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Apuntes de Radiación y Ondas Guiadas

-1/237- Autor: Pedro de Paco

Escola Tècnica Superior d'Enginyeria

Departament de Telecomunicació i d’Enginyeria de Sistemes

Apuntes

RADIACIÓN Y ONDAS GUIADAS

Pedro de Paco



INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................6 OBJETIVOS.................................................................................................................................................7 BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................................................7

INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA. ...................................................................................................8 INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO....................................................................................8 ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO .......................................................................................................8 ORGANISMOS INTERNACIONALES REGULADORES DE COMUNICACIONES. .........................11

1. ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL. .......................12 1.1. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO. .................................................................12 1.2. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO. ...............................................................12 1.3. LEY DE FARADAY. ..................................................................................................................13 1.4. LEY DE AMPERE. .....................................................................................................................13 1.5. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD..............................................................................................14 1.6. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA..........................................................................................14 1.7. TEOREMA DE STOKES. ...........................................................................................................14 2. VARIACIÓN DE LOS CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL. ................18 2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA VARIACIÓN TEMPORAL SENOIDAL. ................................19 2.2. LEYES DE MAXWELL EN NOTACIÓN FASORIAL .............................................................21 3. CAMPOS EN MEDIOS MATERIALES.....................................................................................22 3.1. MATERIALES CONDUCTORES. .............................................................................................22 3.2. MATERIALES DIELÉCTRICOS. ..............................................................................................23 4. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS MEDIOS.....................................................................................................................................................26 4.1. CAMPOS EN INTERFICIES DE MEDIOS GENERALES. ......................................................27 4.2. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS MEDIOS DIELÉCTRICOS. ......................................................................................................................28 4.3. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA INTERFICIE ENTRE MEDIOS DIELÉCTRICO Y CONDUCTOR. ..........................................................................................................................................29 5. LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA UNIDIMENSIONAL ..........30 5.1. FENÓMENOS ONDULATORIOS. ............................................................................................30 5.1.1. ECUACIÓN DE ONDA UNIDIMENSIONAL...........................................................................32 5.1.2. JUSTIFICACIÓN DE PROPAGACIÓN ONDA ELECTROMAGNÉTICA EN EL ESPACIO LIBRE. 33 6. LA ECUACIÓN DE ONDA........................................................................................................36 6.1. LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA ..............................................36 6.2. SOLUCIÓN DE ONDA PLANA PARA LA ECUACIÓN DE ONDAS. ...................................36 6.2.1. PARÁMETROS DE ONDA PLANA..........................................................................................39 6.2.2. APLICACIÓN. EFECTO DOPPLER..........................................................................................41 7. ONDAS PLANAS EN MEDIOS MATERIALES.......................................................................43 7.1. ONDAS PLANAS EN MEDIOS DIELECTRICOS CON PÉRDIDAS......................................43 8. PROPAGACIÓN DE LA ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR DE CONDUCTIVIDAD FINITA. 47 9. SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA.............................................................................49 9.1. SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA.............................................................................49 10. FLUJO DE POTENCIA ASOCIADO A ONDA ELECTROMAGNETICA. VECTOR DE POYNTING. ..............................................................................................................................................56 11. POLARIZACIÓN DE ONDAS PLANAS...................................................................................60 11.1. ANÁLISIS DE LA POLARIZACIÓN DE UNA ONDA PLANA. .............................................62 11.1.1. CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL. .................................................................................64 11.1.2. CASO DE POLARIZACIÓN CIRCULAR. ...........................................................................66 11.1.3. APLICACIÓN. PARÁMETROS DE ANTENA. ...................................................................67 12. REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN ESCENARIOS DE CAMBIO DE MEDIO. ..................73 12.1. REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR PERFECTO. ..................................73



13. ESTUDIO DE ONDA PLANA EN UNA SUPERFICIE DE CAMBIO DE MEDIO ENTRE DIELÉCTRICOS........................................................................................................................................77 13.1.1. MEDIO DIELÉCTRICO SIN PÉRDIDAS. ............................................................................80 14. INCIDENCIA OBLICUA SOBRE LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS DIELECTRICOS........................................................................................................................................82 14.1. INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................82 14.2. CASO POLARIZACIÓN LINEAL PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA. ........85 15. CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL PARALELA AL PLANO DE INCIDENCIA. .............90 15.1. CASOS ESPECIALES.................................................................................................................92 15.2. FENOMENO REFLEXIÓN TOTAL. .........................................................................................93 15.3. CANCELACIÓN DE ONDA REFLEJADA. ..............................................................................93 16. APLICACIÓN: FUNCIONAMIENTO DE LA FIBRA ÓPTICA...............................................97 16.1.1. DISPERSIÓN MODAL EN LAS FIBRAS ÓPTICAS. ..........................................................98 INTRODUCCIÓN LÍNEA DE TRANSMISIÓN ....................................................................................110 OBJETIVOS.............................................................................................................................................111 17. TEORÍA DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.....................................................................113 17.1. HECHO DIFERENCIAL DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN...............................................113 17.1.1. ONDAS TRANSVERSALES ELECTROMAGNÉTICAS (TEM) ......................................115 17.2. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN. ......................................................................118 17.2.1. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN ..................................................................118 17.2.2. LA CELDA ELEMENTAL ..................................................................................................122 17.2.3. RESOLUCIÓN DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN MEDIANTE EL MODELO CIRCUITAL.............................................................................................................................................126 17.2.4. PROPAGACIÓN DE LA ONDA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN..............................128 18. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS......................................................................................................133 18.1.1. LÍNEA DE BAJAS PÉRDIDAS. ..........................................................................................135 19. LINEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS CARGADAS...................................................138 19.1.1. EFECTO DE UNA CARGA DE IMPEDANCIA ARBITRARIA EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS...........................................................................................................138 19.1.2. LA ONDA ESTACIONARIA...............................................................................................142 19.1.2.1. ANÁLISIS CUALITATIVO DE LA ONDA ESTACIONARIA .........................................142 19.1.2.2. ANÁLISIS CUANTITATIVO DE LA ONDA ESTACIONARIA.......................................144 19.1.3. COEFICIENTE DE REFLEXIÓN A LO LARGO DE LA LÍNEA......................................147 19.1.4. IMPEDANCIA A LO LARGO DE LA LINEA....................................................................148 19.2. POTENCIA MEDIA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN......................................................149 20. LÍNEAS SIN PÉRDIDAS CARGADAS...................................................................................152 20.1.1. LÍNEA CARGADA CON CORTOCIRCUITO....................................................................152 20.1.1.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE........................................................153 20.1.1.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA .................................................................................154 20.1.2. LÍNEA CARGADA CON CIRCUITO ABIERTO...............................................................155 20.1.2.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE........................................................155 20.1.2.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA .................................................................................157 20.2. PERIODICIDAD DE LA LINEA DE TRANSMISON.............................................................158 20.3. LINEA DE TRANSMISIÓN CARGADA CON LÍNEA DE TRANSMISIÓN........................159 20.4. DESADAPTACIÓN DE CARGA Y GENERADOR................................................................162 20.4.1. PROBLEMAS.......................................................................................................................169 21. ANÁLISIS DE LOS CAMPOS EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN .....................................178 21.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN.............................................................178 21.1.1. CÁLCULO DE LA AUTOINDUCTANCIA Y LA CAPACIDAD EN FUNCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO. .............................................................................................179 21.1.2. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA Y LA CONDUCTIVIDAD EN FUNCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO. .............................................................................................180 21.2. PARÁMETROS DE LAS PRINCIPALES LÍNEAS DE TRANSMISIÓN PLANAR .............180 21.2.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA COAXIAL........................................................................180 21.2.2. GEOMETRÍA DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN STRIPLINE.......................................183 21.2.3. PARÁMETROS DE LA LÍNEA MICROSTRIP...................................................................185 22. CARTA SMITH I. .....................................................................................................................189 23. REDES DE ADAPTACIÓN I....................................................................................................191 23.1. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS CONCENTRADOS.......................................................191



23.2. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA CARTA DE SMITH. ......................................................192 23.3. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS DISTRIBUIDOS. ..........................................................193 23.3.1. ADAPTACIÓN CON INVERSOR DE IMPEDANCIA.......................................................194 24. REDES DE ADAPTACIÓN II. .................................................................................................198 24.1.1. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE SERIE. ....................................................................198 24.1.2. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE PARALELO............................................................199 24.2. ELEMENTOS CONCENTRADOS...........................................................................................199 25. GUIAS DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS...........................................................204 25.1. GUIAS CONDUCTORAS.........................................................................................................204 26. GUIA DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS DE SECCIÓN RECTANGULAR. .....209 26.1.1. MODOS TE...........................................................................................................................209 26.1.2. MODOS TM. ........................................................................................................................211 26.1.3. MODOS GUIADOS Y MODOS EN CORTE. .....................................................................212 27. REPRESENTACIÓN MATRICIAL CIRCUITOS MICROONDAS PARAMETROS SCATTERING. ........................................................................................................................................217 27.1. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN O “SCATTERING”. ........................................................218 27.1.1. SIMBOLOGÍA......................................................................................................................220 27.2. RELACIÓN ENTRE PARAMETROS S Y PARAMTEROS Z E Y.........................................223 28. PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE DISPERSIÓN..............................................................224 28.1.1. REDES PASIVAS.................................................................................................................224 28.1.2. REDES PASIVAS SIN PÉRDIDAS (UNITARIEDAD)......................................................224 28.1.3. REDES SIMETRICAS..........................................................................................................225 28.1.4. REDES RECIPROCAS.........................................................................................................225 28.1.5. CAMBIO DEL PLANO DE REFERENCIA. .......................................................................225 28.2. PUNTO DE INTERÉS: REDES PASIVAS Y SIN PÉRDIDAS...............................................226 29. REDES DE DOS PUERTAS. ....................................................................................................229 29.1.1. GANANCIA DE TRANSFERENCIA DE POTENCIA. ......................................................230 29.1.2. GANANCIA DE TENSIÓN Y PARAMETROS S...............................................................230 29.2. SOLUCIONARIO......................................................................................................................234 EJERCICIOS AUTOEVALUACIÓN......................................................................................................235 29.3. SOLUCIONARIO......................................................................................................................236



INTRODUCCIÓN

Las Leyes de Maxwell describen los fenómenos eléctricos y magnéticos a nivel macroscópico. Ligado a una perspectiva histórica su obtención ha seguido un planteamiento deductivo. Sin embargo el texto se organiza partiendo de las leyes de Maxwell desde un punto de vista axiomático o inductivo.

Comenzaremos definiendo el espectro electromagnético y un subconjunto de éste que es el espectro radioeléctrico. Continuaremos revisando las ecuaciones de Maxwell en el vacío y en presencia de medios materiales. Dado que la mayor parte del texto desarrolla campos con variaciones del tipo sinusoidal describiremos cómo se formulan éstos en el dominio fasorial, lo que simplificará mucho el trabajo.

Estudiaremos el fenómeno de la onda electromagnética. Justificaremos el fenómeno de propagación de la onda a partir de las Leyes de Maxwell y presentaremos la ecuación de ondas unidimensional para el campo eléctrico.

La onda plana, como solución de la ecuación de ondas, es la forma más simple de onda electromagnética. Y sirve para ilustrar un gran número de propiedades asociadas a la propagación de ondas.

Mediante un planteamiento por casos, estudiaremos como afecta a la onda la presencia de medios materiales. Estudiaremos la propagación de la onda en un medio dieléctrico con pérdidas y sin pérdidas y analizaremos la evanescencia de la propagación en el interior de un conductor.

Generalizaremos la solución de la ecuación de ondas para el caso de propagación en cualquier dirección de propagación. Introduciremos la idea de energía almacenada por la onda electromagnética. Dando pie a la presentación de parámetros fundamentales de antenas.

Estudiaremos el concepto de onda reflejada y transmitida cuando la onda, que se propaga por un medio A, pasa a propagarse por un medio B. Pudiendo ser medios dieléctricos (con o sin pérdidas) o conductores. Para comenzar se considerará la onda incidiendo perpendicularmente al plano de cambio de medio. Sin embargo el estudio se generalizará al caso de incidencia oblicua (es decir, inclinada) sobre el cambio de medio.

Desarrollaremos el fenómeno de reflexión y refracción de ondas planas en la superficie de separación entre medios dieléctricos. Formularemos las leyes de Snell a partir del cumplimiento de las condiciones de contorno. Y finalmente, aplicaremos el resultado al estudio de la propagación de la luz en un medio guiado como la fibra óptica.



OBJETIVOS

Vamos a establecer una serie de 10 objetivos básicos entorno a los cuales se ha organizado este módulo. Al final del curso deberéis ser capaces de: 1. Manejar la formulación fasorial de los campos con agilidad, pasando del dominio temporal al

dominio fasorial y viceversa con seguridad. 2. Entender qué significa el principio de continuidad de los campos en la superficie de cambio de

medio. Resultado fundamental para cuando analicemos la transición de una onda que viaja por un medio y pasa a viajar por otro medio.

3. Conocer la expresión general de la ecuación de ondas para el campo eléctrico en el dominio fasorial. Conocer la expresión de la solución de onda plana. Y relacionar parámetros como constante de fase, longitud de onda y velocidad de fase.

4. Manejar el concepto de perpendicularidad entre los vectores de orientación de los campos eléctrico y magnético y dirección de propagación de la onda, que además deben cumplir con la regla de la mano derecha.

5. Obtener la expresión del campo magnético asociado a la onda a partir del conocimiento el campo eléctrico y viceversa. Así como del vector dirección de propagación.

6. Calcular la densidad de potencia, conocida la amplitud del campo eléctrico asociado. Y manejar el concepto de densidad de potencia.

7. Establecer qué tipo de polarización presenta una onda analizando la orientación del vector campo eléctrico.

8. Manejar el concepto de reflexión y transmisión en los casos de incidencia perpendicular a la superficie de cambio de medio entre dieléctricos y entre dieléctrico y conductor.

9. Manejar las Leyes de Snell en términos de los fenómenos de reflexión y refracción de la onda, aplicado al problema de incidencia oblicua de la onda electromagnética en la superficie de separación de dos medios dieléctricos

10. Entender (que no memorizar) las expresiones de los coeficientes de reflexión y transmisión para los casos de polarización paralela y perpendicular en función de los índices de refracción de los medios.

BIBLIOGRAFÍA

DIOS,F., ARTIGAS,D., RECOLONS,J., COMERON, A.,CANAL,F. Campos electromagnéticos.

Edicions UPC,1998

RAMO, S., WHINNERY, J. & VAN DUZER, T. Fields and waves in communication electronics. John

Wiley and Sons, 1994

BARA, J. Circuitos de microondas con líneas de transmisión. Edicions UPC, 1996.

DAVID M. POZAR, Microwave Engineering, John Wiley & Sons, 1998

BIBLIOGRAFÍA complementaria

GOWAR, J. Optical communications systems. 2nd. ed.. Prentice-Hall, 1993

CARDAMA, A., JOFRE, L., RIUS, J., ROMEU, J., BLANCH, S. Antenas. 2a. ed. Edicions UPC, 2000



INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA.

En este apartado vamos a introducir brevemente la importancia de la onda electromagnética. Hablaremos del espectro electromagnético, así como de los organismos que lo gestionan. Presentaremos formalmente las Leyes de Maxwell en su formulación diferencial e integral con el objetivo de conocerlas.

Recordad que las fuentes de los campos son las cargas y las corrientes. Y que si las fuentes varían en el tiempo podemos asegurar que los campos creados lo harán de la misma forma.

Asumiremos que todas las variaciones temporales son del tipo sinusoidal, es decir que estamos trabajando en régimen permanente sinusoidal. De esta manera podremos independizar los campos del tiempo pasando al dominio fasorial.

Por último, en este apartado, repasaremos los aspectos más importantes de cómo la presencia de medios materiales modifican los campos. Finalmente, cerraremos el apartado planteando las condiciones de contorno que deben cumplir los campos en la superficie de separación entre dos medios diferentes.

En este primer apartado habremos fijado las bases de cómo deberemos tratar los campos, preparando así el camino al estudio de la onda electromagnética propiamente dicha en el apartado 2.

INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO.

En 1873 James Clerk Maxwell formuló las bases de la teoría electromagnética moderna: las ecuaciones de Maxwell describen a nivel macroscópico los fenómenos eléctricos y magnéticos. En aquel momento las aportaciones de Maxwell consolidaron el estado de la ciencia electromagnética. Maxwell estableció a partir de consideraciones teóricas el fenómeno del desplazamiento de la corriente eléctrica. El trabajo de Maxwell estaba basado en los trabajos empíricos llevados a cabo por Gauss, Ampére, Faraday y otros. A partir de este punto Hertz y Marconi llegaron al descubrimiento de la propagación de la onda electromagnética.

En este curso estudiaremos cómo se predice la existencia de distribuciones espaciales de campo que se propagan, lo que se conoce como ondas electromagnéticas. La verificación experimental por Hertz, en 1888, de la existencia de las ondas electromagnéticas, completó la verificación de la validez de las ecuaciones de Maxwell.

Las ondas electromagnéticas juegan un papel fundamental en la naturaleza; sin ir más lejos, la luz y el calor del sol son ondas electromagnéticas. Pero también ocupan un lugar central en muchas disciplinas de la ingeniería, principalmente en electrónica y telecomunicaciones. Gracias a su capacidad para almacenar energía, la potencia que tienen asociada se utiliza como vehículo para transmitir información a distancia. Hechos cotidianos como escuchar la radio, mirar la televisión, las comunicaciones vía satélite o la telefonía móvil son posibles gracias a las ondas electromagnéticas.

Hasta aquí parecería que sólo son útiles cuando no existe un medio material de un punto a otro, lo cual no es cierto: en las líneas telefónicas suficientemente largas es imprescindible tener en cuenta los fenómenos ondulatorios; en las grandes instalaciones de comunicaciones por satélite se utilizan guías de onda conductoras huecas para llevar la energía desde los equipos de emisión hasta la antena emisora; el cable coaxial de la antena de televisor es también una guía de onda que lleva la señal de TV de la antena, situada en las azoteas, al receptor de televisión; o los sistemas de comunicaciones terrestres modernos que conducen las ondas electromagnéticas mediante fibras ópticas.

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Todos los sistemas de telecomunicación utilizan señales eléctricas para transportar la información; las señales eléctricas se caracterizan por la variación en el tiempo de sus magnitudes de tensión y corriente. Además de esta descripción en el dominio del tiempo, es posible establecer otra en el dominio de la



frecuencia, que es el espectro de la señal. Ambas descripciones están totalmente relacionadas por la transformada de Fourier.

El espectro de la señal es la representación de la señal en el dominio de la frecuencia. Si bien el concepto de dominio de la frecuencia puede resultar algo confuso, debéis de pensar que lo manejáis diariamente en vuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando seleccionáis una emisora de radio de todas las posibles en el dial, básicamente lo que estáis haciendo es seleccionar una parte del espectro de la señal de radiodifusión. Pensad por un momento en el hecho que todos los locutores de radio están hablando a la vez, y vosotros podéis escoger cuál de ellos queréis escuchar sin oír a los demás.

Se denomina espectro electromagnético al conjunto de ondas electromagnéticas. Van desde las de menor longitud de onda, como son los rayos cósmicos, los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. En cualquier caso, cada una de las categorías son de ondas de variación de campo electromagnético.

El espectro electromagnético incluye todas las frecuencias de las ondas electromagnéticas y se encuentra ordenado en función de la frecuencia de las señales y de su longitud de onda ( /c fλ = ).

El espectro radioeléctrico es un subconjunto de ondas electromagnéticas con frecuencias comprendidas entre 3 kHz y 3.000 GHz. Cada medio de transmisión tiene su propio espectro radioeléctrico en el cual ubicamos las señales que se propagan. En caso de utilizar el espacio libre como medio de transmisión puede darse la circunstancia que sean muchas las señales que se propaguen y que se llegue a ocupar todo el espectro radioeléctrico.

Figura 1 Clasificación del espectro electromagnético en términos de la frecuencia o equivlentemente de la longitud de onda.

Como el espectro radioeléctrico es un bien limitado y sin posibilidad de crecer, se pueden superponer o entremezclar una o diversas señales diferentes a la misma frecuencia o muy cercanas. Con el riesgo de producir interferencias e impedir el establecimiento de ninguna comunicación.

Por esta razón, el espectro radioeléctrico adopta el carácter de bien de dominio público y su control y custodia pasan a ser responsabilidad de las administraciones públicas. Las cuales establecen el reglamento de uso y la asignación de frecuencias y potencias de emisión para las estaciones y los servicios de comunicación que lo soliciten.



La Tabla 1 muestra la ordenación del espectro en función de la frecuencia, desde la radiación ultravioleta hasta la radiofrecuencia. Se muestra también el rango de longitudes de onda correspondiente a cada rango de frecuencias.

Radiación Frecuencia Longitud de Onda Ultravioleta 750-3000 THz 100-400 nm

Visible 385-750 THz 780-400 nm

Violeta Azul Verde Amarilla Naranja Rojo

400 – 424 nm 424 - 491,2nm 491,2 - 575nm 575 - 585 nm 585 - 647 nm 647 - 780 nm

Infrarroja (IR) 0,3-385 THz 1000-0,78 µm IR-A IR-B IR-C

780-1.400 nm 1.400-3000 nm 3 -1000 um

Microondas 0,3-300 GHz 1000-1 mm Radiofrecuencia 0,1-300 MHz 3000-1 m

Tabla 1 Ordenación en función de la frecuencia del espectro electromagnético.

Normalmente se utiliza la nomenclatura en frecuencia para las bandas de radiofrecuencia y microondas, y la de longitud de onda para el visible y la radiación ultravioleta. Por eso veréis que las bandas de radiofrecuencias e infrarrojos se ordenan por frecuencias y las del visible y el ultravioleta por longitud de onda. Los rangos que podéis ver en la Tabla 1 se subdividen, a su vez, en rangos más pequeños que se conocen como sub-bandas. En la Tabla 2 podéis ver estas sub-bandas para el caso de radiofrecuencia y microondas.

Denominación sub-banda Margen en frecuencias Margen en longitudes de Onda Extremly High Frequency EHF Extremadamente alta frecuencia 30 GHz - 300 GHz 10 mm - 1 mm

Super High Frequency SHF Super alta frecuencia SHF 3 GHz - 30 GHz 10 cm - 1 cm

Ultra High Frequency UHF Ultra alta frecuencia 300 MHz - 3 GHz 100 cm - 10 cm

Very High Frequency VHF Muy alta frecuencia 30 MHz - 300 MHz 10 m - 1 m

High Frequency HF Alta frecuencia 3 MHz - 30 MHz 100 m - 10 m

Medium Frequency MF Frecuencia Media 300 kHz - 3 MHz 1 km - 100 m

Low Frequency LF Frecuencia baja 30 kHz - 300 kHz 10 km - 1 km

Very Low Frequency VLF Muy baja frecuencia 3 kHz - 30 kHz 100 km - 10 km

Tabla 2 Ordenación en función de la frecuencia del subconjunto del espectro electromagnético mayoritariamente utilizado en telecomunicaciones correspondiente al subconjunto de Radiofrecuencia y Microondas.



Se indica en cada caso el rango de frecuencias y longitudes de onda a que corresponde. De hecho, son estas subbandas las que se utilizan de forma masiva entre los diferentes servicios de telecomunicación existentes.

ORGANISMOS INTERNACIONALES REGULADORES DE COMUNICACIONES.

El espectro radioeléctrico está completamente legislado por las administraciones públicas al tratarse de un bien de uso común. Éstas realizan una asignación de frecuencias para los diferentes servicios de telecomunicación. Esta asignación tiene en cuenta las características de las señales que se transmiten, pero también los problemas propios de la propagación de señales radioeléctricas.

La Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT) es una agencia dependiente de la ONU, integrada por 168 países. En ella los gobiernos y el sector privado coordinan el establecimiento y la operación de redes de telecomunicaciones y servicios. Se responsabilizan de la reglamentación, la estandarización, la coordinación y el desarrollo de las telecomunicaciones internacionales. También se encarga de la armonización de los reglamentos nacionales: su objetivo es fomentar y facilitar el desarrollo global de las telecomunicaciones para beneficio de la sociedad.

Las normas que elabora se reflejan en el Convenio Internacional de Telecomunicaciones. Los países que ratifican este convenio se comprometen a aceptar y cumplir sus normas y reglamentos.

Uno de estos reglamentos es el de radiocomunicaciones. La UIT divide el mundo en tres regiones: la región I, comprendida entre los meridianos -20º i +20º, que cubre África, Europa y la parte asiática de la CEI (Comunidad de Estados Independientes); la región II, delimitada por los meridianos -20º y -160º, que cubre América y Groenlandia; y la región III, comprendida entre los meridianos +20º y +180º, que integra Asia y Australia.

La UIT, a través de su secretariado, organiza las Regulaciones Internacionales de Radio. El soporte técnico lo proporciona la oficina de desarrollo de las Telecomunicaciones (BDT), mientras que la Oficina Internacional del Registro de Frecuencias (IFRB) anota las frecuencias que cada país miembro propone para sus servicios de telecomunicación y supervisa que se ajusten a las normativas de la UIT. En España podéis encontrar una relación completa en lo que se conoce como CNAF (Cuadro Nacional de Atribución de Frecuencias).

El “International Radio Consultive Committee” (CCIR) y el “International Telegraph and Telephone Consultive Committee” (CCITT) elaboran las recomendaciones que han de seguir los ingenieros en el diseño y desarrollo de nuevos sistemas. Las recomendaciones del CCIR y el CCITT, llamadas UIT-R y UIT-T para comunicaciones radio y telecomunicación respectivamente, una vez son aprobadas por el órgano competente adquieren el carácter de tratado internacional.



Lección 1

1. ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL.

Las señales que queremos transmitir y recibir lo harán en forma de ondas electromagnéticas. Por esta razón el estudio de la onda electromagnética es el objeto de nuestro estudio. Vamos a retomar las leyes de Maxwell y las presentaremos formalmente.

Las Leyes de Maxwell describen los fenómenos eléctricos y magnéticos a nivel macroscópico. Ligado a una perspectiva histórica su obtención ha seguido un planteamiento deductivo, sin embargo a partir de ahora consideraremos las leyes de Maxwell como el punto de partida.

Recordad que las fuentes de los campos son las cargas y las corrientes. Y que si las fuentes varían en el tiempo podemos asegurar que los campos creados lo harán de la misma forma. A lo largo del apartado notaréis un cambio de nomenclatura para diferenciar los campos con variación temporal ( ( , ), ( , )r t r tE H ) de los campos en condiciones de estática.

E Intensidad del campo Eléctrico. mV /

D Densidad de flujo Eléctrico. 2/ mcoulombs

H Intensidad del campo Magnético mA /

B Densidad de flujo Magnético. 2/ mweber (tesla)

Las constantes

oµ Permeabilidad del vacío 74 10π − mhenry /

oε Permitividad del vacío 128.854·10 /F m− mfarad /

1.1. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO.

El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada (S), es igual al cociente de la carga en el interior del volumen (V) que determina dicha superficie, divida por oε .

1 t

o oS V

QEd s dVρε ε

= =∫∫ ∫ (1)

El sentido del flujo debe elegirse a priori salvo en superficies cerradas que se escoge positivo si es saliente. La ley de gauss para el campo eléctrico de alguna forma identifica las fuentes de dicho campo eléctrico, de forma que en el interior de un volumen nacerán o morirán líneas de campo tan sólo si hay presencia de cargas en su interior.

1.2. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO.

Los monopolos magnéticos no pueden existir aislados, así el número de líneas de flujo saliente de una superficie cerrada es igual al número de líneas de flujo entrante a dicha superficie. De alguna forma pone de manifiesto el carácter solenoidal del campo magnético.

0S

Bd s =∫∫ (2)

Es importante resaltar que no existen “cargas magnéticas puntuales”



1.3. LEY DE FARADAY.

Si se produce una variación del flujo de campo magnético a través de una superficie determinada por un contorno C, aparece una f.e.m. inducida en dicho contorno, es decir, una diferencia de potencial. El sentido de la corriente inducida se opondrá a la variación del flujo, como causa que la produce.

C S

dEdl Bd Sdt

= −∫ ∫∫ (3)

Observamos que si el imán se mantiene en reposo el campo magnético que genera no es capaz de inducir una diferencia de potencial o una f.e.m. en el contorno, es necesaria la variación. (fem=fuerza de origen no electroestático que mueve cargas manteniendo corriente en Régimen Permanente)

Figura 2 Ejemplo ilustrativo del fenómeno descrito por Ley de Faraday, si existe una variación del flujo de campo magnético a través de una superficie, por ejemplo debido al movimiento de un imán,aparecerá una difeencia de potencial en bornes de la espira.

1.4. LEY DE AMPERE.

Al medir la fuerza producida entre conductores que llevan corriente, la suma de la corriente que atraviesa una superficie abierta, definida por un contorno cerrado, C, es proporcional a la suma del flujo magnético por dicho contorno.

C S

Bdl Jd Sµ=∫ ∫∫ (4)

La circulación del campo magnético sobe un circuito cerrado es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa cualquier superficie que tenga por contorno el circuito.

Figura 3Esquema de cómo una circulación de corriente genera influjo de campo magnético rotatorio.



1.5. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

Maxwell observó que la ley de Ampere necesitaba una modificación para obedecer la ley de conservación de la carga, la ley de Ampere falla en caso de campos con variación en el tiempo. El principio de conservación de la carga o de continuidad se basa en el hecho que la carga total ni se crea ni se destruye y si existen variaciones en una región determinada del espacio es porque la carga abandona dicha región, hay corrientes

( ) ( , )S V V

dQ d dI Jd s JdV r dV J r tdt dt dt

ρ ρ−= = ∇ = = − ⇔∇ = −∫∫ ∫ ∫ (5)

1.6. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

Definiendo el operador divergencia según.

yx zAA AdivA A

x y z∂∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

(6)

Se puede demostrar,

S V

Ad s AdV= ∇∫∫ ∫ (7)

El teorema relaciona el flujo de un campo sobre una superficie cerrada con la integral sobre el volumen encerrado por la superficie de una magnitud llamada divergencia.

Si aislamos la ecuación anterior según:

0lim sv

Ad sdivA

V∆

∆ →=∆

∫ (8)

Podemos interpretar que la divergencia de un campo vectorial es el flujo que atraviesa una superficie cerrada, que al estar dividida por el diferencial de volumen equivale a una densidad de flujo. Como el flujo nos indica las fuentes en el interior de un volumen y realizamos el paso al limite del diferencial del volumen (cada vez más pequeño) al final obtenemos el flujo que surge de un único punto o equivalentemente si en un punto determinado hay una fuente de campo o si en este punto nacen o mueren líneas de campo.

Aplicación:

Ley de gauss diferencial.

1 ( )

o oS V V

Ed s EdV r dV E ρρε ε

= ∇ = ⇔∇ =∫∫ ∫ ∫ (9)

1.7. TEOREMA DE STOKES.

Relaciona la circulación a lo largo de un circuito cerrado con un flujo a través de una superficie abierta que tenga como contorno dicho circuito.

C S

Adl xAd S= ∇∫ ∫∫ (10)

Donde el sentido de giro de la circulación y el del diferencial de superficie están relacionados por la regla del sacacorchos.



Partiendo de la expresión aislada del rotacional

0lim Csn

AdlxA

s∆ →∇ =∆

∫ (11)

Podemos interpretarlo con una densidad de circulación del campo vectorial y al pasar al limite con la densidad de circulación alrededor de un punto, es decir, la cantidad de campo que gira a su alrededor.

Si consideramos un fluido en un canal, la velocidad en el centro del canal será máxima, mientras que si nos acercamos a las paredes disminuirá debido al rozamiento y la viscosidad del fluido (los vectores de velocidad son más pequeños). Para ver que efecto tiene esta no uniformidad del campo, introduciremos una pequeña rueda con aspas en el canal y la colocaremos en distintas posiciones. Si la colocamos en el centro, la rueda no girará ya que la velocidad a ambos lados de la rueda es la misma y el momento de las fuerzas resultante es nulo. En cambio, en cualquier otro punto excepto en el centro, la velocidad en un lado de la rueda será mayor que en el otro, con lo cual el momento de las fuerzas no es nulo y la rueda girará. Entonces diremos que el campo de velocidades tiene un rotacional no nulo fuera del centro, cuyo valor dependerá de lo rápido que gire la rueda. El ejemplo también ilustra cuál es la causa de la existencia del rotacional: la no uniformidad del campo en alguna de las direcciones transversales a éste.

Figura 4 Representación de el molino con aspas situado en un cana representando como la no uniformidad en la velocidad del caudal hará girar las aspas del molino.

Si el campo tuviera un valor constante o tan sólo variable en la dirección del vector, no habría desigualdad entre las fuerzas a ambos lados de la rueda y ésta no giraría. Así pues, el rotacional nos detecta la no uniformidad del campo.

Vemos de forma esquemática cómo la suma de pequeñas circulaciones da la circulación en el contorno, ya que en el interior, la circulación alrededor de dos puntos consecutivos se contrarresta en la zona de contacto.

Considera un contorno C, rodeando una superficie S. Dividimos la superficie en pequeños elementos de rotación. Elementos vecinos se cancelan dejando contribuir solo los componentes expuestos al contorno C. Esto es precisamente lo que nos dice el teorema de Stokes: si integramos ésta sobre la superficie, el resultado final es la circulación en el contorno.

Figura 5 Los elementos infinitesimales de rotación se eliminan con los vecinos quedando únicamente los extremos (contorno).



En coordenadas cartesianas el rotacional se calcula según.

x y z

x y z

rot A xAx y z

A A A

∂ ∂ ∂ = ∇ = ∂ ∂ ∂

(12)

Como el campo eléctrico es irrotacional, 0, ( )xE potencial E r φ∇ = ∃ = −∇

La Tabla 3 muestra un resumen de la formulación en forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio temporal, más la ecuación de continuidad de la carga, también conocida como ley de conservación de la carga. Observad que los símbolos incluyen un subíndice que indican la dirección de orientación de los vectores considerando el caso unidimensional con propagación únicamente en la dirección z

Forma Integral Forma Diferencial

Faraday C S

dl d st∂

= −∂∫ ∫∫E B

t∂

∇× = −∂

E B (13)

Ampére/Maxwell C S S

dl d s d st∂

= +∂∫ ∫∫ ∫∫H J D

t∂

∇× = +∂

H J D (14)

Gauss (E) S V

d s dVρ=∫∫ ∫∫∫D ρ∇ =D (15)

Gauss (B) 0S

d s =∫∫B 0∇ =B (16)

Conservación de

Carga S V

d s dVt

ρ∂= −

∂∫∫ ∫∫∫J tρ∂

∇ = −∂

J (17)

Tabla 3 Formulación integral y diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio temporal.

La ley de Faraday (13)) nos indica que si se produce una variación en el tiempo del flujo de inducción magnética a través de una superficie (S), determinada por un contorno (C), aparecerá una diferencia de potencial. El signo negativo indica que el sentido de la corriente inducida se opondrá a la variación del flujo, es decir, intentará compensar esa variación.

Observamos que si el imán se mantiene en reposo el campo magnético que genera no es capaz de inducir una diferencia de potencial o una f.e.m. en el contorno, es necesaria la variación. (fem=fuerza de origen no electroestático que mueve cargas manteniendo corriente en Régimen Permanente)

La ley de Ampére (14) nos dice que una circulación de corriente genera un campo magnético diferente de cero.

Pero la ley de Ampére también dice que un campo eléctrico variable con el tiempo genera un campo magnético. En este sentido la ley de Ampére es “simétrica” a la ley de Faraday: en la ley de Faraday la variación un variación de flujo de inducción magnética genera un campo eléctrico; y en la de Ampére una variación de flujo de campo eléctrico genera un campo magnético.



La circulación del campo magnético sobe un circuito cerrado es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa cualquier superficie que tenga por contorno el circuito.

Estas dos leyes, la de Faraday y la de Ampére (con la parte correspondiente al campo eléctrico) constituyen un punto de inflexión en la historia de la física, ya que unen dos fuerzas que hasta ese momento se consideraban distintas: la electricidad y el magnetismo.

La ley de Gauss para el campo eléctrico (15) establece que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada (S), es igual a la carga en el interior del volumen (V) que encierra dicha superficie. En este sentido la ley de Gauss para el campo eléctrico identifica las fuentes de dicho campo eléctrico, ya que en el interior de un volumen nacerán o morirán líneas de campo tan sólo si hay presencia de cargas en su interior.

La ley de Gauss para el campo magnético (16) establece por su parte que los monopolos magnéticos (que vendrían a ser el equivalente magnético de las cargas) no pueden existir aislados. Esto implica que el número de líneas de flujo saliente de una superficie cerrada es igual al número de líneas de flujo entrante a dicha superficie. Es lo que pasa en un imán, en el campo magnético terrestre o en un solenoide . Por eso decimos que con esta ley se pone de manifiesto el carácter solenoidal del campo magnético

Estas cuatro leyes se conocen como las leyes de Maxwell y constituyen la base de la teoría del Electromagnetismo, y son uno de los pilares de la física actual.

Sin embargo, Maxwell notó que necesitaba una ley más para satisfacer el principio (Base, origen, razón fundamental sobre la cual se procede discurriendo en cualquier materia.) de conservación de la carga: la ley de conservación de la carga (17). Según esta ley, si existen variaciones en una región determinada del espacio es porque la carga abandona dicha región, hay corrientes. Dicho con otras palabras, una variación en el tiempo de la densidad de carga provoca la aparición de una densidad de corriente eléctrica.

Las leyes de Maxwell están desligadas entre si ya que necesitamos conocer la densidad de flujo magnético para conocer la intensidad de campo eléctrico y necesitamos conocer la densidad de flujo eléctrico para conocer la intensidad de campo magnético. Sin embargo se pueden establecer unas relaciones constitutivas entre éllas. En el espacio libre podemos relacionar las intensidades de campo eléctrico y magnético con las densidades de flujo respectivamente. Al tratarse de un medio lineal, isótropo y homogéneo podemos considerar:

oε=D E (18)

oµ=B H (19)

El concepto de linealidad equivale a decir que podemos aplicar el principio de superposición. Si cada fuente produce su propio campo de forma independiente, el campo resultante debido a muchas fuentes, es la suma de los campos producidos por cada una de las fuentes.



Lección 2

2. VARIACIÓN DE LOS CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL.

Las ecuaciones de Maxwell son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales acoplado esto quiere decir que si las relaciones constitutivas del medio son lineales también lo serán las ecuaciones.

No os preocupéis por la complejidad de las ecuaciones. Una de las principales ideas que se extraen de éllas, y es una idea con la que os debéis quedar, es que estas ecuaciones nos dicen, entre otras cosas, que si las fuentes de los campos (cargas y corrientes) tienen una cierta dependencia temporal, los campos (eléctrico y magnético) tendrá la misma dependencia temporal. ¿Qué quiere decir esto? que si la densidad de carga en un punto varía de forma sinusoidal, el campo generado por esa densidad de carga variará también de forma sinusoidal.

Hasta ahora solo se han estudiado cargas estáticas y quizás sorprenda el hecho de ver que una densidad de carga varíe en el tiempo, pero estos son los casos más habituales. Pensad por ejemplo en la corriente alterna, que es sinusoidal: si miráis un cable en una zona muy pequeña, la densidad de carga en ese punto variará constantemente.

En los ejemplos indicados en los párrafos anteriores hemos hablado sólo de variaciones sinusoidales. Esto es porque nos centraremos sólo en lo que se conoce como el régimen permanente sinusoidal (RPS). Aún así, debéis tener claro que las ecuaciones de Maxwell son válidas para cualquier dependencia temporal.

El RPS corresponde a variaciones temporales que presentan una dependencia del tipo sinusoidal o armónica en el tiempo, es decir, que su representación matemática corresponde a un seno o a un coseno. ¿Por qué nos centraremos sólo en este tipo de variación y no en cualquiera? Esto podría parecer una pérdida de generalidad o una simplificación excesiva. Todo lo contrario: gracias al análisis de Fourier podemos escribir cualquier variación temporal como una suma, finita o infinita, de senos y cosenos.

Aunque la demostración de este hecho va más allá del objetivo de esta asignatura, vamos a detenernos en un sencillo ejemplo. En la Figura 6 podéis ver como una combinación adecuada de señales sinusoidales, de amplitud y frecuencia determinada, puede construir una señal cuadrada.

Notad en la figura, como a medida que el número de armónicos aumenta, la representación de la señal cuadrada se parece más a la ideal. No nos importa cuantas señales sinusoidales necesitaremos para construir una señal temporal arbitraria, ni que condiciones de amplitud y fase deben presentar los diferentes armónicos; el resultado importante es que cualquier variación temporal se puede interpretar como una suma finita o infinita de señales sinusoidales.

Así, el estudio de variaciones temporales del tipo sinusoidal es suficiente para analizar cualquier otro tipo de variación temporal. Pero, ¿qué ventajas tiene trabajar con variaciones sinusoidales?: por un lado, las funciones seno y coseno tienen una representación matemática que simplifica muchísimo los cálculos; y por el otro, nos permite introducir la representación fasorial como mecanismo de simplificación.

A continuación veremos cómo se caracteriza una variación sinusoidal en el tiempo, y seguidamente podremos introducir la representación fasorial.



Figura 6 Representación de cómo una combinación adecuada de señales sinusoidales de amplitud y frecuencia determinada puede construir una señal cuadrada.

2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA VARIACIÓN TEMPORAL SENOIDAL.

Una variación sinusoidal viene descrita matemáticamente por la expresión:

( ) cos(2 )oa t A f tπ φ= + (20)

Donde A es la amplitud de pico de la sinusoide, fo es la frecuencia fundamental de la sinusoide y φ (léase fi) es la fase inicial de la sinusoide en t=0.

En cada ciclo la fase de la sinusoide recorre 2π radianes. En habitual escribir la variación sinusoidal en función de su frecuencia angular o pulsación ω (leáse omega).

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo

( ) cos(2 )oa t A f tπ φ= +

+AT

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo

( ) cos(2 )oa t A f tπ φ= +

+AT

Figura 7 Representación temporal de una sinusoide.

La frecuencia angular es una medida de velocidad angular ya que determina el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Sabiendo que en cada ciclo la fase de la sinusoide recorre 2π radianes y que el periodo T es el tiempo que tarda la sinusoide en completar un ciclo, tenemos que la frecuencia angular es:

2 2 ofTπω π= = (21)



Las unidades de la frecuencia angular son radianes por segundo que, abreviadamente, escribiremos como rad/s.

Sabiendo que la variación en el tiempo es sinusoidal, es suficiente con decir la amplitud de la onda, y la frecuencia (consideramos que el desfase inicial es cero). Es decir, con estos dos parámetros tenemos suficiente para caracterizar la onda, aunque matemáticamente se exprese como se indica en la ecuación (20)

Por tanto, si tenemos un vector cuya longitud sea la amplitud de la onda, y que gire con una velocidad angular igual a la frecuencia de la onda, tendremos toda la información que necesitamos para caracterizar la onda. Este vector se llama fasor.

Un fasor es un vector cuya longitud es la amplitud de la sinoside y que gira a una velocidad angular igual al a frecuencia de la onda.

En la Figura 8 tenéis una representación de este vector en lo que se llama un diagrama polar: un diagrama en el que se representan la amplitud y la velocidad angular. Podéis ver que si proyectamos la amplitud del vector sobre el eje vertical a medida que avanza el tiempo podemos obtener la representación de la señal sinusoidal asociada.

Hay todavía un elemento del que no hemos hablado y que es fundamental para caracterizar una onda: el desfase inicial, φ (ver (20)). De hecho, a la hora de trabajar, sin embargo, a menudo se trabaja con frecuencias conocidas y sólo interesa conocer la amplitud de la onda y el desfase inicial (pensad por ejemplo en la corriente alterna). Por tanto, en realidad, a la hora de trabajar con fasores sólo se utilizan: la amplitud y el desfase inicial, es decir, la longitud del vector y en qué ángulo empieza a girar.

Hasta aquí hemos visto cómo se representa un fasor en una gráfica, pero, ¿cómo se trabaja matemáticamente con él? ¿cómo se representa? Para verlo partiremos de la ecuación (20), y utilizaremos las relaciones de Euler:

( )( ) ·cos( ) Re Rej t j j tx t A t Ae Ae eω φ φ ωω φ + = + = = (22)

Donde A es la amplitud de la sinusoide, ω la frecuencia angular y φ es la fase inicial para t=0. La parte jAe φ contiene toda la información que hemos dicho que necesitamos: la amplitud y el desfase, por lo que

podemos decir que una sinusoide en el dominio del tiempo se puede interpretar como un fasor jAe φ .

t

φ

t

φ

Figura 8 Representación fasorial de una sinusoide en el dominio del tiempo como un vector que gira a la misma frecuencia que la sinusoide.

Así podemos formular un campo eléctrico, por ejemplo orientado en la dirección x , con variación sinusoidal:

( ) cos( )t xA tω φ= +E (23)



Donde A es la amplitud, ω es la frecuencia en radianes y φ es la referencia de fase para t=0. Utilizando las relaciones de Euler, el campo eléctrico tendrá por tanto una representación fasorial, también conocida como función analítica, dada por la ecuación:

jE xAe φ= (24)

Asumiendo la notación fasorial basada en cosenos, la conversión de expresiones fasoriales a expresiones temporales reales se consigue tomando la parte real del producto de la expresión fasorial por el fasor

j te ω .

