Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 26
D.Sc. Percy Huata Panca
PRUEBA DE HIPOTESIS
DIFERENCIA DE DOS MEDIAS MUESTRALES
Es una prueba estadstica aplicado a datos cuantitativos. La prueba de hiptesis que
involucra las diferencias entre las medias de dos muestras se utiliza con mas frecuencia
para determinar si es razonable o no concluir que las dos son distintas entre si. Se utiliza la
distribucin T (T-Student) cuando n=32.
EJEMPLO 1. De una muestra de 10 estudiantes se considera las siguientes calificaciones
obtenidas de una evaluacin (prueba de entrada) sobre conocimientos bsicos sobre el uso
y aplicacin del Plan Contable y luego de una capacitacin se volvi a evaluar (prueba de
salida). Determinar si existe diferencia en la prueba de entrada y salida para un nivel de
confianza del 95% (=0.05 nivel de significancia). Para as comprobar si la capacitacin tuvo
xito o no.
Nro. Dato PRUEBA
ENTRADA SALIDA
1 11 13
2 7 14
3 10 15
4 7 7
5 11 13
6 7 12
7 11 13
8 8 11
9 11 12
10 9 11
Promedio 9.2 12.1
Varianza 3.288888889 4.766666667
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D.Sc. Percy Huata Panca
1. PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS
Ho : A = B Ho : Promedio Prueba de entrada = Promedio Prueba de Salida (Hiptesis nula)
H1 : A B H1 : Promedio Prueba de entrada Promedio Prueba de Salida (Hiptesis alterna)
2. FIJAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( )
Se puede tomar diferentes niveles de significancia dependiendo con qu nivel de
confianza se concluir, el ms utilizado es = 0.05 (95 % de nivel de confianza)
3. REGLA DE DECISION UTILIZANDO (Tc= T calculada y Tt= T tabulada o de tabla)
si Tc > Tt Se rechaza la Ho y se Acepta la H1
4. CALCULO DE Tc SEGN LA FORMULA
Para este caso buscamos el valor de (Tt) T tabulada o T de tabla con (n=nA+nB=10+10=20)
n-2 = 20 - 2 = 18 g.l. (Grados de libertad) y ( = 0.05 5% Nivel de significancia).
Luego: Tt = T [18,0.05] = 2.1009 (18 g.l. y =0.05 95% de nivel de confianza)
5. DECISION: Como Tc = 3.231 > Tt =2.1009 , Entones Se rechaza la H0 y se Acepta la H1, esto
implica que SI EXISTE diferencia significativa entre estas dos evaluaciones, es decir que
la capacitacin tuvo un efecto positivo, para un nivel de significancia de 0,05 o para un
nivel de confianza del 95%.
NOTA: Si el caso fuera que Tc < Tt , Ocurre lo contrario es decir que se Aceptara la hiptesis
nula y se rechazara la hiptesis alterna, generalmente este caso no debe ocurrir en una
investigacin porque no estaramos demostrando la hiptesis alterna, lo que implicara
que la investigacin que se realiz no es beneficiosa ni satisfactoria para nuestros
objetivos.
3.23109888
10
766666666.4
10
288888888.3
1.122.9
22
B
B
A
A
BA
c
n
S
n
S
XXT
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EJEMPLO 2. De una muestra de 37 estudiantes se considera las siguientes calificaciones
obtenidas de una evaluacin (prueba de entrada) sobre conocimientos bsicos sobre el
uso y aplicacin del Plan Contable y luego de una capacitacin se volvi a evaluar
(prueba de salida) resultados que son presentados en la siguiente tabla. Determinar si
existe diferencia en la prueba de entrada y salida.
Para este caso en el contraste de las hiptesis se usa la prueba estadstica de la
distribucin normal (Z) porque n>=32
Nro.
EVALUACION
Nro.
EVALUACION
ENTRADA SALIDA ENTRADA SALIDA
Dato A B Dato A B
1 10 13 21 08 11
2 12 15 22 09 11
3 07 11 23 09 12
4 11 12 24 08 11
5 10 13 25 09 12
6 08 11 26 08 11
7 07 09 27 08 10
8 09 13 28 08 13
9 05 08 29 08 11
10 09 13 30 12 15
11 09 14 31 08 10
12 05 07 32 11 13
13 07 08 33 11 12
14 09 13 34 06 12
15 07 10 35 07 14
16 07 09 36 09 11
17 09 11 37 09 10
18 09 10 Promedio 08.59459 11.51351
19 08 12 Varianza 3.0255255 3.8123123
20 12 15
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1. PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS
Ho : A = B Ho : Promedio Prueba de entrada = Promedio Prueba de Salida (Hiptesis nula)
H1 : A B H1 : Promedio Prueba de entrada Promedio Prueba de Salida (Hiptesis alterna)
2. FIJAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( )
Se puede tomar niveles de significancia dependiendo con que nivel de confianza se
concluir, los ms utilizados son:
= 0.05 de nivel de significancia (95 % de nivel de confianza)
= 0.10 de nivel de significancia (90 % de nivel de confianza)
= 0.01 de nivel de significancia (99 % de nivel de confianza)
En funcin a este valor ( = 0.05) se busca en la tabla estadstica el valor de Zt = 1,96
3. REGLA DE DECISION UTILIZANDO
(Zc= Z calculada y Zt= Z tabulada o de tabla)
Si Zc > Zt Se rechaza la Ho (Hiptesis nula) y se Acepta la H1 (Hiptesis Alterna)
4. CALCULO DE Zc SEGN LA FORMULA
BUSQUEDA DE Zt DE TABLA CON nivel de significancia
si = 0.05 ==> Zt = Z0.05 = 1.96 (95% de nivel de confianza)
si = 0.10 ==> Zt = Z0.10 = 1.645 (90% de nivel de confianza)
si = 0.01 ==> Zt = Z0.01 = 2.575 (99% de nivel de confianza)
5. DECISION:
Como Zc = 6.7899 > Zt =1.96 , Se rechaza la Ho y se Acepta la H1, ENTONCES significa que SI EXISTE
diferencia significativa entre la evaluacin de entrada entrada y la evaluacin de salida para un
nivel de significancia 0.05; 0.10 y 0,01 un nivel de confianza del 95%, 90% y 99 %
respectivamente. Es decir que la capacitacin tuvo un efecto positivo.
56.78990182
37
8123123.3
37
0255255.3
51351.1159459.8
22
B
B
A
A
BA
c
n
S
n
S
XXZ
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 30
D.Sc. Percy Huata Panca
n
Y
Yn
X
X
n
YX
YX
rn
i
in
i
i
n
i
in
i
i
n
i
i
n
i
in
i
ii
2
1
1
2
2
1
1
2
11
1
21
2
r
nrTc
2
1 2
n
r
rZc
CORRELACIN DE PEARSON
Este indicador es utilizado para medir la relacin existente entre dos variables cuantitativas en
estudio. Se utiliza la distribucin T (T-Student) cuando n=32. Los pasos a seguir para este tipo de pruebas de hiptesis son los
siguientes:
PRUEBA de HIPTESIS.
Las hiptesis son planteadas del siguiente modo:
H0: 0 No existe grado de correlacin o dependencia entre las variables en estudio
H1: 0 Existe algn grado de correlacin o dependencia entre las variables en estudio
NIVEL de SIGNIFICANCIA.
Se usar un nivel significancia entre el 1 % y el 10 %, cuando no se precisa este nivel,
se asume un nivel de significancia del 5 % (Es el ms recomendado y es equivalente a
un 95% de nivel de confianza) , es decir = 0,05 y una Tt (T tabulada o de tabla) con n-
2 grados de libertad. (n es el nmero de datos sumado de las dos variables es decir
n=nA+nB)
PRUEBA ESTADSTICA.
Se usar la distribucin Tt con n-2 grados de libertad.
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Donde:
Tc : T calculada.
n : Tamao de muestra.
r : Coeficiente de correlacin.
Y : Variable dependiente.
X : Variable independiente.
REGLA DE DECISIN.
Si Tc > Tt. entonces se rechazar H0; Si Zc > Zt. entonces se rechazar H0,
CONCLUSIN.
