∫ xk+1

xk

f(x) dx la formula (1) obtenemos la expresion

∫ b

a

f(x) dx =b − a

2n

(

f(a) + f(b) + 2

n−1∑

k=1

f(xk)

)

+ R(ξ), (9)

donde

|R(ξ)| ≤ M(b − a)2

12n2, M = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|. (10)

Problema 4 Utilizando las formulas (5) y (6) demostrar las formulas (9) y (10).

Problema 5 (Opcional) Prueba la formula (5) y (6) .

Metodo de Simpson.

El metodo de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral

∫ b

a

f(x) dx de

la siguiente forma∫ b

a

f(x) dx = Af(a) + B f

(

a + b

2

)

+ C f(b) + R(ξ), (11)

donde A,B,C son tales que R(ξ) es igual a cero si f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2, respectivamente.Es decir si sustituimos en (11) la funcion f por cualquiera de las funciones f(x) = 1, f(x) = x of(x) = x2, la formula es exacta, o sea R(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el area debajo de f

por una parabola (ver figura 3)

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f AREA BAJO LA CURVA f

a b

f FORMULA DE SIMPSON

a b

f FORMULA DE SIMPSON

Figura 3: Aproximacion de una integral por el metodo de Simpson.

Problema 6 Sustituyendo f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2 en (11) encontrar un sistema de ecuacio-nes para las incognitas A,B,C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma

∫ b

a

f(x) dx =b − a

6f(a) +

4(b − a)

6f

(

a + b

2

)

+b − a

6f(b) + R(ξ). (12)

Si f es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrarque R(ξ) se expresa de la forma

R(ξ) =(b − a)5

2880f (4)(ξ), ξ ∈ [a, b]. (13)

3

Problema 7 Demostrar la formula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos.

1. Comprobar que la funcion F (x, t), con x = a+b2 , definida por

F (x, t) =

∫ x+t

x−t

f(ξ)dξ −t

3[f(x − t) + 4f (x) + f(x + t)] , (14)

es continua y tres veces diferenciable para todo t ∈ [0, b−a2 ], y F ′′′(x, t) = − t

3 [f ′′′(x+t)−f ′′′(x−t)],ademas F (x, 0) = F ′(x, 0) = F ′′(x, 0) = 0.

2. Probar que F ′′′(x, t) es tal que existen dos numeros reales m y M (¿quienes son dichos numeros?)tales que

2

3mt2 ≤ F ′′′(x, t) ≤

2

3Mt2,

y deducir de aquı que1

90mt2 ≤ F (x, t) ≤

1

90Mt5.

3. Finalmente, substituyendo t = b−a2 , deducir el resultado deseado.

Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral

∫ b

a

f(x) dx con mejor exactitud

dividiendo el intervalo [a, b] en 2n puntos de la forma

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [x2n−2, x2n−1] ∪ [x2n−1, b],

donde

xk = a +b − a

2nk, k = 0, 1, 2, ..., 2n, x0 = a, x2n = b.

Apliquemos ahora la formula de Simpson (12) para cada subintervalo [x2k, x2k+2], k = 0, 1, ..., n − 1,o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales

∫ b

a

f(x) dx =

∫ x2

a

f(x) dx + · · · +

∫ x2k+2

x2k

f(x) dx + · · · +

∫ b

x2n−2

f(x) dx.

y apliquemos el metodo de Simpson a cada uno de los sumandos. Notese que los intervalos siguenteniendo una longitud x2k+2 − x2k = b−a

nigual que antes. Esto nos conduce a la expresion

∫ b

a

f(x) dx =b − a

6n

(

f(a) + f(b) + 4n∑

k=1

f(x2k−1) + 2n−1∑

k=1

f(x2k)

)

+ R(ξ), (15)

donde

|R(ξ)| ≤ M(b − a)5

2880n4, M = max

x∈[a,b]|f (4)(x)|. (16)

Problema 8 Utilizando las formulas (12) y (13) demostrar las formulas (15) y (16).

Comparacion de los metodos de cuadratura de los rectangulos, los trapecios y de

Simpson.

Problema 9 Sea la funcion f(x) = cos x. Calcular la inegral

I =

∫ 1

2

0cosxdx,

utilizando las formulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto

∫ 1

2

0cos xdx = sin

1

2= 0,4794255386 . . .

Calcular una aproximacion de la integral cambiando la funcion f(x) por su polinomio de McLaurinde orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.

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Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral

I =

∫ 1

0f(x) dx f(x) =

sinx

x, x 6= 0

1, x = 0

por los metodos de de los rectangulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todosellos una particion del intervalo [0, 1] con n = 4 puntos. ¿Quien aproxima mejor?

Problema 11 (Opcional) Calcular la integral

I =

∫ 1

0e−x2

dx,

utilizando los metodos de de los rectangulos, los trapecios y de Simpson cuando n = 4. Comparar losresultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...

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