( )( ) Re Re Re

Re cos( ) sin( ) cos( )

j t j j t j tt Ee xAe e xAe

xA t jxA t xA t

ω φ ω ω φ

ω φ ω φ ω φ

+ = = = = = + + + = +

E (25)

2.2. LEYES DE MAXWELL EN NOTACIÓN FASORIAL

Las fuentes de los campos son las cargas y las corrientes. Y si las fuentes varían en el tiempo podemos asegurar que los campos creados lo harán de la misma forma.

Si consideramos que las cargas y corrientes tienen una variación determinada en el dominio del tiempo por ejemplo sinusoidal, los campos eléctricos y magnéticos serán variables en el tiempo y lo serán también con una dependencia sinusoidal.

Este resultado es muy interesante ya que nos va a permitir reformular las ecuaciones de Maxwell en el dominio fasorial eliminando la dependencia temporal.

Si asumimos por tanto una variación temporal del tipo sinusoidal, ( j te ω ) podemos deducir a partir de las ecuaciones diferenciales de Maxwell y substituyendo las derivadas temporales por jω , las ecuaciones de Maxwell en notación fasorial.

Leyes de Maxwell en Forma Diferencial para el dominio fasorial

Faraday xE j Bω∇ = − (26)

Ampére/Maxwell xH j D Jω∇ = + (27)

Gauss (E) D ρ∇ = (28)

Gauss (B) 0B∇ = (29)

Conservación de

Carga jωρ∇ = −J (30)

Tabla 4 Formulación diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio fasorial.

Observad que hemos eliminado las derivadas temporales de las ecuaciones, es decir, hemos extraído la dependencia temporal de las ecuaciones ya que asumimos que las variaciones son del tipo sinusoidal.



Lección 3

3. CAMPOS EN MEDIOS MATERIALES.

Hemos planteado las expresiones que controlan los campos eléctricos y magnéticos en el vacío, sin la presencia de medios materiales. Sin embargo, éstos existen en la naturaleza (de hecho, la naturaleza está constituida por ellos) y nuestro análisis sería incompleto si no estudiamos cómo se comportan los campos electromagnéticos ante la presencia de un medio material: ¿cómo se propagan en ellos? ¿cómo se comportan en la superficie de separación entre dos medios?, etc. De hecho, podemos pensar que el vacío es un caso particular de medio material.

La primera pregunta que uno debe hacerse es si un medio material modificará la propagación de los campos electromagnéticos. Efectivamente, el comportamiento de los campos eléctrico y magnético viene condicionado por el medio en el que se encuentran. El motivo es que la materia está compuesta por átomos y estos átomos pueden ser considerados (de manera muy simplificada) como un núcleo con carga positiva rodeado de una nube de electrones, que tienen carga negativa. Además, estos electrones están en movimiento y girando sobre sí mismo (insistimos que esta es una visión muy simplificada), por lo que hay pequeñas corrientes en los átomos. Por tanto, un campo electromagnético afectará la materia “separando” las cargas positivas y las negativas y modificando las corrientes. Pero no sólo eso, sino que la nueva disposición modificará a su vez los campos iniciales.

Dado que en cursos anteriores ya habéis visto cómo interacciona la materia con los campos eléctrico y magnético, aquí nos limitaremos a repasar los aspectos imprescindibles para entender la propagación de las ondas electromagnéticas en la materia.

Trataremos primero los materiales conductores y a continuación los materiales dieléctricos. Finalmente, trataremos qué pasa cuando incide una onda electromagnética en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos o entre un medio dieléctrico y uno conductor

3.1. MATERIALES CONDUCTORES.

Los medios o materiales conductores se caracterizan por la presencia de electrones libres o de conducción. Los electrones son una aportación de los átomos al conjunto del material y no tienen una ubicación determinada. Se distribuyen formando una nube.

Como se trata de cargas libres, los electrones pueden verse afectados por la presencia de campos externos. Entenderemos por corriente de conducción el flujo de electrones debido a la presencia de un campo eléctrico exterior.

La conductividad, σ (sigma), es un parámetro importante para la caracterización de materiales desde un punto de vista eléctrico. La conductividad pone de manifiesto la capacidad de moverse de los electrones en el material, de manera que la densidad de corriente de conducción ( J ) será proporcional al campo

eléctrico ( E ), siendo σ la constante de proporcionalidad:

J Eσ= (31)

La conductividad se mide en unidades ( ) 11S·m Ω·m −− = (léase siemens partido metro) y en general es

un parámetro que depende de la frecuencia. La resistividad del material es la inversa de la conductividad y se mide en unidades de Ω·m (léase Ohmios por metro).

La Tabla 5 relaciona diferentes tipos de materiales conductores o aislantes con la conductividad.



MATERIAL CONDUCTIVIDAD ( ) 1Ωm − TIPO

Cobre (Cu) 75,7·10 Conductor

Oro (Au) 74,1·10 Conductor

Aluminio (Al) 73,5·10 Conductor

Grafito 43·10 Conductor

Agua del mar 4 Semiconductor

Arseniuro de Galio 38·10− Semiconductor

Silicio 43,9·10− Semiconductor

Agua destilada 410− Aislante

Porcelana 1410− Aislante

Tabla 5 Conductividad de diversos materiales

Distinguiremos entre buenos conductores y conductores perfectos. Los primeros son aquellos que presentan una conductividad elevada; los segundos son medios donde la conductividad es infinita (σ →∞ ). Decir que la conductividad es infinita equivale a decir que no hay colisiones entre los electrones y los átomos, por lo que la velocidad de los electrones es infinita.

Se puede demostrar que si queremos evitar un campo magnético infinito es necesario que el campo eléctrico sea nulo en el interior de un buen conductor. Precisamente, la principal característica de los conductores perfectos es que el campo eléctrico en su interior es nulo.

De este hecho se deducen a su vez las siguientes características:

Podemos deducir a partir de la Ley de Faraday (13) que si el campo eléctrico es nulo en el interior de un conductor perfecto, se debe cumplir que el campo magnético es independiente del tiempo. Por lo tanto en el interior de un conductor perfecto sólo pueden existir campos magnetostáticos.

En el interior de un conductor no puede haber densidades de cargas netas, ya que el campo eléctrico es nulo. Por tanto, de haberlas estarán en la superficie en forma de densidad superficial de carga.

La presencia de un campo eléctrico exterior impondrá una distribución de cargas superficial de forma que se contrarreste el campo en el interior del conductor.

3.2. MATERIALES DIELÉCTRICOS.

En el curso de electrstática ya habéis estudiado el comportamiento de los materiales dieléctricos afectados por la presencia de campos. En este apartado retomaremos simplemente los resultados obtenidos como base para el estudio del fenómeno de la propagación de las ondas a través de medios dieléctricos.

Los dieléctricos son materiales eléctricamente neutros, con los electrones ligados a los átomos o moléculas que lo forman. Así pues los electrones no pueden trasladarse libremente y no pueden crearse corrientes de conducción. En definitiva, los materiales dieléctricos son eléctricamente aislantes.

Ya hemos estudiado que desde un punto de vista microscópico el dieléctrico se define como un continuo de dipolos microscópicos (existen infinitos de ellos en un diferencial de volumen).



Los dieléctricos en equilibrio pueden ser:

--No polares: no producen campo eléctrico en su exterior, ya que las cargas están perfectamente compensadas.

--Polares: producen un campo eléctrico externo, con un momento dipolar no nulo, 0p ≠ .

La presencia de un campo eléctrico exterior provocará un desplazamiento de las cargas respecto a la posición original, fenómeno conocido como polarización. Ante este campo, los dieléctricos no polares se orientan (polarizan) modificando el campo externo con el generado propio. Por su parte los dieléctricos polares por la propia distribución de cargas generan de por si un campo eléctrico externo.

Así, el campo total ( E ) será la suma del campo exterior ( extE ) y la del propio campo generado por la

orientación de los dipolos ( dipE ): ext dipE E E= +

El problema es que el campo generado por los dipolos, dipE , no se conoce, ya que es el campo generado por elementos microscópicos. Lo que sí podemos conocer es la polarización, que es una característica macroscópica, y por tanto mesurable, y que además depende del campo eléctrico total. Así, definimos la polarización como un vector proporcional al campo eléctrico:

o eP E Eα ε χ= = (32)

Donde eχ (léase chi-sub e) es la susceptibilidad dieléctrica. Esta constante eχ es además una

característica del medio.

Esta reordenación de cargas en el dieléctrico provocada por un campo eléctrico externo aumenta el flujo del vector desplazamiento de la forma:

(1 )o o o e o e o rD E P E E E E Eε ε ε χ ε χ ε ε ε= + = + = + = = (33)

Dado que en el vacío 0D Eε= podemos decir que la permitividad dieléctrica relativa del medio, rε , es

el parámetro fundamental que lo caracteriza. Ésta no es más que un factor que nos indica de qué forma el material dieléctrico incrementa la intensidad de campo eléctrico total y a su vez el vector desplazamiento.

[ / ]ε ε ε= r o F m (34)

De forma que el estudio de los campos en medios materiales lineales, isótropos y homogéneos se estudia de la misma forma que si estuviéramos en el vacío con la salvedad de que hemos de tomar ε en lugar de

oε .

Equivalentemente, para el campo magnético se define una constante magnética efectiva:

o rµ µ µ= (35)

La permitividad dieléctrica puede ser un valor complejo de la forma, ''jε ε ε= − , donde o rε ε ε= .

La parte imaginaria de la permitividad compleja ''ε , tiene en cuenta las pérdidas del medio por calentamiento. Este calentamiento se debe al rozamiento entre los dipolos cuando reorientan el sentido de la polarización en función del signo del campo eléctrico que los polariza. Tened presente que el campo presentará una variación sinusoidal en el tiempo y que por lo tanto cambiará el signo de forma armónica, es decir, también sinusoidal.



Podemos plantear un segundo mecanismo de pérdidas en los materiales dieléctricos, que por naturaleza son aislantes, debido a una conductividad no nula. En ambos casos el mecanismo hace que las pérdidas se conviertan en calor.

Con respecto a las pérdidas por conductividad del material se tomará la densidad de corriente de conducción según:

J Eσ= (36)

De forma que si incluimos pérdidas por conducción y por rozamiento la ley de Ampére/Maxwell podemos rescribirla tomando (33) y (36):

''( '' ) 1xH j D J j E E j E E j j Eωε σω ωε σ ωε ωε σ ωεωε

+ ∇ = + = + = + + = − (37)

Como las pérdidas debido al dieléctrico y las debidas a la conductividad del material son indistinguibles pueden considerarse como un valor total y efectivo a través de lo que se conoce como tangente de perdidas:

''tan ωε σδωε+

= (38)

De forma que los medios materiales quedan totalmente definidos especificando la permitividad dieléctrica efectiva y la tangente de pérdidas:

(1 tan )jε ε δ= − (39)

A frecuencias suficientemente altas, frecuencias de microondas, las pérdidas debidas a las corrientes de desplazamiento dominan sobre las pérdidas de conducción de forma que se puede aproximar la tangente de pérdidas:

''tan'

εδε

= (40)

Habitualmente los fabricantes tabulan con respecto a un material la permitividad dieléctrica y la tangente de pérdidas. La Tabla 1 muestra una relación de materiales dieléctricos con su permitividad dieléctrica relativa y la tangente de pérdidas a la frecuencia a la que han sido medidas.

Material Frecuencia Permitividad dieléctrica relativa

Tangente de pérdidas

Alumina 10 GHz 9.5 a 10 0.0003

Cerámica 3 GHz 6.4 0.0003

Arseniuro de Galio

10 GHz 13 0.006

Pyrex 3 GHz 4.82 0.0054

Teflón 10 GHz 2.08 0.0004

Agua destilada 3 GHz 76.7 0.157

Tabla 6 Relación de algunos materiales dieléctricos con la permitividad y la tangente de pérdidas a la frecuencia medida.



Lección 4

4. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS MEDIOS.

Cuando un campo eléctrico o magnético incide sobre la superficie de separación de dos medios, el campo se puede dividir en una componente tangente (paralela) a la superficie de separación y otra perpendicular a la misma. Este es un hecho puramente matemático según el cuál un vector se pude descomponer como la suma de dos vectores perpendiculares entre si. Veremos que esta separación resulta muy útil ya que la superficie de separación afecta de forma distinta a la componente tangencial que a la componente normal.

La Figura 9 muestra como podemos descomponer un vector cualquiera en dos componentes una tangencial y otra perpendicular con respecto a un plano cualquiera. Este plano en nuestro estudio vendrá determinado por el plano de separación entre dos medios materiales cualquiera y quedará definido por el

vector de superficie ( n ). El vector de superficie es un vector perpendicular a la superficie que define.

Plan

o de

sep

arac

ión

de m

edio

sMedio 1 Medio 2

Componente perpendicular alplano de separación

Com

pone

nte

para

lela

al

plan

o de

sep

arac

ión

n

A

A⊥

A

Plan

o de

sep

arac

ión

de m

edio

sMedio 1 Medio 2

Componente perpendicular alplano de separación

Com

pone

nte

para

lela

al

plan

o de

sep

arac

ión

n

A

A⊥

A

Figura 9 Representación de cómo un vector genérico puede descomponerse en dos componentes que definimos paralela o tangencial y perpendicular o normal al plano de separación de dos medios materiales diferentes.

Observad un detalle, el vector de superficie ( n ) es un vector que define el plano de separación entre los dos medios y es un vector perpendicular a la superficie definida. Por otro lado recordad que el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero. De esta forma podemos expresar matemáticamente la componente paralela del vector A a la que llamaremos ( A ) calculando el producto vectorial del vector

de superficie (vector n perpendicular a la superficie) por el vector analizado ( A nxA= ).

De esta forma cualquier componente del vector A , paralela al vector de superficie (o perpendicular a la superficie de separación) se anulará. Quedando únicamente las componentes perpendiculares al vector de superficie (es decir paralelas al plano de separación). Al ser el vector de superficie perpendicular a ésta, sólo quedarán las componentes tangenciales a la superficie.

Equivalentemente recordad que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. De esta forma podemos expresar matemáticamente la componente tangencial del vector A a la que llamaremos



( A⊥ ) calculando el producto escalar del vector de superficie (vector n perpendicular a la superficie) por

el vector en cuestión ( ·A n A⊥ = ).

De esta forma cualquier componente del vector A , perpendicular al vector de superficie, se anulará. Quedando únicamente las componentes paralelas al vector de superficie. Al ser el vector de superficie perpendicular a ésta, sólo quedarán las componentes perpendiculares a la superficie.

4.1. CAMPOS EN INTERFICIES DE MEDIOS GENERALES.

Las ecuaciones de Maxwell en forma integral son muy útiles para estudiar que ocurre con los campos normales y tangenciales en la interficie de dos medios cualquiera.

A partir de la ley de gauss en forma integral se puede plantear el cálculo del flujo a través de la superficie mostrada en la figura siguiente. Despreciando la superficie lateral ya que el diferencial de superficie es perpendicular al vector flujo magnético.

2 100

.d 0 ( ) 0hsS

s n B B→∆ →

= → − =∫∫ B (41)

Lo cual quiere decir que las componentes tangenciales del vector flujo magnético y por extensión del campo magnético son iguales a ambos lados del plano de separación de medios.

2 100

.d ( ) shsS V

s dV n D Dρ ρ→∆ →

= → − =∫∫ ∫∫∫D (42)



De forma equivalente a través de

2 10E.dl B.d x( ) 0hC S

j s n E Eω →= − → − =∫ ∫∫ (43)

De forma equivalente,

2 10. .d x( ) shC S

s n H H J→= → − =∫ ∫∫H dl J (44)

4.2. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS MEDIOS DIELÉCTRICOS.

Una vez presentada esta conveniencia matemática vamos a introducir dos resultados muy importantes:

En la superficie de separación entre dos medios dieléctricos, sin cargas y sin densidad superficial de corriente se puede demostrar que las componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético en ambos lados del medio deben ser iguales. Esto quiere decir que la componente tangencial no se ve afectada por la superficie de separación entre dos medios. La componente tangencial es continua. Matemáticamente esto se expresa de la siguiente manera:

2 1

2 1

nxE nxE

nxH nxH

=

= (45)

Por otro lado, en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos, sin cargas y sin densidad superficial de corriente, se puede demostrar que las componentes normales del vector desplazamiento eléctrico o densidad de flujo eléctrico y del vector inducción magnética en ambos lados del cambio de medio son iguales. Es decir, las componentes normales también son continuas. Este resultado se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

2 1

2 1

nD nD

nB nB

=

= (46)

Para entender esta notación, recordad que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. De esta forma al calcular el producto escalar del vector de superficie por el vector de flujo estaremos cancelando las componentes perpendiculares al vector de superficie y sólo nos quedarán las componentes paralelas al mismo. Al ser este vector perpendicular a la superficie lo que tendremos serán las componentes perpendiculares (normales) a la misma.

Lo que nos están diciendo estos resultados es que el flujo de campo eléctrico y magnético que atraviesa una superficie de cambio entre dos medios dieléctricos, sin cargas y sin densidades superficiales de



corriente, debe ser continuo. Tanto la componente tangencial como la componente normal de cada uno de los campos debe ser continua: no pueden ser ni mayores ni menores a un lado del medio respecto del otro.

4.3. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA INTERFICIE ENTRE MEDIOS DIELÉCTRICO Y CONDUCTOR.

En la superficie de separación entre un medio dieléctrico y un medio conductor bueno (asumiendo por tanto bajas pérdidas, donde se puede considerar que en el interior todos los campos son nulos), debe cumplirse que:

Se anulan las componentes tangenciales del campo eléctrico en la superficie de separación entre medios.

Las componentes tangenciales del campo magnético deben ser iguales a la densidad superficial de corriente.

Estos resultados se expresan matemáticamente de la siguiente manera:

2

2

0

s

nxE

nxH J

=

= (47)

¿Tiene sentido este resultado? En el interior de un conductor en equilibrio el campo eléctrico debe ser 0. Si la componente tangencial no fuera 0 significaría que habría una componente resultante de campo eléctrico distinta de 0, lo que implicaría desplazamientos de carga y que el campo eléctrico en el interior del conductor no sería 0.

Por otro lado, en caso que haya corrientes en la superficie de separación del conductor, éstas generarán un campo magnético, de ahí que la componente tangencial de campo eléctrico esté relacionada con la densidad de corriente. Notad que estas corrientes serán tales que el campo eléctrico total (teniendo en cuenta no sólo el generado por estas densidades de corriente) en el interior del conductor será 0 y la componente tangencial del mismo también.

Por otro lado las componentes normales del vector densidad de flujo eléctrico sobre el conductor deben ser igual a la densidad superficial de carga y las componentes normales del vector densidad de flujo magnético son cero.

2

2 0snD

nB

ρ=

= (48)

Este resultado también es intuitivo. Para entenderlo, pensemos en un conductor esférico infinitamente pequeño: si recordáis lo visto en electrostática, el campo eléctrico generado por una esfera conductora de densidad superficial ρ (rho) es igual al generado por una carga eléctrica. Dado que las líneas de campo salían normales al conductor, es lógico que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico esté relacionado con la densidad de carga superficial: vendría a ser el campo generado por ésta.

En cuanto al vector inducción magnética, y siguiendo con el mismo ejemplo de un conductor esférico infinitamente pequeño, si la componente normal no fuera 0, estaríamos diciendo que hay “polos magnéticos”, lo cuál vimos ya que no es posible.



Lección 5

5. LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA UNIDIMENSIONAL

En el apartado hemos puesto de manifiesto la necesidad de entender el fenómeno de la propagación de la onda electromagnética. Siendo éste el mecanismo más utilizado para la transmisión de la información a distancia.

En este apartado presentaremos brevemente el concepto de fenómeno ondulatorio (apartado 5.1) y plantearemos la ecuación de ondas unidimensional para el campo eléctrico y magnético (apartado 5.1.1). Y trabajaremos sobre la solución de la ecuación de ondas para definir características importantes de las ondas.

La solución de onda que vamos a contemplar es lo que llamamos solución de onda plana (apartado 6.2). Es un tipo de solución que se caracteriza por ser constante en la dirección de propagación de la onda. Más que una simplificación matemática es una generalización de la solución. Ya que se puede demostrar que cualquier onda se puede construir mediante la superposición de ondas planas.

Finalmente mostraremos un efecto fundamental del comportamiento ondulatorio de las ondas electromagnéticas: el efecto Doppler (apartado 6.2.2). Este efecto ha jugado un papel clave en la proposición de la teoría del Big Bang sobre el origen del universo, y la versión relativista del mismo tiene interesantes efectos que son fundamentales en los viajes espaciales.

5.1. FENÓMENOS ONDULATORIOS.

Con el nombre de fenómenos ondulatorios se explican un conjunto de comportamientos que están a la orden del día en nuestra vida cotidiana. Quizás el primero que nos viene a la mente es el de tirar una piedra en un estanque: al hacerlo se forman unas ondulaciones en el agua que se desplazan desde el punto en el que ha caído la piedra hasta la orilla.

Sin embargo, este desplazamiento tiene una curiosidad que es fundamental para entender lo que son las ondas. Supongamos estamos jugando a tenis y se nos cae la pelota en un estanque. Para recuperarla podemos utilizar la raqueta, pero no llegamos hasta la pelota Se nos ocurre entonces que si damos unos golpes al agua con la raqueta generaremos ondas, y como las ondas se desplazan llevarán la pelota hasta la orilla. Damos los golpes con la raqueta al agua y generamos ondas. Lo que observamos entonces es que la pelota de tenis sube y baja al pasar la onda ¡¡pero no se desplaza en la dirección de propagación de las ondas!!. El motivo es que las ondas propagan energía, pero no materia.

Este resultado puede parecer antiintuitivo, pero veréis que, en el caso de las ondas electromagnéticas el resultado va más allá, y no sólo no transportan materia, sino que ¡ni siquiera necesitan materia para propagarse!

Los fenómenos ondulatorios pueden definirse como aquellos en que se transporta energía des un punto a otro (de un emisor a un receptor) sin transferencia de materia entre ambos.

La diversidad de los fenómenos ondulatorios nos impide establecer una clasificación única con respecto a los diferentes fenómenos y tipos de onda que se dan en la naturaleza. Podemos clasificar las ondas atendiendo a diferentes aspectos como su naturaleza, la dirección de propagación o la forma de propagación.

En función de su naturaleza podemos diferenciar entre ondas mecánicas y ondas electromagnéticas.

Las ondas mecánicas necesitan un medio (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo sin desplazarse en la dirección de propagación, sin que haya



transporte de la materia que constituye el medio. Sería el caso de las ondas del estanque, que no desplazaban la pelota de tenis aunque se propagaban hasta la orilla.

Las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, por lo que pueden propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de unos campos eléctrico y magnético asociados. Este resultado es tan antiintuitivo que provocó un gran revuelo en la comunidad científica. De hecho, hasta principios del siglo XX no se dejó de buscar el éter, un medio que ocuparía todo lo que hoy en día llamamos vacío. Veremos sin embargo, en el apartado 5.1.1 que, simplemente a partir de las ecuaciones de Maxwell, es posible darse cuenta que las ondas electromagnéticas no necesitan ningún medio material para propagarse.

En función de la dirección de propagación podemos diferenciar entre ondas monodimensionales, bidimensionales y tridimensionales o esféricas

Las ondas monodimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas.

Las ondas bidimensionales o superficiales son ondas que se propagan en dos direcciones, es decir en una superficie. Se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo serían las ondas producidas en un estanque al dejar caer una piedra sobre él (o al golpearlo con una raqueta de tenis).

Por último las ondas tridimensionales o esféricas son ondas que se propagan en tres direcciones. El sonido y las ondas electromagnéticas son ejemplos de ondas esféricas que se propagan en todas las direcciones.

Finalmente, en función de la forma de propagación podemos diferenciar entre ondas longitudinales y ondas transversales.

Las ondas logitudinales son aquéllas donde el movimiento de las partículas que transportan la onda, vibran en la misma dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión, un ejemplo de onda longitudinal es el sonido.

Las ondas transversales son aquéllas donde las partículas que transporta la onda vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Las variaciones en el desplazamiento de los puntos de una cuerda tensa constituyen una onda típicamente transversal. Otro ejemplo serían las ondas producidas en la superficie de un estanque. En el caso de la pelota de tenis, ésta se desplazaba hacia arriba y hacia bajo mientras que la ondas se propagaba en sentido horizontal. La onda electromagnética, que es en la que nos centraremos, también es un ejemplo de onda transversal.

Para poder observar el fenómeno de propagación deberíamos tomar “fotografías” en diferentes instantes de tiempo. Si comparamos la magnitud del desplazamiento en instantes sucesivos podemos apreciar el avance de la onda. Transcurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra cómo todos los puntos pasan por todos los estados de vibración es decir por todos los valores de amplitud.

En la Figura 10 podéis ver la magnitud de la forma de onda para tres instantes de tiempo diferentes, representando cada instante con un tipo de línea distinto (continua, discontinua y punteada). El círculo negro situado sobre el eje de ordenadas muestra el proceso de vibración del campo eléctrico en un punto del espacio determinado, con una variación del tipo sinusoidal.

A medida que avanza el tiempo el punto negro se desplaza verticalmente desde el máximo de amplitud hasta el mínimo, de forma periódica, es decir, repitiendo sucesivamente el mismo recorrido.

Sin embargo para conocer cómo cambia el desplazamiento con el tiempo resulta más práctico observar la representación del movimiento de un punto fijo. Los tres cuadrados representan un mismo punto fijo de la



onda, que aparentemente parece que se desplaza en la dirección de propagación o avance de la onda a medida que avanza el tiempo.

Vibración vertical sin desplazamiento

Propagación de la onda

z

E( , )z tVibración vertical sin desplazamiento


z



z



z

E( , )z t

-A

+A



z

E( , )z tVibración vertical sin desplazamiento


z



z



z

E( , )z t

-A

+A

Figura 10 Representación del fenómeno de propagación de una onda transversal con dependencia temporal del tipo sinusoidal evaluada en tres instantes de tiempo diferentes y consecutivos.

Los puntos en fase como el seleccionado por el cuadrado, es decir todos los máximos de la onda, vibran a la vez y están separados por una longitud de onda. Entenderemos por longitud de onda la distancia entre dos puntos idénticos de la onda: dos máximos, dos mínimos o dos cruces por cero. La longitud de onda juega el mismo papel en el dominio espacio que el periodo en el dominio tiempo.

Llamaremos velocidad de fase la velocidad con que se propaga un punto fijo de la onda (como los indicados por el cuadradito en la Figura 10). Esta velocidad se calcula como el cociente entre la distancia recorrida por el punto escogido y el tiempo que tarda el punto en recorrerla.

Imaginemos por un momento el movimiento ondulatorio de las olas del mar. El agua se desplaza verticalmente de arriba a bajo. Y lo hace con una frecuencia determinada. Si nos fijamos en la cresta de una ola, la vemos avanzar hacia la orilla. A la velocidad a la que avanza la cresta de la ola es lo que llamamos velocidad de fase. Sin embargo el agua no se desplaza. A la distancia que existe entre dos crestas consecutivas es lo que llamamos longitud de onda.

Cualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibración están desfasados entre si. Si la diferencia de fase es π , diremos que están en oposición de fase. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento y un cambio de signo en la amplitud. Por ejemplo, en el caso del punto negro de la Figura 10, en el punto más alto tiene una amplitud A, mientras que en el punto más bajo tiene una amplitud –A.

5.1.1. ECUACIÓN DE ONDA UNIDIMENSIONAL.

Podemos definir una onda como una perturbación que se propaga a través del espacio y transporta energía. Matemáticamente se dice que una función cualquiera de la posición y del tiempo, ( , )z tψ (léase, psi de z y t) es una onda que se propaga en la dirección de z, si verifica la Ecuación de Ondas:

2 2

2 2 2

1 ( , )( , ) z tz tz v t

ψψ∂ ∂=

∂ ∂ (49)

(léase: derivada segunda respecto al espacio de la función es igual a la derivada segunda de la función respecto al tiempo dividida por la velocidad al cuadrado)

Donde v es la velocidad de propagación de la onda.



Esta ecuación se conoce como ecuación de onda escalar unidimensional. Escalar porque la función de onda no es un vector, y unidimensional porque sólo depende de una dimensión en el espacio, la z.

En esta asignatura no vamos a resolver la ecuación explícitamente. Simplemente debéis tener claro que una ecuación como esta se conoce como ecuación de ondas.

Esta ecuación tiene una solución general de la forma 1 2( , ) ( ) ( )z t f z vt f z vtψ = − + + , donde f es una

función arbitraria que representa en general la forma de onda excitada en una fuente transmisora. Recordad que aunque normalmente simplificamos los análisis utilizando señales armónicas (senos o cosenos) las señales a transmitir tendrán una forma de onda arbitraria en el dominio del tiempo (será una señal de audio o video).

La función f1 representa una onda de forma arbitraria que viaja en la dirección de z en sentido positivo. La función f2 representa una onda de forma arbitraria que viaja en la dirección de z en sentido negativo. Llamaremos onda progresiva a la primera, la que viaja en sentido positivo; y onda regresiva a la segunda, la que viaja en sentido negativo.

Si consideramos un punto fijo o constante de la onda f1, es decir (z-vt=cte) si el tiempo (t) aumenta la onda debe propagarse en la dirección de z sentido positivo para que se cumpla la igualdad. De forma equivalente para f2 si el tiempo aumenta la onda debe propagarse en la dirección de z sentido negativo para el cumplimiento de la igualdad (z+vt=cte).

Ahora bien en el caso de la onda electromagnética la función que participa de la ecuación de ondas y que depende del espacio y del tiempo será el campo eléctrico y el campo magnético. Y por lo tanto las soluciones de la ecuación de ondas será la solución del campo eléctrico y magnético.

La Figura 11 representa la solución de la ecuación de onda unidimensional que viaja en la dirección de z positiva y que presentaría el campo eléctrico orientado en la dirección de x. La oscilación vertical de los vectores en la dirección x provoca la sensación de propagación de la onda, aunque estrictamente en la propagación del campo eléctrico no se produce desplazamiento de masa, como ya hemos visto en el apartado 5.1.

Asociado al campo eléctrico ( E ) existe un campo magnético ( H ) perpendicular. Además tanto el campo eléctrico como el magnético son perpendiculares a la dirección de propagación.

( )f z vt x= −E

1 ( )f z vt yη

= −H

v

z

x

y

( )f z vt x= −E

1 ( )f z vt yη

= −H

v

z

x

y

Figura 11 Representación de una onda electromagnética que viaja en la dirección z sentido positivo con el campo eléctrico orientado en la dirección x.

5.1.2. JUSTIFICACIÓN DE PROPAGACIÓN ONDA ELECTROMAGNÉTICA EN EL ESPACIO LIBRE.

Hasta aquí hemos visto que habrá un campo eléctrico y magnético asociados, pero aún no hemos explicado cómo es posible que puedan propagarse en el vacío.

Consideraremos la ley de Ampere (14) como hipótesis de inicio. Imaginad un hilo conductor por el que circula una corriente, la ley de Ampere nos dice que una circulación de corriente genera un campo magnético diferente de 0. La ley de Ampére también dice que un campo eléctrico variable con el tiempo



genera un campo magnético pero de momento consideramos únicamente el creado por la circulación de una corriente.

A partir de la ley de gauss para el campo magnético (16) podemos asegurar que el campo magnético será rotatorio, ya que si consideramos una superficie el flujo entrante y saliente debe ser el mismo. A su vez la ley de Ampére/Maxwell (14) determina que la rotación del campo magnético, H , producirá un flujo eléctrico variable con el tiempo. A partir de la ley de gauss para el campo eléctrico (15) la variación del vector desplazamiento eléctrico es nula al tratarse de un medio libre de cargas Por lo tanto las líneas de flujo del vector desplazamiento serán cerradas, creando un campo eléctrico rotatorio, como podéis ver en la Figura 12.

La presencia de un campo eléctrico rotatorio a partir de la Ley de Faraday (13), creará la presencia de un flujo magnético variable con el tiempo, que por el carácter solenoidal del campo magnético, también será rotatorio. Volviendo a la situación inicial donde partíamos de un campo magnético rotatorio.

D

B B

DD

B B

D

Figura 12 Representación de cómo un campo magnético variable con el tiempo genera un campo eléctrico variable con el tiempo. Fundamentalmente explica el fenómeno de la propagación de la onda electromagnética.

La Figura 13 muestra una representación de la onda electromagnética, propagándose en la dirección de z, con el campo eléctrico orientado en la dirección de x y el campo magnético asociado orientado en la dirección de y. Observad como demostraremos más adelante que la dirección de propagación y el vector campo eléctrico y magnético forman una triada de vectores de mano derecha.

De forma que rotando el vector campo eléctrico sobre el vector campo magnético en el sentido de las agujas del reloj (como si apretáramos un tornillo) la dirección de propagación de la onda se orienta en el sentido de avance del tornillo.

z

x

y

( , )z tE

( , )z tH

z

x

y

( , )z tE

( , )z tH

Figura 13 Representación de la onda transversal electromagnética.

Para conocer la naturaleza de las ondas podemos considerar un gran volumen del espacio vacío. Como en el espacio vacío no puede haber fuentes deberá cumplirse que 0ρ= =J . Los campos deben satisfacer la ecuación de onda unidimensional para el campo eléctrico en el dominio del tiempo que resulta:

2 2

2 2

( , ) ( , ) 0o oz t z t

z tµ ε∂ ∂

− =∂ ∂E E

(50)



Por simple inspección con la expresión general de la ecuación de ondas unidimensional (49) podemos determinar la relación de la velocidad de fase en el vacío:

1

po o

v cµ ε

= = (51)

Es decir, la velocidad de propagación de la onda en el vacío depende de la constante de permeabilidad magnética y de la permitividad dieléctrica del mismo. De hecho, este resultado es válido para cualquier medio y no sólo para el vacío: la velocidad de propagación de una onda electromagnética en un medio dependerá de la constante de permeabilidad magnética y permitividad dieléctrica del medio en cuestión.

1

pvµε

= (52)

Si consideramos que estamos en el régimen permanente sinusoidal (apartado 2) la ecuación de onda (50) en forma fasorial es:

2

22

( ) ( ) 0E z E zz

ω µε∂+ =

∂ (53)

Donde representamos ya el campo eléctrico en notación fasorial, es decir sin dependencia temporal. Además se han substituido las derivadas temporales por un factor multiplicativo jω (al ser derivada doble, el factor multiplicativo se eleva al cuadrado).

De la misma forma, podemos establecer en notación fasorial la ecuación de ondas unidimensional para el campo magnético:

2

22

( ) ( ) 0H z H zz

ω µε∂+ =

∂ (54)

Las ecuaciones (53) y (54) son las ecuaciones de onda, respectivamente, de los campos eléctrico y magnético en notación fasorial.



Lección 6

6. LA ECUACIÓN DE ONDA.

6.1. LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA

En una región homogénea, isotrópica, lineal y libre de cargas podemos establecer a partir de las leyes de Maxwell en notación fasorial

xE j Hωµ∇ = − (55)

xH j Eωε∇ = (56)

Aplicando el rotacional a la primera y usando la segunda podemos desacoplar el campo eléctrico del campo magnético.

2·x xE j xH j j E Eωµ ωµ ωε ω µε∇ ∇ = − ∇ = − = (57)

Donde utilizando la siguiente propiedad:

2( )x xA A A∇ ∇ =∇ ∇ −∇ (58)

La cual es valida para componentes rectangulares de cualquier vector genérico, dado que 0E∇ = en una región libe de cargas, podemos establecer que:

2 2 0E Eω µε∇ + = (59)

La ecuación (59) se conoce como ecuación de Helmholtz o ecuación de onda para el campo eléctrico. De la misma manera se puede deducir para el campo magnético.

2 2 0H Hω µε∇ + = (60)

Definimos una constante, k, llamada número de onda o constante de propagación y que cumple la relación:

" " [ / ]k rad mβ ω µε= = (61)

Ahora obtendremos la solución de la ecuación de ondas y veremos principalmente como interpretar esta constante de propagación.

6.2. SOLUCIÓN DE ONDA PLANA PARA LA ECUACIÓN DE ONDAS.

Para resolver la ecuación de ondas para el campo eléctrico (53), vamos a tomar una simplificación matemática: consideraremos como solución un tipo de onda particular, la onda plana. La onda plana es aquella que varía solamente en la dirección de propagación y es uniforme (constante) en el plano normal a la dirección de propagación.

Estudios avanzados de electromagnetismo permiten demostrar que una onda arbitraria puede representarse como un conjunto de ondas planas de forma que tomar la solución de onda plana además de una simplificación matemática resulta ser una generalización para cualquier otra solución.

Podemos analizar las características de propagación de las ondas electromagnéticas estudiando la solución de la ecuación de onda. Para obtener las características, no necesitamos el caso más general. Es suficiente suponer la propagación en una dirección.

Elegiremos como dirección de propagación de la onda la dirección z . Además no debemos olvidar el carácter vectorial del campo de forma que deberemos fijar una dirección de orientación. Consideraremos



que el campo eléctrico está orientado en una única dirección del espacio, la dirección x . Por tratarse de

una onda plana consideraremos también que el campo eléctrico no tiene variación en x , al ser el campo eléctrico de amplitud uniforme (es decir la amplitud del campo eléctrico es constante con la posición).

Además el campo eléctrico no tendrá componente en y por construcción (ya que hemos considerado que

únicamente se propaga en la dirección z y vibra en la dirección x .

Para simplificar la ecuación (53) definiremos una constante que llamaremos número de onda o constante de fase, k, como:

k β ω µε= = (62)

Y que tiene unidades de radianes por metro (rad/m). La constante de fase nos indica como varía la fase de un punto fijo de la onda por unidad de longitud, es decir con la distancia. Pero esperaremos a analizar la solución de la ecuación de ondas para obtener su significado físico completo.

La ecuación de ondas unidimensional para el campo eléctrico (53) si consideramos (62) resulta:

2

22

( ) ( ) 0E z k E zz

∂+ =

∂ (63)

En un medio sin pérdidas, las constantes de permitividad y permeabilidad dieléctrica del medio (ε y µ ) son números reales. Y por lo tanto el número de onda también será real.

Es fácil comprobar que para la ecuación diferencial mostrada en (63) existe una solución posible en forma fasorial del tipo:

( ) ( ); ( ) ojk zx xE z xE z E z E e−+= = (64)

Donde E+ es una amplitud constante y arbitraria, que no dependen de la posición, al ser el campo

eléctrico uniforme en la dirección x . Recordad la definición de onda plana, decía que es uniforme en la dirección transversal a la dirección de propagación. En general esta amplitud es un número complejo. El superíndice (+) indica que se trata de una onda progresiva que viaja en la dirección de z positiva.

Y donde el vector de orientación del campo eléctrico ( x ) viene fijado por construcción. Para este caso el

campo eléctrico estará orientado en la dirección x . La exponencial compleja representa el término de propagación. Observad que a medida que varíe la z, solo cambiará la fase de la amplitud de la onda pero no el módulo de la amplitud de la onda.

En el exponente de la (64), la constante de fase o número de onda, ko, indica los radianes que cambia la fase de la onda por unidad de longitud. Lleva un signo menos indicando que la fase se retrasa al avanzar la onda.

Esta solución recibe el nombre de solución de onda plana. La onda plana es aquella que varía solamente en la dirección de propagación y es uniforme en los planos normales a la dirección de propagación.

En general tomaremos como solución de onda plana:

( ) ( ); ( ) jkz jkzx xE z xE z E z E e E e+ − −= = + (65)

Donde ,E E+ − son amplitudes constantes y arbitrarias que no dependen de la posición, al ser el campo

eléctrico uniforme en la dirección x . El significado es simplemente incorporar a la solución general la presencia de una onda que viaja en el sentido contrario a la onda progresiva. A esta nueva onda se le conoce como onda regresiva y será de utilidad más adelante cuando estudiemos la reflexión de ondas en



la superficie de separación entre dos medios diferentes. La identificaremos con el superíndice (-) en la amplitud y fijaros que el signo del argumento de la exponencial es positivo

Podéis obtener la expresión del campo eléctrico instantáneo calculando la parte real del producto del fasor campo eléctrico por el fasor sinusoidal ( j te ω ):

( , ) Re ( ) j tz t E z e ω = E (66)

Substituyendo la expresión de la solución de onda plana obtenida en la ecuación (64) y mediante la relación de euler obtenemos para el campo eléctrico instantáneo el siguiente resultado:

( )

( ) ( )

( , ) Re

Re

cos( ) cos( )

jkz j t jkz j t

j t kz j t kz

z t x E e e E e e

x E e E e

x E t kz E t kz

ω ω

ω ω

ω ω

+ − −

+ − − −

+ −

= + =

= + =

= − + +

E

(67)

El primer término representa una onda viajando en la dirección +z, es decir, para mantener un punto fijo en la onda t kz cteω − = , al aumentar el tiempo debemos desplazarnos en la dirección positiva de z. El segundo término representa una onda viajando en la dirección –z.

La presencia de la onda regresiva no se trata más que de una conveniencia matemática. Se utiliza para contemplar el problema de ondas reflejadas en el cumplimiento de las condiciones de contorno para determinados escenarios que serán estudiados en el capitulo 0.

Para tener una especificación completa de la onda plana del campo electromagnético se debe incluir el campo magnético. En general conocido uno, el otro se puede deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell en notacion fasorial, en particular aplicando la ley de Faraday (26) y para la orientación del campo eléctrico considerado.

1( ) xEH z y

j zωµ∂

=∂

(68)

Esta no es la forma habitual de obtener el campo magnético a partir del campo eléctrico. Demostraremos más adelante (apartado 4) que el campo eléctrico y el campo magnético se pueden relacionar a través de la impedancia de la onda.

De la misma forma que el voltaje y la corriente están relacionados a través de la resistencia, el cociente del campo eléctrico y magnético en función de la distancia siempre es igual a una constante que es la impedancia de la onda.

Por lo tanto el campo magnético estará orientado en la dirección y :

1( )

/

jkz jkzyH z E e E e

k

η

µη ωµε

+ − − = −

= =

(69)

Donde η es la impedancia de onda para la onda plana. Definida como el cociente entre el campo eléctrico y el campo magnético y tiene unidades de Ohms.

En el caso de ondas planas se trata también de la impedancia intrínseca del medio que en el espacio libre toma el valor de o= =377Ω 120 Ωo oη µ ε π= .



En la Figura 14 podéis ver los campos eléctrico y magnético representados en función del espacio, para dos instantes de tiempo. Sólo se ha dibujado la onda progresiva que avanza en la dirección de z positiva.

El vector campo eléctrico y el vector campo magnético son vectores ortogonales entre si y ortogonales a la dirección de propagación, z. Esta es una característica de la onda transversal eléctrica y magnética (TEM).

z

x

y

( , ) cos( )oz t xE t kzω= −E

z

x

y

( , ) cos( )oEz t y t kzωη

= −H

t=t1

t=t1+∆t

z

x

y

( , ) cos( )oz t xE t kzω= −E

z

x

yz

x

y

( , ) cos( )oEz t y t kzωη

= −H

t=t1

t=t1+∆t

Figura 14 Representación en dos instantes de tiempo del campo eléctrico y del campo magnético asociado a la onda electromagnética.

6.2.1. PARÁMETROS DE ONDA PLANA.

Hasta aquí hemos visto de una forma más o menos intuitiva qué son la velocidad de fase y la longitud de onda. En este punto definiremos formalmente (matemáticamente) estos parámetros.

Como hemos visto en el apartado 6.2.1, la velocidad a la que viaja una onda se denomina velocidad de fase. La velocidad por definición mide como varía la distancia en un intervalo de tiempo, equivalentemente la interpretamos como el incremento de distancia dividido por un incremento de tiempo.

Para obtener la expresión de la velocidad de fase de una onda deberemos tomar un punto fijo o constante de la onda. Como la función de onda que estamos considerando en el dominio del tiempo es un coseno es equivalente a tomar el argumento del coseno igual a una t kz cteω − = . Así pues podemos aislar z en función de los otros términos y aplicar la derivada respecto al tiempo.

( ) 1p

dz d t ctev kdt dt kωω

µε−= = = = (70)

Recordad el símil con el movimiento ondulatorio de las olas del mar, si fijamos un punto de referencia sobre la cresta de una ola, la velocidad a la que se mueve la cresta de la ola sería el equivalente a la velocidad de fase, aún cuando si dejamos un corcho flotando sobre el mar éste no se desplazaría al no haber un desplazamiento real del agua del mar.



En el espacio libre las constantes de permitividad y permeabilidad del medio son las del vacío de forma

que la velocidad de fase,(70), toma el valor, 81 2,998·10 /po o

v c m sµ ε

= = = , y corresponde a

la velocidad de propagación de la luz en el vacío.

La longitud de onda se define como la distancia entre dos máximos o mínimos consecutivos (o cualquier otros dos puntos de referencia idénticos en la onda). Equivalentemente podemos definir la longitud de onda como la distancia que debe recorrer un punto de la onda para sufrir una variación de fase de 2π radianes.