Se compara el valor Tc (T calculado) es mayor que T (T tabulada o de tabla) se rechaza
la Ho y se acepta H1, esto significa que Existe algn grado de correlacin o
dependencia entre las variables en estudio.
Ejemplo 1:
Se tiene los siguientes resultados de la investigacin: FUNCIONALIDAD FAMILIAR Y
AUTOESTIMA EN LOS ESTUDIANTES DEL INSTITUTO SUPERIOR PEDAGOGICO PUBLICO
PUNO 2014, con una muestra de 10 estudiantes, determinar si existe o no algn grado
de correlacin o dependencia entre estas dos variables en estudio para un nivel de
significancias de 0.05
PRUEBA
FUNCIONALIDAD FAMILIAR ( Xi )
AUTOESTIMA ( Yi )
Xi * Yi Xi Yi
14 10 140 196 100
12 11 132 144 121
16 14 224 256 196
14 12 168 196 144
13 11 143 169 121
14 10 140 196 100
17 13 221 289 169
19 16 304 361 256
13 10 130 169 100
12 12 144 144 144
144 119 1746 2120 1451
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 32
D.Sc. Percy Huata Panca
2
11
2
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
YYnXXn
YXYXn
r
5.7596523880514353.01
22080514353.0
1
222
r
nrTc
80514353.0119)1451(10144)2120(10
)119)(144()1746(1022
r
1. PRUEBA de HIPTESIS.
H0: 0 No existe grado de correlacin o dependencia entre la autoestima y la funcionalidad
familiar. (HIPTESIS NULA)
H1: 0 Existe algn grado de correlacin o dependencia entre la autoestima y la
funcionalidad familiar. (HIPTESIS ALTERNA)
2. NIVEL de SIGNIFICANCIA.
= 0,05 (5%) nivel de significancia del equivalente a un 95% de nivel de confianza
3. PRUEBA ESTADSTICA.
Se usar la distribucin Tt (T tabulada o T de tabla) con n-2 grados de libertad.
Tt (18 G.L., =0.05) = 2.1009
4. REGLA DE DECISIN.
Si Tc > Tt. entonces se rechazar H0,
5. CONCLUSIN.
Como Tc = 5.75965238, es mayor que Tt = 2.1009, se rechaza la H0 (Hiptesis Nula) y se
acepta H1 (Hiptesis Alterna), esto significa que Existe algn grado de correlacin o
dependencia entre la autoestima y la funcionalidad familiar, para un nivel de confianza
de 95% con un nivel de significancia 5% 0.05.
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 33
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Ejemplo 2: Dada la siguiente informacin determinar si existe influencia significativa entre la
ACTITUD DOCENTE Y LA IMPLEMENTACIN DEL PROYECTO CURRICULAR REGIONAL en la IES
Industrial 32 Puno 2014
ACTITUD DOCENTE
IMP
LEM
ENTA
CIO
N
del
P.C
.R.
ACTITUD DOCENTE
IMP
LEM
ENTA
CIO
N
del
P.C
.R.
MO
TIV
AC
ION
AL
AFE
CTI
VA
CO
ND
UC
TUA
L
TOTA
L
MO
TIV
AC
ION
AL
AFE
CTI
VA
CO
ND
UC
TUA
L
TOTA
L
1 12 12 12 36 26 35 8 13 10 31 25
2 12 13 9 34 30 36 7 10 7 24 22
3 8 9 5 22 21 37 4 4 3 11 15
4 8 12 9 29 26 38 7 5 2 14 10
5 5 9 9 23 27 39 11 13 11 35 24
6 8 8 9 25 22 40 12 12 10 34 27
7 14 16 10 40 33 41 8 10 9 27 23
8 12 15 10 37 29 42 12 12 9 33 24
9 8 8 5 21 16 43 12 12 9 33 25
10 8 7 9 24 18 44 6 9 8 23 20
11 8 9 6 23 19 45 10 10 8 28 22
12 12 14 12 38 34 46 8 10 6 24 26
13 14 14 11 39 29 47 14 14 9 37 32
14 10 10 8 28 27 48 10 13 9 32 25
15 3 5 8 16 19 49 12 16 11 39 28
16 4 5 6 15 13 50 9 11 11 31 18
17 6 5 5 16 14 51 10 11 10 31 25
18 10 10 9 29 23 52 6 10 9 25 27
19 13 14 9 36 30 53 13 12 9 34 28
20 10 12 7 29 28 54 10 9 8 27 21
21 8 9 7 24 25 55 10 6 7 23 17
22 13 16 12 41 36 56 7 8 7 22 16
23 10 10 9 29 23 57 9 10 7 26 27
24 13 11 10 34 26 58 12 12 9 33 31
25 6 9 5 20 20 59 12 12 11 35 28
26 12 13 9 34 22 60 4 6 4 14 15
27 10 9 7 26 21 61 11 12 11 34 31
28 10 11 9 30 27 62 9 10 7 26 16
29 12 12 10 34 30 63 9 10 7 26 27
30 4 1 3 8 9 64 12 12 9 33 31
31 9 7 3 19 13 65 12 12 11 35 28
32 8 9 9 26 25 66 10 10 4 24 18
33 4 8 7 19 19 67 11 12 11 34 31
34 14 11 10 35 29
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 34
D.Sc. Percy Huata Panca
n
Y
Yn
X
X
n
YX
YX
rn
i
in
i
i
n
i
in
i
i
n
i
i
n
i
in
i
ii
2
1
1
2
2
1
1
2
11
1
1. PRUEBA de HIPTESIS.
H0: 0 No Existe influencia significativa entre la ACTITUD DOCENTE Y LA
IMPLEMENTACIN DEL PROYECTO CURRICULAR REGIONAL en la IES
Industrial 32 Puno 2013.
Ha: 0 Si Existe influencia significativa entre la ACTITUD DOCENTE Y LA
IMPLEMENTACIN DEL PROYECTO CURRICULAR REGIONAL en la IES
Industrial 32 Puno 2013.
2. NIVEL de SIGNIFICANCIA.
Se us un nivel de significancia = 0,05. Que es equivalente a 95% de nivel de
confianza. Cuyo valor de tabla de la Distribucin Normal es Set = 1.96
4. PRUEBA ESTADSTICA.
Se calcul el coeficiente de correlacin mediante la siguiente formula con los datos
del anexo 01:
r = 0,856659868747961
Donde:
n : Tamao de muestra.
r : Coeficiente de correlacin.
Y : Variable dependiente.
X : Variable independiente.
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 35
D.Sc. Percy Huata Panca
2
1 2
n
r
rZc
Para contrastar las hiptesis se us la distribucin Normal: para la Zt con n-2 grados
de libertad (Extrada de la tabla estadstica). Y la Zc se calcula con la siguiente
frmula:
Zc = 19,0785477731842
Donde:
Zc : Z calculada.
n : Tamao de muestra.
r : Coeficiente de correlacin.
5. REGLA DE DECISIN.
Si Zc > Zt. Entonces se rechazar H0,
Como Zc = 19,07855 > Zt = 1.96, Entonces se Rechaza la H0., Es decir que Si Existe
influencia significativa entre la ACTITUD DOCENTE Y LA IMPLEMENTACIN DEL
PROYECTO CURRICULAR REGIONAL en la IES Industrial 32 Puno 2013, Para un
nivel de significancia = 0,05 para un 95% de nivel de confianza.
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 36
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PRUEBA DE DIFERENCIA DE 2 A MAS TRATAMIENTOS (PRUEBA F de
Fisher)
1) PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS
H0: (No existe diferencia entre las variables en estudio).
H1: (Existe diferencia entre las variables en estudio).
2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA
= 0,05 nivel de significancia (1-=1-0,05=0,95==> 95% de nivel de confianza)
= 0,10 nivel de significancia (1-=1-0,10=0,90==> 90% de nivel de confianza)
= 0,01 nivel de significancia (1-=1-0,01=0,99==> 99% de nivel de confianza)
3) REGLA DE INFERENCIA:
si Fc > F[t-1,t(r-1)], Se rechaza la Ho
t=2 = NRO DE VARIABLES , r=NRO DATOS
4) ANDEVA (Anlisis de Varianza)
Fuentes de Variabilidad G.L. S.C. C.M. Fc.
