RACES MLTIPLES
Prof.: Ing. Marvin Hernndez
Raz mltipleUna raz mltiple corresponde a un punto donde una funcin es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raz doble resulta de
Grfico1
-0.625
0
-0.375
-1
-1.125
0
3.125
Hoja1
xf(x)
-3-96
-2-45
0.5-0.625
10
1.5-0.375
2-1
2.5-1.125
30
3.53.125
Hoja1
Hoja2
Hoja3
La ecuacin tiene una raz doble porque un valor de x hace que dos trminos de la ecuacin sean iguales a cero.
Grficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raz doble.
Raz Doble
Grfico1
-0.625
0
-0.375
-1
-1.125
0
3.125
Hoja1
xf(x)
-3-96
-2-45
0.5-0.625
10
1.5-0.375
2-1
2.5-1.125
30
3.53.125
Hoja1
Hoja2
Hoja3
Raz TripleUna raz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres trminos en una ecuacin sean iguales a cero, como en
Raz TripleAdvierta que la representacin grfica, figura 2, indica otra vez que la funcin es tangente al eje en la raz, pero que en este caso s cruza el eje.
Raz Triple
Grfico2
3
0.3125
0
-0.1875
-1
-1.6875
0
7.8125
Hoja1
xf(x)
0.5-0.625
10
1.5-0.375
2-1
2.5-1.125
30
3.53.125
xf(x)
03
0.50.3125
10
1.5-0.1875
2-1
2.5-1.6875
30
3.57.8125
Hoja1
Hoja2
Hoja3
En general;La multiplicidad impar de races cruza el eje.
Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.
Raz Cudruple
Grfico3
-3
-0.8701171875
-0.15625
-0.0087890625
0
-0.0068359375
-0.09375
-0.3955078125
-1
-1.8310546875
-2.53125
-2.3447265625
0
6.4072265625
Hoja1
xf(x)
0.5-0.625
10
1.5-0.375
2-1
2.5-1.125
30
3.53.125
xf(x)
03
0.50.3125
10
1.5-0.1875
2-1
2.5-1.6875
30
3.57.8125
xf(x)
0-3
0.25-0.8701171875
0.5-0.15625
0.75-0.0087890625
10
1.25-0.0068359375
1.5-0.09375
1.75-0.3955078125
2-1
2.25-1.8310546875
2.5-2.53125
2.75-2.3447265625
30
3.256.4072265625
Hoja1
Hoja2
Hoja3
Dificultades del mtodo de races mltiples;El hecho de que la funcin no cambie de signo en races mltiples pares impide confiarse de los mtodos cerrados.
Tanto f(x) como f(x) se aproxima a cero en la raz: Esto afecta a los mtodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus frmulas respectivas.
Dificultades del mtodo de races mltiples;Esto provocar una divisin entre cero cuando la solucin converge muy cerca de la raz. Pero, f(x) siempre alcanzar un valor cero antes que f(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los clculos se pueden terminar antes de que f(x) llegue a cero.
Dificultades del mtodo de races mltiples;3. El mtodo de Newton-Raphson y el mtodo de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrtica, cuando hay races mltiples.
Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema;Cambio en la formulacin para que se regrese a la convergencia cuadrtica
Atenuacin del problemadonde m es la multiplicidad de la raz;m = 2 para una raz doblem = 3 para una raz triple, etctera. Alternativa poco satisfactoria, porque depende del conocimiento de la multiplicidad de la raz.
Otra alternativaConsiste en definir una nueva funcin u(x), que es el cociente de la funcin original entre su derivada:
Otra alternativa
EJEMPLO 1: Mtodo de Newton-Raphson modificado para el clculo de races mltiplesUitilizar los dos mtodos, el estndar y el modificado de Newton-Raphson; evale la raz mltiple de la ecuacin, use un valor inicial de xi = 0.
Por Newton-Raphson
Por Newton-Raphson modificado
Tabla de iteraciones
EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10 La funcin tiene una raz doble en x = 1 y x0 = 0.2
El mtodo estndar de Newton-Raphson El mtodo de Newton-Raphson modificado (m)El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)
Mtodo estndar de Newton-Raphson
Mtodo de Newton-Raphson modificado (m)
El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)
EJEMPLO 3:La funcin tiene una raz doble en x = 1 y x0 = 0.5
El mtodo estndar de Newton-Raphson El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)
Mtodo estndar de Newton-Raphson
El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)