2 222 p pjk j v ve e k

k fλ π ππλ π λ

ω− −= → = → = = = (71)

Es decir la longitud de onda juega el mismo papel en el dominio espacial que el periodo de una señal en el dominio temporal

Ejemplo 1

Una onda plana con una frecuencia de 1 GHz se propaga por un medio infinito con permitividad dieléctrica relativa, 9ε =r y permeabilidad magnética relativa, 4µ =r .

Calculad la longitud de onda, velocidad de fase e impedancia de onda.

La velocidad de fase se calcula a partir de (70) simplemente incluyendo las constantes de permitividad y permeabilidad del medio:

8

81 1 3·10 0,5·10 m/s9·4p

o r o r r r

cvµε µ µ ε ε µ ε

= = = = = (72)

Donde observamos que es 6 veces menor que la velocidad de propagación de la luz en el vacío.

La longitud de onda se calcula igualmente a partir de (71):

8

9

3·10 0,05 m6·1·10·

p

r r

v cf f

λε µ

= = = = (73)

Mientras que la impedancia de la onda (69) se calcula de nuevo contemplando las constantes de permitividad y permeabilidad del medio:

4 251,3 Ω9

o r ro o

o r r

µ µµ µη η ηε ε ε ε

= = = = = (74)

Ejemplo 2

Obtened la expresión del campo eléctrico para una onda que viaja en el vacío,

propagándose en la dirección de z , sentido positivo, con el campo eléctrico

orientado en la dirección y de amplitud Eo y frecuencia 600 MHz. Así como la

expresión del campo eléctrico instantáneo.

La longitud de onda en el vacío de una onda a frecuencia 600 MHz es, (71):



8

8

3·10 0,5 m6·10

pv cf f

λ = = = = (75)

Con lo cual la constante de fase o número de onda, (71), en el vacío resulta tener el valor:

2 2 4

0,5π π πλ

= = =ok (76)

El campo eléctrico tendrá orientación en y , amplitud constante y se propaga en la dirección de z , sentido positivo. Así, en notación fasorial, la expresión del campo eléctrico es:

4( ) π− −= =ojk z j zo oE z yE e yE e (77)

Mientras que la expresión del campo eléctrico instantáneo (66) resultante es:

4 ( 4 )( , ) Re ( ) Re Re

Re (cos( 4 ) sin( 4 ))

cos( 4 )

j t j z j t j t zo o

o

o

z t E z e yE e e yE e

yE t z j t z

yE t z

ω π ω ω π

ω π ω π

ω π

− − = = = = = − + − =

= −

E

(78)

Donde se ha hecho uso de la relación de Euler cos( ) sin( )θ θ θ= +je j

6.2.2. APLICACIÓN. EFECTO DOPPLER.

Imaginemos un terminal de telefonía móvil que se encuentra en reposo y separado una distancia (d), según el eje z, de la estación de telefonía móvil que le da servicio (podéis ver la situación en la Figura 15 ). El terminal recibe una onda plana que proviene de la estación base que le da servicio cuyo campo

eléctrico está orientado en la dirección x y se propaga en la dirección z .

x

s=d, constante si móvil en reposo

s=d(z), variable si móvil en movimiento Estación base Estación base

z

x

s=d

s=d(z

Figura 15 Esquema del planteamiento para el estudio del efecto Doppler. Consideraremos dos casos: en el primero la distancia del movil, en reposo, a la estación base es fija, en el segundo la distancia del móvil, en movimiento, a la estación base es variable.

Un campo eléctrico con estas características tendrá la forma:

( ) ojk zoE z xE e−= (79)

El campo eléctrico instantáneo podemos obtenerlo a partir de (66):



( , ) Re ( )

Re cos( ) cos( ( ))

o

o o

j t

jk z j to o o o o

z t E z e

xE e e xE t k z xE t

ω

ω ω−

= = = = − = Θ

E (80)

Donde se ha definido la fase instantánea de una onda como 0 0( )t t k zωΘ = − , (donde ( )tΘ se lee como

theta mayúscula de t). La fase instantánea es la fase que tiene la onda en cada instante. Y la frecuencia instantánea es la derivada de la fase instantánea respecto al tiempo.

1 ( )( )

2id tf t

dtπΘ

= (81)

Con lo cual la frecuencia instantánea de la onda resultante es:

1 ( ) 1( ) )

2 2i o od t d df t t k z

dt dt dtω

π πΘ = = −

(82)

Donde hemos tenido en cuenta que ω0 y k0 son constantes.

Si el transmisor y el receptor se encuentran en reposo, la distancia que los separa es constante, es decir, la variación de la distancia respecto al tiempo es 0. Matemáticamente esto se expresa como:

0dzdt = (83)

y por tanto, de la ecuación (82)obtenemos:

( )2

oi of t fω

π= = (84)

Es decir, si emisor y receptor están en reposo, la frecuencia de la onda, vista desde el receptor, es la misma que la emitida. Este resultado no nos sorprende, ya que una onda tiene una frecuencia determinada. Veremos sin embargo que cuando emisor o receptor están en movimiento, la frecuencia no permanece constante.

Si el receptor se encuentra en movimiento con respecto al transmisor, la distancia que los separa dependerá del tiempo, de forma que la variación de la distancia con respecto al tiempo será igual a la velocidad a la que se desplaza el receptor:

dz vdt = ± (85)

Donde el ± indica que la velocidad puede ser alejándose (+v) o acercándose (-v) el receptor del emisor.

Teniendo este resultado en cuenta, obtenemos, a partir de la ecuación (82):

( ) 2( )

2 2o o

i o oo o

k v vf t f v fω ππ πλ λ

−= = ± = ± (86)

Donde se ha utilizado la ecuación (71) para poner la expresión en función de la longitud de onda.

Este resultado sí que es sorprendente: cuando el receptor y emisor se acercan (signo negativo), el receptor ve una frecuencia superior a la de la onda; en cambio, cuando se alejan (signo positivo), la frecuencia que ve es superior. El problema es simétrico para receptor y emisor en movimiento, y lo único importante es la velocidad relativa entre ambos y si están acercándose o alejándose. Este desplazamiento de la frecuencia instantánea se conoce como frecuencia doppler.



Lección 7

7. ONDAS PLANAS EN MEDIOS MATERIALES

En el apartado anterior hemos trabajado la solución y caracterización de la onda plana como solución general de la ecuación de ondas para un medio sin pérdidas, es decir, un medio en el que las constantes de permitividad y permeabilidad dieléctrica (ε y µ ) son números reales. En particular, se ha solucionado la ecuación de ondas para el vacío.

En el punto 7.1 vamos a considerar el caso más habitual, en el que la onda electromagnética se propaga por un medio con pérdidas. Estudiaremos cómo debemos modificar la expresión general de la solución de onda plana y analizaremos el efecto que producen las pérdidas en la propagación de la misma.

En el punto 8 analizaremos qué ocurre a la onda electromagnética cuando se propaga por un medio conductor. Veremos que la amplitud del campo tiene que disminuir rápidamente para poder cumplir que el campo eléctrico en el interior de un conductor sea cero.

7.1. ONDAS PLANAS EN MEDIOS DIELECTRICOS CON PÉRDIDAS.

Ya hemos visto que un dieléctrico es idealmente un material eléctricamente aislante. Hasta aquí hemos considerado que no conducía, pero en este apartado vamos a considerar que en el dieléctrico también se producen fenómenos de conducción; es decir, vamos a considerar que conduce “un poco”, aunque en ningún caso tanto como un conductor. Este es un efecto deseable en un conductor pero no en un dieléctrico, por lo que en este caso se considerará que son pérdidas.

Ya vimos en la sección 3.2, que si el medio dieléctrico presenta pérdidas por conducción, el material dieléctrico puede ser caracterizado por una constante de conductividad σ finita.

Para estudiar el fenómeno de propagación de la onda a través de un material dieléctrico con pérdidas por conducción lo que haremos será modificar la ecuación de ondas unidimensional para contemplar las pérdidas. Y lo haremos a través de la constante de permitividad compleja.

Como estudiamos en la sección 3.2, la permitividad compleja del medio para un material dieléctrico con pérdidas por conducción se puede expresar como:

1 j σε εωε

= −

(87)

Si de nuevo asumimos un campo eléctrico con variación solo en z y uniforme en x y sin componente en

y , la ecuación de onda en el caso unidimensional (53) en forma fasorial será para el caso con pérdidas:

2

22

( ) 1 ( ) 0E z j E zz

σω µεωε

∂ + − = ∂ (88)

Donde únicamente hay que sustituir la permitividad dieléctrica en (53) por la expresión de la permitividad dieléctrica compleja (87). Observad la gran similitud con la ecuación de ondas para el caso sin pérdidas (53). Y la coincidencia en el supuesto de tomar una conductividad del medio nula.

Definiendo β (léase beta tilde) como:

2 2 1 1j jσ σβ ω µε β ω µε

ωε ωε = − ⇒ = −

(89)

Podemos reescribir la ecuación de ondas (88):



2 2

2

( ) ( ) 0E z E zz

β∂+ =

∂ (90)

A diferencia del caso sin pérdidas, no hablaremos del número de onda, sino que hablaremos simplemente de una constante de fase compleja (β ). El significado físico es el mismo pero contempla que se trata de un número complejo.

La situación habitual será tratar con materiales con pocas pérdidas, es decir, materiales en los que el cociente σ ωε es muy pequeño. Podemos entonces simplificar la definición de β en (89) haciendo lo que se llama un desarrollo en serie de Taylor. Esto significa, simplemente, que se puede hacer la siguiente aproximación:

01 1 2xxx →− → − (91)

Esta expresión significa que cuando la x es muy pequeña podemos sustituir 1 x− por 1 2x− . En

nuestro caso:

x j σωε

= (92)

Así, podemos simplificar la constante de fase compleja como se indica a continuación:

1 12 2

j j jσ σ σ µβ ω µε ω µε βωε ωε ε

= − − = −

(93)

Donde podemos definir la constante de propagación compleja, γ (léase gamma):

2 2

j j j j jσ µ σ µγ β β β α βε ε

= = − = + = +

(94)

Donde se igualará α con la parte real de γ y β con la parte imaginaria de γ . Observad la diferencia

entre la constante de fase β (es imaginario puro) y la constante de fase compleja β (es imaginario pero con parte real). Veremos como este término de parte real α modela las pérdidas y se convierte en un factor de atenuación de la onda al propagarse.

Conocida la solución general de la ecuación de ondas (90) para una onda plana que se propaga en la dirección de z:

( ) j z j zxE z E e E eβ β+ − −= + (95)

Para simplificar consideraremos únicamente la onda viajando en el sentido positivo (la onda progresiva). Si sustituimos la constante de fase compleja en la expresión (95) por su valor obtenido en la expresión (94) obtendremos la expresión fasorial del campo eléctrico orientado en la dirección x, y con variación únicamente en z.

( ) j z z j zxE z E e E e eβ α β+ − + − −= = (96)

El argumento del término de propagación (exponencial compleja) ahora está compuesto por un número complejo con parte real y uno con parte imaginaria.



El término de parte real es el que contempla las pérdidas. Mientras que la exponencial de argumento imaginario puro corresponde al término de propagación y coincide completamente con el caso de material dieléctrico sin pérdidas.

La expresión correspondiente en el dominio del tiempo para el campo eléctrico se obtiene a partir de (66):

2

( , ) Re ( ) Re

cos( )

j t z j z j tx

z

z t x E z e x E e e e

x E e t kz

ω α β ω

σ µε ω

+ − −

−+

= = =

= −

E (97)

El significado es una onda viajando en la dirección positiva de z, con un velocidad de fase conocida, pv ω β= y una longitud de onda, 2λ π β= , pero con un factor de amortiguamiento o

decaimiento exponencial con la distancia ( 2z

eσ µ

ε−

).

El decaimiento con la distancia viene dado por el factorα . Y se debe a las perdidas por conductividad del medio. Si eliminamos las pérdidas obtenemos la expresión considerada para el caso sin pérdidas.

La Figura 16 muestra el efecto de la exponencial de argumento real y negativo en la amplitud de la onda cuando se propaga a través de un medio dieléctrico con pérdidas. Podéis ver en la figura como la amplitud de la onda va disminuyendo a medida que se va propagando. La disminución viene dada por el factor de amortiguamiento y hará que en el límite de z muy grande sea 0. Es decir, que si el material es suficientemente ancho, la onda “desparece” en su interior.

( , )z tE

z

( , )z tE

z

Figura 16 Efecto de atenuación en la amplitud de la onda al propagarse por un medio dieléctrico con pérdidas.

Ahora iremos todavía un poco más lejos incluyendo las pérdidas por corrientes de desplazamiento en el dieléctrico.

Recordaréis que existen dos tipos de mecanismos de pérdidas que atenúan la onda:

El primero es el que hemos considerado en el desarrollo anterior, y se presenta cuando el dieléctrico es ligeramente conductor (recordar que el dieléctrico debería ser aislante);

El segundo se produce cuando el dieléctrico disipa energía en los procesos de polarización. Incluso con conductividad nula los dipolos friccionan ante la presencia del campo sinusoidal. Estas pérdidas son las debidas a las corrientes de desplazamiento en el dieléctrico.



En ambos casos el mecanismo hace que las pérdidas se conviertan en calor. Ahora vamos a incluir el segundo efecto caso de pérdidas que puede darse en un dieléctrico.

Si las pérdidas no se deben a la conducción del material sino a corrientes de desplazamiento en el dieléctrico, éstas se pueden tratar con el uso de una permitividad compleja, de forma que tomando

''jε ε ε= − , donde r oε ε ε= se puede establecer una permitividad compleja de la forma:

'''' (1 )j j jσ σ ωεε ε ε ε

ω ωε+

= − − = − (98)

Es decir además de las pérdidas por conducción en el dieléctrico (consideradas a través de la conductividad σ ) añadimos las pérdidas por corrientes de desplazamiento. De hecho, las perdidas debidas a corrientes de desplazamiento o debidas a corrientes de conducción son del todo indistinguibles. Ambas contribuciones aparecen agrupadas en la parte imaginaria de la permitividad compleja.

De cualquier forma, en función de los parámetros del medio podrán asumirse simplificaciones: donde el medio sea poco conductor o la frecuencia suficientemente alta, las pérdidas por desplazamiento dominaran; mientras que si el medio es muy conductor o la frecuencia suficientemente baja podremos tomar la aproximación ''σ ωε σ+ ∼ .

Si tomamos la definición completa de la constante de permitividad compleja (98), que incluye conjuntamente los dos efectos de pérdidas en un dieléctrico, podemos definir la constante de fase compleja (beta tilde) de la siguiente manera:

''1 jσ ωεβ ω µε ω µε

ωε+

= = − (99)

Por último para tener la onda plana totalmente definida el campo magnético asociado puede calcularse a partir de la ley de Faraday en notación fasorial (26), derivando la expresión del campo eléctrico respecto a z.

( )j z j zxy

Ej jH E e E ez

β ββωµ ωµ

+ − −∂ −= = −

∂ (100)

Como en el caso sin pérdidas se puede establecer la impedancia de la onda relacionando el campo eléctrico y magnético.

jωµ ωµηγ β

= = (101)

Notad que esta impedancia depende de la frecuencia, además de las características del medio (permeabilidad y permitividad). Así, ante un mismo medio, en el que se produzcan pérdidas por corriente de desplazamiento, una onda de alta frecuencia sufrirá una atenuación mayor que una de baja frecuencia.

Este fenómeno explica también porqué las propiedades conductoras del agua de mar imposibilitan las comunicaciones submarinas mediante ondas electromagnéticas de alta frecuencia. Este es el motivo por el que los submarinos incorporan sonares en vez de radares como sistemas de observación.

Tened presente que la situación habitual será la de propagación de la onda por un medio con pérdidas. Las ondas se atenúan al propagarse. El estudio de un medio sin pérdidas es una idealización y solo es útil para la propagación en el vacío.

Sin embargo ahora contamos con herramientas para analizar las causas de la atenuación de la onda que se propaga por la nieve, por el agua del mar o en general por cualquier medio con pérdidas.



Lección 8

8. PROPAGACIÓN DE LA ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR DE CONDUCTIVIDAD FINITA.

En este punto 8 analizaremos qué ocurre a la onda electromagnética cuando se propaga por un medio conductor. Veremos que la amplitud del campo tiene que disminuir rápidamente para poder cumplir que el campo eléctrico en el interior de un conductor sea cero.

El conductor perfecto de conductividad infinita es un medio idealizado que no existe en la realidad. Pero nos es de gran utilidad para analizar determinados comportamientos en la naturaleza. En realidad, los conductores se caracterizan por tener una conductividad alta pero finita.

Un buen conductor es un caso especial del análisis anterior, donde la corriente de conducción es mucho mayor que la corriente de desplazamiento debido a que se cumple que σ ωε>> , como es el caso de la mayoría de metales.

De nuevo asumimos que se propaga un campo eléctrico con variación sólo en z y uniforme en x y sin

variación en y , la ecuación de onda unidimensional (90) se reduce a:

2 2

2

( ) ( ) 0E z E zz

β∂+ =

∂ (102)

La cual tiene como siempre solución de onda plana del tipo:

( ) j z j zxE z E e E eβ β+ − −= + (103)

Podemos obtener directamente la constante de fase compleja haciendo uso de la definición de constante de permitividad compleja. Donde solo contemplamos la conductividad como en (89), pero a diferencia de pérdidas en un dieléctrico en un conductor la conductividad será muy elevada de forma que podremos tomar σ ωε>> pudiendo establecer la siguiente aproximación par la constante de fase.

1 sij jσ ωε

σ σβ ω µε ω µε ω µεωε ωε>>= = − ≈ → − (104)

Considerando la siguiente manipulación compleja / 4 (1 ) / 2jj e jπ−− = = − , podemos obtener que

la constante de fase compleja es, a partir de (104):

(1 ) 2j ωµσβ = − (105)

Si consideramos únicamente la onda viajando en el sentido positivo de z (es decir la onda progresiva), la solución de la ecuación de onda (103) donde substituimos la constante de fase compleja simplificada en (105):

(1 ) 2 2 2( )

j j z z j zj zE z xE e xE e xE e eωµσ ωµσ ωµσ

β − − − −+ − + + = = = (106)

Se define como efecto pelicular o característica de penetración del metal, δ (delta):

1 2δα ωµσ

= = (107)

Como podéis ver, este efecto es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia de la onda. Esto significa que a mayor frecuencia, menor será el efecto.



Así pues el campo eléctrico instantáneo en el dominio armónico del tiempo, tomando la definición de (107), es de la forma:

1 1( , ) cos( )

zz t xE e t zδ ω

δ−+= −E (108)

De nuevo el significado es una onda viajando en la dirección positiva de z pero con un factor de amortiguamiento o decaimiento exponencial con la distancia. Con una razón de decaimiento con la distancia dado por el factor1/δ , que como hemos visto depende, a su vez, de la frecuencia de la onda.

Observad como el hecho de tener una conductividad alta pero no infinita, permite la penetración de la onda en el metal. Esto es ilógico si tenemos en cuenta que el campo eléctrico debería ser cero en el interior de un conductor. Sin embargo, ahora veremos, valorando la distancia de penetración en el metal, que la amplitud de la onda prácticamente se anula a unas pocas micras de la superficie.

Si consideramos un valor de conductividad infinita ( 0δ = ) obtenemos la expresión considerada para el caso sin pérdidas.

En un buen conductor, la constante de atenuación y la constante de propagación serán grandes, mientras que la longitud de penetración y la longitud de onda serán pequeñas, de forma que si existe una onda en el conductor se atenuará rápidamente.

La exponencial real y negativa del campo eléctrico (108) indica que la amplitud del campo en un conductor decae con la distancia. Observad que la magnitud del campo se reduce entorno a un 37 % al

viajar la onda una distancia equivalente a la característica de penetración (1

1 0.368e eδ

δ− −= = ).

El significado es que no necesitaremos grandes espesores metálicos para conseguir metales de bajas pérdidas a frecuencias altas. O equivalentemente, que el flujo de corriente en un buen conductor se produce en una finísima capa cercana a la región de superficie del conductor

Por ejemplo, para el oro, la plata, el aluminio y el cobre, a una frecuencia de 10 GHz esta distancia es del orden de 0,7 µm . El resultado más importante que se extrae es que para construir un buen conductor es suficiente disponer una fina capa de un buen conductor para que se comporte como tal, sin ser necesario que todo el bloque sea de metal de buena calidad.

Por la misma razón, la capa de oxidación que sufre el cobre es suficiente para degradar sus prestaciones con respecto al oro aún teniendo el cobre una conductividad más alta que el oro (ver Tabla 5).



Lección 9

9. SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA.

Hemos planteado en 6.2 la solución de la ecuación de onda unidimensional en forma fasorial. Y además hemos estudiado en 7.1 los efectos que tiene, sobre la propagación de la onda, atravesar medios con pérdidas.

En este apartado empezaremos estudiando la solución general de la ecuación de onda para un campo que se propaga en cualquier dirección del espacio (apartado 9.1). Veremos también que la onda es capaz de almacenar energía (apartado 10), pensemos sino en la luz que nos llega del Sol y que nos calienta. Esta energía almacenada se modelará con algo tan importante como el vector de Poynting, que está relacionado con la potencia asociada a la onda electromagnética.

Por último hablaremos de una característica importante de la onda electromagnética, la polarización u orientación del vector campo eléctrico (apartado 11). Este es un concepto que forma parte de nuestra vida cotidiana: ¿por qué son mejores unas gafas de sol polarizadas? ¿por qué utilizamos el polarizador para hacer fotos en determinadas situaciones?

A continuación veremos una aplicación de las ondas electromagnéticas que constituye una de las piedras angulares de nuestra sociedad (y de hecho, del perfil de nuestras ciudades): las antenas (apartado 11.1.3). Acabaremos el capítulo viendo algunos ejemplos de aplicación.

9.1. SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA.

En general la onda puede viajar en una dirección arbitraria y por tanto el campo eléctrico puede depender de las tres coordenadas del espacio. En el espacio libre la ecuación de onda para el campo eléctrico en forma fasorial que varía en cualquier dirección del espacio como para el campo eléctrico E resulta:

2 2 2

22 2 2 0oE E E k E

x y z∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

(109)

Para resolver la ecuación debe utilizarse una técnica estándar basada en el método de separación de variables, básicamente se trata de dividir la ecuación diferencial en tres ecuaciones diferenciales ordinarias separadas.

En el espacio libre, la ecuación de Helmholtz para el campo eléctrico E .

2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 0o oE E EE E E k E k E

x y zω µε ∂ ∂ ∂

∇ + = ∇ + = + + + =∂ ∂ ∂

(110)

Esta ecuación de onda vectorial resulta para cada componente rectangular del campo,

2 2 2

22 2 2 0i i i

o iE E E k E

x y z∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

(111)

Siendo el índice i=x,y,z. Esta ecuación será resuelta por el método de separación de variables, una técnica estándar para tratar este tipo de ecuaciones diferenciales parciales.

El método comienza asumiendo que la solución para una de las componentes puede ser escrita como producto de tres funciones para cada una de los 3 coordenadas.

( , , ) ( ) ( ) ( )xE x y z f x g y h z= (112)

Substituyendo esta solución en la expresión de la ecuación y dividiendo por fgh, obtenemos,



2'' '' '' 0of g h kf g h+ + + = (113)

Ahora la clave está en reconocer que cada uno de los términos debe ser igual a una constante, dado que cada uno de los términos es independiente de cada otro. Es decir el término ''f f , depende de x y ningún otro término depende de x.

2 2 2'' '' ''; ;x y zf g hk k kf g h= − = − = (114)

Estableciendo la relación,

2 2 2 2o x y zk k k k= + + (115)

Es decir se ha dividido la ecuación diferencial en tres ecuaciones diferenciales ordinarias separadas. La solución a este tipo de ecuación es de la forma xjk xe± . Como se ha comentado anteriormente el signo negativo ( - ) representa una onda viajando en el sentido positivo, mientras que el signo positivo significa una onda viajando en el sentido negativo. Seleccionando un onda plana viajando en la dirección positiva de cada coordenada y escribiendo la solución completa para Ex.

( )( , , ) x y zj k x k y k zxE x y z Ae− + += (116)

Similarmente para las otras direcciones coordenadas,

( ) ( )( , , ) ; ( , , )j k r j k ry zE x y z Be E x y z Ce− −= = (117)

Si consideramos que la onda viaja en una dirección arbitraria. Definimos el vector dirección de propagación como:

( ), ,x y z x y zk k x k y k z k k k== + + (118)

Este vector nos indica la dirección de propagación de la onda. El módulo de este vector nos indicará cómo varía la fase de la onda al avanzar y tiene unidades de radianes por metro (rad/m).

2 2 2o x y zk k k k= + + (119)

El vector posición se define como:

( , , )= + + =r xx y y zz x y z (120)

Por lo tanto podemos expresar la solución de onda plana para el campo eléctrico como:

( )x y zj k x k y k zj k ro oE E e E e− + +−= = (121)

Donde la amplitud es un vector que no depende de la posición, oE Ax B y C z= + + , y por tanto es

constante. Es habitual expresarl el vector de orientación como o oE E e= , donde e es el vector unitario

que indica la orientación del campo eléctrico y Eo es el módulo del vector.

Notad que la forma de la ecuación (121) es igual a la forma de la ecuación (64) para el caso unidimensional. Sólo cambia que en este caso el vector de propagación afecta a las 3 direcciones del espacio.



El vector dirección de propagación unitario, k , se obtiene dividiendo el vector dirección de propagación,

k , por la norma o módulo del vector dirección de propagación, k .

Es decir, conseguimos un vector orientado en la misma dirección y sentido que el vector dirección de propagación pero con módulo unidad. La norma o módulo del vector se calcula tomando la raíz cuadrada de la suma de todas las componentes del vector elevadas al cuadrado.

2 2 2

= = =+ +o x y z

k k kkk k k k k

(122)

Si se tiene que cumplir la ley de Gauss para el campo eléctrico, 0E∇ = , en un medio libre de cargas es

suficiente que se cumpla la condición de perpendicularidad entre el vector campo eléctrico, E , y el vector dirección de propagación, k .

( ) ( ) ( )0 0 · 0j k r j k r j k ro o oE E e E e jk E e k E− − −∇ = ⇒∇ = ∇ = − = ⇔ =

De forma totalmente equivalente puede demostrarse la perpendicularidad entre el vector campo magnético ( H ) y el vector dirección de propagación ( k ) mediante el cumplimiento de la Ley de gauss para el campo magnético.

Además el vector intensidad campo magnético es perpendicular al vector intensidad de campo eléctrico y al vector propagación, como se puede deducir a partir

( ) 1j k roo

o o

kxE j H H k E e k Eωµωµ η

−∇ = − → = × = × (123)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )j k r j k r j k r j k ro o o oxE x E e E e E jk e jk E e− − − − ∇ = ∇ = ×∇ = × − = − ×

Es decir, los tres vectores, E , H y k , son perpendiculares entre si. Recordad que el cumplimiento de la perpendicularidad entre vectores se demuestra resolviendo que el producto escalar entre vectores, dos a dos, debe ser nulo, es decir:

· 0

· 0

· 0

E H

E k

H k

=

=

=

(124)

El campo magnético podemos obtenerlo a partir de la solución del campo eléctrico a partir de la siguiente expresión (la demostración se escapa del objetivo de esta asignatura):

( ) 1j k roo

o o

kH k E e k Eωµ η

−= × = × (125)

En esta ecuación vemos que el vector campo magnético, H , es igual al producto del vector de propagación por el vector campo eléctrico, E . Por tanto, en una onda plana se cumple que la onda sólo varía en la dirección de propagación; y que los vectores campo eléctrico ( E ), campo magnético ( H ) y dirección de propagación ( k ) además de ser tres vectores perpendiculares, forman una triada de mano derecha.



¿Qué significa que tres vectores forman una triada de mano derecha? La “regla de la mano derecha”, del “sacacorchos” o “del destornillador” es una forma de obtener la dirección y el sentido de un vector producto vectorial de los otros dos. Según esta regla, en el caso de la ecuación (125) hemos de colocar el dedo índice en la dirección de propagación, k y el dedo anular en la dirección del vector E , entonces el

pulgar apuntará en la dirección del vector H .

CAMPO E

CAMPO H

DIRECCIÓN DEPROPAGACIÓN

CAMPO E

CAMPO H

DIRECCIÓN DEPROPAGACIÓN

Figura 17 Esquema visual de la regla de la mano derecha. Orientando el dedo pulgar en la dirección y

En la Figura 18 podéis ver que si rotamos el vector campo eléctrico en el sentido de las agujas de un reloj, sobre el vector campo magnético, como si apretáramos un tornillo, debemos orientar el vector dirección de propagación en el sentido de avance del tornillo.

También podéis utilizar la siguiente regla de uso, si orientáis el dedo pulgar en la dirección del vector de propagación, el resto de la mano debe rotar el campo eléctrico sobre el magnético si la movéis en el sentido de las agujas del reloj.

E

H

k

x

y

z E

H

k

x

y

z

Figura 18 Esquema que representa la propiedad de perpendicularidad entre el campo eléctrico, el campo magnético y el vector dirección de propagación.



Al rotar el vector dirección de propagación sobre el campo eléctrico se obtiene el vector campo magnético. Y al rotar el vector campo magnético sobre el vector dirección de propagación se obtiene el vector campo eléctrico.

La formulación matemática de la regla de la mano derecha se resume en el conjunto de expresiones mostradas en (126). Donde se utilizan símbolos en minusculas para identificar que es suficiente realizar los productos vectoriales sobre los vectores unitarios de orientación sin necesidad de manejar las expresiones exponenciales.

k exh

h kxe

e hxk

=

=

=

(126)

Por lo tanto, dados dos vectores, el tercero se puede calcular o bien mediante la regla de la mano derecha, o bien mediante las relaciones presentadas en (126). Recordad que el producto vectorial en coordenadas cartesianas de dos vectores se resuelve calculando el determinante de la matriz:

det x y z

x y z

x y zaxb a a a

b b b

=

(127)

Ejemplo 3

Dada la existencia de dos ondas planas que se propagan en la dirección z :

/ 4

1

/ 42

( )

( ) ( )

j kzo

j kzo

E r yE e e

E r x y E e e

π

π

−

− −

=

= − (128)

Demostrad que la suma de ambas resuelve una nueva onda plana.

Calculamos la suma de las dos expresiones del campo eléctrico en notación fasorial sumando componente a componente.

/ 4 / 41 2

/ 4 / 4

/ 4 / 4 / 4

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

j kz j kzo o

j j kzo

j j j kzo

E r E r E r yE e e x y E e e

E ye x y e e

E xe y e e e

π π

π π

π π π

− − −

− −

− − −

= + = + − =

= + − = = + −

(129)

Mediante la relación de Euler, podemos simplificar



/ 4

/ 4 / 4

cos( ) sin( )

2 2cos( / 4) sin( / 4)2 2

2 sin( )

2 sin( / 4) 2

j

j

j j

j j

e j

e j j

ye e j

e e j j

θ

π

θ θ

π π

θ θ

π π

θ

π

±

−

−

−

= ±

= − = −

− =

− = =

(130)

De forma que obtenemos.

1( ) (1 ) 22

kzoE r E x j y j e− = − +

(131)

Donde fácilmente comprobamos que el vector polarización campo eléctrico y el vector dirección de propagación siguen siendo perpendiculares al demostrar que el producto escalar de los dos vector es cero.

Ejemplo 4

El campo eléctrico de una onda plana uniforme tiene la expresión

( ) 8 ( )( ) π− += − + j y zoE r E x j y j z e , Obtened el vector dirección de propagación, el

número de onda y la longitud de onda. Calculad la expresión del campo magnético asociado y la expresión del campo eléctrico instantáneo.

Conocida la expresión general de la solución de onda plana:

( )( ) −= j k roE r E e (132)

Podemos identificar términos comparando la expresión con la expresión de la onda plana del enunciado, de forma que la amplitud del campo eléctrico es:

( )= − +o oE E x j y j z (133)

Que como vemos es uniforme y no depende del vector posición.

El vector dirección de propagación resultante:

( )8 8 (0,1,1)π π= + =k y z (134)

El número de onda será la norma del vector es:

28 (1 1) 16 4π π π= = + = =ok k (135)

1 18 ( ) 8 (0,1,1)( , , ) 4 (0, , )( , , )2 2okr k kr y z x y z x y zπ π π= = + = = (136)

La longitud de onda por tanto es:

2 2 0,5m

4okπ πλ

π= = = (137)



La expresión del campo magnético se obtiene a partir de la relación obtenida en (125).

1( ) ( )η

= ×o

H r k E r (138)

Para el cálculo del producto vectorial del vector unitario dirección de propagación y del vector campo eléctrico se debe calcular el determinante de la matriz.

det det 0 1 2 1 21

1 1 1 1 2 1 12 2 2 2 2 2 2

× = = = −

= + − + = + −

x y z

x y z

x y zx y zk E k k k

E E E j j

j x y z j x j x y z

Así pues la expresión de la intensidad de campo magnético es:

( ) 8 ( )1 1( ) 22

π

η− += + − j y z

oo

H r E j x y z e (139)

Para el cálculo de la expresión del campo eléctrico instantáneo debemos calcular la parte real del fasor campo eléctrico multiplicado por el fasor temporal

( )( )

( )

8 ( )

( 8 ( ))

( , ) Re ( ) Re

Re

cos( 8 ( ))

j t j y z j to

j t y zo

o

r t E r e E x j y j z e e

E x j y j z e

E x j y j z t y z

ω π ω

ω π

ω π

− +

− − +

= = − + = = − + =

= − + − +

E

(140)

Ejemplo 5

Demostrad si la siguiente expresión de campo eléctrico es una solución de onda plana.

( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 π− − += − + − + j x y zoE r E j x j y z e .

Aunque aparentemente pueda parecer una solución de onda plana, debemos comprobar la perpendicularidad entre el vector director de propagación y el campo eléctrico, es decir el producto escalar de los dos vectores debe ser igual a cero, 0=k E .

( ) ( )1, 1,1 · 2 , 2 , 2 2 0= − − − = ≠k E j j , por tanto no se trata de una onda plana.



Lección 10

10. FLUJO DE POTENCIA ASOCIADO A ONDA ELECTROMAGNETICA. VECTOR DE POYNTING.

Todo el mundo es consciente que la luz del Sol nos calienta y nos da luz, e incluso podemos aprovechar esa luz para generar energía, a través de las placas solares. Lo que nos llega del Sol es, principalmente, radiación electromagnética, por tanto, parece claro que esta radiación la que transporta la energía.

Pero, ¿cómo calcular esta energía? Fijémonos en elcaso del Sol: desprende radiación en todas las direcciones del espacio, y a la Tierra llega sólo una pequeña parte; y si la Tierra estuviera más lejos o fuera más pequeña le llegaría menos energía. Es por eso que lo que tiene sentido calcular es la energía por unidad de área. Esto sí que nos da una idea de la energía que recibiría, en nuestro ejemplo, la Tierra. Esto es lo que se llama flujo de energía.

Densidad de Potencia

Área de integracióndel flujo





Figura 19 Representación de cómo el cálculo de la potencia de la onda electromagnética se obtiene por integración de la densidad de potencia en un área determinada.

Por otro lado, decir que el Sol emana tal energía tampoco nos dice mucho: ya que puede ser en un día, en cien, o en un millón de años. Lo realmente interesante es saber la energía que emana el Sol en un cierto tiempo, y esto es el concepto de potencia.

En resumen: lo realmente interesante es conocer la energía electromagnética que recibe una determinada área en un tiempo determinado, y esto es lo que se conoce como flujo de potencia.

El flujo de potencia asociado a una onda electromagnética es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que pone de manifiesto la capacidad que tienen los campos eléctricos y magnéticos de transportar energía.

El flujo de potencia en un instante dado (en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño) se denomina densidad de flujo de potencia. Viene dado por el producto vectorial del campo eléctrico y del campo magnético en ese instante, y recibe el nombre de vector de Poynting.

( , ) ( , ) ( , )r t r t x r t=P E H (141)

El vector de Poynting es un vector perpendicular al plano transversal de la dirección de propagación, es decir, al plano formado por los campos eléctrico y magnético (recordad que los campos son vectores perpendiculares a la dirección de propagación). Por lo tanto el vector de Poynting es un vector orientado en la dirección de propagación.

La Figura 20 muestra como el vector de poynting se encuentra orientado en la misma dirección que el vector dirección de propagación o equivalentemente perpendicularmente al plano formado por el vector de orientación del campo eléctrico y del campo magnético.



E

H

k

x

y

z E

H

k

x

y

z( )P r

E

H

k

x

y

z E

H

k

x

y

z( )P r

Figura 20 Representación de la perpendicularidad entre el vector campo eléctrio y campo magnético con el vector dirección de propagación y por extensión con el vector de Poynting.

Representa la cantidad de energía que atraviesa un área unidad por unidad de tiempo. Observad que el campo eléctrico tiene unidades de V/m y el campo magnético unidades de A/m, de forma que el producto tendrá unidades de W/m2.

La ecuación (141) nos dice cómo calcular el vector de Poynting en un instante, pero lo que nos interesa es obtenerlo a lo largo de un tiempo. Dado que además, en ese tiempo, los campos eléctrico y magnético varían (pensemos en campos sinusoidales), lo que se acostumbra a calcular es la densidad de flujo de potencia media.

En el caso de ondas sinusoidales, se calcula la densidad de flujo de potencia media en u periodo. Para ello se hace el promedio del vector de Poynting en un periodo, mediante la integral a lo largo del periodo, tal y como se indica en la siguiente ecuación:

/ 2

/ 2

1( ) ( , ) ( , )T

T

P r r t r t dtT −

=< >= ∫P P (142)

En régimen sinusoidal permanente, los campos instantáneos eléctrico y magnético se obtienen,

respectivamente, a partir de los fasores según las ecuaciones ( , ) Re ( ) j tr t E r e ω = E y

( , ) Re ( ) j tr t H r e ω = H . Por lo tanto el valor medio de la densidad de flujo de potencia en

notación fasorial es:

* 21( ) ( , ) Re[ ] [W/m ]

2P r r t ExH= =P (143)

Así podemos expresar el vector de Poynting en términos del campo eléctrico utilizando la expresión (125) donde que relaciona el campo magnético con el campo eléctrico:

* *1 1( ) Re[ ] Re2 2

kP r ExH Ex xEη

= =

(144)

Si hacemos uso de la siguiente propiedad para el producto vectorial de tres vectores podremos simplificar la expresión (144) para obtener (146).



2* * *( ) ( ) ( ) ( )AxBxC B AC C AB ExkxE k EE E Ek k E= − ⇔ = − = (145)

Así podemos expresar el vector de Poynting en términos del campo eléctrico o equivalentemente del campo magnético en notación fasorial de la siguiente forma:

22* 21 1 1( ) Re [W/m ]

2 2 2

EkP r Ex xE k H kηη η

= = =

(146)

Primero pondremos de manifiesto como el vector de poynting está orientado en la dirección de propagación (a través del vector de dirección unitario).

Segundo observad el gran parecido que tiene la expresión del vector de Poynting con la potencia en un circuito en corriente continua:

2

2·DCVP V I I RR

= = = (147)

En nuestro caso el campo magnético, H , juega el papel de la intensidad y la impedancia, η , el de la resistencia. ¿Y el factor ½?.

Si trabajamos con corriente alterna, la potencia tiene la forma 2cos( )tω , y la potencia en un periodo

viene dada por:

2

21 1 1·2 2 2AC

VP V I I RR

= = = (148)

Aunque usando voltios y amperios eficaces el factor ½ también desaparece.

Ejemplo 6

Sabemos que una onda electromagnética de frecuencia 3 GHz se propaga por el vacío. El campo eléctrico asociado tiene una amplitud 1V/moE = , orientado en la

dirección x y que se propaga en la dirección z. Obtened la expresión fasorial de la onda para el campo eléctrico, para el campo magnético y la densidad de flujo de potencia asociada.

La expresión general de la solución de onda plana (121) para el caso general de propagación en una dirección genérica del espacio es

( ) j k roE r eE e−= (149)

Por construcción el campo eléctrico tiene la amplitud de 1 V/m. Y está orientado en la dirección x

Como se propaga en la dirección de z, el vector dirección de propagación es ·(0,0,1)o ok k k k= =

Y el número de onda (71) es:

9

8

2 2 2 310 20310o

fkc

π π π πλ

= = = = (150)

Así la expresión del campo eléctrico es

20( ) 1 j zE r x e π−= (151)



La orientación del campo magnético debe ser en y, podéis obtenerlo aplicando la regla del sacacorchos o matemáticamente calculando el producto vectorial h kxe zxx y= = =

201( ) j z

o

H r y e π

η−= (152)

Por último, la densidad de potencia es 2 22 2 2

2·1 1 1 1 1( ) 0.001326 W/m

2 2 2 2 240

j k r j k ro o o

o o o o

E e E eE EP r k

η η η η π

− −

= = = = = =



Lección 11

11. POLARIZACIÓN DE ONDAS PLANAS.

Hasta aquí hemos visto que los campos eléctricos y magnéticos (los campos electromagnéticos) “vibran” (apuntan) en la dirección perpendicular al vector de propagación. Es decir, en un instante dado en un punto determinado, los vectores campo eléctrico y campo magnético están en el plano perpendicular al vector de propagación.

Como ejercicio, dibujad el vector de propagación, k y el plano perpendicular. Dibujad ahora los vectores

campo eléctrico, E , y campo magnético H de forma que sean perpendiculares entre ellos y al vector de propagación: podéis dibujar infinitos vectores que cumplan esta restricción. ¿Qué falla en nuestra teoría? ¿Falta alguna restricción? ¿Hemos hecho algo más? Y sobre todo, y lo que es más importante, ¿cómo se comporta la naturaleza?

Observad la Figura 21 como aparecen el vector campo eléctrico, el vector campo magnético y el vector dirección de propagación y como los tres vectores son perpendiculares entre si. Fijaros que si giramos los vectores campo eléctrico y campo magnético sobre su plano de orientación un determinado ángulo (el mismo para los dos vectores) seguiría cumpliéndose la propiedad de perpendicularidad entre los tres vectores.

E

H

k

x

y

z E

H

k

x

y

z

Figura 21 Esquema que representa la propiedad de perpendicularidad entre el campo eléctrico, el campo magnético y el vector dirección de propagación.

Por lo tanto existen múltiples soluciones de orientación de los campos para una misma dirección de propagación.

Nuestra teoría es correcta (o mejor dicho, se cumple en su rango de aplicación). En la naturaleza se dan todas las posibles opciones. Es decir, dado el vector de propagación, existen todos los posibles campos eléctricos y magnéticos perpendiculares entre si en el plano perpendicular al vector de propagación .

Al plano que forma el vector campo eléctrico y el vector dirección de propagación se le conoce como plano de vibración y puede haber infinitos (ver Figura 22).



Figura 22 Representación de los diferentes planos de vibración con la que se puede construir una onda plana en función de la orientación del campo eléctrico.

Sin embargo, no siempre es así. En ciertas situaciones se dan las circunstancias para que de todos los planos de vibración se privilegie alguno o algunos. En estos casos, en que la onda no está vibrando en todos los planos posibles, decimos que está polarizada.

Imaginad un polarizador que permite el paso de la componente de campo eléctrico horizontal, si sobre este polarizador incide una onda construida con diferentes componentes de campo eléctrico con múltiples orientaciones (por ejemplo horizontal y vertical ver Figura 23), el polarizador bloqueará las componentes de la onda electromagnética que no se alinean con la componente que deja pasar y dejará pasar solo la componente de campo eléctrico que el polarizador tiene privilegiada.

Polarizador

Planos de vibración campo eléctrico

x

y Polarizador

Planos de vibración campo eléctrico

x

y

Figura 23 Representación de cómo un polarizador que deja pasar la componente horizontal de campo permite el paso de las componentes de campo eléctrico orientadas en el plano horizontal y bloquea las componentes de campo con orientación vertical.

Este efecto se puede producir artificialmente mediante un polarizador. El polarizador deja pasar sólo el/los plano/s de vibración deseado/s y absorbe el resto.

Pero el fenómeno se produce también de forma natural: La luz que nos llega del Sol es radiación electromagnética que cuando sale del Sol vibra en todos los planos. Sin embargo, cuando llega a la atmósfera se producen un conjunto de fenómenos físicos que hacen que la luz que llega a la superficie esté polarizada y vibre sólo en un plano.



Si sois aficionados a la fotografía, seguro que ya conoceréis el fenómeno y que habréis trabajado alguna vez con un polarizador para aprovechar este fenómeno. En este caso utilizamos el polarizador a la inversa: dado que la luz está polarizada en un plano, poniendo el polarizador de manera que absorba ese plano bloqueamos la luz. En fotografía esto permite eliminar efectos indeseados debido a que la luz que nos llega no está perfectamente polarizada en un plano: vibra principalmente en un plano, pero también en otros.

Pero si no sois aficionados a la fotografía, seguro que también os habéis encontrado alguna vez con la palabra “polarizado”: en los cristales de unas gafas de sol. En este caso los cristales están polarizados y actúan como el polarizador de la cámara fotográfica: al dejar pasar sólo un único plano de vibración bloquean más luz que si fueran, simplemente, cristales de sol.