Entre Tratamientos t-1
Dentro Trat.(Err.Exp) t(r-1)
TOTAL tr-1
Opcional
SC error = SC tot - SC trat
CM trat = SC trat / GL tat
CM error = SC error / GL error
Fc = CM trat / CM error
5) DECISION
Si se comprueba que el valor Fc (F calculado), es mayor que Ft (F tabulada o de tabla) se rechaza
la H0 (Hiptesis Nula) y se acepta H1 (Hiptesis Alterna), esto significa que Existe diferencia entre
las variables en estudio. En caso contrario se acepta la Ho (Hiptesis Nula) lo que significara
r
iXXErrorSC ij
..
2
2
rt
X
r
iXtratSC
.....
22
rt
XXtotSC ij
...
22
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 37
D.Sc. Percy Huata Panca
que No Existe diferencia entre las variables en estudio. Todo ello con un nivel de confianza de
95%, 90% 99%, segn el (nivel de significancia) utilizado.
Ejemplo:
SE TIENE LOS SIGUIENTES RESULTADOS DE UNA EVALUACION APLICADA A 10 ESTUDIANTES
SOBRE CULTURA GENERAL(Evaluacin de entrada) Y LUEGO DE UNA CAPACITACION(Evaluacin
de salida), DETEMINAR SI EXISTE O NO DIFERENCIA SIGNIFICTIVA ENTRE ESTAS PRUEBAS EN
ESTUDIO PARA UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA DE 0.05
PRUEBA
ENTRADA
(Xi)
SALIDA
(Yi) Xi * Yi Xi Yi
10 14 140 100 196
11 12 132 121 144
14 16 224 196 256
12 14 168 144 196
11 13 143 121 169
10 14 140 100 196
13 17 221 169 289
16 19 304 256 361
10 13 130 100 169
12 12 144 144 144
119 144 1746 1451 2120
X.. = 119+144=263 t = 2
X2ij = 1451+2120=3571 r = 10
1) PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS
H0: No existe diferencia entre la Evaluacin de entrada y la Evaluacin de salida.
H1: Si existe diferencia entre la Evaluacin de entrada y la Evaluacin de salida.
2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 38
D.Sc. Percy Huata Panca
= 0,05 y/o 0,01 nivel de significancia
3) REGLA DE INFERENCIA:
si Fc > F[t-1,t(r-1)], Se rechaza la Ho
F tabulada (de tabla)
F[1,18],0.05 = 4,413863
F[1,18],0.01 = 8,285497
4) ANLISIS DE VARIANZA
ANDEVA
Fuentes de Variabilidad G.L. S.C. C.M. Fc.
Entre Tratamientos 1 31.25 31.25 6.918819188
Dentro Trat.(Err.Exp) 18 81.3 4.516666667
TOTAL 19 112.55
5) DECISION:
Como Fc =6.919 > Ft, 0,05 = 4,414 Entonces, Se rechaza la H0, para un nivel de sig. 0,05,
aceptndose H1, es decir que EXISTE diferencia entre la PRUEBA DE ENTRADA Y LA PRUEBA DE
SALIDA, para nivel de confianza del 95%, Sin embargo como Fc=6.919 < Ft, 0,01 = 8,2855 NO
EXISTE diferencia entre la autoestima y la funcionalidad familiar para un nivel de confianza del
99%
rt
XXtotSC ij
...
22
rt
X
r
iXtratSC
.....
22
55.112)2(10
2633571.
2
totSC25.31)2(10
263
10
144119..
222
tratSC
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 39
D.Sc. Percy Huata Panca
Ejemplo: Supongamos que una compaa manufacturera ha comprado 03 mquinas
(A1, A2 y A3) de produccin de diferentes marcas se desea determinar si una de ellas
es ms rpida que las otras al producir un cierto bien. Se observa los resultados de 5
hrs. de produccin en forma aleatoria para cada mquina y se obtiene los siguientes
resultados, Probar si existe diferencias entre las 3 mquinas para un nivel de
significancia = 0.05
REPETICIONES
Tratamientos 1 2 3 4 5 Xi. Prom.Xi Sum Xi.^2 X2i.
A1 25 30 36 38 31 160 32 5226 25600
A2 31 39 38 42 35 185 37 6915 34225
A3 24 30 28 25 28 135 27 3669 18225
SUM 480 15810 78050
1. Planteamiento de hiptesis:
Ho (Hiptesis nula) : A1 = A2 = A3
H1 (Hiptesis alterna) : al menos alguno es diferente
2. Nivel de significancia:
= 0,05 nivel de significancia 95% de nivel de confianza
3. Prueba Estadstica:
Se establece el punto y la regin crtica o regin de rechazo o aceptacin
Si Fc > F[t-1,t(r-1)], Se rechaza la Ho
F[2,12],0.05 = 3.88529
t = 3
ANVA (Anlisis de varianza) r = 5
Fuentes de Variabilidad G.L. S.C. C.M. Fc.
Entre Tratamientos t-1 2 250 125 7.5
Dentro Trat.(Error Exp.) t(r-1) 12 200 16.6666667
TOTAL tr-1 14 450
450)3(5
48015810
...
222
rt
XXtotSC ij
250)3(5
480
5
135185160.....
222222
rt
X
r
iXtratSC
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 40
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SC error = SC tot - SC trat
CM trat = SC trat / GL trat
CM error = SC error / GL error
Fc = CM trat / CM error
5. DECISION
Como Fc = 7.5 > Ft =3.88529, Se rechaza la Ho y se acepta la Hiptesis alterna (H1)
Esto implica que al menos alguna marca de las maquinas tiene diferente produccin
despus de 5 hrs. para un nivel de significancia 0,05 un nivel de confianza del 95%
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LA DISTRIBUCIN JI-CUADRADO
La distribucin ji-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadstica, por
ejemplo en la denominada prueba utilizada como prueba de independencia y como
prueba de bondad de ajuste y en la estimacin de varianzas. Tambin est involucrada
en el problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida y en el
problema de estimar la pendiente de una recta de regresin lineal, a travs de su papel
en la distribucin t de Student, y participa en todos los problemas de anlisis de
varianza, por su papel en la distribucin F de Snedecor, que es la distribucin del
cociente de dos variables aleatorias de distribucin ji-cuadrado e independientes.
La distribucin Ji cuadrada se utiliza para establecer la relacin de dos variables
cualitativas
Ejemplo 1. La pregunta de investigacin es si el aprovechamiento en matemtica est
relacionado con el gnero. Una variable es gnero (Varones y mujeres) y la otra variable
es el aprovechamiento (Nivel bajo, Nivel normal y Nivel alto). La tabla de contingencia
presenta las frecuencias observadas.
NIVEL de APROVECHAMIENTO Total
GENERO Bajo Normal Alto
Varones 47 38 29 114
Mujeres 41 21 9 71
Total 88 59 38 185
Si el aprovechamiento en matemtica no est relacionado con el gnero se espera el
mismo porcentaje de Varones que de mujeres en cada nivel de la variable
aprovechamiento. La tabla de frecuencias esperadas es:
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 42
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e
eoc
f
ffx
22 )(
Nivel Bajo Nivel Normal Nivel Alto Total
Varones (88)(114)/185 (59)(114)/185 (38)(114)/185 114
Mujeres (88)(71)/185 (59)(71)/185 (38)(71)/185 71
Total 88 59 38 185
Nivel Bajo Nivel Normal Nivel Alto Total
Varones 54.227027 36.3568 23.4162 114
Mujeres 33.772973 22.6432 14.5838 71
Total 88 59 38 185
(Es importante observar que los totales no cambian). La frecuencia esperada se
encuentra en la segunda tabla.
Es posible decir que mientras ms cercanas sean las frecuencias observadas (fo) a las
frecuencias esperadas, ms seguro se puede estar de que el gnero y el
aprovechamiento son independientes uno de otro. En otras palabras, es posible esperar
los mismos porcentajes de Varones que de mujeres en cada nivel de la variable
aprovechamiento. La frmula que indica cuanto se parecen las frecuencias esperadas a
las observadas es la estadstica x2.
