UNIVERSIDADNACIONAL DEINGENIERÍA
Facultad De Ingeniería Mecánica
Laboratorio: N°5 (Flexión)
Curso: MC 516-A Calculo por elementos finitos
Profesor: Cueva Pacheco, Ronald
Estudiante: Arroyo Cóndor, Jean Marco Codigo: 20102678K
2013-II
Universidad Nacional de Ingeniería Calculo por elementos FinitosFacultad de Ingeniería Mecánica Flexion
INDICE
Enunciado del Problema....................................................................2
Solución (Modelado de la viga)..........................................................3
Matriz de Rigidez de los Elementos...................................................3
Matriz de Rigidez Local………………….............................................5
Fuerza Total Sometida a la viga........................................................7
Esfuerzos Longitudinales...................................................................8
Diagrama de Flujo..............................................................................9
Uso de Matlab....................................................................................10
Ejecución del Programa.....................................................................12
Conclusiones................................................................................... 15
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QUINTA PRÁCTICA CALIFICADA
(FLEXIÓN)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma.
3
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Material: Acero estructural A-36E=2.1x10^5 N/mm2
=7.8 gr-f/cm3
-Esfuerzos.- En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico ( , y):
Donde “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra.
1. MODELADO DE LA VIGA
Hacemos el modelado de la viga, en 4 elementos finitos:
4
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2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS
Para el elemento finito 1:
mm4
Matriz de Rigidez Local:
Para el elemento finito 2:
mm4
Matriz de Rigidez Local:
5
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Para el elemento finito 3:
mm4
Matriz de Rigidez Local:
Para el elemento finito 4:
mm4
3. MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL:
6
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Hallamos las fuerzas que es sometida la viga debido al peso del material:
N/mmN/mm
Hallamos las fuerzas debido a la carga distribuida:
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4. LA FUERZA TOTAL A LA QUE ES SOMETIDA LA VIGA ES :
Como los desplazamientos Q1, Q2, Q9 y Q10, quedan restringidos a cero, necesitamos encontrar Q3, Q4, Q5, Q6, Q7 y Q8.
8
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Obtenemos:
5. LOS ESFUERZOS LONGITUDINALES: Para un punto genérico (z,y), donde zє[-1,1]
Para y=50 mm
Para z=-1
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Para z=1
Para z=0
6. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: 10
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INICIO
Leer datos de entrada
Para i=1:4
Calcula la matriz de rigidez de cada elemento y también la
global.
Calcula desplazamientos, reacciones
Imprime esfuerzos y reacciones.
Para i=1:4
Calcula esfuerzos para e=-1,1
Si ES1<=ES2
Emax=ES2 Emax=ES1
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7. USANDO MATLAB
PROGRAMA EN MATLAB
clc;format long;n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:');e1=input('Espesor de las alas(mm):');e2=input('Espesor del alma(mm):');l1=input('Longitud de las alas(mm):');L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):');E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):');yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):');pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):');disp('MOMENTOS DE INERCIA')for i=1:(n/2) d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;endfor i=((n/2)+1):n d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;enddisp(I)disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')k=zeros(2*(n+1),2*(n+1));for i=1:n l=L/n; ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l; 6*l 4*l*l -6*l 2*l*l; -12 -6*l 12 -6*l; 6*l 2*l*l -6*l 4*l*l]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i);enddisp(k)disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL')for i=1:n A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1); p(i)=-yp*A(i);end
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w=zeros(1,2*(n+1));for i=1:n l=L/n; we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i);endwt=w';disp(wt)disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA')c=zeros(1,2*(n+1));for i=2:3 l=L/n; ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i);endct=c';disp(ct)disp('FUERZA TOTAL')f=ct+wt;disp(f)disp('DESPLAZAMIENTOS')disp('Q=')kf=k(3:8,3:8);ff=f(3:8,1);qf=inv(kf)*ff;Q=[0;0;qf;0;0];disp(Q)disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)')y=input('Ingrese punto generico a analizar:');z=-1;es1=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1;
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gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=-1')disp(es1)z=1;es2=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=1')disp(es2)z=0;es0=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=0')disp(es0)
EJECUCIÓN DEL PROGRAMA
Ingrese Número de Elementos Finitos: 4
Espesor de las alas (mm):13
Espesor del alma (mm):25
Longitud de las alas (mm):100
Ingrese Longitud de la Viga (mm):3000
Modulo de Elasticidad(N/mm2):2.1e5
Ingrese Peso Especifico(N/mm3):76.518e-6
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Carga Distribuida Externa(N/mm):-5
MOMENTOS DE INERCIA 1.0e+008 *
0.33741516666667 2.06373183333333 2.06373183333333 0.33741516666667
MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K 1.0e+017 *
Columns 1 through 4
0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00000113371496 0.00042514311000 0.00042514311000 0.21257155500000 -0.00042514311000 0.10628577750000 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0.00000806785392 0.00217515900000 0.00042514311000 0.10628577750000 0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0 0 0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Columns 5 through 8
0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 0 -0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0.00001386827792 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 2.60030211000000 -0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0.00000806785392 -0.00217515900000 0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0 0 0.00042514311000 0.10628577750000
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Columns 9 through 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00042514311000 0.10628577750000 0.00000113371496 -0.00042514311000 -0.00042514311000 0.21257155500000
FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL 1.0e+004 *
-0.01994250375000 -2.49281296875000 -0.05423213250000 -1.79339062500000 -0.06857925750000 0 -0.05423213250000 1.79339062500000 -0.01994250375000 2.49281296875000
FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA 0 0 -1875 -234375 -3750 0 -1875 234375 0 0
FUERZA TOTAL 1.0e+005 *
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-0.00199425037500 -0.24928129687500 -0.02417321325000 -2.52308906250000 -0.04435792575000 0 -0.02417321325000 2.52308906250000 -0.00199425037500 0.24928129687500
DESPLAZAMIENTOSQ= 1.0e-006 *
0 0 -0.06887011717571 -0.00007462641465 -0.10005353989168 -0.00000000000000 -0.06887011717571 0.00007462641465 0 0
ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)Ingrese punto generico a analizar: 50
z=-1 1.0e-005 *
0.56239135133738 -0.06865358764229 -0.14030037338828 -0.35343739030681
z=1 1.0e-005 *
-0.35343739030681 -0.14030037338828 -0.06865358764229 0.56239135133738
z=0
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Universidad Nacional de Ingeniería Calculo por elementos FinitosFacultad de Ingeniería Mecánica Flexion
1.0e-005 *
0.10447698051528 -0.10447698051528 -0.10447698051528 0.10447698051528
8. CONCLUSIONES :
Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por
tal razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita
manejar las variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de
análisis.
El análisis de viga de sección variable es la generalización del análisis de una
viga se sección constante.
El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los
elementos, por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y
secuencial.
En este caso de viga se sección variable era de esperarse que cada elemento
tuviera 4 grados de libertad.
Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que
pueden ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de
flexión.
Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los
nodos, además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.
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