Dicho todo esto, definimos la polarización de una onda plana como la orientación del vector campo eléctrico que puede ser en una dirección fija o variar con el tiempo.

Además de los ejemplos cotidianos que hemos indicado, la polarización presenta un gran interés práctico en ingeniería. Por ejemplo, cuando se trata de captar energía de una onda a frecuencias radioeléctricas, la polarización influirá en la eficacia de la antena que se use. De hecho, una antena puede diseñarse para captar energía de una onda con determinada polarización y no afectar a otro tipo de polarización (polarizaciones ortogonales).

Esta característica permite “reutilizar” el espectro electromagnético, de manera que señales a la misma frecuencia no se interferirán gracias a la discriminación de polarización con la que se transmite la onda.

La reutilización del espectro se encuentra, por ejemplo, en los sistemas de difusión de televisión desde satélites: en ellos podemos encontrar diferentes canales televisivos ubicados en el mismo canal de frecuencia pero con diferente polarización de la onda que los propaga.

11.1. ANÁLISIS DE LA POLARIZACIÓN DE UNA ONDA PLANA.

En el apartado 9.1 tratamos las ondas electromagnéticas en un sistema de coordenadas cartesianas, considerando cada uno de los vectores E , H y k en uno de los ejes cartesianos, x, y y z. Esto podíamos hacerlo así, sin pérdida de generalidad porque, como es esperable, las propiedades físicas de los campos no dependen del sistema de coordenadas en que éstos se representen.

Pero, ¿qué pasa si la onda está polarizada en una dirección distinta de la de los ejes de coordenadas? Como ejercicio podéis intentar escribir cómo quedaría y os daréis cuenta de lo complicado que es. Resulta mucho más sencillo trabajar siempre en un sistema de coordenadas tal que E , H y k estén siempre cada uno en un eje de coordenadas. Dado que son vectores ortogonales que cumplen con la regla de la mano derecho, tres vectores unitarios cada uno en la dirección de uno de ellos constituirán una base ortogonal.

Así, trabajaremos siempre con una base ortogonal constituida por k y dos vectores unitarios,

perpendiculares a k , que llamaremos 1e y 2e .

Estos vectores cumplirán siempre que:

1 2k e xe= (153)

En la Figura 24 podéis ver la dirección de propagación, k , sale del plano del papel esto se representa con un punto en el centro del circulo (si entrara se dibujaría una aspa (x)).



Si quisiéramos proyectar un campo eléctrico cualquiera, podríamos hacerlo en cualquiera de las dos bases

del espacio dibujadas. Lo que tenemos ligado es que escogido uno de los vectores de la base, 1e , el otro

debe ser perpendicular a 1e y a k .

a ba b

Figura 24 Representación del grado de libertad en la elección de los vectores de la base sobre la que se

expresará el vector campo eléctrico de forma que fijado un vector por ejemplo 1e el otro vector 2e que directamente fijado al ser perpendicular..

Utilizar un sistema de coordenadas en que el campo eléctrico esté sobre un eje y el magnético sobre el otro sólo sirve para un plano de vibración. ¿Qué pasa cuando tenemos varios planos de vibración? Incluso

así es más sencillo utilizar los vectores 1e y 2e .

En la Figura 25 podéis ver la situación general en que se representan los vectores campo eléctrico y magnético en el plano ortogonal al vector de propagación.

En la Figura 25 se ve que los vectores 1e y 2e son dos vectores unitarios y ortogonales que definen un plano. Por ello constituyen una base de un subespacio de dimensión 2 del espacio 3 (el espacio real de

3 dimensiones). Este plano es perpendicular al vector de propagación, k , por lo que los vectores campo eléctrico y campo magnético estarán sobre este plano.

Dado que los vectores E y H están sobre el plano definido por 1e y 2e se podrán escribir siempre como combinación lineal de estos dos. Así por ejemplo para el campo eléctrico se expresará en función de los nuevos vectores de la base según:

( )1 21 1 2 2( ) j j j k r

o oE r e E e e E e eφ φ −= + (154)

Donde Eoi y iφ son el módulo y la fase respectivamente del escalado del vector original en la nueva base.

Para el campo magnético sería totalmente equivalente y no se indica porque el concepto de polarización solo se estudia para el campo eléctrico.



x

y

z

k

k

1e2e

x

y

z

k

k

1e2e

Figura 25 Representación de la base de un subespacio de dimensión 2 del espacio de 3 definido para el estudio de la polarización de la onda.

Para estudiar la polarización de una onda plana, utilizaremos una propiedad básica de las ondas planas: dos ondas planas que viajan en la misma dirección construyen una única onda plana. Matemáticamente esto se representa como se muestra a continuación.

( )1

1 2

2

1 1 11 1 2 2

2 2 2

( )( )

( )

j j k ro j j j k r

o oj j k ro

E r e E e eE r e E e e E e e

E r e E e e

φφ φ

φ

−−

−

= = +=

(155)

Donde 1e y 2e son dos vectores de orientación de campo eléctrico genéricos y diferentes. El significado

de la expresión no es más que la orientación del vector campo eléctrico total no es más que la suma vectorial de los vectores de campo eléctrico que la construyen.

Equivalentemente en el dominio del tiempo:

( )11 11 21 2

22 2

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )o

o o

o

r t e r tr t e r t e r t

r t e r t

= = +=

E EE E E

E E (156)

11.1.1. CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL.

En términos de la descomposición del vector orientación de campo eléctrico,(155), en la nueva base de

vectores definida por 1e y 2e , que son dos vectores unitarios y ortogonales que definen un plano. Y que constituyen una base de un subespacio de dimensión 2 del espacio 3 (el espacio real de 3 dimensiones).

Este plano es perpendicular al vector de propagación, k , por lo que los vectores campo eléctrico y campo magnético estarán sobre este plano.

Hablaremos de polarización lineal, cuando la diferencia de fase entre las dos componentes del campo eléctrico es:

1 2 0,φ φ π− = (157)

Donde la coma indica que consideramos polarización lineal tanto si la diferencia de fases es 0 como si es π . Es decir las dos componentes del campo eléctrico están en fase o en contratase. Se le llama polarización lineal porque el campo eléctrico está sobre una línea.

En la Figura 26 muestra como el vector campo eléctrico en función del tiempo para un plano fijo de la onda irá desplazándose a lo largo de su eje de orientación.



Si Eo1 es diferente de cero y Eo2 es nulo o viceversa tendremos un vector campo eléctrico orientado en 1e

o 2e respectivamente. Observad la Figura 26, serían las situaciones donde los vectores varían sobre los

ejes de la base que hemos considerado.

Si ambas amplitudes son diferentes de cero, el vector campo eléctrico seguirá teniendo polarización

lineal, pero añadiremos que es inclinada con un ángulo 02

01

Earctan( )E

φ = . Observad la Figura 26, sería

la situación donde los vectores se suman para dar un vector resultante que llamamos TE .

k 1e

2e

·1E

2ETE

k 1e

2e

·1E

2ETE

Figura 26 Representación en un plano fijo de la orientación del vector campo eléctrico en función del tiempo.

Ejemplo 7

Analizad la polarización de una onda para los siguientes casos: jkzoE xE e−= y ( ) jkz

oE x y E e−= + .

La onda plana definida según jkzoE xE e−= se trata de una única onda, con polarización lineal según x.

La onda plana definida según ( ) jkzoE x y E e−= + se trata de dos ondas planas con orientación x e y

respectivamente. La suma será una onda plana cuya polarización vamos a resolver a partir de la definición

de una base donde aplicar el criterio. Tomaremos: 1e x= y 2e y= y comprobaremos que se cumple

que el vector dirección de propagación de la nueva base está bien definido según 1 2k e xe z= = .

Como la diferencia de fases entre componentes es 0 podemos asegurar que la onda sigue siendo una onda plana con polarización lineal. Pero además podemos decir que tendrá un plano de orientación inclinado a

45º ya que podemos calcular 1

2

1arctan( ) arctan( ) 45º1

o

o

EE

φ = = =



11.1.2. CASO DE POLARIZACIÓN CIRCULAR.

De forma totalment equivalente hablaremos de polarización circular cuando la diferencia de fase entre las dos componentes del campo eléctrico es:

1 2 2πφ φ− = ± (158)

Donde el ± indica que consideramos este tipo de polarización tanto para el signo + como para el signo -.

En el caso que las dos componentes de campo eléctrico tengan una diferencia de fases de / 2π± , podemos expresar la onda resultante como:

( )1

1 1

1

1 121 2 1 2

22 2

( )( )

( )

j j k ro jj jj k r j k r

o ojj j k ro

E r e E e eE r E e e e e e E e e je e

E r e E e e e

φ πφ φ

πφ

−± − −

± −

= = + = ± =

(159)

Si fijamos un plano y observamos la representación del vector campo eléctrico resultante de sumar dos componentes desfasadas / 2π . Veremos que al avanzar el tiempo el vector campo eléctrico describe un círculo como muestra la Figura 27.

k 1e

2e

·1E

2E_T izE_T deE

k 1e

2e

·1E

2E_T izE_T deE

Figura 27 Representación para un plano fijo de la onda del vector campo eléctrico resultante de sumar dos componentes desfasadas 90º. Al avanzar el tiempo el vector campo eléctrico describe un círculo.

Donde:

( )1 2e je+ (160)

indica que se tratará de una onda circular polarizada a izquierdas; es decir girando a izquierdas viendo alejarse la onda. Mientras que

( )1 2e je− (161)

Significa onda circular polarizada a derechas; es decir girando a derechas viendo alejarse la onda.

En el caso de que las amplitudes no sean iguales el vector campo eléctrico describe una elipse en lugar de un círculo, pero las definiciones de giro son las mismas.



11.1.3. APLICACIÓN. PARÁMETROS DE ANTENA.

Hasta aquí hemos estado hablando de la propagación de las ondas electromagnéticas de forma genérica. Hemos visto que éstas son un fenómeno presente en la naturaleza.

Pero las ondas electromagnéticas están presentes en buena parte de las aparatos electrónicos que nos rodean y son las que hacen posibles cosas tan habituales como ver la televisión o escuchar la radio. Estas ondas no las genera la naturaleza sino el hombre mediante aparatos electrónicos.

¿Cómo pasan estas ondas de los aparatos al espacio libre a través del cuál se propagarán hasta llegar a nuestros receptores?. De eso se encargan las antenas. En este apartado vamos a realizar una breve introducción a los parámetros fundamentales de estos elementos.

El Institute of Electrical and Electronics Engineering (IEEE) define una antena como aquella parte de un sistema transmisor o receptor diseñado específicamente para radiar o recibir ondas electromagnéticas. Se puede entender como el dispositivo que facilita la transición de una onda que viaja guiada por un medio a una onda que viaja por el espacio libre, y que además puede proporcionar un carácter direccional a esa propagación.

El objetivo de la antena es el de radiar la potencia que se le suministra con las características de direccionalidad adecuadas para la aplicación en cuestión.

Así, aplicaciones de radiodifusión como la radio o la televisión requieren de un carácter omnidireccional en su forma de radiar de forma que den cobertura por igual a cualquier dirección del espacio. Mientras que en la implementación de radioenlaces dedicados interesa que las antenas sean direccionales, concentrando la energía en una dirección privilegiada.

En función de la frecuencia o la aplicación podemos encontrar una gran variedad de tipologías de antenas. Las antenas alámbricas se construyen con hilos conductores que soportan las corrientes que a su vez generan los campos radiados, ente ellas destacan los dipolos, los monopolos como las clásicas antenas de coche, espiras…

Las antenas de apertura y reflectores se caracterizan por la generación de la onda radiada a partir de una distribución de campos soportada por la propia antena, son ejemplos los alimentadores de las antenas parabólicas o bocinas.

El objetivo de entender la fenomenología asociada al funcionamiento de una antena se aleja mucho de los objetivos de este curso, pero es apropiado, al menos, enumerar sus principales características.

Una de las características más importantes de una antena es su capacidad para radiar con cierta direccionalidad. Es decir, para concentrar la energía radiada en ciertas direcciones del espacio, y por ello algún parámetro debe servirnos para comparar esta capacidad entre diferentes antenas.

A partir de los campos se obtiene la densidad de flujo por unidad de superficie mediante la expresión del vector de poynting:

2

* 2Re[ ] [ / ]2 o

EP ExH W m

η= = (162)

La potencia total radiada se puede obtener como la integral de la densidad de potencia en una superficie esférica que encierra la antena.

rS

P d s= ∫∫P (163)



No importa la integral de superficie ya que al tratarse de una densidad de superficie constante la podemos extraer del cálculo integral y el área de una esfera lo conocemos vale 24 Rπ .

Un diagrama de radiación es la representación gráfica de las propiedades de radiación de la antena a una distancia fija, en función de la dirección del espacio. Básicamente se mide el campo eléctrico sobre los puntos de una esfera de radio constante con la antena en el centro de la esfera.

La densidad de potencia es proporcional al cuadrado del módulo del campo eléctrico, por lo tanto un diagrama de potencia contiene la misma información que el diagrama de radiación de campo salvo la información de fase.

Si bien el diagrama de radiación tiene una representación tridimensional, es habitual “hacer dos cortes”, dando así dos planos y, por tanto, una representación bidimensional.

El corte en plano E se crea entre la dirección de máxima radiación y la dirección de orientación del campo eléctrico. El corte en plano H se crea entre la dirección de máxima radiación y la dirección del campo magnético. La intersección entre ambos planos crea una recta en la dirección de máxima radiación.

La representación de los cortes se puede realizar en coordenadas polares o cartesianas. La representación cartesiana, como la mostrada en la Figura 28, permite observar mejor las características de una antena directiva, ya que permite ver en qué dirección (grados) la densidad de potencia radiada es máxima.

La interpretación no es complicada solo tenéis que identificar que significan los ejes. En el eje horizontal (o eje de abcisas) encontráis las direcciones del espacio en grados desde -180º a + 180º y en el centro la dirección de 0º. Si fuera un reloj sería las 12h en la dirección 0º y +180 y -180º las 6h. En el eje vertical (eje de ordenadas) dibujamos la densidad de potencia normalizada (es decir dividida por el máximo de forma que en la dirección del máximo obtenemos el valor de 1). Lo hacemos así porque nos interesa ver cuanto más se radia en una dirección con respecto a otra no los valores absolutos de radiación.

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Diagrama de Radiacion Normalizado

Dirección del Espacio (grados)

Den

sida

d de

pot

enci

a no

rmal

izad

a

Figura 28 Representación de la densidad de potencia radiada en función de la dirección del espacio en cartesianas para un corte principal.

Por otro lado, la representación polar, como la mostrada en la Figura 29, facilita la identificación de la distribución de la potencia en diferentes direcciones del espacio.

Para pasar de un diagrama cartesiano a un diagrama polar observar que únicamente debéis coger los extremos de la figura y plegarlos hacia abajo rotándolos como un abanico



0.2 0.4 0.6 0.8 1

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Diagrama de Radiación Normalizado

Figura 29 Representación de la densidad de potencia radiada en función de la dirección del espacio en polares para un corte principal

El campo se puede representar de forma absoluta o relativa, normalizando el valor máximo a la unidad. Normalizar a la unidad significa que se considera que el valor máximo es 1, y se modifican el resto de valores para que conserven la relación que tenían con él. Esto se lleva a cabo dividiendo cada valor por el máximo, así éste tendrá valor 1, y el resto conservarán la relación que tenían con él.

En un diagrama de radiación típico, como el mostrado en la Figura 28 y en la Figura 29, se aprecia una zona en la que la radiación es máxima. Esta zona recibe el nombre de haz principal o lóbulo principal. Las zonas que rodean el resto de los máximos de menor amplitud reciben el nombre de lóbulos secundarios.

El ancho de haz a –3 dB o a potencia mitad se define cono el sector angular (separación o distancia en grados) donde el diagrama de radiación en potencia toma el valor mitad respecto al máximo.

La relación del lóbulo principal a secundario es el cociente entre el valor del diagrama en la dirección de máxima radiación y en la dirección del máximo del lóbulo secundario. Normalmente, dicha relación se refiere al lóbulo secundario de mayor amplitud, que suele ser adyacente al lóbulo principal.

La relación delante-atrás es el cociente entre el valor del diagrama en la dirección del máximo y el valor en la dirección opuesta.



-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9



Den

sida

d de

pot

enci

a no

rmal

izad

a

Relación lóbulo principal a secundario

Ancho de haz a potencia mitad

Relación delante-atrás

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9



Den

sida

d de

pot

enci

a no

rmal

izad

a

Relación lóbulo principal a secundario

Ancho de haz a potencia mitad

Relación delante-atrás

Figura 30 Representación de la densidad de potencia radiada en función de la dirección del espacio en cartesianas para un corte principal y definición de parámetros principales.

En los diagramas de la Figura 28 y de la Figura 29, de forma intuitiva, queda clara qué dirección privilegia la antena. Si una antena concentra la potencia radiada en una dirección determinada es como si en esa dirección radiara más potencia. Podemos comparar dos antenas valorando cuanta más potencia radía en una dirección con respecto a una antena de comparación universal, la antena isotrópica. La antena isotrópica es la antena que radia totalmente igual en todas direcciones. El parámetro que permite realizar esa comparación es la directividad.

La direcitvidad de una antena se define como la relación entre: la densidad de potencia radiada en una dirección a una distancia dada (Pmax) y la densidad de potencia que radiaría a esa misma distancia una antena isotrópica que radiase la misma potencia que la antena.

Si no se especifica dirección se sobreentiende que la directividad se refiere a la dirección de máxima radiación:

2/(4 )r

DP rπ

= maxP (164)

Hasta aquí hemos visto las antenas de emisión. Las antenas en recepción se comportarán como un dispositivo captador de potencia con respecto a la densidad superficial de potencia que recibe. Con esta idea podemos asociar a la antena un área efectiva que se define como el cociente entre la potencia que entrega la antena a su carga (PL) y la densidad de potencia de la onda incidente (P):

Lef

PA =P

(165)

El área efectiva es como un área ficticia que asociamos a una antena y nos indica cual debería ser el área de integración que representa para que dada una densidad de potencia (W/m2) obtengamos la potencia que realmente capta la antena (W).

Se puede establecer una relación entre la directividad y el área efectiva de una antena que nos permite rescribir el área efectiva en términos de la directividad que tendría la antena si actuara como transmisora:

2

4efA

Dλπ

= (166)



Así, dada una densidad superficial de potencia que llegue a una antena (recordad unidades de W/m2), multiplicando la densidad de potencia por el área efectiva (unidades m2), obtenemos la potencia captada por la antena. Obtenemos el área efectiva de una antena de la directividad, que es un dato que proporciona el fabricante.

Ejemplo 8

Calculad las expresiones completas de dos ondas planas y uniformes de igual

frecuencia, que se propagan en la dirección z , sentido positivo, una con polarización helicoidal negativa y la otra con polarización helicoidal positiva y que cumplen con las siguientes condiciones:

( 0, 0)

( 0, 0)o

o

r t E x

r t E y+

−

= = =

= = = −

E

E (167)

La expresión fasorial del campo eléctrico con la condición de polarización circular a derechas, que viaja en la dirección de z , en sentido positivo es:

( )1 2( ) jkzoE z E e je e

+ −= − (168)

Sabemos que el campo eléctrico instantáneo está orientado según x , sentido positivo, en el origen,

(0,0) oE x+ =E , así pues podemos, por ejemplo, tomar por igualación 1e x= , y calcular la orientación de 2e , por perpendicularidad, ya que ambos tienen que estar orientados en la dirección transversal a la dirección de propagación.

1 2 2 1 det 0 0 11 0 0

x y ze xe k e kxe y

= ⇒ = = =

Así pues ( )( ) jkzoE z E x j y e

+ −= −

Equivalentemente para la onda con polarización circular a izquierdas

( )1 2( ) jkzoE z E e je e

− −= + (169)

Por igualación tomamos 1e y= − , obtenemos entonces 2e :

1 2 2 1 det 0 0 10 1 0

x y ze xe k e kxe x

= ⇒ = = = −

Obteniendo:



( )( ) jkzoE z E y jx e

− −= − + (170)

Es interesante observar que si sumamos las dos ondas que se propagan en la misma dirección obtenemos:

( ) ( )

( ) / 4

( ) ( ) ( )

2( ) 1 ( )2

jkz jkzo o

jkz j jkzo o

E z E z E z E x j y e E y jx e

E x y j e E x y e eπ

+ − − −

− −

= + = − + − + =

= − + = − (171)

Y se trata de una onda plana polarizada linealmente, 2

x ye −=

Utilizando la expresión (125) podemos obtener directamente la expresión del campo magnético de la expresión del campo eléctrico simplemente calculando el producto vectorial del vector dirección de propagación por el vector orientación de campo eléctrico.

/ 41 1 1 1( ) 22 2

1 1det 0 0 12 2

1/ 2 1/ 2 0

j jkzo

o o

H z kxE E e y x e

x y zkxe y x

π

η η− = = +

= = + −



Lección 12

12. REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN ESCENARIOS DE CAMBIO DE MEDIO.

Podemos estudiar un gran número de problemas analizando el comportamiento de la onda plana en la superficie de cambio entre dos medios dieléctricos, con o sin pérdidas, o con un medio conductor.

Por ejemplo, podemos estudiar el efecto de una capa de nieve sobre la parabólica de una antena analizando qué le ocurre a la onda electromagnética cuando pasa del medio espacio libre a un dieléctrico (la nieve) y de un dieléctrico a un metal (la parabólica).

O podemos estudiar el efecto del radomo o cubierta de protección de un radiotelescopio analizando qué le ocurre a la onda cuando al propagarse por el espacio libre atraviesa un dieléctrico de grosor determinado.

O los fenómenos de reflexión y refracción que justifican el mecanismo de propagación de la luz a través de una fibra óptica dieléctrica.

12.1. REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR PERFECTO.

El primer escenario a estudiar es la presencia de un medio conductor en la trayectoria de propagación de una onda plana. La onda viaja por el vacío e incide sobre un medio conductor.

El medio conductor se supone ubicado en la zona del espacio de z positiva. Consideraremos un conductor perfecto (σ →∞ ), por lo tanto sabemos que el campo eléctrico en el interior del conductor será nulo.

Lo primero será hacer una serie de consideraciones geométricas. Diferenciaremos entre el plano de cambio de medio que es el formado por la superficie de contacto entre los dos medios, el plano XY según la Figura 32. Y el plano de incidencia que será por el que se propaga la onda, el plano YZ según la Figura 32.

¿Por qué decimos que la onda se propaga por el plano YZ? La respuesta se encuentra en la consideración de la onda como onda plana. La onda de campo eléctrico está contenida en el plano formado por la dirección de propagación y la dirección de orientación del campo eléctrico.

Si se trata de una onda plana, la onda es uniforme en el plano transversal (XY) al de propagación, por lo tanto el análisis se reduce a estudiar la incidencia en un único plano de incidencia porque la onda es constante en el plano transversal o equivalentemente par cualquier plano considerado.

Así pues, suponed que la onda viaja sobre el plano de incidencia, plano YZ. Sin pérdida de generalidad dado que al tratarse de una onda plana la amplitud del campo es uniforme en el plano transversal al de propagación.

zxy

Plano incidencia

Plano separación

de medios

zxy

Plano incidencia

Plano separación

de medios

Figura 31 Geometría para el análisis de la solución de la onda en el plano de separación de cambio de medio.



La onda magnética está contenida en el plano formado por la dirección de propagación y la dirección de orientación del campo magnético.

La onda viaja en la dirección de z y sentido positivo, y además consideraremos que el ángulo de incidencia será normal al plano de separación de medios. Además, consideramos el campo eléctrico de la onda incidente con polarización lineal, orientado en la dirección de y sentido positivo.

En la Figura 32 podéis ver la geometría del problema. Tened en cuenta que para representar vectores que entran en el papel, (perpendiculares al plano YZ) dibujamos un aspa (x), mientras que para dibujar vectores que salen del papel dibujamos un punto (·).

La forma más rigurosa de analizar el problema es partiendo de la solución general de la ecuación de ondas (ver expresión (65)). En la solución contemplamos de origen dos ondas: una viaja en la dirección de z positiva y la llamamos onda progresiva y la otra viaja en la dirección de z negativa y le llamamos onda regresiva.

En el problema a plantear la onda progresiva juega el papel de onda incidente en el plano de cambio de medio. Al resolver el problema veremos que la onda regresiva jugará el papel de onda reflejada.

En la Figura 32 podéis identificar el vector dirección de propagación de la onda progresiva o incidente y de la onda regresiva o reflejada. Así como las orientaciones del campo eléctrico y magnético.

Recordad que imponemos por construcción la orientación del campo eléctrico en el eje y, y la dirección de propagación de la onda incidente en el sentido positivo de z. Así pues para la onda incidente directamente podéis fijar la orientación del campo magnético en el sentido negativo del eje x. Mientras que para la onda regresiva podéis fijar la orientación del campo magnético en el sentido positivo del eje x.

La razón es que se deben cumplir la regla de la mano derecha. Rotando el campo eléctrico sobre el magnético en el sentido de las agujas del reloj (como si apretarais con un destornillador un tornillo) el vector dirección de propagación se orienta en la dirección de avance del tornillo..

s=

z

y

x

σ=E=0

z

y

∞

,o oµ ε

x·

iE rE

iH rH

ik rkx

Z=0

s=

z

y

x

σ=E=0

z

y

∞

,o oµ ε

x·

iE rE

iH rH

ik rkx

Z=0

Figura 32 Reflexión de onda plana en la superficie de separación del medio dieléctrico con medio conductor.

La solución de la ecuación de onda también plantea la presencia de una onda regresiva que viaja en la dirección de z sentido negativo. Por lo tanto el vector dirección de propagación de la onda regresiva tendrá la misma dirección de propagación que el de la onda incidente pero sentido contrario.



Mientras que para la onda reflejada y dada la geometría del problema podéis obtener el campo magnético orientado en el sentido positivo de x, entrando en el papel. Si rotáis el campo eléctrico sobre el magnético tiene que dar la dirección de propagación en sentido negativo de z.

El grado de libertad que asumimos al orientar el campo eléctrico de forma arbitraria estará totalmente definido al imponer el cumplimiento de las condiciones de contorno.

Analizando por tanto la geometría de la Figura 32 podéis plantear sin mayor problema las expresiones de los campos eléctricos y magnéticos de la onda incidente y reflejada.

El campo eléctrico de la onda incidente (cuya expresión general es (121)) estará orientado en la dirección y, con amplitud arbitraria, oiE . El número de onda o constante de fase será ko y el campo eléctrico se

propaga en la dirección z.

Utilizad la misma nomenclatura para el campo magnético, recordad dividir por la impedancia de la onda en el vacío y de cambiar el vector de polarización en el sentido negativo de x.

( )

( )

o

o

jk zi oi

jk zoii

o

E z yE eEH z x eη

−

−

=

= − (172)

Para la onda reflejada se sigue el mismo procedimiento pero cambiando la amplitud, por orE , ya que

desconocemos como se verá afectada la amplitud de la onda. Por otro lado, recordad de cambiar el signo del argumento de la exponencial compleja, ya que se trata de la onda reflejada, es decir de la onda regresiva que denominábamos en la solución general de la ecuación de ondas.

( )

( )

o

o

jk zr or

jk zorr

o

E z yE eEH z x eη

=

= (173)

Las amplitudes de la onda incidente y de la onda reflejada no están relacionadas directamente al trabajar con la ecuación de onda en vez de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo podemos relacionarlas imponiendo el cumplimiento de las condiciones de contorno (ver 4 y 4.3)

Ahora debemos aplicar la condición de contorno en la superficie de cambio de medio (z=0). Recordad que debe cumplirse la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico en ambos lados del plano de separación de medio.

Tomamos el plano de cambio de medio en z=0. Y tomamos el campo en el medio 1 (el vacío) como la suma del campo incidente más el reflejado. Como el campo eléctrico está orientado en la dirección y es por tanto tangencial (no perpendicular) al plano de separación de medios y se cumple que:

0oi orE E+ = (174)

Este resultado es muy importante y la lectura del mismo pone de manifiesto que si una onda plana incide sobre un conductor. Necesariamente debe existir una onda reflejada, que llamamos onda regresiva. Y que recordaréis, habíamos visto que forma parte de la solución general de la ecuación de onda.

La onda plana reflejada tendrá amplitud igual pero de signo cambiado a la amplitud de la onda plana incidente. De forma que la suma de ambas sobre el plano de separación de medios que define el cambio de medio cumple con que el campo eléctrico total es cero.

Definiremos el coeficiente de reflexión como el cociente entre la amplitud de la onda regresiva o reflejada (Eor) y la amplitud de la onda incidente (Eor).



1or

oi

EE

Γ = = − (175)

Así pues, el campo eléctrico resultante en el medio vacío, lo obtenemos de la suma del campo eléctrico de la onda incidente (172) y del campo eléctrico de la onda reflejada (173), donde además relacionamos las amplitudes de los campos mediante (175):

( ) ( ) ( )o o o ojk z jk z jk z jk zi r oi oi oiE z E E y E e E e yE e e− −= + = − = − (176)

Utilizando la relación de Euler se puede escribir:

( ) ( ) 2 sin( )o ojk z jk zoi oi oE z yE e e j yE k z−= − = − (177)

Mientras que para el campo magnético, conocida las relaciones entre las amplitudes del campo eléctrico incidente y reflejado tenemos:

( ) ( ) 2 cos( )o ojk z jk zoi oio

o o

E EH z x e e x k zη η

−= − + = − (178)

Las expresiones (177) y (178) se conocen como soluciones de onda estacionaria para el campo eléctrico y magnético respectivamente. Del análisis de las mismas podéis extraer que la envolvente de la onda electromagnética presentará una forma sinusoidal como muestra la Figura 33. Donde observáis la representación normalizada (la amplitud no se considera) del campo eléctrico (traza continua) y campo magnético (traza discontinua) en función de la distancia.

-2 -1.75 -1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ζ/λ

E(-)

, H(--

), no

rmal

izad

os

Figura 33 Representación normalizada del campo eléctrico (traza continua) y campo magnético (traza discontinua) en función de la distancia.

Los máximos se producen cuando el campo eléctrico incidente y reflejado se suman en fase (la fase del campo eléctrico incidente y reflejado es la misma). Los mínimos se producen cuando el campo eléctrico incidente y reflejado se suman en contratase (la fase del campo eléctrico incidente y reflejado tiene una diferencia de 180º, es decir un signo negativo).

Observad que el campo eléctrico es nulo justo en z=0, y en los múltiplos pares de / 4λ , (2 ) / 4n λ , donde n=0,1,2,…. Mientras que es máximo a múltiplos impares, (2 1) / 4n λ+ . Si por ejemplo se requiere ubicar un sensor de campo eléctrico para medir el campo eléctrico recibido lo ubicaríamos por tanto a múltiplos impares de la longitud de onda ( (2 1) / 4n λ+ ) donde el campo es máximo.



Lección 13

13. ESTUDIO DE ONDA PLANA EN UNA SUPERFICIE DE CAMBIO DE MEDIO ENTRE DIELÉCTRICOS.

El siguiente escenario a plantear es el problema de incidencia de una onda plana que viaja por un medio dieléctrico sin pérdidas, como es el vacío. Y se encuentra con un segundo medio dieléctrico con pérdidas.

El medio 2 estará definido en z positivas y viene caracterizado por una permitividad dieléctrica y por una permitividad magnética ( ,ε µ ). Además presentará pérdidas modeladas por una conductividad σ .

La Figura 34 muestra un esquema de la situación planteada.

Supondremos que la onda viaja sobre el plano XZ. No supone una pérdida de generalidad, ya que al tratarse de una onda plana, la amplitud del campo es uniforme en el plano transversal al de propagación. La onda viaja en la dirección de z y sentido positivo. Además consideraremos que el ángulo de incidencia será normal al plano de separación de medios

Consideramos el campo eléctrico con polarización lineal, orientado en la dirección de x sentido positivo. Conocida la relación de perpendicularidad entre el vector dirección de propagación y los vectores campo eléctrico y magnético, para la formación de una triada de mano derecha el vector campo magnético estará orientado en la dirección de y con sentido negativo.

Medio 1 Medio 2

EI

µο,εoσ,µ,ε

ET

ER

z

EI

µο,εoσ,µ,ε

ET

ER

x

·y

Medio 1 Medio 2

EI

µο,εoσ,µ,ε

ET

ER

z

EI

µο,εoσ,µ,ε

ET

ER

x

·y

Figura 34 Reflexión y transmisión de la onda incidente en un plano de cambio de medio entre dieléctricos.

Considerad la solución de onda plana. Donde debéis tomar el campo eléctrico orientado en el sentido positivo de x. Con una amplitud arbitraria Eoi, y propagándose en la dirección z. El campo incidente puede describirse, para z<0.

( ) ojk zi oiE z xE e−= (179)

Aplicando la perpendicularidad entre el campo eléctrico, magnético y vector dirección de propagación podemos formular la expresión para el campo magnético según:

1( ) ojk z

i oio

H z y E eη

−= (180)

Donde oη es la impedancia de la onda en el espacio libre y oiE es una amplitud arbitraria



Como solución de la ecuación de onda en el medio 1 podemos contemplar la existencia de una onda regresiva que viaja en la dirección de z con sentido negativo. De forma que podemos formular la expresión del campo eléctrico reflejado:

( ) ojk zr orE z xE e+= (181)

Donde resaltamos el signo positivo del argumento de la exponencial (término de propagación) que pone en evidencia la propagación en el sentido negativo de z.

Equivalentemente para el campo magnético de la onda reflejada podemos formular la expresión:

1( ) ojk z

r oro

H z y E eη

+= − (182)

Equivalentemente para la onda transmitida, que se propagará a través del medio 2, la expresión del campo eléctrico y magnético transmitido son, respectivamente:

( ) z j zt ot otE z xE e xE eγ β− −= = (183)

1 1( ) z j z

t ot otH z y E e y E eγ β

η η− −= = (184)

Donde la amplitud de la onda transmitida se toma Eot. Donde η es la impedancia intrínseca del medio 2 (ver expresión (125) ). Y se calcula según:

jωµηγ

= (185)

Y donde la constante de propagación compleja puede tomar en cuenta las pérdidas por conducción en el medio 2 como se vio en el apartado 0.

1j j j σγ α β ω µεωε

= + = − (186)

Ahora debemos aplicar la condición de contorno en la superficie de cambio de medio (z=0). Recordad que debe cumplirse la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico en ambos lados del plano de separación de medios. Así para el campo eléctrico se cumplirá:

2 10 0

x ( ) x ( )S z S z

n E n E→ = → =

= (187)

Por lo tanto en z=0 la suma de las componentes tangenciales del campo eléctrico incidente y del campo eléctrico reflejado debe ser igual a la componente tangencial del campo eléctrico transmitido:

( ) ;i r tnx E E nxE+ = (188)

Y recordad que debe cumplirse la continuidad de las componentes tangenciales del campo magnético en ambos lados del plano de separación de medios

2 20 0

x ( ) x ( )S z S z

n H n H→ = → =

= (189)

Por lo tanto en z=0:

( ) ;i r tnx H H nxH+ = (190)



De la que se puede establecer el siguiente sistema de ecuaciones a partir de (188) y(190), donde se toman las componentes tangenciales de los campos:

oi or otE E E+ = (191)

( )1 1oi or ot

o

E E Eη η

− = (192)

Dividiendo las expresiones (191) y (192) por la amplitud del campo eléctrico incidente (Eoi) podremos expresar el sistema de ecuaciones en términos de los coeficientes de reflexión y transmisión. El

coeficiente de reflexión y de transmisión se toma por definición or

oi

EEΓ = y ot

oi

ET E=

respectivamente, resultando:

(1 ) T+Γ = (193)

1

o

Tη η−Γ

= (194)

Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a la solución del coeficiente de reflexión y de transmisión en función de la impedancia de la onda en el vacío ( oη ) y de la impedancia intrínseca del medio (η ), es

decir en función únicamente de las características de los dos medios:

o

o

η ηη η−

Γ =+

(195)

21

o

T ηη η

= +Γ =+

(196)

Hemos encontrado dos expresiones de gran utilidad que nos relacionan las amplitudes de la onda reflejada y transmitida con la amplitud de la onda incidente. Además, lo hacen contemplando únicamente las características del medio.

Por lo tanto la expresión del campo eléctrico total en el medio 1 resulta de sumar la onda incidente (179) y reflejada (181) donde hacemos uso de la definición de coeficiente de reflexión para relacionar las amplitudes:

1 ( ) ( )o ojk z jk zToiE z xE e e− += + Γ (197)

Equivalentemente para el campo magnético sumamos las componentes de la onda incidente (180) y reflejada (182) donde de nuevo hacemos uso del coeficiente de reflexión para relacionar las amplitudes.

11( ) ( )o ojk z jk zT

oio

H z x E e eη

− += −Γ (198)

Mientras que en el medio 2 la expresión del campo total podemos ponerlo en función de la amplitud de la onda incidente a través del coeficiente de transmisión resultando para el campo eléctrico y magnético respectivamente:

2 ( )T j zoiE z xTE e β−= (199)

21( )T j z

oiH z y TE e β

η−= (200)



Tanto la reflexión como la transmisión de la onda dependen únicamente de las características de los dos medios en cuestión.

Además en el caso de tomar un medio con pérdidas, la onda transmitida se atenuará con la distancia a medida que avanza. Recordad que el campo transmitido al medio 2 se verá afectado por un término exponencial real que pone en evidencia la evanescencia de la onda al propagarse por un medio con pérdidas y que está incluido en la definición de constante de fase compleja (ver apartado 7.1).

13.1.1. MEDIO DIELÉCTRICO SIN PÉRDIDAS.

Si la región para z>0 está formada por un dieléctrico sin pérdidas, entonces la conductividad es cero ( 0σ = ) y la permeabilidad y permitividad del medio, yµ ε , son cantidades reales. La constante de

propagación en el medio 2 será imaginaria pura al no contar con el término real que representa la atenuación por pérdidas y se puede escribir a partir de la expresión (186) :

o r rj j jkγ β ω µε µ ε= = = (201)

Donde o o ok ω µ ε= es el número de onda o constante de fase, para la onda plana en el medio 1

(espacio libre).

La longitud de onda en el dieléctrico (71) es:

2 2 o

r r

λπ πλβ ω µε µ ε

= = = (202)

Observar que la longitud de onda será más corta que en el espacio libre, y la velocidad de fase también menor que la velocidad de la luz en el espacio libre:

1

pr r

cv ωβ µε µ ε

= = = (203)

Con respecto a la impedancia de la onda en términos de las características del medio.

ro

r

j µωµ µη ηγ ε ε

= = = (204)

Siendo mayor o menor que la impedancia de la onda en el espacio libre dependiendo de las características del medio.

Cabe destacar que como la impedancia de la onda es real, los coeficientes de transmisión y de reflexión también serán reales (observad las expresiones (195) y (196)), de forma que los campos eléctricos incidente, reflejado y transmitido estarán en fase en ambos medidos. Ocurre lo mismo para los campos magnéticos.



Ejemplo 9

Una onda plana viaja por el espacio vacío incide perpendicularmente sobre un material dieléctrico con constante dieléctrica 2,56rε = . Determinad los coeficientes

de reflexión y transmisión. Amplitud del campo reflejado y transmitido si la amplitud del campo es de 10 V/m.

La impedancia del medio para el vacío es 120oη π= Ω .

La impedancia del medio dieléctrico 2 es a partir de (204).

0,625·oo

r

ηη ηε

= = (205)

El coeficiente de reflexión lo hemos definido como el cociente entre la amplitud de la onda regresiva o reflejada (Eor) y la amplitud de la onda incidente (Eoi).

0,625 0,2310,625

o o o

o o o

η η η ηη η η η− −

Γ = = = −+ +

(206)

El coeficiente de transmisión lo hemos definido como el cociente entre la amplitud de la transmitida (Eot) y la amplitud de la onda incidente (Eoi).

2·0,62521 0,769

0,625o

o o o

T ηηη η η η

= +Γ = = =+ +

(207)

Si la amplitud de la onda incidente es de 10V/m:

La amplitud de la onda reflejada será 2,31V/mor oiE E= Γ = −

La amplitud de la onda transmitida será 7,69V/mot oiE TE= =



Lección 14

14. INCIDENCIA OBLICUA SOBRE LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS DIELECTRICOS.

Hemos trabajado en el apartado 5 lo que le ocurre a la onda plana cuando incide de forma normal en la superficie de separación entre dos dieléctricos. Sin embargo, como sin duda debéis suponer, este es un caso excepcional ya que lo habitual, y lo general, es que se produzca incidencia oblicua. Este es precisamente el caso que trataremos en este apartado: generalizaremos el estudio de la incidencia de una onda plana sobre la superficie de separación entre dos dieléctricos en el caso de ángulo de incidencia oblicuo. Introduciremos aspectos de la geometría del problema de la incidencia oblicúa en el apartado 14.1

Veremos que podemos distinguir dos casos en función de cómo esté orientado el campo eléctrico con respecto a la geometría del problema. Diferenciando entre polarización paralela o perpendicular al plano de incidencia. Y desarrollaremos estos dos casos generales en función de la polarización de la onda en los apartados 14.2 y 15.

Por último en el apartado 15.1 estudiaremos casos de especial interés con respecto a fenómenos de cancelación total de la onda para pasar a describir el funcionamiento de la fibra óptica como ejemplo de aplicación en el apartado 6.5.

14.1. INTRODUCCIÓN.

Lo primero que debemos hacer es entender la idea de incidencia oblicua. Para explicarlo observad la geometría del problema mostrada en la Figura 35. Consideraremos la existencia de dos medios distintos. Cada uno de los medios viene caracterizado por su permitividad dieléctrica y permeabilidad magnética. Fijaremos la superficie de cambio de medio en z=0.

Existen tres principios fundamentales de la óptica geométrica que nos permiten definir la geometría mostrada en la Figura 35:

1- Los rayos viajan a la velocidad de la luz en el vacío.

2- Los rayos viajan en línea recta y solo varían la dirección al variar el índice de refracción.

3- Cuando un rayo incide sobre plano de separación de dos medios diferentes, parte del rayo es reflejado y parte del rayo es transmitido.

La onda incidente se propaga por el medio 1 y tiene asociado un vector dirección de propagación. Definimos la normal o dirección normal o dirección perpendicular a la dirección que es perpendicular a la superficie de cambio de medio (eje z según la geometría planteada).

Según la geometría podemos definir un ángulo de incidencia iθ . El ángulo de incidencia se construye

entre la normal y la dirección determinada por el vector dirección de propagación.

Cuando la onda llega a la superficie de separación, parte de la onda incidente será reflejada. Se reflejará en una dirección determinada que todavía no conocemos. Sin embargo podemos definir que la onda reflejada formará un ángulo respecto a la normal , que llamaremos ángulo de la onda reflejada.

Y parte de la onda será transmitida al segundo medio donde también definimos un ángulo respecto a la normal tθ , que llamaremos ángulo de la transmitida.



iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rk

tk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rk

tk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

Figura 35 Geometría para el estudio de incidencia oblicua de la onda incidente, reflejada y transmitida en la superficie de cambio de medio entre dos medios dieléctricos en función de los ángulos medidos respecto a la normal.

Existen dos casos a partir de los cuales cualquier situación podrá ser expresada como una combinación lineal de estos dos casos individuales (les llamaremos casos canónicos):

Hablaremos de incidencia oblicua con polarización perpendicular al plano de incidencia. Cuando el campo eléctrico sea perpendicular al plano de incidencia. Según la geometría mostrada en la Figura 35, el campo estaría orientado en la dirección x (es decir entrando o saliendo del plano del papel).La Figura 37 muestra con exactitud el caso con polarización perpendicular.

Hablaremos de incidencia oblicua con polarización paralela al plano de incidencia cuando el campo eléctrico esté contenido en el plano de incidencia. Según la geometría mostrada en la Figura 35, el plano de incidencia es el plano YZ. La Figura 39 muestra con exactitud el caso de polarización paralela.

El método general de solución es similar al problema con incidencia normal pero previamente realizaremos una serie de consideraciones geométricas muy sencillas.

El vector director de propagación para las ondas incidente, reflejada y transmitida puede descomponerse proyectando los vectores directores de propagación en sus componentes cartesianas mediante simples relaciones trigonométricas (ver Figura 36):

1

1

2

( sin cos )

( sin cos )

( sin cos )

i i i

r r r

t t t

k k y z

k k y z

k k y z

θ θ

θ θ

θ θ

= +

= −

= +

(208)

Donde además se conoce las relaciones entre el número de onda o constante de fase en función de las propiedades de los medios 1 1 1k ω µ ε= y 2 2 2k ω µ ε= .



La Figura 36 muestra un pequeño esquema donde mostramos las consideraciones trigonométricas para el vector incidente. Para la reflejada y la transmitida sería totalmente equivalente con la definición de ángulos respectivos. La proyección del vector sobre el eje z se obtiene multiplicando el vector por el coseno del ángulo de incidencia. La proyección del vector sobre el eje y se obtiene multiplicando el vector por el seno del ángulo de incidencia.

z

y

iθ

iθ

Proyección z

Proy

ecci

ón y

k

cos( )z ik k θ=

sin( )y ik k θ=

Figura 36 Esquema descomposición de un vector en componentes cartesianas.