La frmula para hallar la Chi cuadrada (X2) calculada es:
fo fe fo - fe (fo - fe)2 (fo - fe)2/fe
47 54.2270 -7.2270 52.2299 0.9632
38 36.3568 1.6432 2.7002 0.0743
29 23.4162 5.5838 31.1786 1.3315
41 33.7730 7.2270 52.2299 1.5465
21 22.6432 -1.6432 2.7002 0.1193
9 14.5838 -5.5838 31.1786 2.1379
185 185 Ji-cuadrada ==> 6.172590369
LUEGO DECIMOS QUE : X2 (Calculada) = 6.172590369
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Para determinar si esta estadstica es demasiado grande se utiliza la tabla de la
distribucin. Si cae en la zona de rechazo, la conclusin es que las dos variables estn
relacionadas
X2 (TABULADA) = X2(n-1)(m-1),0.05= X2(3-1)(2-1),0.05= X22, 0.05=5.9915
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA JI CUADRADA
1) Prueba de Hiptesis:
Ho: No hay relacin o asociacin entre el gnero y el aprovechamiento en
matemticas en la poblacin.
H1: SI hay relacin o asociacin entre el gnero y el aprovechamiento en
matemticas en la poblacin.
2) Nivel de significacin ; = 0.05 (5% de nivel de significancia) equivalente a 95%
de nivel de confianza.
3) Prueba estadstica:
Se utiliza la prueba X2 (Chi cuadrada) de independencia con (n-1)(m-1) grados de
libertad donde n es el nmero de columnas y m el nmero de filas. Valores crticos para
las zonas de rechazo y de no rechazo. En este caso X2 para = 0.05 y 2 g.l., el valor
crtico es 5.9915.
4) Decisin:
Como X2C =6.172590369 X2t =5.9915, Entonces se rechaza Ho (hiptesis nula). Esto
significa que el aprovechamiento en matemticas est RELACIONADO con el gnero
para un nivel de significancia de =0.05 ( 95% de nivel de confianza).
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 44
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REGRESIN LINEAL
GENERALIDADES.
La palabra Regresin proviene del latn regresio: regreso, vuelta, retroceso.
En nuestro entorno encontramos muchos eventos que estn relacionados entre
s, en trminos de dos o ms variables, como por ejemplo: la metodologa de
enseanza influye en el nivel de rendimiento acadmico del alumno.
Los datos univariantes se presentan cuando en una poblacin o muestra se mide
slo una variable en cada uno de los individuos o sujetos que integran el
conjunto bajo estudio. Los datos bivariantes se presentan cuando en una
poblacin o muestra se miden simultneamente dos variables en cada uno de
los individuos o sujetos que integran el conjunto o subconjunto bajo estudio.
Algunos ejemplos de datos variantes son: la estatura y el peso de varones
adultos, el coeficiente de inteligencia y el rendimiento acadmico de los
alumnos.
Como ejemplo de datos bivariantes tenemos:
POSIBLES RELACIONES BIVARIANTES
Variable 1 (X) Variable 2 (Y)
Horas de estudio
Edad
Clima
Habilidad verbal
Nmero de hijos en la familia
Coeficiente de inteligencia
Nmero de hermanos
Estado emocional
Alimentacin
Dilogo con los padres
Rendimiento acadmico
Peso
Produccin de quinua
Calificacin en un examen
Consumo familiar
Rendimiento acadmico
Consumo familiar
Aprendizaje
Rendimiento fsico
Personalidad del nio
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Regresin Lineal Simple.
El anlisis de regresin se encarga de descubrir la relacin funcional entre dos o
ms variables. Cuando se estudian solamente dos variables la metodologa a
utilizar se conoce como anlisis de regresin simple, en tanto que si se trata de
tres o ms variables el anlisis regresional es mltiple. El anlisis de regresin
puede ser lineal o no lineal.
Anlisis de regresin lineal.
Es la relacin que existe entre dos variables, la misma que est definida en una
funcin expresada en trminos de una ecuacin de una lnea recta, tal como se
muestra en el siguiente grfico:
Anlisis de regresin no lineal.
Es la relacin que existe entre dos variables, la misma que est definida por una
ecuacin polinomial de grado avanzado. Estas ecuaciones no lineales producen
curvas cuadrticas, hiperblicas, parablicas, cbicas, etc., tal como se muestra
en el siguiente grfico:
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Modelo Regresional.
La variable Y se conoce como la variable dependiente, endgena o predicha, en
tanto que la variable X es llamada variable independiente, exgena o predictora.
La magnitud de Y depende de la magnitud de X, y por lo tanto puede predecirse
en base al valor que asuma la variable independiente.
El anlisis regresional permite expresar la relacin entre las variables X y Y
mediante una ecuacin matemtica.
El modelo matemtico poblacional esta representado por:
iii XY
Donde:
: Parmetro poblacional, intercepto
: Parmetro poblacional, pendiente de la recta
Yi : Variable dependiente
Xi : Variable independiente
i : Error poblacional
El modelo matemtico muestral est representado por: iii eXY
Donde:
: Estimador muestral, intercepto
: Estimador muestral, pendiente de la recta
Yi : Variable dependiente
Xi : Variable independiente
ei : Error muestral
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El modelo estimado de la recta de regresin muestral se define del siguiente
modo: ii XY
Donde: iii YYe
En la expresin anterior y son los coeficientes de regresin, son valores
desconocidos que debern ser determinados matemticamente. Cuando se
estiman los valores de los coeficientes de regresin, es posible calcular los
valores predictivos de Y para determinados valores de X, mediante la sustitucin
apropiada en la ecuacin de regresin muestral.
Esta ecuacin de regresin sera el medio de prediccin que se usara para
predecir los valores de Y correspondientes a los valores de X. Grficamente se
representa del siguiente modo:
Para estudiar la regresin de Y en X contamos con el modelo de regresin lineal
simple que se basa en los siguientes supuestos.
a) La variable independiente X tiene valores que son preestablecidos por el equipo
de investigadores. Esto implica que solamente Y, la variable dependiente, es una
variable aleatoria y que X no vara aleatoriamente sino que est bajo el control
de los investigadores.
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b) El valor de la variable aleatoria Y depende en cierto grado del valor de la variable
independiente X.
c) La relacin que media entre X e Y se puede describir adecuadamente mediante
una ecuacin lineal cuya representacin geomtrica es una lnea recta. Los
valores paramtricos de la variable Y son funcin de la variable X.
En el estudio de modelos de regresin se presentan dos casos:
1. Recta ascendente (creciente)
En este tipo de modelo de regresin, se observa que ambas variables tienen
una relacin directa, es decir si una variable aumenta la otra tambin
aumenta y si una variable disminuye la otra tambin disminuye.
Como por ejemplo:
X : Horas dedicadas al estudio
Y : Rendimiento acadmico
La grfica tiene la siguiente forma:
Este grfico se puede entender del siguiente modo: Mientras el alumno le
dedique menos horas al estudio, su rendimiento ser deficiente; pero si el
alumno le dedica ms horas al estudio, su rendimiento ser satisfactorio o
mejor.
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 49
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XY
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
XXn
YXYXn
1
2
1
2
1 1 1
2. Recta descendente (decreciente)
En este tipo de modelo de regresin, se observa que ambas variables tienen
una relacin inversa, es decir si una variable aumenta la otra disminuye y si
una variable disminuye la otra aumenta.
Como por ejemplo:
X : Horas dedicadas al vicio
Y : Rendimiento acadmico
La grfica tiene la siguiente forma:
Este grfico se puede entender del siguiente modo: Mientras el alumno le
dedique menos horas al vicio, su rendimiento ser satisfactorio; pero si el
alumno le dedica ms horas al vicio, su rendimiento ser deficiente o peor.
Determinacin de la ecuacin de regresin.
La regresin entre dos variables cuantitativas debe ser definida usando mtodos
que ofrezcan mayor precisin que la ofrecida mediante la utilizacin de los
diagramas de dispersin.