Otra forma habitual de caracterizar un medio dieléctrico, siendo además la nomenclatura habitual, es a través del índice de refracción. El índice de refracción del medio se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio analizado:

1 1_ __ _ o o

velocidad luz vacionvelocidad luz medio

µ εµ ε= = (209)

El índice de refracción nos indica cuanto mayor es la velocidad de propagación de la onda en el vacío con respecto al medio considerado.

En medios no magnéticos donde la permitividad magnética relativa se toma, 1rµ = , el índice de

refracción queda simplificado de la forma:

1r

on ε εε= = (210)

A partir de la consideración del índice de refracción se pueden rescribir el número de onda en un medio respecto al número de onda en el vacío y el índice de refracción:

o o o r ok k nω µ ε ω µ ε ε= = = (211)

Observad que el número de onda o constante de fase en un medio será siempre mayor que la constante de fase en el vacío.

La impedancia intrínseca del medio con respecto a la impedancia de la onda en el vacío y el índice de refracción es:

1r

o or ro

o r r nµ

µ ηµ µµη ηε ε ε ε

=

= = = = (212)

Observad que la impedancia del medio será mayor o menor que en el vacío en función de las características del medio. Si se considera un medio no magnético ( 1rµ = ), la impedancia del medio

siempre será menor que la del vacío.



La longitud de onda en el medio en función de la longitud de onda en el vacío y el índice de refracción resulta:

2 2 o o

o r rk nkλ λπ πλ

ε ε= = = = (213)

Observad que la longitud de onda en el medio será siempre más pequeña que la longitud de onda en el vacío.

Hasta aquí hemos planteado la geometría general del problema de incidencia oblicua. Y conocemos la nomenclatura habitual para modificar los parámetros de las ondas en función del medio por el que se propagan.

El siguiente paso es analizar en detalle los dos escenarios canónicos con respecto a la orientación del campo eléctrico que hemos presentado.

14.2. CASO POLARIZACIÓN LINEAL PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA.

En el caso de polarización lineal perpendicular al plano de incidencia, el campo eléctrico será perpendicular al plano de incidencia. Observad la Figura 37, el campo eléctrico está orientado perpendicularmente al plano YZ. Es decir el campo eléctrico está orientado en la dirección x, y dibujado con un aspa, por lo que va hacia dentro de la hoja, como el eje x.

Dado un vector dirección propagación para la onda incidente y fijada la orientación del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia, queda determinado el campo magnético, ya que los tres deben cumplir con la regla de la mano derecha.

iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rktk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

X

X

X

iE

rE

iH

rHtE

tH

iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rktk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

X

X

X

iE

rE

iH

rHtE

tH

Figura 37 Geometría para el estudio de incidencia oblicua en el caso de polarización perpendicular al plano de incidencia.



Para la geometría considerada en la Figura 37, las expresiones del campo eléctrico de las ondas incidente (subíndice i), reflejada (subíndice r) y transmitida (subíndice t) se formulan respectivamente a partir de (121):

( )

( )

( )

i

r

t

j k ri oi

j k rr or

j k rt ot

E r xE e

E r xE e

E r xE e

−

−

−

=

=

=

(214)

Por construcción del problema las tres ondas presentan polarización lineal en x, sentido positivo. Se les atribuye una amplitud diferente, Eoi, Eor y Eot respectivamente ya que a priori desconocemos las relaciones entre ellas. La exponencial compleja que representa el término de propagación, a su vez, incorpora para cada onda los respectivos vectores de propagación.

Para la obtención de las expresiones del campo magnético podemos optar por descomponer el vector campo magnético de la Figura 37 proyectando sobre los ejes cartesianos mediante simples consideraciones geométricas.

Podemos dibujar el vector campo magnético utilizando la perpendicularidad entre el campo eléctrico y el vector dirección de propagación y aplicar la descomposición explicada en la Figura 36.

1

1

2

( ) ( cos( ) sin( ))

( ) ( cos( ) sin( ))

( ) ( cos( ) sin( ))

i

r

t

j k roii i i

j k rorr r r

j k rott t t

EH r y z e

EH r y z e

EH r y z e

θ θη

θ θη

θ θη

−

−

−

= −

= − −

= −

(215)

Observad que la impedancia del medio para la onda transmitida (subíndice t) es la impedancia del medio 2.

Pero existe una forma más cómoda de obtener las expresiones del campo magnético. Podemos obtenerlas

de forma sistemática calculando el producto vectorial h kxe= (la notación minuscula refiere a que trabajamos simplemente con los vectores de orientación, no necesitamos en ningún caso ni las amplitudes ni la componente de propagación).

Para calcular el producto vectorial de dos vectores colocamos en la primera fila de una matriz los tres vectores directores cartesianos. En la segunda fila el primer vector del producto y en la tercera fila el segundo vector del producto. Y calculamos el determinante de la matriz.

De forma que el vector orientación del campo magnético incidente, transmitido y reflejado obtenidos son respectivamente:

0 sin( ) cos( ) cos( ) sin( )1 0 0

i i i i i

x y zh y zθ θ θ θ

= = −

(216)

0 sin( ) cos( ) cos( ) sin( )1 0 0

t t t t t


= = −

(217)



0 sin( ) cos( ) cos( ) sin( )1 0 0

r r r r r


= − = − −

(218)

Ahora debemos aplicar la condición de contorno en la superficie de cambio de medio (zFigura 37=0). Recordad que debe cumplirse la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico en ambos lados del plano de separación de medios. Así para el campo eléctrico debe cumplirse

1 20 0

x x z z

n E n E= == (219)

Las componentes tangenciales de los campos en ambos lados de la superficie de cambio de medio definida en z=0 deben igualarse:

( )i r tnx E E nxE+ = (220)

Tomando las componentes tangenciales del campo eléctrico se debe cumplir

0

( ) 0i r tj k r j k r j k roi or ot

zx E e E e E e− − −

=+ − = (221)

Para cumplir la igualdad debe tenerse en cuenta la igualdad tanto de la fase como del módulo. Para establecer la igualdad de fase sobre la superficie de unión (z=0) se debe cumplir.

0 0

i r tj k r j k r j k r

z ze e e− − −

= =+ = (222)

Para ello debe cumplirse que los argumentos de las exponenciales sean iguales uno a uno, es decir, debe cumplirse que:

i r tk r k r k r= = (223)

Tomando las definiciones de los vectores directores de propagación (208) y ( , , )r x y z= calculando el producto escalar entre los vectores se obtienen la siguiente igualdad:

1 1 2 0( sin cos ) ( sin cos ) ( sin cos )i i r r t t z

k y z k y z k y zθ θ θ θ θ θ=

+ = − = + (224)

Evaluando la expresión (224) en z=0, de la primera igualdad obtenemos la que se conoce como segunda ley de Snell:

sin sin ,[2ª ]i r i r leySnellθ θ θ θ= ⇒ = (225)

Que asegura que el ángulo respecto a la normal de la onda reflejada es igual al ángulo respecto a la normal de la onda incidente (ver Figura 37). Evaluando la expresión (224) en z=0, de la segunda igualdad obtenemos la que se conoce como tercera ley de Snell.

1 2 1 2sin sin sin sin [3ª ]i t i tk k n n leySnellθ θ θ θ= ⇔ = (226)

Y para cumplir la igualdad impuesta en (221), forzada por la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico además hay que forzar la adaptación de módulo, de forma que;

oi or otE E E+ = (227)



Y equivalentemente para el campo magnético (observad que está en función de la amplitud del campo eléctrico):

1 2

1 ( ) cos( ) cos( )θ θη η

− = otoi or i t

EE E (228)

Definimos el coeficiente de reflexión como el cociente entre la amplitud de la onda reflejada y la amplitud de la onda incidente. Añadimos el símbolo de perpendicular para tomar en cuenta que analizamos el caso de polarización perpendicular al plano de incidencia:

or

oi

EE

ρ⊥ = (229)

Y el coeficiente de transmisión como el ratio entre la amplitud de la onda transmitida y la amplitud de la onda incidente:

ot

oi

EE

τ⊥ = (230)

Dividiendo las expresiones (227) y (228) por la amplitud del campo eléctrico de la onda incidente (Eoi) podremos incluir las definiciones de coeficiente de reflexión y de transmisión y además ponemos la impedancia de los dos medios en función del índice de refracción de los medios, podemos replantear el sistema de ecuaciones obtenido en (227) y (228)

1 ρ τ⊥ ⊥+ = (231)

1 2(1 ) cos( ) cos( )i to o

n n τρ θ θ

η η⊥

⊥− = (232)

Resolviendo el sistema de ecuaciones podemos establecer las siguientes relaciones conocidas como relaciones de Fresnel. (Estas expresiones hay que conocerlas, entenderlas y saber deducirlas pero no memorizarlas, que para eso están los libros):

1 2

1 2

cos( ) cos( )cos( ) cos( )

θ θρ

θ θ⊥

−=

+i t

i t

n nn n

(233)

1

1 2

2 cos( )cos( ) cos( )

θτ

θ θ⊥ =+

i

i t

nn n

(234)

Las relaciones de Fresnel determinan el coeficiente de reflexión y transmisión en función del índice de refracción de los medios 1 y 2. Es decir de las características de los medios. Y del ángulo de la onda incidente y de la onda transmitida.

Pero podemos ir más allá y relacionar los coeficientes de reflexión y transmisión en función únicamente del ángulo de incidencia.

Para ello partimos de la relación trigonométrica:

2 2 2cos ( ) sin ( ) 1 cos( ) 1 sin ( )θ θ θ θ+ = ⇔ = −t t t t (235)

Y de la 3ª ley de Snell:

1 2 1 2sin( ) sin( ) sin( ) sin( )i t i tk k n nθ θ θ θ= ⇔ = (236)

Así, obtenemos:



2

2 2 2 212 12

22

1cos( ) 1 sin ( ) sin ( )t t in

n nnn

θ θ θ= − = − (237)

Substituyendo la expresión (237) en (233) y (234) podéis obtener el coeficiente de reflexión y transmisión en función del ángulo de incidencia y de los índices de refracción del medio.

La Figura 38 muestra la representación del módulo del coeficiente de reflexión en función del ángulo de incidencia. Para el caso de polarización perpendicular al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55.

Polariación perpendicular

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo Incidencia (º)

|Coe

ficie

nte

refle

xión

|

Figura 38 Representación del módulo del coeficiente de reflexión en función del ángulo de incidencia. Para el caso de polarización perpendicular al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55.



Lección 15

15. CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL PARALELA AL PLANO DE INCIDENCIA.

En el caso de polarización lineal paralela al plano de incidencia, el campo eléctrico estará contenido en el plano de incidencia. En la Figura 39 podéis ver esta situación: el campo eléctrico está contenido en el plano YZ, que es el plano de incidencia.

En este caso el campo magnético será el que esté perpendicular al plano de incidencia. Dado un vector dirección propagación para la onda incidente, y fijada la orientación del campo magnético perpendicular al plano de incidencia, queda establecido el campo eléctrico, ya que los tres deben cumplir con la regla de la mano derecha.

iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rktk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

·

·

X

iE

rE

iH

rH

tE

tH

iθ

rθ tθ

MEDIO 11 1,ε µ

MEDIO 22 2,ε µ

ik

rktk

zxXnormal

Cam

bio

de m

edio

, z=0

·

·

X

iE

rE

iH

rH

tE

tH

Figura 39 Geometría para el estudio de incidencia oblicua en el caso de polarización paralela al plano de incidencia.

Para la geometría considerada en la Figura 39, las expresiones del campo magnético de las ondas incidente, reflejada y transmitida se formulan respectivamente

1

1

2

( )

( )

( )

i

r

t

j k roii

j k rorr

j k rott

EH r x e

EH r x e

EH r x e

η

η

η

−

−

−

= −

=

= −

(238)



Las tres ondas presentan polarización lineal en x. La incidente y la transmitida con sentido negativo. Mientras que la reflejada con sentido positivo. Se les atribuye una amplitud diferente, Eoi, Eor y Eot respectivamente. La exponencial compleja que representa el término de propagación, a su vez incorpora para cada onda los respectivos vectores de propagación. Observad que la onda transmitida viene afectada por la impedancia del medio 2, al propagarse a través del medio 2.

Quisiera destacaros que la orientación o polarización del campo magnético es arbitraria. Podríamos haber tomado cualquier otro sentido en la polarización. Ya que al aplicar las condiciones de contorno automáticamente se corregirán.

Para obtener las expresiones del campo eléctrico podéis optar por el método sistemático. Calculando el

producto vectorial e hxk= . De la misma forma que hicimos en el caso de polarización del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Y que os propongo que lo hagáis como ejercicio.

El resultado para el campo eléctrico de la onda incidente, reflejada y transmitida es:

( ) ( cos( ) sin( ))

( ) ( cos( ) sin( ))

( ) ( cos( ) sin( ))

i

r

t

j k ri oi i i

j k rr or r r

j k rt ot t t

E r E y z e

E r E y z e

E r E y z e

θ θ

θ θ

θ θ

−

−

−

= −

= +

= −

(239)

De nuevo contamos con las expresiones del campo eléctrico y magnético para las tres ondas incidente, reflejada y transmitida. Las amplitudes de la onda incidente reflejada y transmitida son arbitrarias.

Pero podemos obtenerlas aplicando la condición de contorno en la superficie de cambio de medio (z=0). Recordad que debe cumplirse la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético en ambos lados del plano de separación de medios. Así, para las componentes tangenciales del campo eléctrico debe cumplirse:

1 1 2

( ) cos( ) cos( )θ θ

η η η

+ =−

− + =

oi or i ot t

oi or ot

E E EE E E (240)

Solo el término orientado en y es tangencial al plano de cambio de medio, mientras que la componente

en z es normal o perpendicular al plano de cambio de medio.

Podéis simplificar el sistema de ecuaciones escrito en (240), poniéndolo en función de los coeficiente de reflexión y transmisión. Recordad que el coeficiente de reflexión se define como el cociente entre la amplitud de la onda reflejada respecto a la amplitud de la onda incidente. Y que el coeficiente de transmisión se define como el cociente de la amplitud de la onda transmitida respecto a la amplitud de la onda incidente.

Donde utilizaremos el subíndice paralelo (//) para indicar que estamos trabajando en el caso de polarización del campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Además pondremos las impedancias de los medios en función de los índices de refracción de los medios respectivos (n1 y n2) y de la impedancia del medio en el vacío.

1 2

(1 ) cos( ) cos( )

(1 )

i t

o o

n nρ θ τ θ

ρ τη η

+ =

− = (241)



Resolviendo el sistema de ecuaciones(241), podéis obtener las siguientes expresiones que relacionan el coeficiente de reflexión y transmisión con los índices de refracción de los medios y con los ángulos de la onda incidente y de la onda transmitida respecto a la normal.

1 2

1 2


θ θρ

θ θ−

=+

t i

t i

n nn n

(242)

1

1 2

2 cos( )cos( ) cos( )

θτ

θ θ=

+i

t i

nn n

(243)

Como se puede observar en la Figura 40 el coeficiente de reflexión entre el medio espacio vacío y un medio genérico de permitividad dieléctrica 2.55 muestra como para el caso de polarización paralela si se puede llegar a la situación de reflexión nula mientras que en el caso de polarización perpendicular para ningún ángulo de incidencia se produce esta situación.

La Figura 40 muestra la representación del módulo del coeficiente de reflexión en función del ángulo de incidencia. Para el caso de polarización paralela al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55.

Polarización paralela

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulo incidencia (º)

|Coe

ficie

nte

Refle

xión

|

Figura 40 Representación del módulo del coeficiente de reflexión en función del ángulo de incidencia. Para el caso de polarización paralela al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55.

15.1. CASOS ESPECIALES.

En este apartado vamos a estudiar dos situaciones interesantes. Primero analizaremos si es posible que se dé alguna situación donde la reflexión de la onda sea total, o lo que es lo mismo, no exista onda transmitida.

Por otro lado también analizaremos si es posible la situación donde la reflexión de la onda sea nula, es decir, que toda la onda incidente se transmita al medio 2.



15.2. FENOMENO REFLEXIÓN TOTAL.

La reflexión total es el fenómeno por el que no hay onda transmitida. Cuando una onda incide oblicuamente sobre una superficie, hay reflexión, como hemos visto en los apartados 14.2 i 15. Los ángulos de incidencia y reflexión están relacionados según la ley de Snell (225). Si el índice de refracción del medio en el que se encuentra la onda incidente (n1) es mayor que el índice del medio en el que viaja la onda transmitida de la onda, el ángulo con la normal de la onda transmitida es mayor que el ángulo de incidencia.

Así, es fácil darse cuenta que a partir de un cierto ángulo de incidencia, el ángulo de la onda transmitida será superior a / 2π y, por tanto, lo que implica que la onda vuelve al medio de incidencia. Es decir, la onda se refleja totalmente.

Se define como ángulo critico, aquel ángulo de incidencia para el cuál no existe onda transmitida al medio 2. Es decir toda la onda incidente que llega a la superficie de cambio de medio será reflejada al medio 1.

La existencia de un ángulo crítico de incidencia es equivalente decir que la onda transmitida lo hará con un ángulo de transmisión respecto a la normal superior a / 2π . De forma que podéis establecer la definición de ángulo crítico a partir de la 3ª ley de Snell. Recordad que 1 2sin( ) sin( )i tk kθ θ= de forma

que el ángulo crítico se define:

2 2

1 1/ 2

_ arcsin sin( ) arcsint

i tn ncriticon n

θ π

θ θ=

= =

(244)

Observad que si n1<n2, el ángulo de incidencia siempre es mayor que el ángulo de la transmitida. Este resultado quiere decir que la onda transmitida nunca podrá superar un ángulo respecto a la normal superior a / 2π . Sin que lo haya superado antes la onda incidente.

En definitiva si el índice de refracción del medio 2 es mayor que el índice de refracción del medio 1 nunca se produce fenómeno de reflexión total.

Pero se n1>n2, el ángulo incidente es menor que el ángulo de la transmitida. Y por tanto puede darse el caso que para un ángulo de incidencia el ángulo de la onda transmitida es mayor que / 2π . Dándose el fenómeno de reflexión total. Este ángulo de incidencia límite es el que conocemos como ángulo critico de incidencia.

En definitiva si el índice de refracción del medio 2 es menor que el índice de refracción del medio 1, existe ángulo crítico. Si la onda incidente llega a la superficie de cambio de medio con un ángulo de incidencia respecto a la normal igual o mayor que el ángulo critico no existirá onda transmitida.

Este es el caso que se produce al pasar la luz del vidrio al aire: el aire tiene un índice de refracción menor que el vidrio, así que si tenemos una lámina de vidrio y la iluminamos con una linterna, a partir de un cierto ángulo la luz que ha entrado al vidrio no saldrá por el otro lado sino que se reflejará totalmente. ¿Por qué no pasa esto habitualmente? Porque es necesario que la lámina sea bastante ancha.

15.3. CANCELACIÓN DE ONDA REFLEJADA.

El fenómeno de cancelación de onda reflejada representa la situación para la cual toda la onda incidente es transmitida al medio 2 y no existe onda reflejada. Es un fenómeno interesante que permite mediante las condiciones necesarias anular la onda reflejada, para un determinado ángulo de incidencia, en el cambio entre dos medios. Vamos a ver que es equivalente estudiar el fenómeno de onda reflejada a evaluar donde podemos anular el coeficiente de reflexión.



Para estudiar este fenómeno basta con analizar cuando el coeficiente de reflexión se anula. Para el caso de campo eléctrico con polarización perpendicular al plano de incidencia el coeficiente de reflexión viene dado por (estas expresiones hay que conocerlas y entenderlas pero no memorizarlas, para eso están los libros):

1 2

1 2


θ θρ

θ θ⊥

−=

+i t

i t

n nn n

(245)

Forzando que el coeficiente de reflexión sea cero y mediante la tercera ley de Snell ( 1 2sin( ) sin( )i tn nθ θ= ) podéis establecer un sistema de dos ecuaciones. Que solo se anula con la

solución trivial de igualdad de medios.

1

2

1

2

coscos cos sin 0 sin( ) 0sin cos sinsin

t

i t tt i

t i i

i

nnnn

θθ θ θ θ θθ θ θθ

= ⇔ − = ⇔ − ==

Es decir que en el caso de polarización perpendicular nunca se da el fenómeno de cancelación de onda reflejada.

Para el caso de campo eléctrico con polarización paralela al plano de incidencia recordad que el coeficiente de reflexión viene dado por:

1 2

1 2


θ θρ

θ θ−

=+

t i

t i

n nn n

(246)

Forzando que el coeficiente de reflexión sea cero y mediante la tercera ley de Snell ( 1 2sin( ) sin( )i tn nθ θ= ), podéis establecer un sistema de dos ecuaciones.

1

2

1

2

coscos

sin cos sin cos 0sinsin

sin(2 ) sin(2 ) / 2

i

ti i t t

t

i

i t B t

nnnn

i

θθ

θ θ θ θθθ

θ θ π θ

= ⇔ − ==

= ⇒ = −

Que si tiene solución no trivial, de forma que se puede definir un ángulo de incidencia al que llamaremos ángulo de Brewster (iB) de forma que toda la onda incidente se transmite al medio 2.

En función de los índices de refracción el ángulo de Brewster se obtiene mediante:

2

1

tan Bnin

= (247)

En la Figura 41 se muestra el ángulo de Brewster para el caso de polarización paralela al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55




0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


|Coe

ficie

nte

Refle

xión

|

ángulo Brewster

Figura 41 Representación del módulo del coeficiente de reflexión para el caso de polarización paralela al plano de incidencia cuando la onda pasa de propagarse por el vacío a un medio dieléctrico con permitividad relativa 2.55. Definición del ángulo de Brewster.

Ejemplo 10

Una onda se propaga por un medio dieléctrico sin pérdidas con índice de refracción

1 2,55n = . Y pasa a propagarse por un medio dieléctrico sin pérdidas con índice de

refracción, 2 2n = . Calculad el ángulo crítico y el ángulo de Brewster.

El ángulo crítico se calcula, 2

1

_ arcsin 51,65ºincriticon

θ

= =

El ángulo de Brewster se calcula 2

1

( ) 38,10ºBni atann

= =

Si dibujamos el coeficiente de reflexión en función del ángulo de incidencia podemos observar como para un ángulo de incidencia de 38,10º, se produce el fenómeno de cancelación de onda reflejada. Mientras que para un ángulo superior al ángulo crítico de 51,65º el cálculo pierde significado físico ya que el ángulo de la transmitida es superior a 90º.




-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


|Coe

ficie

nte

Refle

xión

|

ángulo Críticoángulo Brewster

Figura 42 Representación del módulo del coeficiente de reflexión para el Ejemplo 10.



Lección 16

16. APLICACIÓN: FUNCIONAMIENTO DE LA FIBRA ÓPTICA.

La fibra óptica es un medio de transmisión de ondas electromagnéticas que cada vez se está extendiendo con más fuerza. No solo están presentes en grandes sistemas de telecomunicación gracias a las extremadamente reducidas pérdidas que presentan respecto a otros medios de transmisión o su elevada capacidad de transmisión de datos sino que se están implantando en pequeños sistemas de comunicaciones como en el sector de la automoción ya que permite aislar de interferencias las comunicaciones o en sistemas de reproducción de audio de alta fidelidad gracias a los bajos niveles de distorsión que aplica a la señal.

La propagación de la luz en una fibra óptica se puede explicar a partir de las leyes de la óptica geométrica o la teoría de rayos. El proceso de la conducción de la luz en una fibra óptica se basa en las leyes de reflexión y refracción. Por lo general ambos fenómenos se presentan simultáneamente cuando un rayo de luz incide sobre una superficie de cambio de medio dieléctrico.

Una fibra óptica está construida mediante dos cilindros concéntricos de material dieléctrico como muestra la Figura 43. El central recibe el nombre de núcleo y tiene un índice de refracción (nn,), mientras que el cilindro exterior recibe el nombre de cubierta y tiene un índice de refracción (nc.). El funcionamiento de la fibra se debe al fenómeno de reflexiones sucesivas en la superficie de cambio de medio entre el núcleo y la cubierta.

Cuando una onda (rayo) entra en el núcleo de la fibra, se propaga en línea recta. Al llegar a la cubierta se encuentra un medio diferente, con índice de refracción diferente y definido para que se produzca la reflexión de la onda. Así sucesivamente la onda se va reflejando en la frontera entre el núcleo y la cubierta llevándose a cabo la propagación.

nc

nn

aθ

αci

aire

Eje fibra-normal

Nor

mal

refle

xión

/ 2π

aθ

nc

nn

aθ

αci

aire

Eje fibra-normal

Nor

mal

refle

xión

/ 2π

aθ

Figura 43 Vista sección longitudinal de fibra óptica.

Un parámetro importante en las fibras es la apertura numérica. La apertura numérica indica cual es el máximo ángulo de aceptación de la fibra. De forma que en el cambio de medio entre el núcleo y la cubierta, el ángulo de incidencia se corresponde con el ángulo crítico. Es decir, aquel para el cual el rayo reflejado presenta un ángulo máximo de / 2π .

Observad la Figura 43, en la superficie de cambio de medio entre el aire y el núcleo de la fibra podemos establecer a través de la tercera ley de Snell una relación para el ángulo de aceptación máximo con respecto al ángulo refractado en el medio núcleo. Donde na=1, es el índice de refracción del aire.

sin( ) sin( )a a nn nθ α= (248)

Por otro lado, en la superficie de cambio de medio entre el núcleo y la cubierta podemos establecer a través de la segunda ley de Snell cual es el ángulo de incidencia máximo. Este ángulo crítico es el que



produce un rayo reflejado con ángulo de 2π con respecto a la normal. El ángulo crítico no podrá superarse, con el fin de evitar la fuga del rayo por la cubierta.

/ 2

sin( ) sin( )r

n ic c rn nθ π

θ θ=

= (249)

A partir de (249) y la relación trigonométrica básica entre el ángulo α y icθ que podéis extraer de la

Figura 43, podemos establecer la igualdad cos( ) sin( )ic c nn nα θ= = .

De forma que la apertura numérica que definida cono el seno del máximo ángulo de aceptación y depende únicamente de los índices de refracción del medio núcleo y del medio cubierta.

22 2 2sin( ) sin( ) 1 cos ( ) 1 ·n n

a n n n c nc c

n nAN n n n n nn n

θ α α

= = = − = − = −

(250)

Esta magnitud es de suma importancia para el acoplamiento de la luz en una fibra óptica. Cuanto mayor es la apertura numérica de una fibra, tanta más luz podrá acoplarse y mayor será también la diferencia entre los tiempos de propagación.

16.1.1. DISPERSIÓN MODAL EN LAS FIBRAS ÓPTICAS.

Vamos a considerar el índice de refracción del material de construcción de la fibra en función del radio. Podemos distinguir dos tipos de situaciones o perfiles para la construcción de fibras ópticas.

1. Las llamadas de perfil de índice escalonado. El índice de refracción del núcleo es de valor constante y su valor es sensiblemente superior al de la cubierta también constante. De esta manera la transición desde el núcleo a la cubierta es abrupta y el perfil del índice de refracción de la fibra en función del radio describe un escalón (como muestra la Figura 44a).

2. Las llamadas de perfil gradual, donde el índice de refracción va disminuyendo a medida que nos alejamos del eje de la fibra (como muestra la Figura 44b).

Los modos son un concepto matemático que describen los posibles caminos de propagación dentro de la fibra. Los rayos que son conducidos con una menor inclinación respecto al eje se les asigna un modo de orden menor que los rayos propagados con una mayor inclinación.

Los rayos de orden menor, los conducidos con una menor inclinación respecto al eje, recorren una distancia considerablemente menor que los conducidos con una mayor pendiente.

Además los rayos que se propagan con mayor inclinación sufrirán un mayor número de reflexiones.

Este fenómeno es muy importante porque el impulso luminoso introducido en la fibra recorrerá diferentes longitudes en función de la trayectoria. Al final de la fibra el impulso llegará con diferentes contribuciones temporales en función de la trayectoria seguida. De esta manera dará lugar al fenómeno conocido como dispersión intermodal y que se traduce en un ensanchamiento del pulso en el dominio del tiempo. Produciendo como cabía esperar una limitación en la máxima velocidad de transmisión.



nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

a

b

nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

nc

nn

r

nc

nn

a

b

Figura 44 Propagación basada en a) fenómeno de reflexión para fibras de índice escalonado y b) fenómeno de refracción para fibras de índice gradual.

Para la transmisión de señales en banda ancha es usual la utilización de fibras monomodo que se caracterizan por tener un diámetro de núcleo muy pequeño forzando un la trayectoria de propagación única. En su defecto las fibras de índice gradual, con perfil parabólico basan su funcionamiento en el fenómeno de refracción continua de la onda.

La trayectoria del rayo discurre en una trayectoria ondular a lo largo del eje de la fibra debido a la refracción continua (como muestra la Figura 44b). Los rayos que viajan con una trayectoria ondular más pronunciada recorren mayor distancia. A su vez la velocidad de fase es mayor cuando se aleja del eje central al propagarse por zonas del medio con índice de refracción menor. De forma que el tiempo total de propagación queda compensando y la dispersión es mínima.

El vidrio de cuarzo y el plástico se han impuesto como materias primas para la fabricación de las fibras ópticas. En medios sencillos se utilizan fibras de polimetacrilato de metilo (PMMA) con una cubierta de polímeros de carbono y son del tipo de perfil escalonado. Son sencillas de manipular, robustas y útiles en aplicaciones industriales con longitud de transmisión corta-media de hasta 100 m.

Sin embargo para redes de comunicaciones se suelen utilizar o fibras de perfil gradual o mayoritariamente fibras monomodo construidas de vidrio de cuarzo destacando principalmente su bajo nivel de atenuación así como una baja dispersión temporal.



PROBLEMAS RESUELTOS.

Problema 1

Considerar una onda plana en el vacío, con dirección de propagación en el eje x y sentido positivo, de

amplitud 200 V/m y longitud de onda, λ= 2m. El campo magnético es de la forma ( ) ( )zH r H r z= .

Calculad la frecuencia y la constante de propagación.

Calculad la expresión fasorial del campo eléctrico y la expresión del campo eléctrico instantáneo.

Problema 2

Calculad el vector dirección de propagación y expresión del campo magnético para una onda plana que viaja por el vacío, cuya expresión del campo eléctrico es:

( +z)( , ) ( )2

j yoEE y z x z e π−= +

Problema 3

Para una onda plana que viene definida por un campo eléctrico y magnético:

( )2

j k roEE x z e−= + y ( )3

j k ro

o

EH x y z eη

−= + − respectivamente. Encontrar el vector dirección

de propagación unitario

Problema 4

Consideramos una onda plana y uniforme que cumple con la expresión,

( )( ) j x yoE r E x y jz e π− − = + +

Calculad dirección de propagación, frecuencia y polarización de la onda.

Problema 5

Consideramos una onda plana y uniforme que cumple con la expresión,

( ) ( 2 )1( ) 2 ( 2 ) 22

j x y zoE r E j x j y j z e π− + + = − + + − +


Problema 6

Calculad el vector dirección de propagación y expresión del campo magnético para una onda plana cuya expresión del campo eléctrico es:

(-x+2y+z)

6( , , ) ( )j

oE x y z E x z eπ

−= +

Problema 7

Calculad el vector densidad de potencia para una onda plana con campo eléctrico asociado:

(-x+2y+z)

6( , , ) ( )2

joEE x y z x z e

π−

= +



Problema 8

Una onda se propaga por un medio dieléctrico sin pérdidas con índice de refracción 1 4n = . Y pasa a

propagarse por un medio dieléctrico sin pérdidas con índice de refracción , 2 2n = . Calculad el ángulo

crítico y el ángulo de Brewster.

Solución del Problema 1.

La velocidad de fase de la onda, dado que se propaga a través del vacío, coincide con la velocidad de propagación de la luz y se define

2 1502 /p

f cv c f f MHzkω π λ

π λ λ= = = = → = =

El módulo del vector propagación o número de onda podemos obtenerlo mediante la relación

2 rad/mok k π πλ

= = =

Además la onda viaja en la dirección x , sentido positivo, por lo cual el vector dirección de propagación resulta

k k k xπ= =

La expresión general de la onda plana para el campo eléctrico es

( ) j k roE r eE e−=

Donde Eo es en general un número complejo, e indica el vector de orientación o polarización del campo

eléctrico, y j k re− es el término de propagación en función de la posición.

Sabemos que el campo magnético está orientado en la dirección z , sentido positivo, mientras que la onda

viaja en la dirección x , sentido positivo, para que formen una triada de vectores de mano derecha, al rotar el vector campo eléctrico, en el sentido de las agujas del reloj, sobre el vector campo magnético deberemos obtener el vector dirección de propagación o equivalentemente conocida la relación

det 0 0 11 0 0

x y zk exh e hxk y

= ⇒ = = =

Por lo tanto,

( ) 200j x j xoE x yE e y eπ π− −= =

Para la obtención de la expresión del campo eléctrico instantáneo, debemos utilizar la relación entre el dominio fasorial e instantáneo.



( , ) Re ( ) ( , ) Re ( )j t j tr t E r e E x t E x eω ω = → = E

[ ]( , ) Re Re cos( ) sin( ) cos( )j x j to o ox t yE e e yE t x j t x yE t xπ ω ω π ω π ω π− = = − + − = − E

Solución Problema 2

El argumento del factor de propagación de una oda plana es ( )( ), , , ,x y zkr k k k x y z=

Por lo tanto podemos descomponer el argumento de la expresión del enunciado

( ) ( )( )0,1,1 , ,kr y z x y zπ π= + =

Así pues, el módulo del vector de propagación es, 2 2 2(1 1 ) 2 rad/mk π π= + =

Obteniendo finalmente el vector de propagación unitario

(0,1,1) 1 10, ,2 2 2

kkk

ππ

= = =

Para obtener la expresión del campo magnético debemos encontrar el vector orientación del campo magnético a través de la propiedad de perpendicularidad entre los tres vectores.

El vector campo magnético unitario se calcula mediante el producto vectorial del vector dirección de

propagación unitario y vector campo eléctrico unitario ( h kxe= ).

1 1 21 1det 02 2 2 2 2

1 102 2

x y z

h kxe x y z

= = = + −

De forma que la expresión del campo magnético resulta

( )1 1 2( , )2 2 2

j y zo

o

EH y z x y z e π

η− +

= + −


Para una onda plana que viene definida por un campo eléctrico y magnético:

( )2

j k roEE x z e−= + y ( )3

j k ro

o

EH x y z eη

−= + −

El vector de polarización del campo eléctrico es 1 (1,0,1)2

e =

Mientras que el vector de polarización del campo magnético es (1,1, 1)h = −



Para calcular el vector dirección de propagación debemos rotar el vector campo eléctrico sobre el vector campo magnético. Es decir calcular el producto vectorial del vector campo eléctrico y del vector campo

magnético ( k exh= )

1 1 2 11det 02 2 6 6 6

1 1 13 3 3

x y z

k exh k z y x

= ⇒ = = + − −


sideramos una onda plana y uniforme que cumple con la expresión,

( )( ) j x yoE r E x y jz e π− − = + +




( ) ( )( )1, 1,0 , ,kr x y x y zπ π= − = −

Así pues, el módulo del vector de propagación es, 2 2 2(1 1 ) 2 rad/mk π π= + =


(1, 1,0) 1 1, ,02 2 2

kkk

ππ− = = = −

A partir del módulo del vector de propagación podemos relacionar la frecuencia de la onda

2 2 212,132

oo

ckfk k f MHzc

π πλ π

= = = → = =

Podemos definir una base para expresar el campo eléctrico agrupando parte real y parte imaginaria de la siguiente forma:

( ) ( )1 11,1,0 1/ 2,1/ 2,0e e= → =

( ) ( )2 20,0,1 0,0,1e e= → =



Así pues podemos expresar 1 2e e je= + , pero antes debemos comprobar que efectivamente 1 2k e xe=

1 21 11 1det 0

2 2 2 20 0 1

x y z

k e xe x y k

= = = − =

Como obtenemos efectivamente el vector dirección de propagación quiere decir que la agrupación ha sido la correcta. Así pues podemos determinar aplicando la definición que la onda será polarizada circularmente a izquierdas.




( ) ( )( )2 1,1, 2 , ,kr x y z x y zπ π= + + =

Así pues, el módulo del vector de propagación es, 2 2 2 2(1 1 ( 2) ) 2 rad/mk π π= + + =


(1,1, 2) 1 1 1, ,2 2 2 2

kkk

ππ

= = =

A partir del módulo del vector de propagación podemos relacionar la frecuencia de la onda

2 2 3002

oo

ckfk k f MHzc

π πλ π

= = = → = =

Para obtener la polarización podemos realizar un cambio de base del espacio de 3 a un subespacio de dimensión 2 que cumpla con la ortogonalidad entre los vectores de la base y ellos con el vector dirección de propagación.

Podemos realizar una agrupación arbitraria o construir la base.

Primero trabajaremos construyendo la base y procedemos de la siguiente manera.

Conocido el vector dirección de propagación unitario, escogemos un vector cualquiera que formará parte de la base con la condición que sea perpendicular al vector director de propagación, es decir que el producto escalar entre ellos sea cero 1 0e k = .

Podemos escoger por ejemplo

( )1 111 10 1, 1,0 , ,02 2

e k e e = ⇒ = − ⇒ = −

ahora obtenemos el segundo vector de la base imponiendo que los dos vectores, junto con el vector dirección de propagación formen una triada de mano derecha, siendo ortogonales los tres vectores entre



si, de forma que rotando el primer elemento de la base sobre el segundo se obtenga el vector director de propagación, de forma que

1 2 2 121 1 1 1 1det , ,2 2 2 2 2 2

1 1 02 2

x y z

k e xe e kxe

−= ⇒ = = = −

Una vez contamos con los dos vectores que forman la nueva base,

11 1, ,02 2

e = −

, 2 1 1 1, ,2 2 2e −=

Debemos realizar el cambio de base del vector polarización del campo eléctrico del espacio de 3 a la nueva base de vectores ortogonales del subespacio de dimensión 2, de forma que podemos expresar el vector campo eléctrico como una combinación lineal de los dos vectores de la base, donde e1 y e2 son dos escalares que escalan los vectores de la base.

1 1 2 2e e e e e= +

Para la obtención sistemática de los escalares necesarios en la combinación lineal utilizaremos el siguiente procedimiento

Multiplicamos el vector campo eléctrico por el primer vector unitario de la base, como el producto escalar de un vector unitario consigo mismo da la unidad mientras que el producto escalar de dos vectores ortogonales vale cero, el resultado es el escalar que buscamos.

1 1 1 1 2 2 1 1 2 1·1 ·0ee e e e e e e e e e= + = + =

( )( )1 11 12 , ( 2 ), 2 ( , ,0) 22 2

ee j j j e = − + − − = − =

Equivalentemente, si multiplicamos el vector campo eléctrico por el segundo vector unitario de la base, obtendremos el segundo escalar que buscamos.

2 1 1 2 2 2 2 1 2 2·0 ·1ee e e e e e e e e e= + = + =

( )( )1 21 1 12 , ( 2 ), 2 , , 22 2 2

ee j j j j e −= − + − = − =

De forma que la expresión original del campo eléctrico la podemos rescribir en términos de la nueva base

( 2 ) ( 2 )1 2 1 2

1( ) 2 22

j x y z j x y zo oE r E e j e e E e je eπ π− + + − + + = − − = − +

Que por definición es una onda con polarización circular a izquierdas al presentar un desfase de 2π y signo positivo entre las amplitudes de los dos vectores de la base.

Otra forma de trabajar es agrupando de forma adecuada el vector campo eléctrico de forma que podamos aplicar la definición directamente, es quizás un método más inmediato pero no siempre eficiente ya debemos realizar la agrupación de forma adecuada, si lo hacemos agrupando la parte real y la parte imaginaria



( )( ) ( ) ( )2 ( 2 ) 2 2 2 2

2 2 1 1 222 2 2 2 2

e j x j y j z x y j x y z

x y j x y z

= − + + − + = − + + − − + =

= − + + − − +

Podemos establecer por igualación

( ) ( )1 12, 2,0 1/ 2,1/ 2,0e e= − → = −

( ) ( )2 21, 1, 2 1/ 2, 1/ 2, 2 / 2e e= − − → = − −

Así pues podemos expresar 1 2e e je= + , pero antes debemos comprobar que efectivamente 1 2k e xe=

1 21 1 21 1det 0

2 2 2 2 221 1

2 2 2

x y z

k e xe x y z k

−= = = + + = − −

Comprobado que los vectores escogidos forman una triada de mano derecha con el vector director de propagación ya podemos dar por válida la reordenación realizada de forma que se resuelve que se trata de una onda con polarización circular a izquierdas.

Si al establecer la reordenación no acertamos el signo a priori, el error se pondrá de manifiesto al realizar la comprobación del vector director de propagación, por ejemplo si hubiéramos reordenado de la siguiente manera.

( )( ) ( ) ( )2 ( 2 ) 2 2 2 2

2 2 1 1 222 2 2 2 2

e j x j y j z x y j x y z

x y j x y z

= − + + − + = − + + − − + =

= − + − + −

Podemos establecer por igualación

( ) ( )1 12, 2,0 1/ 2,1/ 2,0e e= − → = −

( ) ( )2 21,1, 2 1/ 2,1/ 2, 2 / 2e e= − → = −

Así pues podemos expresar 1 2e e je= − , pero antes debemos comprobar que efectivamente 1 2k e xe=

1 21 1 21 1det 0

2 2 2 2 221 1

2 2 2

x y z

k e xe x y z k

−= = = − − − = − −



Como obtenemos el vector dirección de propagación con signo negativo, demostramos que la reordenación ha sido desacertada y que debemos modificar el signo de uno de los vectores, de forma que

quedará 1 2( )e e je= − − , que ahora si será correcto, es decir 1 2e e je= + , forma que se resuelve que

se trata de una onda con polarización circular a izquierdas.




( ) ( )( )1,2,1 , ,6 6

kr x y z x y zπ π= − + + = −

Así pues, el módulo del vector de propagación es,2

2 2 2(1 2 1 ) rad/m6

k π π= + + =


( 1, 2,1)1 2 16 , ,6 6 6

kkk

π

π

−− = = =

Conocida la relación entre el vector campo magnético, campo eléctrico y dirección de propagación

h kxe=

1 2 1 1 2 1det6 6 6 3 3 3

1 102 2

x y z

h x y z

− = = + −


Conocida la relación entre el vector densidad de potencia y el campo eléctrico:

21( ) ( )2 o

P r E r kη

=

Calculamos primero el módulo del campo, 2 2

(-x+2y+z) (-x+2y+z)22 2 26 6( , , ) ( ) ( ) ·2·1j j

o o oE x y z E x z e E x z e Eπ π

− −= + = + =

De forma que directamente podemos expresar 21( ) o

o

P r E kη

=




El ángulo crítico se calcula, 2

1

_ arcsin 30ºincriticon

θ

= =

El ángulo de Brewster se calcula 2

1

( ) 26,56ºBni atann

= =



INTRODUCCIÓN LÍNEA DE TRANSMISIÓN

En los apartados anteriores hemos estudiado las características del campo eléctrico en determinadas situaciones, pero hemos dejado para el final un tema técnico especialmente importante y útil: Cómo unir dos objetos de modo que se pueda transmitir energía electromagnética entre ellos.

¿Qué significa exactamente esto? Hemos visto como un hilo (un alambre o un cable) crea un campo electromagnético que, en general, se propaga a lo largo de todo el espacio. Si uniéramos dos objetos con un cable de este tipo, todo el campo electromagnético que se “pierde” en el aire no llegaría al segundo objeto, con lo que habríamos perdido energía (es lo que se denomina fugas por radiación). Dicho con otras palabras, un cable de cobre normal y corriente no es una buena “guía” de ondas electromagnéticas. Por tanto, interesa disponer de estructuras que permitan transmitir toda la energía electromagnética de un objeto a otro. Esto es precisamente lo que vamos a estudiar en esta parte.

A las “conexiones” que permiten transmitir la energía electromagnética de un objeto a otro se les llama guías de ondas o líneas de transmisión, y evitan que haya fugas por radiación. Decimos entonces que hemos confinado la onda.

Analizar las líneas de transmisión consiste en explicar cómo se propaga la onda electromagnética dentro de la línea. Para analizar este problema podemos utilizar la teoría de campos electromagnéticos vista en los módulos anteriores. Sin embargo, existe formulado un modelo alternativo que simplifica de manera considerable su estudio, haciendo su tratamiento más sencillo y eficaz: el modelo circuital equivalente. Este modelo se basa en la teoría de circuitos básica.

Dicho con otras palabras, podemos estudiar el fenómeno de la propagación de ondas en las líneas de transmisión como una especialización de la teoría electromagnética, o bien como una extensión de la teoría de circuitos básica. Debido a la posibilidad de este doble enfoque, la teoría de la línea de transmisión sirve de puente entre el análisis de campos y el análisis de circuitos básico.

La pregunta que surge a continuación es: la equivalencia entre la teoría electromagnética y el modelo circuital, ¿es exclusiva de las líneas de transmisión o se puede generalizar a cualquier caso? La respuesta es que esta equivalencia es general: simplemente tenéis que tener en cuenta que el aire no es más que un tipo de línea de transmisión, e incluso el vacío es un tipo de línea de transmisión. De hecho, en esta parte obtendremos, entre otras cosas, cómo es el comportamiento de una onda electromagnética al cambiar de medio, mediante el modelo circuital.

Y queda aún otra pregunta en el tintero: hemos dicho que un cable de cobre normal y corriente no es en si una buena guía de ondas. Sin embargo, cuando montamos un circuito eléctrico, sabemos por experiencia que la electricidad se propaga a través de él. Y sabemos también que la corriente y la tensión eléctricas no son más que ondas electromagnéticas. ¿Por qué entonces no habíamos oído hablar hasta ahora del concepto de líneas de transmisión? ¿Está mal todo lo que hemos sabemos de teoría de circuitos? Responderemos a estas preguntas también en este módulo y veremos que según la longitud de onda de la onda electromagnética y la longitud del cable, la teoría de circuitos clásica que conocemos es perfectamente válida.

El módulo se estructura en cinco apartados:

Empezaremos estudiando las características de las líneas de transmisión y viendo cuándo es válida la teoría de circuitos clásica y cuándo debemos aplicar teoría de líneas de transmisión. Plantearemos también en este apartado la geometría de las líneas de transmisión más habituales. En particular, nos centraremos en aquellas que presentan dos conductores, que es un requisito imprescindible para propagar lo que se llama el modo transversal electromagnético o TEM de las ondas, que será el caso en el que nos centraremos en este módulo.



Pasaremos a ver como a partir de un modelo circuital de elementos concentrados podemos explicar el fenómeno de propagación en una línea de transmisión. Llegaremos a plantear la ecuación de onda en tensiones y corrientes, tanto para el caso en que la línea no presenta pérdidas, como para el caso en que presenta bajas pérdidas.

Continuaremos conectando una línea de transmisión sin pérdidas a una carga (a una impedancia) y resolveremos la ecuación de onda en este caso. El resultado nos llevará a la presencia de las ondas progresiva y regresiva, de forma análoga a la que ya vimos en el módulo 3. Veremos también cómo en este caso aparece la onda estacionaria.

Por último veremos qué ocurre para 3 tipos de carga: un cortocircuito, un circuito abierto y una línea de transmisión. En este último caso aparecerá la onda transmitida de forma totalmente análoga a como habíamos visto en la teoría de campos.

Finalmente, en el apartado 5, veremos, a título informativo, los tipos de líneas de transmisión más comunes del mercado: coaxial, microstrip, y stripline.

Como habréis notado, a lo largo de esta introducción a aparecido varias veces la referencia al módulo de teoría de campos. Esto es algo que se producirá a lo largo de todo el módulo porque, como veréis, los fenómenos que iremos encontrando a lo largo del estudio de las líneas de transmisión son análogos a los que vimos en el módulo de teoría de campos para los campos electromagnéticos. No dudéis en buscar siempre analogías y paralelismos entre ambos módulos que os ayuden a mejorar vuestra comprensión de los diversos conceptos implicados.

OBJETIVOS

Los objetivos de este módulo son:

1) Conocer la problemática del análisis de circuitos eléctricos cuando la longitud de onda de la señal es pequeña en relación al tamaño eléctrico del circuito.

2) Conocer el modelo distribuido de la línea de transmisión mediante elementos concentrados.

3) Conocer la expresión general de la ecuación de ondas en tensiones y corrientes en el dominio fasorial, así como la expresión de la solución. Y relacionar parámetros como impedancia característica, constante de fase, longitud de onda y velocidad de fase.

4) Aprender a manejar las aproximaciones para líneas de bajas pérdidas pero finitas, y de línea sin pérdidas.

5) Entender que la presencia de la onda reflejada provoca la aparición de la onda estacionaria.

6) Saber calcular la potencia a lo largo de la línea. Y entender que la potencia es constante a lo largo de la línea aunque la tensión no lo sea debido a las reflexiones.

7) Saber desplazar el coeficiente de reflexión y la impedancia a lo largo de una línea de transmisión.

8) Saber plantear la solución de onda estacionaria con condición de impedancia de carga circuito abierto y cortocircuito.

9) Conocer (que no memorizar) las expresiones que relacionan los elementos del modelo circuital de la línea de transmisión con la geometría de las líneas coaxial, microstrip y stripline.



Lección 17

17. TEORÍA DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Podemos definir la línea de transmisión como la estructura destinada al guiado controlado y/o

acotado de la onda electromagnética.

Una línea de transmisión está constituida por:

• Un dieléctrico, que será por donde se propagará la onda.

• El material que actuará como límite para la onda. Éste puede ser un conductor o un

dieléctrico distinto del dieléctrico de propagación. Si la onda que se propaga

pertenece al rango de las radiofrecuencias (RF) o de las microondas, se acostumbra

a utilizar un conductor; y si pertenece a las frecuencias ópticas, un dieléctrico.

La teoría de las líneas de transmisión estudia cómo se propaga una onda electromagnética a través de estos dispositivos, y esta teoría es, precisamente, la que estudiaremos las siguientes lecciones.

Sin embargo, no siempre es necesario aplicar esta teoría. Veremos en el apartado 17.1 cuándo es necesario aplicar la teoría de líneas de transmisión, lo que se conoce como el hecho diferencial de las líneas de transmisión. En este sentido hay que tener en cuenta que la teoría es muy útil también para estudiar los fenómenos de propagación de ondas en estructuras que no han sido diseñadas para tal fin pero que al cumplir el hecho diferencial sufren también fenómenos de propagación.

Por otro lado, la onda electromagnética que se propaga en el interior de la línea puede hacerlo de diversas maneras, según las características de la onda y de la línea. Nosotros nos centraremos en un tipo de propagación particularmente importante que es la que se conoce como el modo transversal electromagnético (TEM). En el apartado 17.1.1 mostraremos este tipo de ondas y las características que ha de tener una línea de transmisión para que se propaguen en ella.

17.1. HECHO DIFERENCIAL DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN

Decíamos en la introducción que la teoría de líneas de transmisión es, en cierta manera, el puente entre la teoría de circuitos y la teoría electromagnética, y que se puede atacar el problema desde ambos puntos de vista.

Dejábamos entonces una pregunta al aire que era saber cuándo era válida la teoría de circuitos clásica que conocemos.

La diferencia clave entre la teoría de circuitos y la teoría de líneas de transmisión la encontramos en lo que se conoce como tamaño eléctrico, es decir en el tamaño “del cable” (entendiendo cable en sentido amplio, es decir, el medio en el que se propaga la onda) en términos de la longitud de onda.

De hecho, en la teoría de circuitos básica hacíamos, en realidad, una asunción básica: que las dimensiones del circuito son mucho menores que la longitud de onda de la señal que transporta la información (la corriente y el voltaje).



¿Tenía sentido esta asunción? Pensad que la frecuencia de la corriente alterna de nuestras casas es de 50 Hz, lo que equivale a una longitud de onda de unos 6.000 km. Es lógico por tanto pensar que, realmente, la longitud de los circuitos de nuestras casas es mucho menor que la longitud de onda.

Pero, ¿por qué estábamos haciendo esta aproximación? Para entenderlo vamos a considerar dos nodos de un mismo circuito separados una distancia arbitraria, d, y conectados entre si por medio de un hilo conductor, como podéis ver en la Figura 45. En la figura podéis ver que los dos nodos A y B están separados una distancia d1. Esta distancia es pequeña con respecto a la longitud de onda de la señal, y que la amplitud de la señal entre ellos es prácticamente la misma. Incluso podríamos considerar que es exactamente la misma si la longitud de onda fuese mayor y/o la distancia que separa los dos nodos fuese menor.

En la otra situación cuando evaluamos que ocurre entre dos nodos muy separados con respecto a la longitud de onda, como es el caso de los nodos A y C, la onda podrá presentar máximos o mínimos en función de la distancia, d2 . En esta situación van a aparecer fenómenos de propagación de ondas y deberán contemplarse.

De cualquier forma la representación pone de manifiesto que se trata de una cuestión relativa, ya que al analizar una señal deberemos contemplar fenómenos de propagación en función de la distancia que recorre la onda en términos de la longitud de onda de la señal.

Nod

o A

Nod

o B

Nod

o C

d2d1 λ

Nod

o A

Nod

o B

Nod

o C

d2d1

Nod

o A

Nod

o B

Nod

o C

d2d1 λ

Figura 45 Representación de cómo pueden darse fenómenos de propagación de ondas entre dos nodos en

un circuito dependiendo de la frecuencia (equivalentemente longitud de onda) de la onda.

De hecho, en la figura también podéis ver algo que es fundamental, y que constituye la clave de la diferencia entre la teoría de circuitos y la teoría de líneas de transmisión: En teoría de circuitos consideramos que dos nodos unidos por una línea están al mismo potencial. Si en la Figura 45 consideramos que la onda representada es el potencial, podéis ver que si la longitud de onda es mucho mayor que la longitud de la línea, la onda de potencial prácticamente no varía en un tramo. Este es precisamente el caso que consideramos cuando estamos trabajando en teoría de circuitos.

Pero, ¿qué pasa cuando la longitud de onda de la onda es mucho menor que la longitud de la línea? Si miráis la Figura 45 podéis ver que presenta varias oscilaciones entre ambos nodos. Por tanto, si esa onda representara al potencial, no podríamos considerar que ambos nodos estén al mismo potencial, como hacíamos en la teoría de circuitos. Así, cuando las dimensiones del circuito son comparables a la longitud de onda, los valores de las tensiones y las corrientes en cada punto dependen de la longitud recorrida hasta ese punto. Así, en este caso, no podemos considerar que dos puntos unidos por una línea estén al mismo potencial y, por tanto, no podemos aplicar la teoría de circuitos que conocemos: tenemos que aplicar la teoría de líneas de transmisión.

La teoría de línea de transmisión se aplica cuando la longitud de onda es varias veces inferior

al tamaño físico de la red.



Que la distancia que debe recorrer una señal sea varias veces superior a la longitud de onda es un caso bastante

habitual. Un ejemplo podría ser la conexión mediante cable existente entre la azotea de un edificio donde se situa

la antena que capta la señal de televisión hasta los receptores de TV que hay en las viviendas.

Sin embargo la línea de transmisión puede y debe contemplarse en otras situaciones no tan obvias. Imaginemos una línea que une dos puntos distantes de un mismo circuito (puede ser un bus de distribución del

reloj en un microprocesador). Considerad que la frecuencia del reloj es de 1.5 GHz (λ=200 mm, λ/4=50 mm). Una

separación de longitud 50 mm entre dos puntos del microprocesador aplicará un desfasaje de cuarto de onda o

equivalentemente de 90 º. Es decir el que corresponde a un inductor o condensador ideal.

O también, si aumentamos la frecuencia de funcionamiento de los dispositivos o de los elementos concentrados (ej:

Resistencias, Bobinas o Condensadores), comienzan a aparecer alteraciones de funcionamiento. Estas

alteraciones implican incrementos en las pérdidas y variaciones en las reactancias, en muchos casos imprevisibles.

Podemos controlar estos efectos si pensamos en términos de línea de transmisión.

Así pues a través del circuito viajan ondas de tensión y ondas de corriente cuya magnitud y

fase varían a lo largo del circuito en función de la distancia.

17.1.1. ONDAS TRANSVERSALES ELECTROMAGNÉTICAS (TEM)

A lo largo del apartado hemos visto que la onda electromagnética en el espacio es una onda transversal, ya que las componentes del campo eléctrico y magnético están orientadas en el plano perpendicular a la dirección de propagación. Observad la Figura 46, la onda electromagnética representada viaja en la dirección z, estando orientado el campo eléctrico en la dirección transversal x y el campo magnético en la dirección transversal y.

z

x

y

( , )z tE

( , )z tH

z

x

y

( , )z tE

( , )z tH

Figura 46 Representación de la onda transversal electromagnética.

Esta es la onda electromagnética obtenida cuando resolvimos la ecuación de ondas en el vacío.

En la resolución general de la ecuación de ondas para una línea de transmisión es importante saber que aparecen varias soluciones, cada una de las cuales se llaman modos de propagación. Hay 3 casos que son especialmente importantes:



El campo eléctrico total es siempre perpendicular a la dirección de propagación y generado por una componente longitudinal de campo magnético. Estos modos se conocen como modos transversal eléctrico (TE).

El campo magnético total siempre perpendicular a la dirección de propagación y generado por una componente longitudinal de campo eléctrico. Estos modos se conoce como modos transversal magnético (TM).

Tanto el campo eléctrico total como el campo magnético total son siempre perpendiculares a la dirección de propagación. Estos modos se conoce como modos transversal electromagnético (TEM).

Nosotros nos centraremos en el modo TEM.

Para que un modo TEM se propague a lo largo de una línea de transmisión debe cumplirse

que el medio de transmisión esté construido con dos conductores.

La existencia de dos conductores nos permite establecer una diferencia de potencial entre ellos. El campo eléctrico, se puede expresar como el gradiente escalar de un potencial, como recordaréis de lo estudiado en el electrostática.

( ) ( )dE x xdx

= − Φ (251)

Así pues, los campos eléctricos de las ondas TEM son como los campos estáticos que existen entre dos conductores.

En una sección transversal de la línea podemos obtener los campos de la misma forma que se calcula el campo eléctrico entre dos conductores en condiciones de estática. De esta forma es posible definir un voltaje entre los dos conductores definido por la diferencia de potencial entre ellos.

Pero ¡cuidado! los campos en una línea de transmisión no son estáticos.

En la Figura 47 podéis ver un ejemplo de distribución de los campos eléctrico y magnético en el interior de un tipo de línea de transmisión muy común: el cable coaxial, que veremos en detalle en el capítulo 5. Observad que el campo eléctrico se orienta de forma radial desde el conductor interno a potencial V=Vo

hasta el conductor externo a potencial V=0.

El campo magnético a su vez se orienta cumpliendo la propiedad de perpendicularidad con el campo eléctrico describiendo círculos concéntricos a la geometría de la estructura.

Fijaos que el campo eléctrico viaja a través del dieléctrico entre los conductores.



EHEH

Figura 47 Distribución del campo eléctrico y magnético en el interior del coaxial.

En la sección 2 veremos en detalle cómo llevar a cabo el análisis de la línea de transmisión.

A efectos prácticos, el hecho que las ondas TEM pueden existir únicamente cuando están presentes dos o más conductores implica que si se dan efectos de propagación al unir dos dispositivos (la distancia es grande en términos de la longitud de onda de la señal ), habrá que utilizar dos conductores. En la Figura 48 tenéis un ejemplo de esta situación, donde se representa la interconexión entre dos circuitos. Fijaos como estamos utilizando dos conductores en la interconexión (a); mientras que si no requiere la aplicación de la teoría de línea de transmisión podemos interconectar los dos circuitos con un simple cable que los una.

C i r c u i t o A C i r c u i t o Bc o a x i a l

C o n e x i ó n d e m a s a c o m ú n

C i r c u i t o A C i r c u i t o B


a )

b )









a )

b )

Figura 48 a) Representación de cómo cuando la interconexión entre dos circuitos o dos puntos debe

realizarse mediante línea de transmisión se deben contemplar la presencia de dos conductores (conexión

coaxial) b)y como si no requiere la utilización de líneas de transmisión podemos utilizar un único

conductor para unir las partes.

Pero, ¿qué ocurre cuando sólo disponemos de un conductor? Imaginad una tubería metálica como las utilizadas para la canalización del agua o del gas. Se trata de una estructura construida con un único conductor y aparentemente nada impide que la onda se propague en su interior. ¿Realmente puede la onda electromagnética propagarse en su interior? La respuesta es si. Se trata de otro tipo de medio guiado. La guía de ondas de paredes metálicas.

Como se trata de una estructura construida a partir de un único conductor esta estructura permite la existencia de otros modos distintos del TEM. El análisis de las guías de onda de paredes conductoras se realiza resolviendo las ecuaciones de los campos electromagnéticos según la geometría de la estructura, pero su estudio está fuera del objetivo de este curso.



Finalmente, simplemente comentaremos que las guías de onda presentan un interés especial en los casos de requerir medios guiados de muy bajas pérdidas en alta frecuencia o en el manejo de niveles altos de potencia. Suelen tener aplicación en equipos de satélite y en estaciones de radiodifusión. Pero como decimos su estudio está fuera del objetivo de este curso.

17.2. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN.

Como ya hemos comentado en la sección 1, en muchos sentidos la teoría de la línea de transmisión sirve de puente entre el análisis de campos y el análisis de circuitos básico. Y de hecho, podemos entender la propagación de ondas en medios guiados tanto como una especialización de la teoría electromagnética; como como una extensión de la teoría de circuitos básica.

En el apartado 2.1 vamos a plantear la teoría de la línea de transmisión a a partir de la teoría de circuitos clásica. Para ello sustituiremos la línea por un circuito eléctrico cuyos elementos serán, en realidad, un modelo que explica el comportamiento de la línea. Veremos como, a partir de este modelo circuital obtendremos la ecuación de onda y su solución (apartado 2.2), lo que nos permitirá darnos cuenta que la diferencia con respecto al análisis electromagnético de la propagación de ondas simplemente es que trabajaremos con tensiones y corrientes en lugar de campos eléctricos y magnéticos.

Con esto ya tendremos las herramientas necesarias para analizar las líneas de transmisión. Será el momento entonces de utilizarlas. Para ello empezaremos analizando el caso ideal de la línea de transmisión en la que el señal se transmite sin pérdidas (“líneas sin pérdidas”) en el apartado 18; y seguiremos con el caso en que las pérdidas son pequeñas (“aproximación de bajas pérdidas”), en el apartado 18.1.1.

17.2.1. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

El modelo de línea de transmisión se basa en considerar la línea uniforme en el plano

transversal al de propagación.

Dicho con otras palabras, la línea de transmisión tiene la misma “anchura” (sección) a lo largo de toda la línea

Dado que sólo las ondas TEM se pueden propagar por una línea de transmisión a cualquier frecuencia, nos centraremos en el estudio de la propagación de este tipo de ondas. Habrá que tener en cuenta, sin embargo, como hemos visto en la sección 17.1.1, que para que ello ocurra es necesario que la guía esté constituida por dos conductores.La Figura 49 muestra dos tipo de estructura con secciones transversales ortoédrica y cilíndrica que permiten el guiado confinado de la onda electromagnética, pero que como están construidas únicamente con un conductor, no podrán propagar la onda TEM. Por lo tanto no podrán analizarse bajo el modelo de línea de transmisión, estando el estudio de estas estructuras fuera de los objetivos de esta asignatura.



Figura 49 Estructuras que permiten el guiado de la onda electromagnética pero que por no contar con

dos conductores no permiten la aplicación del modelo de línea de transmisión.

Por tanto, ya tenemos el objeto de estudio: líneas de transmisión de sección transversal

uniforme constituidas por dos conductores, en las que se propagan ondas TEM.

Como hemos comentado en la introducción del capítulo, en este punto nos centraremos en el modelo circuital y, como siempre hacemos al analizar un circuito, lo primero es saber cómo hemos de representar los elementos que lo componen. En nuestro caso, el primer elemento es, precisamente la línea de transmisión.

Dado que, en nuestro caso, la línea de transmisión está formada por dos conductores, la simbolizaremos mediante dos líneas paralelas como se muestra en la Figura 50.

Nod

o A

Nod

o B

Línea de Transmisión

Conductor 1

Conductor 2

Nod

o A

Nod

o B

Nod

o A

Nod

o B

Línea de Transmisión

Conductor 1

Conductor 2

Figura 50 Símbolo circuital que representa la línea de transmisión interconectando dos nodos.

De hecho, la onda se propagará en el espacio que hay presente entre ambos conductores, como podéis ver, de una forma muy esquemática en la Figura 51. En esta figura se ha representado esquemáticamente la onda de potencial propagándose a lo largo de la línea.

Nod

o A

Nod

o B

V=0

V=Vo

E,V

Nod

o A

Nod

o B

Nod

o A

Nod

o B

V=0

V=Vo

E,V

Figura 51 Representación esquemática de cómo la onda de tensión o de campo eléctrico viajan por el

interior del dieléctrico entre los dos conductores que construyen la línea de transmisión. El campo



eléctrico o equivalentemente la tensión se orienta desde el conductor a potencial cero hasta el conductor

a potencial Vo

Si recordáis el análisis de circuitos clásico la conexión de dos nodos por un hilo supone siempre que los dos nodos están al mismo potencial o voltaje. Sin embargo, si miráis la Figura 51 podéis ver que en cada punto de la línea el valor del voltaje es distinto!! Es decir, los dos nodos unidos por un hilo no estarían al mismo potencial.

¿Estábamos equivocados cuando decíamos que dos nodos unidos por un hilo estaban al mismo potencial? En corriente continua esto se cumple siempre porque la señal (el potencial) tiene el mismo valor en cualquier punto. Es decir, es el mismo aunque lo midamos a 1 m, 2 m o 1 km. Y aquí está la clave: podemos decir que dos nodos unidos por un hilo están al mismo potencial si éste no varía entre esos dos puntos. ¿Y qué magnitud nos da la variación de una onda?: la frecuencia (o la longitud de onda). Así, en continua, la frecuencia es 0 y por tanto la señal no varía.

Hemos encontrado pues una primera magnitud que nos permite saber cuándo podemos aplicar que dos nodos están al mismo potencial: la frecuencia (o la longitud de onda).

En la Figura 52 podéis ver cuatro ejemplos de ondas electromagnéticas de distintas frecuencias, desde la continua hasta una con una alta frecuencia. Observad como caben muchos más ciclos de fase a medida que la frecuencia de la onda aumenta.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 52 Representación de la forma de onda a lo largo de la línea de transmisión en función de la

frecuencia desde (a) correspondiente a una señal de muy baja frecuencia, casi continua hasta (d) una

señal de muy alta frecuencia.

¿Podemos decir entonces que hasta una cierta frecuencia podemos aplicar la ley que conocíamos y a partir de ella esta ley deja de ser válida? ¿Qué es lo que hacía que en la figura variará o no el voltaje entre dos nodos? No sólo la longitud de onda, sino también la distancia que hubiera entre ambos nodos.

La pregunta que sin duda nos asalta ahora es saber si aplicábamos correctamente la teoría de circuitos clásica. Lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Teniendo en cuenta que la frecuencia de la señal eléctrica doméstica es de 50 Hz.

Di aproximadamente, hasta qué longitud podremos decir que dos nodos unidos por

un hilo están al mismo potencial. (Considerad que la velocidad de propagación de la

onda es la velocidad de la luz en el vacío: c~3·108 m/s).



Solución:

81 3·10 1000 Km

6 6 6·50cdf

λ= = = = (252)

Consideraremos que ha habido una variación apreciable de la señal cuando la onda se ha desplazado un sexto de la longitud de onda. Podemos decir entonces que la aproximación de considerar al mismo potencial dos puntos unidos por un hilo deja de ser válida cuando tengamos hilos del orden de 1.000 km.

¿Se dan estos casos? Sí: en las líneas de alta tensión que trasladan la electricidad de las centrales eléctricas a los puntos de consumo.

¿Es válido, por tanto, decir, en teoría de circuitos, que dos puntos unidos por un hilo están al mismo potencial? Sí, ya que la longitud de un circuito es de sólo algunos metros o, a lo sumo, algunas decenas de metros, una longitud despreciable si se la compara con la longitud de onda de la corriente alterna de nuestras casas.

λ

/ 6λ

λ

/ 6λ

Figura 53 Comparación a escala de un tramo de una longitud de onda con un tramo de / 6λ .

El caso que nos ocupa en este apartado es, precisamente, el que se da cuando la longitud de la línea de transmisión es del orden de la longitud de onda y, por tanto,

Podemos considerar que dos nodos unidos por un hilo están al mismo potencial si la longitud

de onda de la señal (λ) es mucho mayor que la longitud del hilo entre los dos nodos (z). Es

decir, λ >> z.

En caso contrario hemos de tener en cuenta que el potencial en cada punto dependerá de la

longitud de la línea hasta ese punto y habrá que tener en cuenta lo que se conoce como

fenómenos de propagación. Así, dos nodos separados físicamente no tienen porque estar

al mismo potencial aunque estén unidos por un hilo conductor.

Esquemáticamente esto se representa como habéis visto en la Figura 51. En la Figura 54 podéis ver que no hay posibilidad de confusión con el caso de los circuitos clásicos: En el caso a) se debe contemplar el modelo de línea de transmisión, de forma que las tensiones en los extremos de la línea no tienen porque coincidir; y en el b) no se deben tener en cuenta fenómenos de propagación de ondas y la conexión entre nodos la hacemos de forma arbitraria con un hilo simplemente. Así, cuando tengamos que tener en cuenta efectos de propagación uniremos los nodos mediante dos líneas (Figura 54a), y cuando podamos aplicar teoría clásica de circuitos, lo haremos con una, como hemos ido haciendo hasta ahora (Figura 54b)



LZ

gZ

VgLínea Transmisión LZ

gZ

Vg

(a) (b)

Están a la misma tensión, VV1 V2

LZ

gZ


gZ

Vg

(a) (b)

LZ

gZ


gZ

Vg

(a) (b)

Están a la misma tensión, VV1 V2

Figura 54 Representación de la conexión entre dos nodos en un circuito cuando: a) se contempla el

modelo de línea de transmisión b) cuando no hay efectos de propagación y se conectan los nodos

directamente.

Podéis ver la situación representada en la Figura 54a ampliada en la Figura 55. En esta se indica explícitamente la dependencia con la distancia de la intensidad y el voltaje. A una distancia z del origen, la intensidad y el voltaje tienen unos valores que dependen de z: I(z,t) y V(z,t). Sin embargo, al cabo de una distancia que llamaremos ∆z (léase “Delta de z” o “incremento de z”), la intensidad y el voltaje dependen de z+∆z: I(z+∆z,t) y el voltaje V(z+∆z,t).

Z

V(z,t)

I(z,t)

+

-V(z+∆z,t)

I(z+∆z,t)

+

-Z

V(z,t)

I(z,t)

+

-V(z+∆z,t)

I(z+∆z,t)

+

-

z∆z=0 Z

V(z,t)

I(z,t)

+

-V(z+∆z,t)

I(z+∆z,t)

+

-Z

V(z,t)

I(z,t)

+

-V(z+∆z,t)

I(z+∆z,t)

+

-

z∆z=0

Figura 55 Definición de tensiones y corrientes en el dominio temporal para un diferencial de longitud

(∆z) de línea de transmisión.

17.2.2. LA CELDA ELEMENTAL

Para analizar la línea de transmisión vamos a plantear un modelo circuital equivalente de elementos concentrados, que presentaremos en éste apartado (17.2.2) y que resolveremos en el apartado 17.2.3. Para finalmente pasar a resolver la ecuación de onda en la estructura en el apartado 17.2.4.

Hasta este punto hemos hablado de que hay que tener en cuenta la longitud de las líneas porque cuando la longitud de onda es del orden de la longitud de la línea se producen efectos de propagación. Pero, ¿en qué consisten estos efectos? y ¿cómo debemos tratarlos? Responderemos a la segunda pregunta y, a través de ella, terminaremos respondiendo a la primera.

Para ver qué debemos hacer, pensemos en teoría de circuitos clásica. En general utilizamos cables de cobre para montar circuitos. Los cables de cobre no son conductores ideales, y además se calientan. Para tener en cuenta este efecto ¿qué hacíamos?. Como ese comportamiento era equivalente al de una resistencia, “añadíamos” una resistencia al circuito (la resistencia equivalente) que tenía en cuenta ese comportamiento, y considerábamos el cable ideal, como podéis ver en la Figura 56. Es decir, sustituíamos un cierto comportamiento por un “elemento concentrado”.



Nodo A Nodo B

Cable con pérdidas

Nodo A Nodo B

Cable con pérdidas

Nodo A Nodo B

Cable sin pérdidas. Ideal

Nodo A Nodo B

Cable sin pérdidas. Ideal

Figura 56 Representación de cómo modelar las pérdidas distribuidas a lo largo de un hilo o cable con un

cable o hilo ideal sin pérdidas y un elemento discreto, en particular una resistencia.

¿Qué ventaja tenía esta forma de proceder? Básicamente que podíamos hacer cálculos más precisos aplicando la misma forma de trabajar: simplemente teníamos un circuito con una resistencia más.

Esta filosofía es, precisamente, la que seguiremos en el modelo circuital de las líneas de transmisión. Sustituiremos la línea de transmisión por un circuito con unos componentes que simulen los efectos de propagación. ¿Y qué componentes serán estos? Para descubrirlos tendremos que ver en qué consisten los efectos de propagación, de los que tantos hemos hablado.

La conductividad de los conductores con los que construimos lo cables eléctricos no es infinita, lo que se simula suponiendo que tienen una resistencia.

Tenemos una corriente que circula por uno de los hilos y que varía en el tiempo. Como habéis visto al principio del curso, esto implica la creación de una fuerza electromotriz inducida en el otro cable. Pero por el otro cable también circula una corriente variable en el tiempo, lo que a su vez también implicará una fuerza electromotriz inducida sobre el primer cable. Se produce pues un fenómeno de inductancia mutua, lo que también se llama un acoplamiento magnético. ¿Qué elemento de un circuito puede ayudar a simular este efecto? Como su nombre indica, una autoinductancia o bobina.

Tenemos dos hilos conductores relativamente cerca por los que circula una onda electromagnética, es decir, campos eléctricos y magnéticos. En cada punto del conductor la densidad de carga variará según cuál sea el valor del campo eléctrico, y eso provocará una readaptación de las cargas en el otro cable. Esto hará que se creen capacidades entre un hilo y el otro. Representaremos este efecto mediante un condensador.

Precisamente por el mismo motivo que aparece una capacidad entre ambos conductores, aparece una cierta conductancia entre ellos, que también representaremos en la figura. Si entre los conductores hay un dieléctrico (y recordemos que el aire es, en el fondo, un tipo de dieléctrico), podríamos decir que la conductancia modela las pérdidas debidas a ese dieléctrico.

Por tanto, podemos decir, a grandes rasgos, que la línea de transmisión se comporta como un circuito RLC, es decir, un circuito constituido por resistencias, condensadores y bobinas.

Por tanto, ya sabemos que podemos modelar el comportamiento de una línea de transmisión mediante resistencias, condensadores y bobinas. Pero para hacerlo debemos tener en cuenta que el valor de la corriente y la tensión dependen de la distancia que estas señales hayan recorrido. Así, no es lo mismo medir el valor de la tensión y la corriente en el punto 100 m de la línea, que en el punto 200 m. Y lo que nos interesa es, precisamente, saber los valores de tensión y corriente en cada punto de la línea.

Para conseguir este objetivo lo que haremos es dividir la línea en intervalos suficientemente pequeños donde podremos asumir que no se producen efectos de propagación y tener en cuenta los efectos de propagación en el conjunto de la estructura. Así, para conocer los efectos de la propagación (es decir, los valores de tensión y voltaje) en un punto determinado de la línea, tan sólo deberemos sumar los efectos que se han producido en cada uno de estos intervalos.

Así vamos a dividir la línea de transmisión en intervalos como muestra la Figura 57.



.

B B Bd

B B B B Bd

B B

Línea de transmisión

Figura 57 Representación de cómo subdividir una línea de transmisión en intervalos más pequeños de

longitud d para analizarla.

Pero fijaos en la Figura 57: resulta que al estar el punto en que queremos conocer la información en medio de un intervalo, tenemos un margen de error que viene dado por la distancia d que aparece señalada en la figura. Nuestro resultado sería exacto si quisiéramos medir tensión y corriente en los puntos donde terminan los intervalos, marcados en la figura como B.

¿Cómo podemos mejorar nuestra medida? Haciendo intervalos más pequeños. Cuanto menores sean los intervalos más pequeña será la distancia d de la Figura 57 y por tanto menor será el error que cometeremos. De hecho, lo ideal sería que este error fuera 0, por lo que convendría que estos intervalos fueran infinitamente pequeños o, dicho con otras palabras, infinitesimales. Esto es precisamente lo que haremos.

Dividiremos la línea de transmisión en intervalos infinitesimales y tendremos en cuenta los

efectos de transmisión en cada uno de esos intervalos.

Para tener en cuenta estos efectos de transmisión, asociaremos a cada intervalo, llamado

celda elemental, un conjunto de resistencias, bobinas y condensadores: lo que se conoce

como un modelo circuital equivalente.

Al conjunto se le llama modelo de la línea de transmisión de longitud finita basado en la concatenación de celdas elementales.

Podéis ver una representación de este modelo en la Figura 58, donde se ha resaltado una celda elemental de longitud ∆z. Esta celda representa un intervalo de la línea de transmisión, y se modela con una resistencia (R), conectada en serie con una bobina (L) y con una conductancia (G), que a su vez está en paralelo con un condensador (C). La conductancia y el condensador se conectan ambos a tierra.

z

R z∆ L z∆ R z∆ L z∆( , )i z t

( , )v z t ( , )v z z t+ ∆

z∆

LZC z∆ G z∆ C z∆ G z∆

( , )i z z t+ ∆

Celda Elemental

z

R z∆ L z∆ R z∆ L z∆( , )i z t

( , )v z t ( , )v z z t+ ∆

z∆

LZC z∆ G z∆ C z∆ G z∆

( , )i z z t+ ∆

Celda ElementalA B

Figura 58 Modelo equivalente de la línea de transmisión construido como la concatenación de celdas

elementales de elementos concentrados



La estructura indicada en la celda elemental de la Figura 58 se repite en todas y cada una de las celdas en que hayamos dividido la línea. En la figura sólo aparecen dos. Sin embargo, como hemos comentado antes, podríamos haber dividido la línea en 3, 4 o 400 celdas elementales, según la longitud de que las hagamos. O dicho de otra manera, no tendremos el mismo número de celdas en 1 km de cable, que en 200 km.

Por tanto, los valores de R, L, C y G parecerían algo arbitrarios ya que según la longitud de la celda que escojamos serán unos u otros. Interesaría, por tanto, utilizar unos valores de resistencia, autoinductancia, conductancia y capacidad que tengan en cuenta, de alguna forma, esta situación.

La solución consiste en utilizar una resistencia, una autoinductancia, una conductancia y una capacidad por unidad de longitud, y multiplicar ese valor por la longitud de la celda elemental. Así, por ejemplo, la resistencia de un tramo será igual a la resistencia por unidad de longitud multiplicada por la longitud del tramo.

En el caso de la celda elemental de longitud ∆z, si la resistencia por unidad de longitud es R, la resistencia de una celda elemental, R, será:

En el caso de la celda elemental de longitud ∆z, si la resistencia por unidad de longitud es R, la resistencia de una celda elemental, R, será:

=R z∆R (253)

Y lo mismo para el resto de componentes:

Autoinductancia, L:

=L z∆L (254)

Capacidad, C:

=C z∆C (255)

Conductancia, G:

=G z∆G (256)

Fijaos que en la Figura 58 tenéis indicados, precisamente, los valores indicados en (253)-(256) , es decir, los elementos multiplicados por ∆z (incremento de z).

Teniendo en cuenta todo esto, definimos los elementos que aparecen en la figura como:

R, resistencia serie por unidad de longitud, que se mide en Ω/m (ohms por metro)

L, inductancia serie por unidad de longitud, H/m (Henrios por metro)

G, conductancia paralelo por unidad de longitud, S/m (Siemens por metro)

C, capacidad paralelo por unidad de longitud, F/m (Faradios por metro.

Finalmente, fijaos en los puntos señalados como A y B en la figura: uno está a una distancia z del origen, donde el voltaje es, en un instante, t, determinado, V(z,t); y el otro está a una distancia z+∆z (“zeta más incremento de z”) más allá, donde el voltaje es, en un instante, t, determinado, V(z+∆z,t).

Hemos sustituido nuestra línea de transmisión, por una resistencia, una inductancia, un

condensador y una conductancia, es decir, esencialmente por un circuito RLC. Esto es lo que

se llama el modelo circuital de celda elemental. siendo la “celda elemental” la que hemos

representado como tal en la Figura 59.



R z∆ L z∆( , )i z t

( , )v z t

( , )v z z t+∆

z z+∆

C z∆ G z∆

( , )i z z t+∆

Celda Elemental

z

E1 E2

R z∆ L z∆( , )i z t

( , )v z t

( , )v z z t+∆

z z+∆

C z∆ G z∆

( , )i z z t+∆

Celda Elemental

z

E1 E2

Figura 59 Celda elemental.

La principal ventaja de este modelo es que permite tratar las líneas de transmisión utilizando

las herramientas que conocemos para resolver este tipo de circuitos, como las leyes de

Kirchhoff.

17.2.3. RESOLUCIÓN DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN MEDIANTE

EL MODELO CIRCUITAL

Así, vamos a estudiar a continuación la línea de transmisión utilizando las leyes de Kirchhoff. Para ello utilizaremos la malla y el nodo señalados en la Figura 59. En ella podéis ver que en el punto señalado como E1 tensión y corriente toman los valores de z y en el punto E2 de z+∆z.

Empezaremos con la ley de Kirchhoff de las tensiones. Tomamos la malla señalada en la figura. La caída de tensión en cada elemento es, teniendo en cuenta que el valor de la intensidad es i(z,t) desde E1 hasta E2:

En la resistencia: ),(· tzizR∆

En la autoinducción: t

tzizL∂

∂∆

),(

En el extremo E1: ),( tzv

En el extremo E2: ),( tzzv ∆+

Así, la ley de de Kirchhoff de las tensiones nos da el siguiente resultado:

( , )( , ) · ( , ) ( , ) 0di z z tv z t R z i z t L z v z z t

dt+ ∆

− ∆ − ∆ − + ∆ = (257)

A continuación vamos a aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff al punto A de la Figura 59.En ese punto hay que tener en cuenta que llegan tanto la línea del condensador como la de la conductancia, ya que están en paralelo y, por tanto conectados al mismo nodo, y están al mismo potencial. Así las contribuciones que tenemos son:

Corrientes entrantes:

Corriente procedente de E1: ),( tzi

Corrientes salientes:

En la conductancia: ),(· tzvzG∆



En el condensador: t

tzvzC∂

∂∆

),(·

La corriente que sale por E2: ),( tzzi ∆+

Por tanto, la ecuación procedente de la ley de Kirchhoff de las corrientes en el punto A es:

( , )( , ) · ( , ) ( , ) 0dv z z ti z t G z v z t C z i z z t

dt+ ∆

− ∆ − ∆ − + ∆ = (258)

Fijaos en dos detalles:

Hemos explicitado las dependencias en la posición (z) y en el tiempo (t) de voltaje e intensidad: v(z, t) e i(z, t) en el primer punto de la línea; y v(z+∆z, t) e i(z+∆z, t) en el segundo.

Dado que R, L, C y G son, respectivamente, la resistencia, la autoinductancia, la capacidad y la conductancia por unidad de longitud, hemos multiplicado cada elemento por la longitud de la celda básica, que es a la que afectan las ecuaciones (257) y (258).

A continuación dividiremos ambas ecuaciones por el incremento de longitud (∆z):

( , ) ( , ) ( , )· ( , )v z t v z z t i z z tR i z t L

z t− + ∆ ∂ + ∆

= +∆ ∂

(259)

( , ) ( , ) ( , )· ( , )i z t i z z t v z z tG v z t C

z t− + ∆ ∂ + ∆

= +∆ ∂

(260)

Lo que nos interesa saber es el voltaje y la intensidad en cada punto de la línea, por lo que haremos el límite en el que el incremento de longitud es infinitamente pequeño, es decir, haremos el límite ∆z→0. Obtenemos entonces las siguientes ecuaciones diferenciales.

0

( , ) ( , ) ( , )lim · ( , )Z

v z t v z z t i z z tR i z t Lz t∆ →

− + ∆ ∂ + ∆= +

∆ ∂ (261)

0

( , ) ( , ) ( , )lim · ( , )z

i z t i z z t v z z tG v z t Cz t∆ →

− + ∆ ∂ + ∆= +

∆ ∂ (262)

Y recordando la definición de derivada:

0

( ) ( )limz

df f z z f zdz z∆ →

+ ∆ −=

∆ (263)

Obtenemos entonces las siguientes ecuaciones diferenciales.

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )( , )

v z t i z tRi z t Lz t

i z t v z tGv z t Cz t

∂ ∂= − −

∂ ∂∂ ∂

= − −∂ ∂

(264)

Notad que, al depender las funciones v e i de varias variables (z y t), utilizamos la notación de derivada parcial: zf ∂∂ / , en lugar de la notación de derivada total: dzdf / .

Las expresiones mostradas en (264) son las que rigen el funcionamiento de las líneas de transmisión en el dominio del tiempo. Estas expresiones reciben el nombre de Ecuaciones del Telegrafista.



En régimen permanente sinusoidal (RPS) podemos sustituir la derivada temporal, en el dominio del tiempo, por el producto del término jω en el dominio de la frecuencia. Esto permite expresar las ecuaciones del telegrafista en el dominio fasorial de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )dV z R j L I z

dzω= − + (265)

( ) ( ) ( )dI z G j C V z

dzω= − + (266)

Donde notad la sustitución que hemos hecho de la notación de derivada parcial: zf ∂∂ / , por la de derivada total: dzdf / . El motivo es que ahora f, (en este caso V(z) e I(z)) sólo dependen de la variable z.

Por otro lado, comparad estas ecuaciones (265) y (266) con las ecuaciones de Maxwell en régimen sinusoidal.

Lo que nos interesará es conocer cómo se propaga la onda a lo largo de la línea, es decir, cómo variará la onda a lo largo de la línea de transmisión. Para ello deberemos resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dador por (265) y (266). Eso es precisamente lo que vamos a hacer a continuación.

17.2.4. PROPAGACIÓN DE LA ONDA EN LA LÍNEA DE

TRANSMISIÓN.

Las ecuaciones (265) y (266), que relacionan la tensión y la corriente, pueden resolverse simultáneamente para obtener la ecuación de onda de la tensión,V, y de la corriente, I.

Para resolver el sistema aislamos I(z) de la ecuación (265) y derivamos respecto a z:

2

2

( ) 1 ( )dI z d V zdz R j L dzω

= −+

(267)

Sustituyendo en (267) la expresión (266) obtenemos la expresión de la ecuación de onda para la onda de tensión:

2

22

( ) ( ) 0d V z V zdz

γ− = (268)

Donde definimos la constante de propagación compleja, γ, como:

( )( )R j L G j C jγ ω ω α β= + + = + (269)

Hay ciertos elementos importantes que hay que tener en cuenta respecto a esta constante de propagación:

Es función de la frecuencia.

Es en general, como su nombre indica, un número complejo.

La parte real, α, contempla las pérdidas en la propagación; es decir la evanescencia de la onda al desplazarse. Aparecerá en la solución como una exponencial real y negativa que atenuará la amplitud de la onda al aumentar la distancia.

La parte imaginaria, β, corresponde al fenómeno de variación de la fase de la onda al propagarse.

Si derivamos la ecuación de la corriente en la expresión (266) y sustituyendo la ecuación (265) obtenemos la ecuación de onda para la onda de corriente:



2

22

( ) ( ) 0d I z I zdz

γ− = (270)

Las ecuaciones de ondas para la tensión y la corriente en régimen permanente sinusoidal son:

2

22

( ) ( ) 0d V z V zdz

γ− = (271)

2

22

( ) ( ) 0d I z I zdz

γ− = (272)

donde:

( )( )R j L G j C jγ ω ω α β= + + = + (273)

El paso siguiente es resolver las ecuaciones para encontrar la expresión de la tensión y la corriente cuando se propagan por la línea de transmisión.

La expresión general de la solución de la ecuación de onda (271) en notación fasorial, para la onda de tensión es:

( ) z zo oV z V e V eγ γ+ − − += + (274)

y para la onda de corriente (272):

( ) z zo oI z I e I eγ γ+ − − += + (275)

El factor ze γ− , representa la onda que viaja en la dirección +z, y que denominaremos onda progresiva; mientras que el factor, ze γ+ , representa la onda que viaja en la dirección –z, y que denominaremos onda regresiva. Los términos con el superíndice “+”, +

0V e +0I , representan, respectivamente, la amplitud de

la tensión y corriente progresivas; mientras que los términos con el superíndice “−“, −0V e −

0I ,

representan las amplitudes de las ondas regresivas. Fijaos que el signo del subíndice es el contrario al del exponente al que acompaña.

Es fundamental que tengáis en cuenta que lo único que varía es la fase. Las amplitudes son constantes tanto para la onda progresiva como para la regresiva, razón por la que no hemos especificado dependencia en z.

De hecho, aunque en (274) y (275) hemos puesto la expresión de la solución general de la ecuación de la tensión y de la corriente, lo cierto es que, en realidad, podemos obtener una a partir de la otra mediante las ecuaciones (265) y (266). Así, si sustituimos la onda de tensión, (274), en (265) y aislamos I(z) obtenemos una expresión para la onda de corriente:

( ) ( )z zo oI z V e V e

R j Lγ γγ

ω+ − − += −

+ (276)

La expresión de la onda de corriente debe ser la misma independientemente de la forma en que hayamos llegado a ella, por lo que la ecuación (276) debe ser igual a la ecuación (275), y por tanto:

(277)

++

+= 00 V

LjRI

ωγ

−−

+−= 00 V

LjRI

ωγ

(278)



De donde se deduce que:

γωLjR

IV

IV +

=−= −

−

+

+

0

0

0

0

(279)

Donde el signo negativo tiene en cuenta el sentido negativo de la corriente regresiva.