Los estimadores del modelo de regresin son los siguientes:
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Ejemplo 01:
Los siguientes datos muestran los gastos invertidos en publicidad
(en miles de soles) (Xi) y las ventas obtenidas (en cientos) de vehculos (Yi)
de 7 tiendas sucursales del Per. Hallar el modelo de regresin lineal y Estimar
la venta de vehculos para cuando una Empresa invierta
S/.8000 y S/.10000. en gastos de publicidad.
Nro. Gastos.(X) Venta de(Y)
1 4 2,5
2 5 3,2
3 7 7,5
4 9 8,4
5 12 10,2
6 15 14,5
7 18 19,8
a) Estimando el modelo de regresin lineal.
Para encontrar el modelo se realizar los siguientes clculos:
Nro. X Y Xi*Yi Xi Y.est (Yest. - Yprom.) (Yi - Yprom.)
1 4 2,5 10 16 2,51358885 48,01475907 48,20326531
2 5 3,2 16 25 3,668466899 33,34358269 38,97326531
3 7 7,5 52,5 49 5,978222997 12,00368977 3,774693878
4 9 8,4 75,6 81 8,287979094 1,333743308 1,08755102
5 12 10,2 122,4 144 11,75261324 5,33497323 0,573265306
6 15 14,5 217,5 225 15,21724739 33,34358269 25,57469388
7 18 19,8 356,4 324 18,68188153 85,35957168 107,2704082
Tot. 70 66,1 850,4 864 66,1 218,7339024 225,4571429
Prom. 10 9,44285714
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n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
XXn
YXYXn
1
2
1
2
1 1 1
1,15487805)70()864(7
)1,66)(70()4,850(72
Calculando el estimador tenemos:
Calculando el estimador tenemos:
XY
105923345.27
70)154778049.1(
7
1,66
Entonces la ecuacin de regresin lineal es:
i = -2.105923345 + 1,154878049 Xi
Este modelo nos servir para hacer las predicciones de las ventas obtenidas (en
cientos de soles) de vehculos (Y) para los diferentes gastos invertidos (en miles de
soles) (X).
Al interpretar estos resultados es conveniente recordar que la razn esencial que
motiv el clculo de la ecuacin de regresin es poder usar esta para establecer
estimados o proyecciones de los valores de la variable dependiente Y. As por
ejemplo podra interesarnos predecir el valor de Y asociado con un valor particular
de X.
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 52
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Estimar la venta de vehculos para cuando una Empresa invierta S/.8000 y
S/.10000. en gastos de publicidad..
Para responder a esta pregunta, se requiere la sustitucin del valor de X = 8 y 10
respectivamente en los trminos de la ecuacin de regresin.
i = -2.105923345 + 1,154878049 Xi
8 = 7,133101045
10 = 9,442857143
Se estima que la venta de vehculos para cuando una Empresa invierta S/.8000 en
gastos de publicidad, obtendr una venta de 713 vehculos, con un coeficiente de
determinacin de 97,02%
Se estima que la venta de vehculos para cuando una Empresa invierta S/.10000 en
gastos de publicidad, obtendr una venta de 944 vehculos, con un coeficiente de
determinacin de 97,02%
NOTA:
Para realizar la prediccin, es necesario cumplir las siguientes condiciones:
El coeficiente de correlacin(r =(R2)1/2), sea mayor o igual a 0,80.
El error estndar del estimador que sea cercano a cero.
Que se cumplan los supuestos del anlisis de regresin.
Coeficiente de Determinacin (R2).
R2 nos indica la cantidad de mejoramiento en trminos de reduccin del error total
gracias al uso de la recta de regresin y se dice que mide la bondad de ajuste. R2
Representa la reduccin relativa de la suma de cuadrados total gracias al uso de la
recta de regresin. Por Ejemplo si: R2 = 0,80 significa que hubo con una reduccin
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 53
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del 80% de la suma de cuadrados total. Si R2 =1 indica que la reduccin de la suma
de cuadrados del error total fue del 100%. Lo que nos dice que el error Yi - iY = 0,
para todo i y que todos los puntos estn sobre la recta de regresin.
En las siguientes grficas se muestra diferentes valores del coeficiente de
determinacin:
R2 = 1 0,8 R2 < 1
0,5 R2 < 0,8 0,3 R2 < 0,5
0 < R2 < 0,3 R2 = 0
totalerrordecuadradosdesumalicadoerrordecuadradosdesuma
Yy
Yy
Rn
i
i
n
i
i
_____
exp_____
1
2
1
2
2
Donde : 0 R2 1
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 54
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De nuestro ejemplo:
%02,97970179519,0
9225,457142
4218,733902
1
2
1
2
2
n
i
i
n
i
i
Yy
Yy
R
Observamos que hay una bondad de ajuste (de la recta de regresin con los datos
originales) del 97,02% lo que implica que el ajuste es muy bueno.
Ejemplo 02.
Los siguientes datos corresponden al tiempo de estudio en hrs. (Xi) empleado
semanalmente por 10 estudiantes y el reflejo de sus respectivas calificaciones (Yi)
obtenidas en una Escuela Profesional de la Universidad. Hallar el modelo lineal y
estimar para cuando se estudie 5 y 15 hrs., Cules seran las calificaciones que
pueden obtener?
Nro. Hrs.(X) Calific.(y)
1 6 10
2 6 10
3 7 10
4 7 10
5 8 12
6 9 12
7 9 13
8 12 14
9 12 16
10 14 18
Tot. 90 125
Prom. 9 12,5
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n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
XXn
YXYXn
1
2
1
2
1 1 1
971428571,0)90()880(10
)125)(90()1193(102
Procediendo con los clculos:
Nro. Hrs.(X) Calific.(y) Xi * Yi Xi Y.est (Yest. - Yprom.) (Yi - Yprom.)
1 6 10 60 36 9,585714286 8,493061224 6,25
2 6 10 60 36 9,585714286 8,493061224 6,25
3 7 10 70 49 10,55714286 3,774693878 6,25
4 7 10 70 49 10,55714286 3,774693878 6,25
5 8 12 96 64 11,52857143 0,943673469 0,25
6 9 12 108 81 12,5 0 0,25
7 9 13 117 81 12,5 0 0,25
8 12 14 168 144 15,41428571 8,493061224 2,25
9 12 16 192 144 15,41428571 8,493061224 12,25
10 14 18 252 196 17,35714286 23,59183673 30,25
Tot. 90 125 1193 880 125 66,05714286 70,5
Calculando el estimador tenemos:
Calculando el estimador tenemos:
XY
73,75714285)9)(971428571,0(5,12
Entonces la ecuacin de regresin lineal es:
i = 3,757142857 + 0,971428571 Xi
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 56
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0,93698075
1
2
1
2
2
n
i
i
n
i
i
YY
YY
R
Este modelo nos servir para hacer las predicciones para las calificaciones que
puedan obtener (Y) segn el tiempo de estudio empleado semanalmente (X).
Coeficiente de Determinacin:
Estimar la calificacin de los estudiantes para cuando el estudiante emplee 5 y 15 hrs.
De estudio
Para responder a esta pregunta, se requiere la sustitucin del valor de Xi = 5 y 15
respectivamente en los trminos de la ecuacin de regresin.
i = 3,757142857 + 0,971428571 Xi
5 = 8,614285714
15 = 18,32857143
Se estima que, cuando un estudiante emplea solo 5 horas de estudio semanalmente
obtendra una calificacin aproximada de 8,61, con un coeficiente de determinacin
de 93,70%
Se estima que, cuando un estudiante emplea solo 15 horas de estudio
semanalmente obtendra una calificacin aproximada de 18,33, con un coeficiente
de determinacin de 93,70%
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 57
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TABLA ESTADISTICA: Distribucin t-student (dos colas)
Para (nivel de significancia) para un nivel de confianza del (1- )100%.