Por otro lado, la ecuación (279) corresponde a una impedancia, por lo que definimos:

oR j L R j LZ

G j Cω ω

γ ω+ +

= =+

(280)

(donde hemos utilizado (273)).

Esta expresión es la impedancia característica de la línea de transmisión. Dado que las amplitudes ( +−+−

0000 ,,, IIVV ) son constantes, el valor de la impedancia también deberá serlo.

Por convenio se toma la impedancia característica de la línea siempre de valor Zo=50 Ω. Este

convenio aplica a cualquier sistema de comunicación con una salvedad. Los sistemas de TV

utilizan por convenio un valor de impedancia característica de Zo=75 Ω.

La impedancia característica nos permite relacionar la amplitud de la tensión y la amplitud de la corriente en la línea como:

o oo

o o

V VZI I

+ −

+ −= = − (281)

Fijaos que tanto la amplitud de la onda progresiva de tensión como la amplitud de la onda progresiva de corriente son constantes con la posición (así como las amplitudes de la onda regresiva), por lo que la impedancia característica de la línea será constante a lo largo de toda la línea de transmisión.

Con lo cual podéis rescribir las soluciones de las ecuaciones de onda para la tensión y la corriente respectivamente (274) y (275) según:

( ) z zo oV z V e V eγ γ+ − − += + (282)

( ) z zo o

o o

V VI z e eZ Z

γ γ+ −

− += − (283)

Las expresiones (282) y (283) corresponden a las soluciones de las ondas de tensión y corriente en el dominio fasorial. Para volver a obtener la en el dominio del tiempo tenemos calcular la parte real del producto del fasor de la onda de tensión por el fasor j te ω . En el caso de la onda de tensión ( ecuación (282) ) tenemos:

( , ) Re ( ) j tz t V z e ω = V (284)

Sustituyendo (282) en (284) obtenemos:

0 0( , ) Re z j t z j tz t V e e V e eγ ω γ ω+ − − = + V (285)

Y escribiendo esta expresión utilizando la definición de la constante de propagación compleja, γ (ecuación (273)) tenemos:



( ) ( )0 0( , ) Re[ ]z j z t z j z tV z t V e V eα β ω α β ω+ − − − − − − += + (286)

Por otro lado, la amplitud, 0 0,V V+ − , en principio también puede ser compleja, con lo que la amplitud

tendrá una fase arbitraria que en notación polar podemos expresar:

0j

oV V e φ±± ± ±= (287)

Donde el signo “±” se refiere a cada una de las amplitudes: la progresiva y la regresiva. Además, hemos tomado la fase positiva para la onda progresiva y negativa para la regresiva. Dado que la fase inicial es arbitraria, podríamos haber tomado las dos con el mismo signo, pero hemos escogido esta opción simplemente para que el resultado final quede “más bonito”.

Así, la ecuación (286) queda:

( ) ( )0 0( , ) Re[ ]z j z t z j z tV z t V e V eα β ω φ α β ω φ+ −+ − − − − − − − + += + (288)

Y teniendo en cuenta que:

cos( ) sin( )jse s j s= + (289)

Y que:

cos( ) cos( )s s− = (290)

Obtenemos la siguiente expresión para la onda de tensión en el dominio del tiempo:

( , ) | | cos( ) | | cos( )z zo oV z t V t z e V t z eα αω β φ ω β φ+ + − − −= − − + + + (291)

El primer término representa una onda viajando en la dirección +z. Es decir, para mantener un punto fijo en la onda ( t z cteω β− = ) al aumentar el tiempo debéis desplazaros en la dirección positiva de z. El segundo término representa una onda viajando en la dirección –z.

Es interesante que establezcáis analogías con lo estudiado en el tema de campos para la ecuación de onda plana

y su solución. Como veis es completamente análogo. La diferencia está en que hablamos de tensión en vez de

campo eléctrico y hablamos de corriente en vez de campo magnético.

La velocidad a la cual viaja un punto de fase fija de la onda se denomina velocidad de fase. Para calcular la velocidad de fase, partimos de la condición que debe cumplir el punto en cuestión:

t z cteω β− = (292)

La velocidad de un elemento se calcula como la derivada del espacio (z) respecto al tiempo (t), es decir:

dzvdt

= (293)

Por tanto, si aislamos z de la ecuación (292) y derivamos, obtenemos la velocidad de fase, vp:

1

pdzvdt

ωβ µε

= = = (294)

En el espacio libre la velocidad de fase vale 81 2.998·10 m/spo o

v cµ ε

= = = y corresponde a la

velocidad de la luz en el vacío.



Por otro lado, teniendo en cuenta que ya vimos la relación entre la longitud de onda y la frecuencia y teniendo en cuenta que 2 fω π= :

2 2p pv v

fπ πλω β

= = = (295)

¿Tiene sentido este resultado? Pensad que la longitud de onda es la distancia entre dos puntos de la onda en el mismo estado de vibración (por ejemplo, dos máximos o dos minimos) y que β es la variación de la fase con la distancia, medida en rad/m. Así, dado que un punto vuelve a tener la misma fase, y por tanto a estar en el mismo estado de vibración, al cabo de 2π radianes, la longitud de onda serán esos 2π radianes, entre lo que haya variado la fase en ese intervalo, es decir β.



Lección 18

18. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS.

En el apartado 17.2.3 hemos trabajado la obtención de las ecuaciones del telegrafista que nos relacionan la tensión y la corriente a lo largo de una línea de transmisión a partir de un modelo circuital equivalente de a línea. En el apartado 17.2.4 hemos obtenido la ecuación de ondas a partir de las ecuaciones del telegrafista y hemos solucionado la ecuación de ondas para la onda de tensión. Habréis observado que la analogía con la teoría de campos es total con la única salvedad que hemos cambiado la magnitud en estudio substituyendo el campo eléctrico por la tensión y el campo magnético por la corriente.

Hemos trabajado el caso general y ahora vamos a particularizar en el caso de tratarse de una línea de transmisión sin pérdidas. Aunque se trata de una idealización puede ser útil cuando queremos estudiar simplemente el efecto de la propagación sin tomar en cuenta el efecto de las pérdidas.

En la solución general están contenidas las pérdidas de la línea de transmisión. De ahí que la impedancia característica (280) y la constante de propagación (269) sean en general números complejos.

En determinadas situaciones podremos despreciar el efecto de las pérdidas, ya que las líneas de transmisión están fabricadas con materiales dieléctricos de bajas pérdidas. Así pues, si consideramos que no hay pérdidas tomaremos R=G=0. Recordad que al explicar el modelo decíamos que la resistencia modelaba las pérdidas de lo conductores y que la conductancia modelaba las pérdidas en el dieléctrico.

Por lo tanto si consideramos R=G=0 la constante de propagación compleja (269) resulta:

(0 )(0 )j L j C j LCγ ω ω ω= + + = (296)

Podríamos haber llegado a este resultado físicamente, ya que α representaba las pérdidas por la propagación y, si no hay pérdidas, α tiene que ser 0.

Así, hemos obtenido que la constante de propagación es imaginaria pura y su módulo es igual a la constante de fase:

0;

j j LC

LC

γ α β ω

α β ω

= + =

= = (297)

Como deberíais de esperar para el caso sin pérdidas, la constante de atenuación vale cero y la constante de propagación es imaginaria pura.

Mientras que podemos simplificar la impedancia característica, expresión (280) según:

oLZC

= (298)

Así las soluciones generales para la onda de tensión y corriente, ecuaciones (282) y (283) se convierten en:

( )

( )

j z j zo o

j z j zo o

o o

V z V e V e

V VI z e eZ Z

β β

β β

+ − − +

+ −− +

= +

= − (299)

Donde fijaos que el factor de propagación (argumento de la exponencial compleja) es imaginario puro. No tiene parte real, como ya hemos comentado.

La velocidad de fase, ecuación (294), obtenida como el cociente entre la frecuencia angular y la constante de fase de la onda.



1 1

po

vZ CLC

ωβ

= = = (300)

Donde vemos que depende únicamente del valor de la inductancia y de la capacidad de la línea. También podemos expresarla en términos de la capacidad y de la impedancia característica de la línea utilizando (298).

En cuanto a la longitud de onda (295), su valor en términos de la constante de fase (297) es:

2 2

LCπ πλβ ω

= = (301)

Es decir, dependerá de la frecuencia de la onda, pero también de la inductancia y de la capacidad de la línea. Por tanto, la longitud de onda de una onda determinada, variará cuando se propague por una guía de ondas, y esta variación dependerá de la frecuencia de la onda y de la línea en si.

Ejemplo 2

Una línea de transmisión presenta los siguientes parámetros por unidad de longitud a la frecuencia de 880 MHz. Obtened la impedancia característica y la constante de propagación compleja con y sin pérdidas.

0.3µH/m, 450 pF/m, 5 Ω/m, 0.01 S/mL C R G= = = =

En el caso con pérdidas, la impedancia característica (280)es:

25,82 0,01oR j LZ jG j C

ωω

+= = + Ω

+ (302)

Y la constante de propagación (269):

( )( ) 0, 22 64, 24j R j L G j C jγ α β ω ω= + = + + = + (303)

En el caso sin pérdidas, la impedancia característica (298):

25,82oLZC

= = Ω (304)

Y la constante de propagación (297):

64,24 rad/mj j LC jγ β ω= = = (305)

Vamos a ver si tiene sentido considerar que no hay pérdidas.

La impedancia en el caso con pérdidas vale 25,82 + j0,01 Ω, y el valor sin pérdidas es el mismo, pero con parte imaginaria igual a 0. Tendrá sentido considerar que no hay pérdidas si la parte imaginaria es despreciable comparada con la parte real.

La parte imaginaria de la impedancia vale 0,01 y la parte real 25,82, lo que significa que la parte imaginaria es 0,01/25,82=3,9·10-4. Es decir, la parte imaginaria es del orden de 10.000 veces menor que la parte real, por lo tanto podemos decir que es despreciable y, por tanto, tiene sentido despreciar las pérdidas.

Ejemplo 3

Una onda de tensión de amplitud 1 je π V y frecuencia 300 MHz viaja por una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica 50 Ω . Obtened la solución de la onda de tensión y de corriente en



notación fasorial a lo largo de la línea. Obtened la expresión de la onda de tensión en el dominio del tiempo. Considerad que solo hay onda progresiva.

La constante de fase de la onda (297) es:

21 m 2 rad/mc

fπλ β πλ

= = → = = (306)

La expresión de la onda de tensión (299) considerando que no existe onda regresiva vale:

2( ) 1j z j j zoV z V e e eβ π π+ − −= = (307)

La expresión de la onda de corriente (299) considerando que no existe onda regresiva es:

21( )50

jj z j zo

o

V eI z e eZ

πβ π

+− −= = (308)

La expresión de la onda de tensión en el dominio del tiempo resultante es:

( , ) Re ( ) j tz t V z e ω = V (309)

6( , ) | | cos( ) 1cos(2 ·300·10 2 )oz t V t z t zω β φ π π π+ += − + = − +V (310)

18.1.1. LÍNEA DE BAJAS PÉRDIDAS.

En el apartado 18 hemos tratado la simplificación de la línea sin pérdidas. Es decir hemos considerado que la línea no añade atenuación a la propagación de la onda. Esta aproximación tiene sentido en algunos casos, como hemos visto en el Ejemplo 2, y es útil cuando lo único que se quiere estudiar es propagación en la línea, independientemente de las pérdidas.

Sin embargo, en la mayoría de casos las líneas de transmisión no son ideales, ya que no lo son los materiales utilizados en su construcción: los conductores tienen conductividad finita y los dieléctricos tienen pérdidas. Por tanto, en los casos reales las líneas de transmisión presentarán pérdidas.

Estudiar estas pérdidas puede resultar muy útil en algunas aplicaciones. Un ejemplo típico es el de las antenas colectivas en los edificios: es bien conocido que la señal no llega con la misma intensidad a todos los televisores, pero es fundamental que llegue a todos, incluso al que está más alejado. Por tanto, en este caso, es interesante saber cómo va a atenuar la señal el cable coaxial que une la antena con los receptores.

Por otro lado, aunque no sean ideales, sí podemos considerar que, en general, las pérdidas que presentarán las líneas de transmisión serán pequeñas. El motivo es que lo que se persigue al construirlas es, precisamente, que no haya pérdidas, por lo que si las hay, podemos pensar que serán pequeñas, al menos para las líneas comerciales.

¿Qué significa que las pérdidas sean pequeñas en el modelo circuital? Hemos visto en el apartado 17.2.4 que eliminábamos las pérdidas considerando que la resistencia y la conductancia del modelo eran 0: R=G=0. Por tanto, si las pérdidas son pequeñas lo que querrá decir es que hemos de considerar R y G pequeñas.

Vamos a ver, por tanto, cómo queda la constante de propagación (ecuación (269) ) considerando bajas pérdidas, es decir R y G pequeñas.

Para poder aplicar la aproximación de forma clara, reordenamos los términos de la ecuación (269), desarrollando el producto de los dos paréntesis y teniendo en cuenta que · 1j j j= − = :



22

2

· 1 1 1

1

R G R G RGj L j C j LC j jj L j C L C LC

R G RGj LC jL C LC

γ ω ω ωω ω ω ω ω

ωω ω ω

= + + = − − +

= − + −

(311)

Si, como hemos dicho, consideramos que R y G son pequeñas, podemos asumir que la resistencia será mucho menor que el producto de la frecuencia angular por la inductancia de la línea:

R Lω<< (312)

De forma equivalente, la conductancia será mucho menor que el producto de la frecuencia angular por la capacidad de la línea:

G Cω<< (313)

Y por tanto, de las ecuaciones (312) Y (313) podemos decir que:

2RG LCω<< (314)

Y por tanto podemos establecer las siguientes desigualdades para simplificar (311):

2 2

RG R RG GyLC L LC Cω ω ω ω

<< << (315)

Es decir, podemos despreciar el término LC

RG2ω

frente a los otros dos. Con lo que la expresión (311)

queda:

1 R Gj LC jL C

γ ωω ω = − +

(316)

Es importante que cuando hacéis aproximaciones, hagáis algún límite para verificar que el

resultado es, si no correcto, al menos coherente. Así, la constante de propagación de bajas

pérdidas, en el límite en el que no hay pérdidas (R=G=0) tiene que dar el resultado obtenido

cuando considerábamos el caso sin pérdidas. Así, la ecuación anterior se convierte en la

(297) si tomamos R=G=0.

Por otro lado, mirando las ecuaciones (312) y (313) vemos que la parte imaginaria la expresión (316) es pequeña.

Si consideramos que el término imaginario de la raíz es pequeño al tratarse de una situación de bajas pérdidas. Podemos hacer uso de la aproximación en serie de Taylor de la función raíz; es decir, si

tenemos 1 x− , y x es muy pequeña ( 0x → ), podemos aproximar 1 x− por 1 2x− . En nuestro

caso R Gx jL Cω ω

= +

con lo que podemos volver a simplificar la expresión (316) y queda:

112 2j R G R LC G LCj LC j LC

L C L Cγ ω ω

ω ω = − + = + +

(317)



De forma que identificamos la constante de fase para el caso de bajas pérdidas con la parte imaginaria de la expresión (317):

LCβ ω= (318)

Y podemos identificar la constante de atenuación a partir de la parte real de la expresión (317), donde además podemos expresarla en términos de la impedancia característica a través de (298).

1 12 2 o

o

C L RR G GZL C Z

α

= + = + (319)

Observad que la constante de atenuación depende únicamente de los parámetros que modelan las pérdidas en el circuito equivalente. Si la impedancia característica aumenta, las pérdidas debidas a la conductividad del conductor disminuyen (R/Zo). Pero a la vez aumentan las pérdidas debidas a las pérdidas en el dieléctrico (GZo).

Por ejemplo si aumentamos el diámetro de un cable coaxial, la impedancia característica aumentará, ya que la capacidad será menor provocando un aumento de las pérdidas debidas al dieléctrico.



Lección 19

19. LINEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS CARGADAS

A lo largo del apartado 2 hemos trabajado la ecuación de onda en tensiones y corrientes en una línea de transmisión. Además hemos desarrollado la solución de la ecuación de onda a lo largo de la línea, y hemos podido ver que existe una completa equivalencia con la solución de onda plana que trabajamos a lo largo del apartado.

Tanto la onda electromagnética que viaja por el espacio como la que viaja por una línea de transmisión son ondas transversales electromagnéticas. El hecho de considerar a la onda que viaja por la línea de transmisión como transversal electromagnética, nos ha permitido establecer una formulación en tensiones y corrientes que nos ha simplificado en gran medida el análisis del problema.

Todos estos estudios previos los hemos hecho considerando la línea de transmisión aislada. Sin embargo, la línea de transmisión lo que hace es, precisamente, transmitir la señal al receptor de la misma, por lo que habrá algún elemento conectado al final de la línea, es decir, habrá una carga al final de la línea con una cierta impedancia.

Esto es precisamente lo que vamos a estudiar en este apartado: una línea de transmisión de impedancia característica Zo cargada con una impedancia de carga genérica y diferente de la impedancia característica de la línea.

Observaremos como este hecho fuerza la presencia de ondas reflejadas a lo largo de la línea de transmisión. En este sentido, es fundamental darse cuenta que los resultados obtenidos no son más que una simplificación del estudio general de los campos eléctrico y magnético llevado a cabo.

Por ejemplo, estudiar la línea de transmisión con una impedancia de carga (impedancia conectada al final de la línea) en cortocircuito es totalmente equivalente al estudio de la onda electromagnética que incidía sobre un conductor. Cargar la línea con un cortocircuito es equivalente a imponer que la tensión al final de la línea sea V=0 Y cuando analizábamos la onda que incidía sobre un conductor, recordad que imponíamos como condición de contorno que el campo eléctrico en el interior del conductor fuera E=0.

Comenzaremos estudiando cómo afecta a la propagación de la onda, la presencia de una carga de impedancia arbitraria en la línea de transmisión (apartado 19.1.1). En el punto 19.1.2 estudiaremos la idea de onda estacionaria en la línea de transmisión debido a la presencia de ondas reflejadas. En el apartado 19.1.3 veremos cómo podemos desplazar el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea, y en el 19.1.4 repetiremos el proceso para la impedancia de entrada a la línea. Finalmente, en el apartado 19.2, estudiaremos cómo fluye la potencia a lo largo de la línea.

A lo largo de todo este estudio consideraremos que estamos trabajando en la aproximación de líneas de transmisión sin pérdidas.

19.1.1. EFECTO DE UNA CARGA DE IMPEDANCIA ARBITRARIA EN

UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una línea de transmisión de impedancia característica Zo es terminada o cargada en un extremo con una impedancia de carga ZL (la L del subíndice viene del inglés Load (carga)) Este problema veremos que ilustra perfectamente la formación de ondas estacionarias debido a la aparición de ondas reflejadas en las líneas de transmisión.



La Figura 60 muestra una línea de transmisión de impedancia característica Zo. Se trata de una línea de transmisión sin pérdidas. La línea está orientada según el eje z. En z=0 la línea está cargada con una impedancia arbitraria de valor ZL diferente a la impedancia característica de la línea de transmisión.

Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZLZo

Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZLZLZo

-

Figura 60 Esquema de línea de transmisión cargada con una impedancia genérica ZL.

Consideramos que a lo largo de la línea y en el sentido positivo del eje z viaja una onda. La llamaremos onda incidente o progresiva. Inmediatamente podéis establecer que la onda progresiva de tensión (299) es de la forma:

( ) j zoV z V e β+ + −= (320)

Donde con la notación )(zV + estamos indicando que sólo estamos considerando la onda progresiva.

Esta ecuación nos está diciendo que viaja una onda de tensión con amplitud constante ( oV + ) y fase

( j ze β− ) determinada por el término de propagación.

Recordad que tanto la onda progresiva de tensión como la onda progresiva de corriente asociada mantienen la amplitud constante a lo largo de la línea; por tanto, lo que hace que varíen la tensión y la corriente en función de la posición, son los cambios de fase.

A su vez, el cociente entre la tensión y la corriente de la onda que viaja por la línea de transmisión determina la impedancia característica de la línea (281), de valor Zo:

+

+

=0

00 I

VZ (321)

por tanto ese cociente permanece constante a lo largo de toda la línea.

Hasta aquí todo es como en el caso estudiado en el apartado 17.2.4. Las diferencias aparecen cuando la onda llega a la carga. Entonces ocurre algo inesperado.

En z=0, el cociente entre la tensión en ese punto, VL, y la corriente, IL, debe ser igual a la impedancia de carga:

LL

L

VZI

= (322)

Esto es así porque debe cumplirse la ley de Ohm en la carga. Podemos decir que la carga está fijando una condición de contorno.

Pero por otro lado, hemos visto que el cociente entre la tensión y la corriente satisfacen en todos los puntos que es igual a Z0 (ecuación (321)). Según esto, Z0 debería ser igual a ZL, pero sabemos, por construcción del problema, que la impedancia de carga es distinta de la impedancia característica de la línea L oZ Z≠ .



Hemos llegado, por tanto, a una aparente contradicción. Tenemos que buscar la manera de conseguir que el cociente entre la tensión y la corriente a lo largo de la línea coincida con la impedancia característica de la línea, y además que al llegar a la carga, el cociente entre la tensión y la corriente coincida con la impedancia de carga. ¿Cómo se pueden satisfacer ambas condiciones?

La respuesta a la pregunta es que sobre la carga se genera (o dicho con otras palabras, se excita) una onda reflejada que viaja en la dirección de z sentido negativo y tiene una amplitud que permite satisfacer la condición de contorno que impone la impedancia de carga en la línea.

Esta onda reflejada no es, en realidad, algo nuevo. Corresponde en realidad a la onda regresiva que habíamos visto en la solución general de la ecuación de onda (299).

En la carga se excita una onda reflejada con amplitud y fase tales que: 1) el cociente entre la

tensión y la corriente a lo largo de la línea coincide con la impedancia característica de la

línea; y 2) el cociente entre la tensión y la corriente en la carga coincide con la impedancia de

carga, es decir, se satisfacen las condiciones de contorno en la carga.

Así pues, podemos obtener la tensión y la corriente total a lo largo de la línea en función de la distancia, como la suma de una onda incidente y de una onda reflejada.

Resolveremos el problema para el caso sin pérdidas, utilizando las ecuaciones (299).

( )

( )

j z j zo o

j z j zo o

o o

V z V e V e

V VI z e eZ Z

β β

β β

+ − − +

+ −− +

= +

= − (323)

Empezaremos obteniendo el valor de la impedancia de carga. La Ley de Ohm establece que la impedancia debe ser igual al cociente de la tensión entre la corriente, y en la carga (en z=0), el valor de la impedancia está fijado y debe ser ZL. Por tanto:

(0)(0)

o oL o

o o

V VVZ ZI V V

+ −

+ −

+= =

− (324)

Expresión que relaciona la impedancia de carga con las amplitudes de las ondas progresiva y regresiva, y con la impedancia característica de la línea.

De la expresión (324) podemos obtener la amplitud de la onda reflejada en función de la amplitud de la onda incidente y de las impedancias de la línea y de la carga:

L oo o

L o

Z ZV VZ Z

− + −=

+ (325)

Recordad que definíamos el coeficiente de reflexión como la relación entre la amplitud de la onda reflejada y la amplitud de la onda incidente. En este caso, para las amplitudes de las ondas de tensión tenemos:

o L o

o L o

V Z ZV Z Z

−

+

−Γ = =

+ (326)



Dado que )()( 00 ZZZZ LL +<− el coeficiente de reflexión será siempre un número cuyo módulo se

encuentra comprendido entre 0 y 1:

0 1< Γ < (327)

O equivalentemente que la amplitud de la onda reflejada siempre será menor que la amplitud de la onda incidente.

Observad un detalle.

Si recordáis de la teoría de campos el caso de una onda que viaja por el vacío e incide sobre un medio dieléctrico,

definimos un coeficiente de reflexión en términos de la impedancia del medio:

1

1

o

o

η ηη η−

Γ =+

(328).

Son dos expresiones completamente iguales. La impedancia es el cociente entre la tensión y la corriente. Y la

impedancia en el medio, la calculábamos como el cociente entre el campo eléctrico y magnético.

La conclusión es que podríamos analizar perfectamente el problema de una onda que cambia de viajar por un

medio dieléctrico 1 a viajar por un medio dieléctrico 2, modelando los medios por líneas de transmisión con

imedancias características las impedancias de cada uno de los dos medios.

A través del coeficiente de reflexión podemos relacionar la amplitud de la onda reflejada e incidente. Esto nos permite expresar la tensión y la corriente a lo largo de la línea únicamente en términos de la amplitud de la onda de tensión incidente y del coeficiente de reflexión en la carga.

Si expresamos la amplitud de la onda reflejada en términos del coeficiente de reflexión y de la amplitud de la onda incidente, (326), y la substituimos en la expresión general (323), obtenemos:

( )

( )

j z j zo

j z j zo

o

V z V e e

VI z e eZ

β β

β β

+ − +

+− +

= + Γ

= −Γ (329)

Por tanto, la tensión y la corriente en la línea están formadas por la superposición de una

onda incidente y de una onda reflejada. La suma de la onda incidente y de la onda reflejada

forma lo que llamamos la onda estacionaria.

Esta onda estacionaria la analizaremos en detalle en el apartado 19.1.2.

A lo largo de la línea, el voltaje total será la suma de la tensión de la onda progresiva o incidente y de la tensión de la onda reflejada o regresiva.

Por separado, la amplitud de la onda incidente y reflejada son constantes a lo largo de la línea, únicamente varía la fase. Sin embargo, la magnitud de la tensión total a lo largo de la línea no será constante. Va a depender de la fase con la que en cada punto la onda incidente y reflejada se sumen. El resultado es que se producirán máximos y mínimos en la tensión total.

Observad que sólo cuando 0Γ = , no existirá onda reflejada y toda la energía de la onda

incidente se disipará en la impedancia de carga. Será el caso donde se cumpla que la



impedancia de carga toma el valor ZL =Zo. Hablaremos entonces de condición de adaptación en impedancia. Y sólo en este caso la amplitud de la onda de tensión a lo largo

de la línea será constante.

Ejemplo 4

Una línea de transmisión de impedancia característica 50Ω , está cargada con una impedancia de

valor 50 100Z j= + Ω . Calculad el coeficiente de reflexión en el plano de la carga.

Solución:

/ 450 100 50 1 1 250 100 50 1 2 2 2

jo L o

o L o

V Z Z j j j eV Z Z j j

π−

+

− + −Γ = = = = = + =

+ + + + (330)

Ejemplo 5

Para el caso del Ejemplo 4 si sobre la carga incide una onda de tensión de amplitud 1 V y fase / 4π .

Calculad el valor de la amplitud de la onda reflejada.

4 4 22 21 V2 2

j j jL oo o L o

L o

Z ZV V V e e eZ Z

π π π− + + −= Γ = = =

+ (331)

19.1.2. LA ONDA ESTACIONARIA

Hemos visto en el apartado 19.1.1 que cuando la línea de transmisión esté cargada con una impedancia de valor diferente a su impedancia característica, aparece una onda reflejada. En ese caso se crea, como hemos comentado, una onda estacionaria. En este apartado vamos a analizar esa onda estacionaria: primero desde un punto de vista cualitativo (apartado 19.1.2.1) y a continuación desde un punto de vista cuantitativo (apartado 19.1.2.2)..

19.1.2.1. ANÁLISIS CUALITATIVO DE LA ONDA

ESTACIONARIA

Imaginemos una línea de transmisión con una impedancia característica Z0 a la que se conecta una carga de impedancia ZL tal que ZL ≠ Z0, es decir, no hay adaptación de impedancias o, dicho de otro modo, hay desadaptación.

Imaginemos una onda que viaja en dirección de z en sentido positivo: la onda progresiva. Esta onda tiene amplitud constante a lo largo de la línea, pero su fase que varía con la posición (ver Figura 61a).

Al llegar a la carga por efecto de la desadaptación se genera una onda reflejada que viaja en la dirección de z sentido negativo (ver Figura 61.b): la onda regresiva. Esta onda también es de amplitud constante a lo largo de la línea, y su fase varía con la posición. La amplitud de esta onda siempre será menor que la amplitud de la onda incidente (la onda progresiva del párrafo anterior), ya que el coeficiente de reflexión, ecuación (326), tiene módulo menor que 1 (apartado 19.1.1).



z

V(z)

( ) j zproresiva oV z V e β+ −=

z

( ) j zregresiva oV z V e β−=

a

b

zc

EnvolventeVmax

Vmin

Vo+

Vo-

z

V(z)


z


a

b

zc

Envolvente

z

V(z)


z


a

b

zc

EnvolventeVmax

Vmin

Vo+

Vo-

Figura 61 Onda estacionaria generada para el caso de impedancia de carga genérica a) representa la

onda progresiva viajando hacia la carga situada en z=0. b) representa la onda regresiva generada en la

carga por cumplimiento de la condición de contorno c) representa la suma de la onda progresiva y

regresiva a lo largo de la línea

La onda resultante en la línea será la suma de la onda progresiva (incidente) y regresiva (reflejada) y se llama onda estacionaria. Dado que la fase depende de la posición en ambos casos, la suma no tendrá el mismo valor en cada punto, lo que dará lugar a la aparición de unos máximos (Vmax) y unos mínimos (Vmin) en la amplitud total de la tensión a lo largo de la línea (ver Figura 61c).

Es decir, la tensión total a lo largo de la línea no será constante, sino que presentará

máximos y mínimos en función de la posición, que vendrán determinados por la fase con la

que se suman la onda incidente y de la onda reflejada. El resultado de sumar una y otra onda

da lugar a la onda estacionaria.

Esta onda recibe el nombre de onda estacionaria porque aparentemente no viaja: simplemente “está presente”. En realidad las que viajan son la onda progresiva y la onda regresiva. La suma de éstas construyen la onda estacionaria que aparentemente está estática, queremos decir con esto que los máximos y los mínimos de la onda estacionaria están fijos a lo largo de la línea, porque se producen por unas condiciones de fase particulares en la suma de las dos ondas a lo largo de la línea.

Uniendo los máximos y los mínimos obtenemos una figura que se conoce como la envolvente de de la onda y que también podéis ver en la Figura 61c).

Una vez visto el análisis cualitativo de lo que ocurre vamos a solucionar matemáticamente el problema para así poder completar el análisis.



19.1.2.2. ANÁLISIS CUANTITATIVO DE LA ONDA

ESTACIONARIA

Para llevar a cabo el análisis cuantitativo Vamos a considerar un punto de la línea de transmisión separado una distancia d, de la carga, como podéis ver en la Figura 62.

Z L

z = 0z = - d

Z L

z = 0z = - d

V ( z = - d ) , I ( z = - d )

Figura 62 Representación circuital de una línea de transmisión cargada de forma arbitraria en la carga

(z=0) y donde fijamos el punto donde evaluaremos la tensión y la corriente a una distancia d de la carga.

La tensión a lo largo de la línea es función de la posición y es función de la amplitud de la onda incidente y del coeficiente de reflexión en la carga (329):

2( ) 1j z j z j z j zo oV z V e e V e eβ β β β+ − + + − + = + Γ = +Γ (332)

(Fijaros que la segunda igualdad se obtiene sacando factor común fuera del paréntesis el término j ze β−

, para lo cuál hemos multiplicado y dividido el segundo término por ese valor.

El coeficiente de reflexión (Γ ) en la carga va a ser en general un número complejo que podemos expresar en forma polar con módulo y fase

| | je θΓ = Γ (333)

Si tomamos ahora el valor absoluto de la tensión en ese punto (z=-d) obtenemos:

2 ( 2 )| ( ) | | ||1 | | ||1 |j j z j do oz d z d

V z V e e V eθ β θ β+ + −=− =−

= + Γ = + Γ (334)

Este resultado muestra que la magnitud de la tensión oscila con la posición d a lo largo de la línea. El valor máximo de la tensión (ver Vmax en la Figura 61.c) se produce cuando el término de fase

( 2 ) 1j de θ β− = , y en ese caso tenemos:

( )max | | 1 | |oV V += + Γ (335)

En este caso decimos que se produce una interferencia constructiva entre la onda incidente y la onda reflejada. Decimos constructiva porque se suman con signo positivo de forma que la amplitud resultante es mayor.

Por otro lado, el valor mínimo de la tensión (Vmin) a lo largo de la línea ocurre cuando el término de fase ( 2 ) 1j de θ β− = − . Obtenemos entonces el valor:

( )min | | 1 | |oV V += − Γ (336)



En este caso decimos que se produce una interferencia destructiva entre la onda incidente y la onda reflejada. Decimos destructiva porque se suman con signo negativo de forma que la amplitud resultante es menor.

Pero, ¿cómo es de importante el efecto de la aparición de la onda? ¿Lo podemos medir? De hecho, hay un parámetro para evaluar este efecto, se conoce como la relación de onda estacionaria de tensión (VSWR, del inglés Voltage Standing Wave Ratio). Se define como el cociente entre el valor máximo, ecuación (335), y el valor mínimo, ecuación (336), de la tensión a lo largo de la línea:

max

min

1 | |1 | |

VVSWR SV

+ Γ= = =

− Γ (337)

La relación de onda estacionaria, S, es un número real cuyo valor mínimo es 1 y que no está acotado superiormente, es decir: 1≤S<∞ .

Cuando el coeficiente de reflexión tiende a la unidad, Γ→1, el cociente Vmax/Vmin se hace mayor. Es decir, cuanto más desadaptada está la línea, el coeficiente de reflexión tiende a 1 y la relación de onda estacionaria de tensión se hace mayor.

El caso S=1 corresponde a adaptación de impedancias o equivalentemente a Vmax=Vmin. Es decir la envolvente de la onda de tensión es plana a lo largo de la línea de transmisión, lo que es equivalente a decir que no habrá onda estacionaria.

La Figura 63 muestra la onda estacionaria en dos casos diferentes.

En el caso a) la carga es un cortocircuito y el coeficiente de reflexión (Γ ) vale −1. Por tanto:

max 02V V += (338)

min 0V = (339)

Es decir, la onda estacionaria tomará valores comprendidos entre un valor máximo igual a dos veces la amplitud de la onda progresiva y un valor mínimo igual a cero. Esta situación se da cuando los máximos y los mínimos de la onda progresiva y de la onda regresiva se dan en los mismos puntos de la línea y, además, tienen el mismo valor, es decir, la onda reflejada es igual a la onda incidente. Podéis ver esta situación en la Figura 63.

Hay otro punto interesante a tener en cuenta: como en z=0 hay fijado un cortocircuito, la tensión total tiene que ser cero en ese punto para cumplir la condición de contorno; pero eso no quiere decir que la tensión sea cero a lo largo de toda la línea, como de hecho podéis ver en la figura. De hecho la situación es curiosa ya que tenemos una onda de tensión en la línea de transmisión, pero si medimos el voltaje al final de la línea obtenemos el valor 0.

El caso de la línea de transmisión con un cortocircuito está tratado en detalle en la sección 20.1.1.

En el caso b) tenéis la situación más general en que en vez de un cortocircuito tenemos una carga genérica, el coeficiente de reflexión toma un valor comprendido entre 0 y 1: 0≤ Γ ≤1. El caso particular

Γ =1 es el que acabamos de ver. En el resto de casos la onda reflejada tendrá unos valores máximos y

mínimos de distinta magnitud que los de la onda incidente, con lo que los máximos y mínimos de la onda estacionaria no llegarán ni a ser el doble de la amplitud de la onda incidente en su valor máximo ni a ser cero en su valor mínimo. Podéis ver esta situación en la Figura 63b.



|V(z)|

z(b)

EnvolventeVmax

Vmin

z(a)

Envolvente Vmax

Vmin

|V(z)|

z(b)

EnvolventeVmax

Vmin

z(a)

Envolvente Vmax

Vmin

Figura 63 Onda estacionaria generada para: a) caso de impedancia de carga cortocircuito b) caso de

impedancia de carga genérica.

Para finalizar vamos a mostrar una consideración interesante respecto a la relación entre el coeficiente de reflexión y la relación de onda estacionaria de tensión.

Aislando |Γ| de la expresión (337) podéis establecer la relación del coeficiente de reflexión en función de la relación de onda estacionaria según la ecuación:

1| |1

SS−

Γ =+

(340)

De esta ecuación deducimos que a partir de la relación de onda estacionaria podemos conocer el módulo del coeficiente de reflexión, pero no la fase, ya que en ella no aparece información de la fase.

Ejemplo 6

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , por la que viaja una onda progresiva una onda de tensión de amplitud 1 V y fase / 4π , está cargada con una impedancia de valor

50 100Z j= + Ω . Calculad:

la relación de onda estacionaria.

la amplitud máxima y mínima de la onda estacionaria generada.

/ 422

jL o

L o

Z Z eZ Z

π−Γ = =

+ (341)

max

min

211 | | 2 22 5,91 | | 2 2 21 2

VVSWR SV

++ Γ += = = = =

− Γ −−∼ (342)



( ) / 4max

2| | 1 | | |1 | 1 1,7 V2

joV V e π+

= + Γ = + =

(343)

( ) / 4min

2| | 1 | | |1 | 1 0,29 V2

joV V e π+

= − Γ = − =

(344)

19.1.3. COEFICIENTE DE REFLEXIÓN A LO LARGO DE LA LÍNEA.

En el apartado 19.1.2 hemos visto que cuando se conecta una carga al final de una línea de transmisión, si la carga está desadaptada, se produce una onda regresiva a partir de la onda progresiva. En el cálculo hemos utilizado el coeficiente de reflexión en el punto en el que colocamos la carga. De hecho, lo hemos definido como el cociente entre la amplitud de la onda de tensión reflejada y la amplitud de la onda de tensión incidente en el plano de la carga (z=0)) ( 0)in zΓ = Γ = .

Sin embargo, sería conveniente tener una expresión que nos permitiera calcular el coeficiente de reflexión en cualquier punto de la línea de transmisión y tener así una expresión general para el mismo, es decir, ( ( )in zΓ )

Partiremos de la misma definición que habíamos utilizado para el coeficiente en z=0. Así, a una distancia d de la carga, el coeficiente de reflexión obtenido es el cociente entre la tensión de la onda reflejada y la tensión de la onda incidente, en ese punto:

2 2( )j z j d

j d j do o oin j z j d

o o oz d

V e V e Vz d e eV e V e V

β ββ β

β β

− + − − −− −

+ − + + +=−

Γ = − = = = = Γ (345)

Esta expresión es de gran utilidad para desplazar el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea.

Fijaos que el módulo del coeficiente de reflexión a lo largo de la línea de transmisión no varía.

Únicamente cambia la fase del coeficiente de reflexión ya que la variación de la distancia solo

se ve reflejada en el argumento de la exponencial compleja.

El hecho que sólo varíe la fase y no el módulo del coeficiente de reflexión tiene sentido: notad que el coeficiente se calcula a partir de la onda regresiva y la progresiva, cuyas amplitudes son constantes a lo largo de la línea y sólo presentan variaciones de fase.

Esta propiedad es de gran importancia porque pone de manifiesto que a lo largo de la línea, la amplitud de la onda resultante varía debido a la fase de la onda progresiva y regresiva, pero no debido a una variación del módulo de la amplitud de las ondas progresiva y regresiva.

Ejemplo 7

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , está cargada con una impedancia de valor 50 100Z j= + Ω . Calcular el coeficiente de reflexión a una distancia de la carga / 8d λ= (léase

lambda octavos).

A partir de la expresión (345) y tomando la constante de fase 2πβλ

= (ver (301))



22·2 84 4 2 42 2 2( /8)2 2 2

jj j j jj din z e e e e e e

π λπ π π πβ λλ

− − −−Γ =− =Γ = = = (346)

El cálculo del coeficiente de reflexión en la carga es equivalente al del Ejemplo 4.

19.1.4. IMPEDANCIA A LO LARGO DE LA LINEA

En el apartado 19.1.2 hemos generalizado el cálculo del coeficiente de reflexión a lo largo de la línea en función de la posición o distancia a la carga (si situamos el origen de referencia en la carga). En este apartado generalizaremos la impedancia de la línea.

La impedancia característica de la línea, Zo, viene determinada por el cociente entre la amplitud y la corriente de la onda progresiva que, al ser constantes, provocan que la impedancia también lo sea a lo largo de la línea.

Sin embargo, cuando la línea tiene una impedancia de carga, ZL, desadaptada (ZL≠Z0), se genera una onda estacionaria (apartado 19.1.2) y la tensión y la corriente totales dependen de la posición a lo largo de la línea de transmisión. Esta situación es equivalente a decir que la impedancia de la línea de transmisión varía también con la posición a lo largo de la misma.

Para calcular el valor de la impedancia de la línea en función de la distancia, Zin(z) partiremos de la expresión (329) y calcularemos el valor de la impedancia en un punto situado a una distancia d de la carga: z=−d:

2

2

1 ( )( ) 1( )( ) 1 1 ( )

j d j d j do in

in o o oj dj d j dino

V e e z dV d eZ z d Z Z ZI d e z dV e e

β β β

ββ β

+ − −

−+ −

+Γ +Γ =−− +Γ = − = = = =− −Γ −Γ =− −Γ

(347)

Donde hemos utilizado la expresión (345).

Esta expresión nos relaciona la impedancia de entrada a una distancia d de la carga con el coeficiente de reflexión a la misma distancia d y la impedancia característica de la línea.

Aplicando la definición del coeficiente de reflexión,(345) podemos llegar a la expresión de la impedancia de entrada en función únicamente de la distancia de la línea de transmisión a la carga y de la impedancia de carga:

cos( ) sin( ) tan( )( )cos( ) sin( ) tan( )

L o L oin o o

o L o L

Z d jZ d Z jZ dZ z d Z ZZ d jZ d Z jZ d

β β ββ β β

+ += − = =

+ + (348)

Esta expresión permite obtener, de forma directa, la impedancia de entrada (Zin) a una determinada distancia, d, de la carga, para una impedancia de carga arbitraria (ZL).

En general es más útil manejar la expresión (347), ya que es más intuitiva, aporta más información y es más fácil

de recordar. Sin embargo la expresión (348) es especialmente útil para el cálculo directo de la impedancia de

entrada en función de la distancia y de la condición de carga.

Así, tenemos que:

La impedancia de entrada de una línea de transmisión a una distancia d de la carga viene

dada por:



00 0

0

1 ( ) tan( )( )1 ( ) tan( )

in Lin

in L

z d Z jZ dZ z d Z Zz d Z jZ d

ββ

+Γ = − += − = =

−Γ = − + (349)

donde Γin(z=−d) es el coeficiente de reflexión en z=−d y β es la constante de fase.

Ejemplo 8

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , está cargada con una impedancia de valor 50 100Z j= + Ω . Calcular el coeficiente de reflexión a una distancia de la carga / 8d λ= (léase

lambda octavos).

Para el cálculo del coeficiente de reflexión a una distancia de lambda octavos de la carga tomamos el cálculo realizado en el Ejemplo 7 :

22·2 84 42 2( )

2 2jj jj d

in z d e e e eπ λπ π

β λ− −−Γ = − = Γ = = (350)

y substituimos el valor del coeficiente de reflexión a la entrada de la línea de lambda octavos en la expresión de la impedancia de entrada (347)

4

4

211( ) 250 50 100( ) 1 21

2

j

inin o

jin

eV dZ Z jI d

e

π

π

−

−

++ Γ−= = = = − Ω

− −Γ−

(351)

19.2. POTENCIA MEDIA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

Hasta este punto hemos visto cómo se comporta la onda en la línea de transmisión y los valores de la impedancia y el coeficiente de reflexión a lo largo de la misma. Queda todavía por ver un punto fundamental: qué potencia fluye por la línea.

La potencia media se obtiene calculando la parte real del producto de la tensión por el complejo conjugado de la corriente:

*1( ) Re ( ) ( )2

P z V z I z = (352)

El factor ½ viene dado por la componente sinusoidal no contemplada en notación fasorial. Por tanto, la potencia media en un punto de la línea será:

2* 2 * 2 2| |1 1( ) Re ( ) ( ) Re 1 | |

2 2j z j zo

o

VP z V z I z e eZ

β β+

− = = + Γ −Γ − Γ (353)

Donde hemos substituido las expresiones de la tensión y la corriente a lo largo de la línea (329).

Teniendo en cuenta que * 2 Im( )A A j A− = podéis simplificar la expresión (353):

( )2

2 2| |1( ) Re 1 2 Im | |2

j zo

o

VP z j eZ

β+

= + Γ − Γ (354)



De forma que podemos obtener la potencia a lo largo de la línea según:

2

2| |1( ) 1 | |2

o

o

VP zZ

+

= − Γ (355)

O equivalentemente:

2 2 2 2| | | | | | | |1 1 1 1

2 2 2 2o o o o

o o o o

V V V VP P PZ Z Z Z

+ + + −+ −Γ

= − = − = − (356)

De la expresión (356) extraemos además que la potencia es constante en cualquier punto de la línea.