= nivel de significancia = nivel de significancia
g.l. 0,1 0,05 0,025 0,01 g.l. 0,1 0,05 0,025 0,01
1 6,314 12,706 33,821 63,656 51 1,6753 2,0076 2,3095 2,6757
2 2,92 4,3027 6,2054 9,925 52 1,6747 2,0066 2,3082 2,6737
3 2,3534 3,1824 4,1765 5,8408 53 1,6741 2,0057 2,3069 2,6718
4 2,1318 2,7765 3,4954 4,6041 54 1,6736 2,0049 2,3056 2,67
5 2,015 2,5706 3,1634 4,0321 55 1,673 2,004 2,3044 2,6682
6 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 56 1,6725 2,0032 2,3033 2,6665
7 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 57 1,672 2,0025 2,3022 2,6649
8 1,8595 2,306 2,7515 3,3554 58 1,6716 2,0017 2,3011 2,6633
9 1,8331 2,2622 2,685 3,2498 59 1,6711 2,001 2,3 2,6618
10 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 60 1,6706 2,0003 2,299 2,6603
11 1,7959 2,201 2,5931 3,1058 61 1,6702 1,9996 2,2981 2,6589
12 1,7823 2,1788 2,56 3,0545 62 1,6698 1,999 2,2971 2,6575
13 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 63 1,6694 1,9983 2,2962 2,6561
14 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 64 1,669 1,9977 2,2954 2,6549
15 1,7531 2,1315 2,4899 2,9467 65 1,6686 1,9971 2,2945 2,6536
16 1,7459 2,1199 2,4729 2,9208 66 1,6683 1,9966 2,2937 2,6524
17 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 67 1,6679 1,996 2,2929 2,6512
18 1,7341 2,1009 2,445 2,8784 68 1,6676 1,9955 2,2921 2,6501
19 1,7291 2,093 2,4334 2,8609 69 1,6672 1,9949 2,2914 2,649
20 1,7247 2,086 2,4231 2,8453 70 1,6669 1,9944 2,2906 2,6479
21 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 71 1,6666 1,9939 2,2899 2,6469
22 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 72 1,6663 1,9935 2,2892 2,6458
23 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 73 1,666 1,993 2,2886 2,6449
24 1,7109 2,0639 2,391 2,797 74 1,6657 1,9925 2,2879 2,6439
25 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 75 1,6654 1,9921 2,2873 2,643
26 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 76 1,6652 1,9917 2,2867 2,6421
27 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 77 1,6649 1,9913 2,2861 2,6412
28 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 78 1,6646 1,9908 2,2855 2,6403
29 1,6991 2,0452 2,3638 2,7564 79 1,6644 1,9905 2,2849 2,6395
30 1,6973 2,0423 2,3596 2,75 80 1,6641 1,9901 2,2844 2,6387
31 1,6955 2,0395 2,3556 2,744 81 1,6639 1,9897 2,2838 2,6379
32 1,6939 2,0369 2,3518 2,7385 82 1,6636 1,9893 2,2833 2,6371
33 1,6924 2,0345 2,3483 2,7333 83 1,6634 1,989 2,2828 2,6364
34 1,6909 2,0322 2,3451 2,7284 84 1,6632 1,9886 2,2823 2,6356
35 1,6896 2,0301 2,342 2,7238 85 1,663 1,9883 2,2818 2,6349
36 1,6883 2,0281 2,3391 2,7195 86 1,6628 1,9879 2,2813 2,6342
37 1,6871 2,0262 2,3363 2,7154 87 1,6626 1,9876 2,2809 2,6335
38 1,686 2,0244 2,3337 2,7116 88 1,6624 1,9873 2,2804 2,6329
39 1,6849 2,0227 2,3313 2,7079 89 1,6622 1,987 2,28 2,6322
40 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 90 1,662 1,9867 2,2795 2,6316
41 1,6829 2,0195 2,3267 2,7012 91 1,6618 1,9864 2,2791 2,6309
42 1,682 2,0181 2,3246 2,6981 92 1,6616 1,9861 2,2787 2,6303
43 1,6811 2,0167 2,3226 2,6951 93 1,6614 1,9858 2,2783 2,6297
44 1,6802 2,0154 2,3207 2,6923 94 1,6612 1,9855 2,2779 2,6291
45 1,6794 2,0141 2,3189 2,6896 95 1,6611 1,9852 2,2775 2,6286
46 1,6787 2,0129 2,3172 2,687 96 1,6609 1,985 2,2771 2,628
47 1,6779 2,0117 2,3155 2,6846 97 1,6607 1,9847 2,2767 2,6275
48 1,6772 2,0106 2,3139 2,6822 98 1,6606 1,9845 2,2764 2,6269
49 1,6766 2,0096 2,3124 2,68 99 1,6604 1,9842 2,276 2,6264
50 1,6759 2,0086 2,3109 2,6778 100 1,6602 1,984 2,2757 2,6259
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 58
D.Sc. Percy Huata Panca
TABLA ESTADSTICA DE LA DISTRIBUCIN CHI CUADRADO Ejemplo: si tenemos una tabla de contingencia de 2 filas y 5 columnas entonces los grados de libertad serian (2-1)(5-1)=1*4=4 g.l. Entonces el dato de la Chi Cuadrada Calculada con un =0.05 y 4 g.l. Es = 9,4877
Nivel de significancia Nivel de significancia
gl 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 gl 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 51 64.2954 68.6693 72.616 77.386 80.7465
2 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965 52 65.4224 69.8322 73.8099 78.6156 82.0006
3 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381 53 66.5482 70.9934 75.0019 79.8434 83.2525
4 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602 54 67.6728 72.1532 76.1921 81.0688 84.5018
5 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 55 68.7962 73.3115 77.3804 82.292 85.7491
6 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475 56 69.9185 74.4683 78.5671 83.5136 86.994
7 12.017 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777 57 71.0397 75.6237 79.7522 84.7327 88.2366
8 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549 58 72.1598 76.7778 80.9356 85.9501 89.477
9 14.6837 16.919 19.0228 21.666 23.5893 59 73.2789 77.9305 82.1174 87.1658 90.7153
10 15.9872 18.307 20.4832 23.2093 25.1881 60 74.397 79.082 83.2977 88.3794 91.9518
11 17.275 19.6752 21.92 24.725 26.7569 61 75.5141 80.2321 84.4764 89.5912 93.1862
12 18.5493 21.0261 23.3367 26.217 28.2997 62 76.6302 81.381 85.6537 90.8015 94.4185
13 19.8119 22.362 24.7356 27.6882 29.8193 63 77.7454 82.5287 86.8296 92.0099 95.6492
14 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194 64 78.8597 83.6752 88.004 93.2167 96.8779
15 22.3071 24.9958 27.4884 30.578 32.8015 65 79.973 84.8206 89.1772 94.422 98.1049
16 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671 66 81.0855 85.9649 90.3488 95.6256 99.3303
17 24.769 27.5871 30.191 33.4087 35.7184 67 82.1971 87.108 91.5193 96.8277 100.5538
18 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564 68 83.3079 88.2502 92.6885 98.0283 101.7757
19 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821 69 84.4179 89.3912 93.8565 99.2274 102.9961
20 28.412 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969 70 85.527 90.5313 95.0231 100.4251 104.2148
21 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009 71 86.6354 91.6703 96.1887 101.6214 105.4323
22 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957 72 87.7431 92.8083 97.353 102.8163 106.6473
23 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814 73 88.8499 93.9453 98.5162 104.0098 107.8619
24 33.1962 36.415 39.3641 42.9798 45.5584 74 89.9561 95.0815 99.6784 105.2019 109.0742
25 34.3816 37.6525 40.6465 44.314 46.928 75 91.0615 96.2167 100.8393 106.3929 110.2854
26 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898 76 92.1662 97.351 101.9992 107.5824 111.4954
27 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.645 77 93.2702 98.4844 103.1581 108.7709 112.7037
28 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936 78 94.3735 99.617 104.3159 109.9582 113.9107
29 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355 79 95.4762 100.7486 105.4727 111.144 115.1163
30 40.256 43.773 46.9792 50.8922 53.6719 80 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 116.3209
31 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 55.0025 81 97.6796 103.0095 107.7834 113.5123 117.524
32 42.5847 46.1942 49.4804 53.4857 56.328 82 98.7803 104.1387 108.9373 114.6948 118.7261
33 43.7452 47.3999 50.7251 54.7754 57.6483 83 99.8805 105.2672 110.0902 115.8762 119.927
34 44.9032 48.6024 51.966 56.0609 58.9637 84 100.98 106.3949 111.2422 117.0566 121.1262
35 46.0588 49.8018 53.2033 57.342 60.2746 85 102.0789 107.5217 112.3933 118.2356 122.3244
36 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 61.5811 86 103.1773 108.6479 113.5436 119.4137 123.5218
37 48.3634 52.1923 55.668 59.8926 62.8832 87 104.275 109.7733 114.6929 120.5909 124.7176
38 49.5126 53.3835 56.8955 61.162 64.1812 88 105.3723 110.898 115.8415 121.7672 125.9123
39 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 65.4753 89 106.4689 112.022 116.989 122.9422 127.106
40 51.805 55.7585 59.3417 63.6908 66.766 90 107.565 113.1452 118.1359 124.1162 128.2987
41 52.9485 56.9424 60.5606 64.95 68.0526 91 108.6606 114.2679 119.282 125.2893 129.4902
42 54.0902 58.124 61.7767 66.2063 69.336 92 109.7556 115.3898 120.427 126.4616 130.6812
43 55.2302 59.3035 62.9903 67.4593 70.6157 93 110.8501 116.511 121.5714 127.633 131.8705
44 56.3685 60.4809 64.2014 68.7096 71.8923 94 111.9442 117.6317 122.7152 128.8032 133.0589
45 57.5053 61.6562 65.4101 69.9569 73.166 95 113.0377 118.7516 123.858 129.9725 134.2466
46 58.6405 62.8296 66.6165 71.2015 74.4367 96 114.1307 119.8709 125.0001 131.1411 135.4327
47 59.7743 64.0011 67.8206 72.4432 75.7039 97 115.2232 120.9897 126.1414 132.3089 136.6188
48 60.9066 65.1708 69.0226 73.6826 76.9689 98 116.3153 122.1077 127.2821 133.4756 137.803
49 62.0375 66.3387 70.2224 74.9194 78.2306 99 117.4069 123.2252 128.4219 134.6415 138.9869
50 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898 100 118.498 124.3421 129.5613 135.8069 140.169
Ejemplo para la Tc con
n-1 = 20-1=19 grados
de libertad con un
=0.05 Tc = 2.0423
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 59
D.Sc. Percy Huata Panca
Distribucin F de FISHER, Para =0.05(nivel de significancia) para un nivel de confianza del 95%.
= 0,05 grados de libertad del numerador
G.L.denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000
1 161,446 199,499 215,707 224,583 230,160 233,988 236,767 238,884 240,543 241,882 248,016 252,196 253,043 254,302
2 18,5128 19,0000 19,1642 19,2467 19,2963 19,3295 19,3531 19,3709 19,3847 19,3959 19,4457 19,4791 19,4857 19,4957
3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0134 8,9407 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855 8,6602 8,5720 8,5539 8,5267
4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,0410 5,9988 5,9644 5,8025 5,6878 5,6640 5,6284
5 6,6079 5,7861 5,4094 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351 4,5581 4,4314 4,4051 4,3654
6 5,9874 5,1432 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,0990 4,0600 3,8742 3,7398 3,7117 3,6693
7 5,5915 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7871 3,7257 3,6767 3,6365 3,4445 3,3043 3,2749 3,2302
8 5,3176 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472 3,1503 3,0053 2,9747 2,9281
9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373 2,9365 2,7872 2,7556 2,7072
10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782 2,7740 2,6211 2,5884 2,5384
11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 2,9480 2,8962 2,8536 2,6464 2,4901 2,4566 2,4050
12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534 2,5436 2,3842 2,3498 2,2967
13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 2,7669 2,7144 2,6710 2,4589 2,2966 2,2614 2,2070
14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 2,6987 2,6458 2,6022 2,3879 2,2229 2,1870 2,1313
15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437 2,3275 2,1601 2,1234 2,0664
16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 2,5911 2,5377 2,4935 2,2756 2,1058 2,0685 2,0102
17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 2,5480 2,4943 2,4499 2,2304 2,0584 2,0204 1,9610
18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 2,5102 2,4563 2,4117 2,1906 2,0166 1,9780 1,9175
19 4,3808 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 2,4768 2,4227 2,3779 2,1555 1,9795 1,9403 1,8787
20 4,3513 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 2,4471 2,3928 2,3479 2,1242 1,9464 1,9066 1,8438
21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 2,4205 2,3661 2,3210 2,0960 1,9165 1,8761 1,8124
22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 2,3965 2,3419 2,2967 2,0707 1,8894 1,8486 1,7838
23 4,2793 3,4221 3,0280 2,7955 2,6400 2,5277 2,4422 2,3748 2,3201 2,2747 2,0476 1,8648 1,8234 1,7577
24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 2,3551 2,3002 2,2547 2,0267 1,8424 1,8005 1,7338
25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,6030 2,4904 2,4047 2,3371 2,2821 2,2365 2,0075 1,8217 1,7794 1,7117
26 4,2252 3,3690 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 2,3205 2,2655 2,2197 1,9898 1,8027 1,7599 1,6913
27 4,2100 3,3541 2,9603 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 2,3053 2,2501 2,2043 1,9736 1,7851 1,7419 1,6724
28 4,1960 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 2,2913 2,2360 2,1900 1,9586 1,7689 1,7251 1,6548
29 4,1830 3,3277 2,9340 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 2,2782 2,2229 2,1768 1,9446 1,7537 1,7096 1,6384
30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646 1,9317 1,7396 1,6950 1,6230
40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 2,1802 2,1240 2,0773 1,8389 1,6373 1,5892 1,5098
50 4,0343 3,1826 2,7900 2,5572 2,4004 2,2864 2,1992 2,1299 2,0733 2,0261 1,7841 1,5757 1,5249 1,4392
60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,0970 2,0401 1,9926 1,7480 1,5343 1,4814 1,3903
70 3,9778 3,1277 2,7355 2,5027 2,3456 2,2312 2,1435 2,0737 2,0166 1,9689 1,7223 1,5046 1,4498 1,3540
80 3,9604 3,1108 2,7188 2,4859 2,3287 2,2142 2,1263 2,0564 1,9991 1,9512 1,7032 1,4821 1,4259 1,3259
90 3,9469 3,0977 2,7058 2,4729 2,3157 2,2011 2,1131 2,0430 1,9856 1,9376 1,6883 1,4645 1,4070 1,3032
100 3,9362 3,0873 2,6955 2,4626 2,3053 2,1906 2,1025 2,0323 1,9748 1,9267 1,6764 1,4504 1,3917 1,2845
200 3,8884 3,0411 2,6498 2,4168 2,2592 2,1441 2,0556 1,9849 1,9269 1,8783 1,6233 1,3856 1,3206 1,1903
300 3,8726 3,0258 2,6347 2,4017 2,2441 2,1288 2,0402 1,9693 1,9112 1,8623 1,6057 1,3634 1,2958 1,1521
400 3,8648 3,0183 2,6272 2,3943 2,2366 2,1212 2,0325 1,9616 1,9033 1,8544 1,5969 1,3522 1,2831 1,1303
500 3,8601 3,0138 2,6227 2,3898 2,2320 2,1167 2,0279 1,9569 1,8986 1,8496 1,5916 1,3455 1,2753 1,1159
600 3,8570 3,0107 2,6198 2,3868 2,2290 2,1137 2,0248 1,9538 1,8955 1,8465 1,5881 1,3410 1,2701 1,1055
700 3,8548 3,0086 2,6176 2,3847 2,2269 2,1115 2,0226 1,9516 1,8932 1,8442 1,5856 1,3377 1,2664 1,0976
800 3,8531 3,0070 2,6160 2,3831 2,2253 2,1099 2,0210 1,9500 1,8916 1,8425 1,5837 1,3353 1,2635 1,0912
900 3,8518 3,0057 2,6148 2,3818 2,2240 2,1086 2,0197 1,9487 1,8903 1,8412 1,5822 1,3334 1,2613 1,0861
1000 3,8508 3,0047 2,6138 2,3808 2,2231 2,1076 2,0187 1,9476 1,8892 1,8402 1,5811 1,3318 1,2596 1,0818
1500 3,8477 3,0017 2,6108 2,3779 2,2201 2,1046 2,0157 1,9446 1,8861 1,8370 1,5775 1,3273 1,2542 1,0675
2000 3,8461 3,0002 2,6094 2,3764 2,2186 2,1031 2,0142 1,9430 1,8846 1,8354 1,5758 1,3250 1,2516 1,0593
10000 3,8424 2,9966 2,6058 2,3728 2,2150 2,0995 2,0105 1,9393 1,8808 1,8316 1,5716 1,3194 1,2451 1,0334
Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 60
D.Sc. Percy Huata Panca
Distribucin F de FISHER, Para =0.01(nivel de significancia) = nivel de confianza del 99%.
= 0,01 grados de libertad del numerador G.L.denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 60 100 10000
1 4052,18 4999,34 5403,53 5624,26 5763,96 5858,95 5928,33 5980,95 6022,40 6055,93 6208,66 6312,97 6333,92 6365,59
2 98,5019 99,0003 99,1640 99,2513 99,3023 99,3314 99,3568 99,3750 99,3896 99,3969 99,4478 99,4842 99,4914 99,4987
3 34,1161 30,8164 29,4567 28,7100 28,2371 27,9106 27,6714 27,4895 27,3449 27,2285 26,6900 26,3162 26,2407 26,1261
4 21,1976 17,9998 16,6942 15,9771 15,5219 15,2068 14,9757 14,7988 14,6592 14,5460 14,0194 13,6522 13,5769 13,4642
5 16,2581 13,2741 12,0599 11,3919 10,9671 10,6722 10,4556 10,2893 10,1577 10,0511 9,5527 9,2020 9,1300 9,0215
6 13,7452 10,9249 9,7796 9,1484 8,7459 8,4660 8,2600 8,1017 7,9760 7,8742 7,3958 7,0568 6,9867 6,8811
7 12,2463 9,5465 8,4513 7,8467 7,4604 7,1914 6,9929 6,8401 6,7188 6,6201 6,1555 5,8236 5,7546 5,6506
8 11,2586 8,6491 7,5910 7,0061 6,6318 6,3707 6,1776 6,0288 5,9106 5,8143 5,3591 5,0316 4,9633 4,8599
9 10,5615 8,0215 6,9920 6,4221 6,0569 5,8018 5,6128 5,4671 5,3511 5,2565 4,8080 4,4831 4,4150 4,3116
10 10,0442 7,5595 6,5523 5,9944 5,6364 5,3858 5,2001 5,0567 4,9424 4,8491 4,4054 4,0819 4,0137 3,9100
11 9,6461 7,2057 6,2167 5,6683 5,3160 5,0692 4,8860 4,7445 4,6315 4,5393 4,0990 3,7761 3,7077 3,6035
12 9,3303 6,9266 5,9525 5,4119 5,0644 4,8205 4,6395 4,4994 4,3875 4,2961 3,8584 3,5355 3,4668 3,3619
13 9,0738 6,7009 5,7394 5,2053 4,8616 4,6203 4,4410 4,3021 4,1911 4,1003 3,6646 3,3413 3,2723 3,1665
14 8,8617 6,5149 5,5639 5,0354 4,6950 4,4558 4,2779 4,1400 4,0297 3,9394 3,5052 3,1813 3,1118 3,0051
15 8,6832 6,3588 5,4170 4,8932 4,5556 4,3183 4,1416 4,0044 3,8948 3,8049 3,3719 3,0471 2,9772 2,8695
16 8,5309 6,2263 5,2922 4,7726 4,4374 4,2016 4,0259 3,8896 3,7804 3,6909 3,2587 2,9330 2,8627 2,7539
17 8,3998 6,1121 5,1850 4,6689 4,3360 4,1015 3,9267 3,7909 3,6823 3,5931 3,1615 2,8348 2,7639 2,6542
18 8,2855 6,0129 5,0919 4,5790 4,2479 4,0146 3,8406 3,7054 3,5971 3,5081 3,0771 2,7493 2,6779 2,5671
19 8,1850 5,9259 5,0103 4,5002 4,1708 3,9386 3,7653 3,6305 3,5225 3,4338 3,0031 2,6742 2,6023 2,4905
20 8,0960 5,8490 4,9382 4,4307 4,1027 3,8714 3,6987 3,5644 3,4567 3,3682 2,9377 2,6077 2,5353 2,4224
21 8,0166 5,7804 4,8740 4,3688 4,0421 3,8117 3,6396 3,5056 3,3982 3,3098 2,8795 2,5484 2,4755 2,3615
22 7,9453 5,7190 4,8166 4,3134 3,9880 3,7583 3,5866 3,4530 3,3458 3,2576 2,8274 2,4951 2,4218 2,3067
23 7,8811 5,6637 4,7648 4,2635 3,9392 3,7102 3,5390 3,4057 3,2986 3,2106 2,7805 2,4471 2,3732 2,2571
24 7,8229 5,6136 4,7181 4,2185 3,8951 3,6667 3,4959 3,3629 3,2560 3,1681 2,7380 2,4035 2,3291 2,2119
25 7,7698 5,5680 4,6755 4,1774 3,8550 3,6272 3,4568 3,3239 3,2172 3,1294 2,6993 2,3637 2,2888 2,1706
26 7,7213 5,5263 4,6365 4,1400 3,8183 3,5911 3,4210 3,2884 3,1818 3,0941 2,6640 2,3273 2,2519 2,1327
27 7,6767 5,4881 4,6009 4,1056 3,7847 3,5580 3,3882 3,2558 3,1494 3,0618 2,6316 2,2938 2,2180 2,0978
28 7,6357 5,4529 4,5681 4,0740 3,7539 3,5276 3,3581 3,2259 3,1195 3,0320 2,6018 2,2629 2,1867 2,0655
29 7,5977 5,4205 4,5378 4,0449 3,7254 3,4995 3,3303 3,1982 3,0920 3,0045 2,5742 2,2344 2,1577 2,0355
30 7,5624 5,3903 4,5097 4,0179 3,6990 3,4735 3,3045 3,1726 3,0665 2,9791 2,5487 2,2079 2,1307 2,0075
40 7,3142 5,1785 4,3126 3,8283 3,5138 3,2910 3,1238 2,9930 2,8876 2,8005 2,3689 2,0194 1,9383 1,8061
50 7,1706 5,0566 4,1994 3,7195 3,4077 3,1864 3,0202 2,8900 2,7850 2,6981 2,2652 1,9090 1,8248 1,6847
60 7,0771 4,9774 4,1259 3,6491 3,3389 3,1187 2,9530 2,8233 2,7185 2,6318 2,1978 1,8363 1,7493 1,6023
70 7,0114 4,9218 4,0744 3,5997 3,2907 3,0712 2,9060 2,7765 2,6719 2,5852 2,1504 1,7846 1,6954 1,5422
80 6,9626 4,8807 4,0363 3,5631 3,2551 3,0361 2,8713 2,7420 2,6374 2,5508 2,1153 1,7459 1,6548 1,4960
90 6,9251 4,8491 4,0069 3,5350 3,2276 3,0091 2,8445 2,7154 2,6109 2,5243 2,0882 1,7158 1,6231 1,4593
100 6,8953 4,8239 3,9837 3,5127 3,2059 2,9877 2,8233 2,6943 2,5898 2,5033 2,0666 1,6918 1,5977 1,4292
200 6,7633 4,7128 3,8810 3,4143 3,1100 2,8933 2,7298 2,6012 2,4971 2,4106 1,9713 1,5833 1,4811 1,2812
300 6,7201 4,6766 3,8475 3,3822 3,0787 2,8625 2,6993 2,5709 2,4668 2,3804 1,9401 1,5468 1,4410 1,2228
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Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 61
D.Sc. Percy Huata Panca
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Estadstica Aplicada a la Investigacin Pg. 62
D.Sc. Percy Huata Panca
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