Resumiendo:

La potencia media que fluye por la línea es constante en cualquier punto de la línea y viene

dada por la expresión: 2

20

0

1( ) 12

VP z P P

Z

++ − = − Γ = − (357)

donde 0V + es la amplitud de la onda incidente, |Γ| el módulo del coeficiente de reflexión y P+

y P− son, respectivamente, la potencia de la onda incidente y de la onda reflejada, y vienen

dadas por: 2| |1

2o

o

VPZ

++ = y

2| |12

o

o

VPZ

−− = ) (358)

La máxima transferencia de potencia a la carga se producirá cuando el coeficiente de

reflexión valga 0, es decir, 0Γ = . Esta situación se conoce como condición de adaptación

de impedancias. Mientras que si 1Γ = toda la potencia será reflejada.

Cuando la carga no está adaptada, no toda la potencia disponible por el generador se entrega a la carga y hablaremos por tanto de pérdidas de retorno (del inglés Return Loss) que en decibelios se define como:

Cuando la carga no está adaptada, no toda la potencia disponible por el generador se entrega a la carga y hablaremos por tanto de pérdidas de retorno (del inglés Return Loss) que en decibelios se define como:

1020 log | |RL = − Γ (359)

Medida en decibelios (dB).

Para una condición de carga adaptada, el coeficiente de reflexión es cero, 0Γ = ; o lo que es lo mismo, las pérdidas de retorno tienden a infinito, RL→∞ . Además, la magnitud de la tensión en la línea es constante y toda la potencia de la onda incidente se disipa en la carga.

Para una carga que provoca reflexión total, el coeficiente de reflexión vale 1, 1Γ = , mientras que las pérdidas de retorno valen cero: RL=0 dB. Esto significa que toda la potencia incidente se refleja en la carga.

Fijáos por tanto que, mediante el coeficiente de reflexión, podemos hacer un análisis cuantitativo del uso que hace un dispositivo, como por ejemplo una antena, de la potencia entregada. De hecho, esta es una



forma habitual de interpretar el comportamiento de un dispositivo con respecto a la eficiencia de uso de la potencia.

En el caso particular de una antena, podemos interpretat que la potencia que radiará es la potencia disipada en la misma, entendiéndola como una impedancia de carga. La antena será mas eficiente cuanto menos potencia refleje o, dicho de otro modo, cuanto menor sea el coeficiente de reflexión; y será menos eficiente cuanto más potencia refleje o, lo que es lo mismo, si el coeficiente de reflexión tiende a 1.

Ejemplo 9

Para el enunciado del Ejemplo 5 , obtened:

el nivel de potencia de la onda progresiva y regresiva;

el nivel de potencia disipada en la carga.

La potencia de la onda progresiva la podemos obtener a partir de la expresión (356). 2

45º 2| |1 1 |1 | 10 mW2 100

jo

o

VP eZ

++ = = =

La potencia de la onda regresiva la podemos obtener a partir de la expresión (356).

290º 2| |1 1 2| | 5 mW

2 100 2jo

o

VP eZ

−− = = =

Mientras que la potencia disipada en la carga la podemos calcular como la diferencia de la potencia de la onda progresiva y la potencia de la onda regresiva, (356)

22 45º 2 2| |1 1 21 | | |1 | 1 | | 5 mW

2 100 2jo

o

VP P P eZ

++ −

= − = − Γ = − =

Observad que de toda la potencia que transporta la onda progresiva, únicamente el 50% se disipa en la carga. El otro 50 % se refleja hacia la entrada.



Lección 20

20. LÍNEAS SIN PÉRDIDAS CARGADAS

En el punto 0 hemos visto cómo estudiar las líneas de transmisión sin pérdidas cuando sobre éstas se aplica una carga de impedancia arbitraria. En este punto estudiaremos algunas casos concretos de cargas que tienen un interés especial, bien desde un punto de vista teórica, bien porque permiten modelar una gran cantidad de situaciones.

Empezaremos estudiando el caso de la línea de transmisión cargada con un cortocircuito (apartado 20.1.1). De hecho, en el apartado 19.1.2.2 ya habíamos visto que éste era un caso con unas características especiales. El siguiente caso particular que consideraremos es el una línea en circuito abierto (apartado 20.1.2). A continuación (apartado 20.2) evaluaremos ciertas propiedades de periodicidad que presenta una línea cuya longitud es la mitad de la longitud de onda; y lo que se conoce como propiedad de inversión de impedancia cuando la línea tienen una longitud de un cuarto de la longitud de onda

Finalmente, en el apartado 20.3, estudiaremos el caso en que la carga es otra línea de transmisión.

20.1.1. LÍNEA CARGADA CON CORTOCIRCUITO

Empezaremos estudiando el caso de una línea de transmisión sin pérdidas, con impedancia característica Zo, que está cargada con un cortocircuito, es decir, que tiene impedancia de carga igual a cero: ZL=0 .

Este caso es equivalente al estudio de la onda electromagnética que incidía sobre un conductor que vimos en el módulo 3. Cargar la línea con un cortocircuito es equivalente a imponer que la tensión al final de la línea sea V=0, como vimos en el apartado 19.1.2.2; y cuando analizábamos la onda que incidía sobre un conductor, recordad que imponíamos como condición de contorno que el campo eléctrico en el interior del conductor fuera E=0.

En la Figura 64 podéis ver un esquema del problema planteado. En él contamos con una línea de transmisión de longitud d, terminada con un cortocircuito en z=0.

Una línea de transmisión cargada con cortocircuito, ZL=0, presenta un coeficiente de reflexión en el plano de referencia de la carga (326):

1L o

L o

Z ZZ Z

−Γ = = −

+ (360)

Y la relación de onda estacionaria (ecuación (337)) que presenta la línea tenderá a infinito: S→∞ .

Recordad lo estudiado en el apartado 19.1.2 referente a la onda estacionaria. Cuando la onda progresiva llegue a la carga, se encontrará la condición de contorno impuesta por el cortocircuito que obliga a que la tensión sea cero.

Esta condición sólo podrá cumplirse si se crea una onda regresiva de amplitud igual a la onda progresiva pero de signo cambiado, de forma que la suma de ambas de cero. Es decir, el coeficiente de reflexión, entendido como el cociente entre la amplitud de la onda regresiva y la amplitud de la onda progresiva, debe valer −1.



-Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZL=0Zo

Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZL=0Zo

-Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZL=0Zo

Z

V(z), I(z)

VL

IL+-

d 0

ZL=0Zo

Figura 64 Línea de transmisión de impedancia característica Zo, terminada en cortocircuito.

Vamos a ver primero cómo varían la tensión y la corriente en la línea (20.1.1.1), y a continuación cómo se comporta la impedancia (apartado 20.1.1.2)

20.1.1.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE

En el punto 19.1.1 obtuvimos la expresión de la tensión en función del coeficiente de reflexión (ecuación (329)):

( ) j z j zo oV z V e V eβ β+ − − += + (361)

Y sustituyendo en esta expresión el resultado obtenido en (360), obtendremos la tensión en función de la posición a lo largo de la línea:

1( ) 1· 2 sin( )j z j z j z j z

o o oV z V e e V e e jV zβ β β β β+ − + + − + +

Γ=− = +Γ = − = − (362)

Podemos repetir el proceso para la corriente. Para ello partimos de la expresión de la corriente en función de la posición a lo largo de la línea (ecuación (329)) y sustituimos el valor de Γ obtenido en (360):

1

2( ) cos( )j z j z j z j zo o o

o o o

V V VI z e e e e zZ Z Z

β β β β β+ + +

− + − +

Γ=−

= −Γ = + = (363)

Observad que en el plano de referencia de la carga, z=0, la tensión es 0, cumpliendo así la condición de contorno en la carga que dice que la tensión total es cero. Esto es equivalente a decir que la suma de amplitudes de la onda progresiva y de la onda regresiva son 0. De hecho, podemos verlo si calculamos la amplitud de la onda regresiva a partir de la ecuación (325), sustituyendo el valor obtenido en (360):

0 0 0V V V− + += Γ = − (364)

Vemos pues que, efectivamente, el módulo de la amplitud de la onda regresiva es igual a la amplitud de la onda progresiva pero de signo cambiado, con lo que la suma da 0.

Y en ese mismo plano, z=0, la corriente (363) será máxima (cos (0)=1), I(z=0)=2 o

o

VZ

+

.

Tenemos por tanto que la tensión y la corriente a lo largo de una línea de transmisión cuando

la carga es un cortocircuito son:

( ) 2 sin( )oV z jV zβ+= − (365)

0

0

2( ) cos( )VI z zZ

β+

= (366)



En el plano de referencia de la carga, z=0, la tensión vale 0 y la corriente es máxima:

( 0) 0V z = = (367)

0

0

2( 0) VI zZ

+

= = (368)

La Figura 65.a y la Figura 65.b muestran, respectivamente, la onda estacionaria de tensión y corriente normalizadas en la amplitud para una línea de transmisión cargada con un cortocircuito.

Figura 65 Onda estacionaria de tensión, onda estacionaria de corriente e impedancia a lo largo de la

línea de transmisión cargada con cortocircuito. (FIGURA 2.6 pag 70 Microwave Engineering, 2 edición,

John wiley & Sons, D. Pozar, ISBN 0-471-17096-8)

Observad que se producen nulos de tensión para z=0 y cada distancia d, múltiplo de / 2λ (léase lambda medios). Esto significa que si tenemos una conexión física a masa (un cortocircuito) en la carga, no sólo tenemos tensión 0 en ese punto, sino también en cada media longitud de onda, / 2λ . Y en estos puntos no hay ninguna conexión física a masa, es decir, tenemos puntos de tensión 0 sin la presencia de un cortocircuito en esas posiciones. Este resultado es de gran utilidad para analizar fallos en líneas de comunicaciones y es útil para forzar cortocircuitos virtuales en alta frecuencia sin necesidad de poner a masa directa una parte de un circuito.

20.1.1.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA

Bien, hemos obtenido la tensión y la corriente a lo largo de la línea. Ahora vamos a ver como varía la impedancia a lo largo de la línea. Podemos obtener la impedancia de entrada a una distancia, d, de la carga, a partir de (348) y tomando ZL=0:

Así, la impedancia en una línea sin pérdidas cargada con un cortocircuito es:



0

tan( ) tan( )tan( )

L

L oin o o

o L Z

Z jZ dZ Z jZ dZ jZ d

β ββ

=

+= =

+ (369)

Notad que esta impedancia es imaginaria pura para cualquier longitud de la línea. Y tomará

todos los valores comprendidos entre +j∞ y -j∞

La ecuación (369)nos dice que para d=0 tenemos Zin=0, mientras que para d= / 4λ (léase para una

distancia de lambda cuartos), el argumento de la tangente es 2

4 2d π λ πβ

λ= = y tenemos que la

impedancia de entrada tiende a infinito, Zin→∞ (circuito abierto).

En la Figura 65c podéis ver dibujada la susceptancia (parte imaginaria de la impedancia) de entrada a lo largo de la línea en función de la posición. Vemos que es periódica cada / 2λ (lo demostraremos en el apartado 4.3) y que cada número impar de λ/4 (λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ...) tiende a infinito.

Observad que la susceptancia puede tomar valores positivos o negativos en función de la posición, lo que quiere decir que la línea puede tener un comportamiento inductivo o capacitivo según el punto de la línea en que nos encontremos.

20.1.2. LÍNEA CARGADA CON CIRCUITO ABIERTO.

Vamos ahora a estudiar qué ocurre cuando una línea de transmisión, con impedancia característica Zo, está cargada en un extremo con un circuito abierto.

Si observáis la Figura 66 podéis ver un esquema del problema planteado. Contamos con una línea de transmisión de longitud d, terminada con un circuito abierto en z=0.

Un circuito abierto podemos considerar que tiene una impedancia infinita: ZL→∞, con lo que el coeficiente de reflexión,(326) en el plano de la carga es:

0

0

lim 1L

L

ZL

Z ZZ Z→∞

−Γ = =

+ (370)

-Z

VL

IL+-

d 0

ZL=8Zo

Z

VL

IL+-

d 0

ZL=8Zo ∞

-Z

VL

IL+-

d 0

ZL=8Zo

Z

VL

IL+-

d 0

ZL=8Zo ∞

Figura 66 Línea de transmisión de impedancia característica Zo, terminada en cortocircuito.

Y la relación de onda estacionaria (ecuación (337)) que presenta la línea tenderá a infinito: S→∞ .

20.1.2.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE

En el punto 19.1.1 obtuvimos la expresión de la tensión en función del coeficiente de reflexión (ecuación (329)):



( ) j z j zoV z V e eβ β+ − + = + Γ (371)

Y sustituyendo en esta ecuación el resultado obtenido en (370), obtendremos

1( ) 2 cos( )j z j z j z j z

o o oV z V e e V e e V zβ β β β β+ − + + − + +

Γ= = + Γ = + = (372)

Y repitiendo el proceso para la corriente ecuación (329) tenemos:

1

2( ) sin( )j z j z j z j zo o o

o o o

V V j VI z e e e e zZ Z Z

β β β β β+ + +

− + − +

Γ=

− = −Γ = − = (373)

Observad que únicamente dependen de la amplitud de la onda progresiva ya que hemos puesto la amplitud de la onda regresiva en función de la onda progresiva a través del coeficiente de reflexión.

En el plano de referencia de la carga, z=0, la tensión tiene su valor máximo, 02V + , mientras que la

corriente vale 0.

Que la corriente valga 0 en z=0 es la condición de contorno del circuito abierto (el equivalente a que la tensión fuera 0 en el caso del cortocircuito que habéis visto en el apartado 20.1.1.1). Para que se cumpla esta condición, al llegar la onda de corriente a la carga, se generará una onda de corriente regresiva de módulo igual al de la onda progresiva, pero de signo contrario.

Ejercicio: Verificad que en z=0 se genera una onda de corriente regresiva de amplitud igual a la progresiva pero de signo contrario. Podéis hacerlo de la misma forma en que vimos, en el apartado 20.1.1.1, que se generaba una onda de tensión regresiva de amplitud igual, pero de signo contrario.

Tenemos por tanto que la tensión y la corriente a lo largo de una línea de transmisión cuando

la carga es un cortocircuito son:

0( ) 2 cos( )V z V zβ+= (374)

0

0

2( ) sen( )jVI z zZ

β+

= − (375)

En el plano de referencia de la carga, z=0, la tensión vale 0 y la corriente es máxima:

0( 0) 2V z V += = (376)

( 0) 0I z = = (377)

En la Figura 67 podéis ver la onda estacionaria de tensión y corriente normalizada en la amplitud para una línea de transmisión cargada con un circuito abierto.

Observad que se producen ceros en la onda estacionaria de tensión para z=0 y cada número impar de λ/4 (léase lambda cuartos): λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ... Esto significa que si tenemos un circuito abierto, físicamente, en la carga, no sólo tenemos corriente 0 en ese punto, sino también en cada número impar de cuartos de longitud de onda, λ/4. Y en estos puntos no hay ningún cortocircuito, es decir, tenemos puntos de corriente 0 sin la presencia de un cortocircuito en esas posiciones.



Figura 67 Onda estacionaria de tensión, onda estacionaria de corriente e impedancia a lo largo de la

línea de transmisión cargada con circuito abierto. (FIGURA 2.7 pag 71 Microwave Engineering, 2

edición, John wiley & Sons, D. Pozar, ISBN 0-471-17096-8)

20.1.2.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA

Para obtener la evolución de la impedancia con la posición partiremos a partir de (348), siguiendo el mismo proceso que seguimos en el apartado 20.1.1.2.

Así, la impedancia de entrada a una distancia, d, de la carga es:

tan( ) cot( )tan( )

L

L oin o o

o L Z

Z jZ dZ Z jZ dZ jZ d

β ββ

=∞

+= = −

+ (378)

Esta impedancia también es imaginaria pura para cualquier longitud de d, y toma todos los

valores entre +j∞ y -j∞ . Por ejemplo, para d=0 la impedancia de entrada tiende a infinito

Zin→∞ (es un circuito abierto); mientras que para d= / 4λ (léase para una distancia de

lambda cuartos) la impedancia de entrada vale cero (Zin=0).

En la Figura 67 además aparece dibujada la susceptancia (parte imaginaria de la impedancia) de entrada, a lo largo de la línea en función de la posición. Vemos que es periódica cada / 2λ (lo demostraremos en el apartado 4.3).

Observad que la susceptancia puede tomar valores positivos o negativos en función de la posición. Lo que quiere decir que la línea puede tener un comportamiento inductivo o capacitivo en función de la posición.

Si comparáis el estudio de la linea de transmisión cargada con un cortocircuito y la línea de transmisión cargada con un circuito abierto podéis ver que se trata de dos casos complementarios:

Cuando la carga es un cortocircuito, sobre la carga se impone la condición de que la tensión sea cero y de forma equivalente la corriente es máxima. Como el modulo del coeficiente de reflexión vale 1, el módulo de la amplitud de la onda reflejada tendrá el mismo valor que la amplitud de la onda incidente.



Cuando carga es un circuito abierto, la condición de contorno impone que sea la corriente la que tiene que valer cero y de forma equivalente es la tensión la que toma su valor máximo sobre la carga.

20.2. PERIODICIDAD DE LA LINEA DE TRANSMISON.

En los apartados 20.1.1.2 y 20.1.2.2 hemos visto que cuando la carga de una línea de transmisión es un cortocircuito o un circuito abierto, ésta tiene un comportamiento periódico con la distancia. La pregunta que nos hacemos entonces es si este comportamiento se dará sólo en estas situaciones, o bien es un comportamiento genérico.

Esta es la pregunta que vamos a tratar de responder en este punto. Para ello, partiremos de la expresión (348) y calcularemos la impedancia en los puntos d=λ/2 (léase lambda medios) y d=λ/4 (léase lambda cuartos):

En z=0 la impedancia de entrada vale ZL. En z=−λ/2 tenemos que la impedancia vale:

2

( 0)2tan( )tan( ) 2( / 2) 2tan( ) tan( )

2

in L

L oL o

in o o Lo L d o L

Z z Z

Z jZZ jZ dZ z Z Z ZZ jZ d Z jZλ

π λβ λλ π λβ

λ=

= =

++= = = =

+ +

(379)

Donde hemos utilizado 2 /β π λ= .Es decir, en z=−λ/2 vuelve a valer ZL. Y este resultado se repetirá cada vez que nos situemos en un punto situado a un múltiplo entero de lo mitad de la longitud de onda, λ/2, es decir:

z=−λ/2, −3λ/2, −4λ/2,..., −nλ/2 con n entero.

El motivo es que para estos valores la tangente vale 0. Por tanto, la periodicidad de la impedancia no depende ni de la impedancia característica de la línea ni de la carga que pongamos: independientemente de cuál sea ésta la impedancia será periódica por definición. Es decir, será periódica porque lo es la tangente que aparece en la ecuación que nos da la impedancia de entrada. Fijaos de hecho, que hemos llegado a este resultado sin suponer ningún tipo de carga: ni cortocircuito, ni circuito abierto ni ninguna otra. Por tanto podemos decir que:

Independientemente de la impedancia característica de la línea, y de la impedancia de carga,

la impedancia de entrada de la línea de transmisión será periódica en las posiciones:

z=−nλ/2, con n=0,1,2,3,...

Es decir, la impedancia será periódica en múltiplos enteros de la mitad de la longitud de onda.

Mientras que si consideramos la impedancia de entrada a una distancia de la carga, d= / 4λ , vemos que cumple:

2

4

( 0)2tan( )tan( ) 4( / 4) 2tan( ) tan( )

4

in L

L oL o o

in o oo L Ld o L

Z z Z

Z jZZ jZ d ZZ z Z ZZ jZ d ZZ jZλ

π λβ λλ π λβ

λ=

= =

++= = = =

+ +

(380)



Lo cual quiere decir que una longitud de línea de / 4λ o cualquier múltiplo entero e impar de lambda

cuartos ( , 2 , 3 ,.... 3 ,5 ,7 ...4 2 4 2 4 2 4 4 4λ λ λ λ λ λ λ λ λ+ + + = ) se comporta como un inversor de

impedancia. Observad que la impedancia de carga aparece dividiendo en la en la expresión (380).

Por tanto la línea de longitud d= / 4 / 2nλ λ+ (línea de cuarto de onda) con ( / 2nλ , con

n=0,1,2,3,...) se comporta como un inversor o transformador de impedancias dependiendo de

las características de la línea.

Por ejemplo si la impedancia de carga vale 10LZ = Ω , a una distancia de lamba cuartos a lo largo de

una línea de transmisión de impedancia característica, 50oZ = Ω , la impedancia de entrada valdrá:

50·50( ) 2504 10inZ z λ

= = Ω = Ω .

Ejemplo 10

Una línea de transmisión de longitud 3 / 4d λ= e impedancia característica 50oZ = Ω está cargada

con una impedancia de carga de valor 33.33LZ = Ω . Calculad mediante las propiedades de

periodicidad de la línea la impedancia de entrada en el extremo de la línea.

Una línea de longitud 3 / 4d λ= , se puede interpretar como una línea de lambda cuartos más una línea de lambda medios, / 4 / 2d λ λ= + . Como la línea es periódica en lambda medios, el tramo en lambda medios no afectará a la impedancia y el conjunto se comportará como una única línea en lambda cuartos.

En este caso podemos utilizar la simplificación del inversor de la línea de lambda cuartos según (380):

2

75oin

L

ZZZ

= = Ω (381)

20.3. LINEA DE TRANSMISIÓN CARGADA CON LÍNEA DE

TRANSMISIÓN

Una situación que se da a menudo es conectar una línea de transmisión a otra, que puede ser igual o diferente. ¿Cómo afecta a una línea la conexión de otra? ¿Cómo podemos estudiar este caso?

Observad que con el modelo de línea de transmisión podemos modelar la situación de una onda transversal

electromagnética que viaja por el medio vacío y que pasa a propagarse por un medio con características diferentes.

Bien, podríamos modelar esta situación con dos líneas de impedancias características diferentes.



Una forma de responder a estas preguntas es considerar que la segunda línea de transmisión es, desde el punto de vista de la primera, una carga con una cierta impedancia (que será la impedancia característica de la segunda línea). De esta manera podemos estudiar este caso aplicando las técnicas que hemos visto en este módulo.

Consideraremos el caso más general en el que ambas líneas de transmisión son distintas y, por tanto, tienen impedancias características distintas. Es decir, consideraremos el caso en que cargamos una línea de transmisión con impedancia característica Zo, con otra línea de transmisión de impedancia característica diferente, Z1.

En la Figura 68 tenéis representada esquemáticamente esta situación. A través de la línea de transmisión A viaja una onda de tensión. Al llegar al plano de cambio de línea, en z=0, encuentra una línea de transmisión B con impedancia característica diferente. Entonces una parte de la onda se transmite a la segunda línea, y otra parte se refleja.

Fijaos en que este comportamiento es exactamente el mismo que habíamos visto en el apartado 19.1.1. Donde si la línea se cargaba con una impedancia de carga Z1, una parte de la onda se reflejaba. En este caso hay, sin embargo, una novedad: dado que la carga es, en realidad otra línea de transmisión, la parte de la onda que no se refleja se transmite.

z = 0z = -d

Z o Z 1L ín e a A L ín e a B

in c id e n tere f le ja d a tra n s m it id a

z = 0z = -d

Z o Z 1L ín e a A L ín e a B

in c id e n tere f le ja d a tra n s m it id a

Figura 68 Línea de transmisión de impedancia característica Zo cargada con línea de transmisión de

longitud infinita e impedancia característica Z1.

Por otro lado, ¿qué pasaría si la línea de transmisión B estuviera, a su vez, conectada a otra carga? Pues que aparecería una onda reflejada, que llegaría hasta la línea de transmisión A. En nuestro estudio queremos ver cómo afecta a la línea A la presencia de la línea B, por lo que no nos interesa tener estas ondas reflejadas provenientes del final de la línea B. Esta situación se dará cuando se cumpla para la línea B cualquiera de las siguientes situaciones:

La línea de carga B es infinitamente larga.

La carga que hay al final de la línea B tiene impedancia igual a la impedancia característica de la línea B (mirad el apartado 19.1.2, en particular la ecuación del coeficiente de reflexión, ecuación (326)).

En nuestro caso consideraremos que la línea de transmisión B es infinitamente larga.

Así pues, consideraremos el caso de una línea de transmisión, A, de impedancia característica, Z0, que se carga con una línea de transmisión, B, de longitud infinita, de impedancia característica ZL≠ Z0.

Empezaremos estudiando la situación en la línea A, es decir, en z<0. En ella tenemos una onda incidente (progresiva) y una onda reflejada (regresiva). Esta situación ya la estudiamos en el apartado 17.2.4, donde vimos que la expresión de la tensión total venía dada por la ecuación (329), que reproducimos aquí:

Donde:



zjincidente eVzV β−+= 0)( (382)

Correspondía a la onda incidente, y:

zjreflejada eVzV βΓ= +

0)( (383)

Correspondía a la onda reflejada.

El coeficiente de reflexión, Γ, venía dado por la ecuación (326), que también reproducimos aquí:

1

1

o

o

Z ZZ Z−

Γ =+

(384)

Hasta aquí no cambia nada con respecto a lo que ya habíamos visto, lo cual era esperable ya que cuando llevamos a cabo el estudio correspondiente consideramos una carga cualquiera, ZL, sin preocuparnos de lo que era realmente esa carga (una resistencia, un dispositivo, otra línea de transmisión, etc).

En cuanto a la línea B, en ella tenemos una onda que se ha transmitido. Y se trataría ahora de caracterizar esa onda, y relacionarla con la onda incidente, como hicimos con la onda reflejada, ya que la onda incidente es la que conocemos.

Para obtener la onda transmitida seguiremos, de hecho, un razonamiento análogo al que seguimos para la onda reflejada. De la ecuación (385), vemos que la onda reflejada es la onda incidente multiplicada por un coeficiente de reflexión, Γ; es decir, la onda reflejada es una fracción de la onda incidente. De la misma forma, supondremos que la onda transmitida a la línea B será una fracción de la onda incidente; es decir, será la onda incidente multiplicada por un coeficiente que llamaremos coeficiente de transmisión y que representaremos por la letra T.

Por tanto, para z<0, tenemos que la onda vendrá representada por:

( ) j z j zoV z V e eβ β+ − + = + Γ (385)

Mientras que para z>0:

( ) j zoV z V Te β+ −= (386)

dado que en z=0 la tensión tendrá el mismo valor, tanto si la calculamos con (385), como si la calculamos con (386), tenemos que:

0 0 0j j jo oV e e V Teβ β β+ − + − + Γ = (387)

De donde:

1 1

1 1

21 1 o

o o

Z Z ZTZ Z Z Z−

= +Γ = + =+ +

(388)

Donde hemos utilizado la definición del coeficiente de reflexión calculado en (384).

Vamos a ver si este resultado tiene sentido. Para ello nos iremos a los dos valores límites de, Γ:

Si Γ=−1 (cortocircuito, apartado 20.1.1), habíamos visto que la onda reflejada tenía la misma amplitud que la incidente. Si sustituimos este valor en (388) tenemos que T=0, lo que significa que no hay onda transmitida (mirad la ecuación (386) con T=0). Es decir, si Γ=−1 se refleja toda la onda incidente y no se transmite nada a la línea de transmisión B.



Si Γ toma su módulo mínimo Γ=0 (circuito abierto, 20.1.2), habíamos visto que la onda reflejada tenía amplitud 0, es decir, no había onda reflejada. Si sustituimos este valor en (388) tenemos que T=1, lo que significa que toda la onda incidente se transmite a la línea B.

Fijaos por tanto que de la onda incidente, una parte se refleja y el resto se transmite.

Por tanto:

El coeficiente de transmisión T permite conocer la amplitud de la onda transmitida a partir de

la amplitud de la onda incidente, y cumple que:

1=Γ+T (389)

Donde Γ es el coeficiente de reflexión e indica la fracción de la amplitud de la onda incidente

que se refleja. Toma valores comprendidos entre −1 y 1: −1 ≤ Γ≤ 1.

Y T es el coeficiente de transmisión e indica la fracción de la ampltitud de la onda incidente

que se transmite. Toma valores entre 0 y 1: 0 ≤ T≤ 1.

Dado que Γ y T suman siempre 1 en virtud de (389), podemos decir que la onda incidente se

“divide” en onda reflejada y onda transmitida.

Frecuentemente este factor se expresa en decibelios y recibe el nombre de pérdidas de inserción (del inglés Insertion Loss):

1020 log | |IL T= − (390)

Por último es interesante destacar que esta situación es totalmente análoga a la estudiada en el tema de ondas para el caso de incidencia normal al plano de separación entre dos medios dieléctricos de la onda electromagnética. En este caso, las impedancias de los medios A y B están modeladas con las impedancias características de las líneas de transmisión A y B, respectivamente.

Con la formulación desarrollada simplificamos la notación, al asociar la onda de tensión al campo eléctrico y la onda de corriente al campo magnético. De esta manera, podemos plantear cualquier problema de cambio de medio desde la perspectiva del análisis de las líneas de transmisión.

20.4. DESADAPTACIÓN DE CARGA Y GENERADOR.

Hasta ahora se ha tratado la línea de transmisión asumiendo que el generador estaba adaptado, por lo que no existen reflexiones en el generador.

Consideramos un circuito genérico con impedancia de carga y fuente genérica, que además pueden ser complejas..



La expresión general de la onda de tensión a lo largo de la línea,

( ) j z j zo LV z V e eβ β+ − + = + Γ (391)

En Z=-l, la onda de tensión debe coincidir con el divisor de tensión formado por Zg y Zin, por lo que se plantea la siguiente igualdad

( ) ( ) ( )2( )

1 1 ( )j l j l j l j l j ling o L o L o inz l

g in

z lZV V V e e V e e V e

Z Zβ β β β β+ + − + − +

=−= −= = +Γ = +Γ = +Γ

+ (392)

que permite poner la amplitud de la onda de tensión progresiva en función de la amplitud de la señal del generador.

La potencia entregada a la carga se puede calcular según

2

2_ 2

| |1 1Re[| | ] Re[ ]2 2 | |

gentregada carga in in

in g

VP I Z Z

Z Z= =

+ (393)

Si consideramos una impedancia de generador y de carga genérica y compleja del tipo Z=R+jX,

2_ 2 2

1 | |2 ( ) ( )

inentregada carga g

in g in g

RP VR R X X

=+ + +

(394)

En condiciones de carga adaptada, ZL=Zo

2_ 2 2

1 | |2 ( ) ( )

oentregada carga g

o g g

ZP VZ R X+ +

(395)

En condición de fuente adaptada, se escoge la longitud de la línea y la impedancia característica para cumplir Zin=Zg,

( )

2_ 2 2

1 | |2 4 ( ) ( )

gentregada carga g

g g

RP V

R X+ (396)

En esta condición no hay reflexión en el generador pero puede haber onda estacionaria creada en la carga.

Si se considera que la impedancia de generador es fija, se puede plantear cual debe ser el valor de la impedancia de entrada que maximiza la potencia entregada a la carga, el resultado se puede concretar fácilmente derivando la expresión con respecto la parte real e imaginaria de la impedancia de entrada llegando a la conocida relación de adaptación conjugada, que establece

*in g in g in gZ Z R R X X= ⇔ = = − (397)



Resultando el cumplimiento de la adaptación conjugada en un máximo de transferencia de potencia a la carga.

2_

1 1| |2 4entregada carga g

g

P VR

(398)

Físicamente significa que la suma de reflexiones en fase puede ser tal, que se transfiera más potencia a la carga que la entregada si la línea presentara ausencia de reflexiones.

Si el generador es real, Xg=0, la condición de adaptación conjugada se consigue adaptando la impedancia de generador a la impedancia de la línea.

Por último observar que ni un diseño orientado a reflexión cero (ZL=Zo), ni adaptación conjugada (Zin=Zg*), necesariamente lleva a un sistema con la mejor eficiencia (Zg=ZL=Zo), solo la mitad de la potencia será entragada a la carga.

Ejemplo 11

Para el circuito de la Figura 69, calculad:

a) El coeficiente de reflexión en la carga (Γ ), el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea ( inΓ ) y la

impedancia de entrada a la línea en z=-d.

b) La expresión de la onda de tensión y de la onda de corriente, V(z) e I(z), en función de la tensión de generador, Vg.

La línea de transmisión es de longitud 3 / 4d λ= (léase tres lamba cuartos)

z=0z=-d

50

34

oZ

d λ= Ω

=33.33LZ = Ω

75gZ = Ω

Vg

z=0z=-d

50

34

oZ

d λ= Ω

=33.33LZ = Ω

75gZ = Ω

Vg

Figura 69 Esquema circuital a analizar en el

El coeficiente de reflexión en la carga, (326), lo obtenemos mediante la expresión:

0.2L o

L o

Z ZZ Z

−Γ = = −

− (399)

El coeficiente de reflexión podemos desplazarlo a lo largo de la línea mediante la generalización de la definición como hicimos en la expresión (345):

2 2( )j z

j d j do oin j z

o oz d

V e Vd e eV e V

ββ β

β

− + −− −

+ − +=−

Γ − = = = Γ (400)



Así pues, para los datos del problema en cuestión obtenemos:

2 32· 343( ) 0.2 0.2 0.2

4j j

in z e eπ λ

πλλ − −Γ = − = − = − = (401)

A partir de (400) y (401) substituyéndolas en la expresión que relaciona la impedancia de entrada desplazada en función del coeficiente de reflexión, (347), obtenemos la impedancia de entrada a una distancia z=-d, resultando:

1 ( ) 1 0.2( ) 50 751 ( ) 1 0.2

inin o

in

z dZ z d Zz d

+Γ = − += − = = = Ω

−Γ = − − (402)

Observad que podríamos haber utilizado directamente la expresión (348) para el cálculo de la impedancia de entrada de la línea:

33.33

3 / 4

tan( ) 75tan( ) L

L oin o

Zo Ld

Z jZ dZ ZZ jZ d

λ

ββ = Ω

=

+= = Ω

+ (403)

La expresión de la onda de tensión, (323) a lo largo de la línea es en función del coeficiente de reflexión calculado en el plano de referencia de la carga (z=0), Γ :

( ) ( )j z j z j z j zo o oV z V e V e V e eβ β β β+ − − + + − += + = + Γ (404)

Sacando factor común al término j ze β− podemos rescribir (404) de la forma siguiente.

2( ) (1 )j z j zo LV z V e eβ β+ −= + Γ (405)

Donde podremos expresar la onda de tensión en términos del coeficiente de reflexión a lo largo de la línea (todos estos pasos ya los vimos en los apartados de teoría).

2( ) (1 ) (1 ( ))j z j z j zo L o inV z V e e V e zβ β β+ − + −= + Γ = +Γ (406)

El coeficiente de reflexión solo depende de la impedancia de carga y de la impedancia característica. Por lo tanto para resolver completamente el problema solo falta encontrar una relación entre la amplitud de la onda incidente, oV + y la tensión de generador (Vg).

Podemos fijar una condición de contorno en el plano del generador de forma que, podremos obtener dicha relación si igualamos la tensión a lo largo de la línea, (V(z)), evaluada en (z=-d), con la tensión que entrega el generador a partir del divisor de tensión de la Figura 70, donde la impedancia de entrada es la impedancia de carga desplazada a través de la línea de transmisión.

z=0z=-d

( )inZ z d= −

75gZ = Ω

Vg

( ) ing

in g

ZV z d VZ Z

= − =+

z=0z=-d

( )inZ z d= −

75gZ = Ω

Vg

z=0z=-d

( )inZ z d= −

75gZ = Ω

Vg

( ) ing

in g

ZV z d VZ Z

= − =+

Figura 70 Esquema resultante de desplazar la impedancia de carga a través de una línea de transmisión.

Es decir podemos establecer la siguiente identidad; igualando la tensión a lo largo de la línea evaluada en z=-d y la tensión que obtenemos a partir del divisor de tensión:



( )( )

( )in

gin g

Z z dV z d VZ z d Z

= −= − =

= − + (407)

De forma que deberá cumplirse la igualdad:

( ) ( ) (1 ( ))

( )j din

g o inin g

Z z dV V z d V e z dZ z d Z

β+= −= = − = + Γ = −

= − + (408)

Una vez hemos planteado la solución del problema vamos a reseguir los pasos resolviendo el problema.

Así pues si sustituimos en la igualdad (408) los datos y resultados parciales obtenidos en (401) para el coeficiente de reflexión y (402) para la impedancia de entrada podremos poner la amplitud de la onda de tensión progresiva ( oV + ) en función de la tensión de generador ( gV ).

2 3

4575 ( 3 / 4) (1 0.2)

75 75 12j g

g o o

VV V z V e V j

π λλλ + += = − = + → =

+ (409)

De forma que finalmente se puede expresar la onda de tensión, (406), a lo largo de la línea substituyendo la amplitud de la onda progresiva obtenida en (409) y la expresión del coeficiente de reflexión obtenida en (399)según:

25( ) (1 0.2 )

12g j z j zV

V z j e eβ β−= − (410)

Equivalentemente para la onda de corriente obtenida en (329):

25( ) (1 0.2 )

12g j z j z

o

VI z j e e

Zβ β−= + (411)

Ejemplo 12

Una línea de transmisión convenientemente cargada puede ser utilizada para sintetizar una inductancia de 10 nH a una frecuencia de f=1 GHz. Calculad los parámetros de la línea y la impedancia de carga utilizada.

Una línea de transmisión cargada con un cortocircuito presenta una impedancia de la forma (369):

0

tan( ) tan( ) tan( )tan( )

L

L oin o o o

o L Z

Z jZ dZ Z jZ d jZ dZ jZ d c

β ωββ

=

+= = =

+ (412)

Expresión que podéis identificar con la impedancia de una bobina:

bobina LZ jX j Lω= = (413)

Fijada la impedancia característica de la línea de transmisión a 50 Ω , e igualando las dos expresiones, (412) y (413), se obtiene la distancia de la línea de transmisión que permite sintetizar el valor de la inductancia deseada.

22 tan( )ofL Z dππλ

= (414)

Así se obtiene 0, 24dλ= , que a la frecuencia de funcionamiento de 1 GHz equivale a una distancia de

d=74,22 mm.



Ejemplo 13

Se busca adaptar una impedancia de valor ZL=35+j15 Ω con una estructura del tipo mostrado en la Figura 71. Obtened los parámetros de las líneas.

35 15LZ j= + Ω50

?oZ

d= Ω=

?/ 4

aZd λ

==

Figura 71 Esquema circuital para analizar en el

Adaptar una impedancia no es más que construir una esquema que permita ver una impedancia de

entrada igual a 50Ω , ya que esta es la impedancia de referencia. De esta forma el coeficiente de

reflexión calculado en ese punto siempre será igual a cero. No habrá ondas reflejadas.

El procedimiento de adaptación está fijado al tener una línea en cuarto de onda que permite aplicar la propiedad de inversión de impedancia. Pero si queremos que la inversa de una impedancia sea un valor real ( 50inZ = Ω ), la impedancia a invertir también tiene que ser real.

Por ello la longitud, d, de la otra línea de transmisión debe ser tal que permita la anulación de la parte imaginaria del coeficiente de reflexión, lo que equivale a decir que tendremos una impedancia de carga real.

El coeficiente de reflexión en el plano de la carga es a partir de (326):

2,1835 15 50 0,14 0,20 0,24635 15 50

jL o

L o

Z Z j j eZ Z j

− + −Γ = = = − + =

+ + + (415)

Si desplazáis el coeficiente de reflexión, como en (345), a lo largo de la línea una distancia, d cualquiera, obtenemos:

2 2,18 2 (2,18 2 )( ) 0,246 0,246j z

j d j j d j do oin j z

o oz d

V e Vd e e e eV e V

ββ β β

β

− + −− − −

+ − +=−

Γ − = = = = (416)

Para poder disponer de una impedancia real, deberemos contar con un coeficiente de reflexión real, de forma que la distancia tiene que ser tal que el argumento de la exponencial sea 0 o π para que no sea un número complejo.

Así pues si tomamos la igualdad:

22,18 2 2,18 2 0d dπβλ

− = − = (417)

Podemos resolver que la distancia de la línea necesaria para tener un coeficiente de reflexión real es:



0,173dλ= (418)

Para esta longitud, la impedancia de entrada resultante la podemos obtener a partir de (347):

1 ( 0,173 ) 1 0,246( 0,173 ) 50 82,61 ( 0,173 ) 1 0,246

inin o

in

zZ z Zz

λλλ

+Γ =− +=− = = = Ω

−Γ =− − (419)

Ahora, aprovechando la propiedad de la línea en cuarto de onda como inversor de impedancias podemos resolver a partir de (380):

2

50·82,59 64,26ain a in L

L

ZZ Z Z ZZ

= → = = = Ω (420)



20.4.1. PROBLEMAS

Problema 9

Una línea de transmisión de impedancia característica 50Ω , está cargada con una impedancia de valor

50 25Z j= + Ω . Calculad el coeficiente de reflexión en el plano de la carga.

El coeficiente de reflexión en la carga, z=0, lo podemos obtener mediante el cociente de la amplitud de la onda reflejada entre la amplitud de la onda incidente, expresada en términos de un cociente de impedancias según (326):

0.4250 25 50 0,059 0,235 0,2450 25 50

jo L o

o L o

V Z Z j j eV Z Z j

π−

+

− + −Γ = = = = + =

+ + + (421)

Problema 10

Para el caso del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. si sobre la carga incide una onda

de tensión de amplitud 2V y fase -45º. Calculad el valor de la amplitud de la onda reflejada.

A partir de la propia definición del coeficiente de reflexión, la amplitud de la onda relejada la calculamos multiplicando la amplitud de la onda incidente por el coeficiente de reflexión calculado en z=0, ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

/ 4 0,42 0,1722 0,24 0,48j j jL oo o L o

L o

Z ZV V V e e eZ Z

π π π− + + −−= Γ = = =

+ (422)

Problema 11

Para el ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., obtened el nivel de potencia de la onda progresiva y regresiva. Y el nivel de potencia disipada en la carga.

La potencia de la onda progresiva la calculamos a partir de la definición expresada en (356)

2

/ 4 2| |1 1 | 2 | 40mW2 100

jo

o

VP eZ

π+

+ −= = = (423)

La potencia de la onda regresiva la calculamos a partir de la definición expresada en (356)

2

0,172 2| |1 1 | 0, 48 | 2, 4 mW2 100

jo

o

VP eZ

π−

+ = = = (424)

La potencia disipada en la carga, la podemos calcular mediante la definición expresada en (356) o directamente con la diferencia entre ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. y ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

2

2| |1 1 | | 37,6 mW2

o

o

VP P PZ

++ − = − = − Γ = (425)

Problema 12



Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , está cargada con una impedancia de valor 50 25Z j= + Ω . Calculad la relación de onda estacionaria. Calculad la amplitud máxima y mínima

de la onda estacionaria generada considerando los datos del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

La relación de onda estacionaria la obtenemos a través del cociente entre la tensión máxima mínima de la onda estacionaria a lo largo de la línea expresada en términos del coeficiente de reflexión (337).

max

min

1 | | 1,641 | |

VVSWR SV

+ Γ= = = =

− Γ (426)

La tensión máxima y mínima a lo largo de la línea la obtenemos a partir de las expresiones (335) y (336) respectivamente.

( )max | | 1 | | 2, 485 VoV V += + Γ = (427)

( )min | | 1 | | 1,515 VoV V += − Γ = (428)

Problema 13

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , está cargada con una impedancia de valor 50 25Z j= + Ω . Calculad el coeficiente de reflexión a una distancia de la carga / 8d λ= (léase

lamda octavos).

El coeficiente de reflexión a la entrada de una línea a una distancia d de la carga se obtiene desplazando el coeficiente de reflexión calculado en la carga mediante la expresión (345) (este resultado está obtenido en ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.).

2 0.078( / 8) 0,24j d jz e eβ πλ − −Γ = − = Γ = (429)

Problema 14

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω , está cargada con una impedancia de valor 50 25Z j= + Ω . Calculad el coeficiente de reflexión a una distancia de la carga / 8d λ= .

Podemos calcular la impedancia a la entrada de una línea de transmisión a partir de la expresión (347), substituyendo el resultado obtenido en ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

1( ) 80 10

( ) 1in

in oin

V dZ Z jI d

+Γ−= = = − Ω

− −Γ (430)

Problema 15

Obtener la expresión de la onda de tensión en función de z, en la línea de transmisión del esquema circuital de la Figura 55.



z=0z=-d

50

34

oZ

d λ= Ω

=16.6LZ = Ω

150gZ = Ω

Vg

z=0z=-d

50

34

oZ

d λ= Ω

=16.6LZ = Ω

150gZ = Ω

Vg

Figura 72 Esquema circuital del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

La expresión de la onda de tensión, (323) a lo largo de la línea es en función del coeficiente de reflexión calculado en el plano de referencia de la carga (z=0), Γ :

( ) ( )j z j z j z j zo o oV z V e V e V e eβ β β β+ − − + + − += + = + Γ (431)

Sacando factor común al término j ze β− podemos rescribir (404) de la forma siguiente.

2( ) (1 )j z j zo LV z V e eβ β+ −= + Γ (432)

Donde podremos expresar la onda de tensión en términos del coeficiente de reflexión a lo largo de la línea (todos estos pasos ya los vimos en los apartados de teoría).

2( ) (1 ) (1 ( ))j z j z j zo L o inV z V e e V e zβ β β+ − + −= + Γ = +Γ (433)

El coeficiente de reflexión solo depende de la impedancia de carga y de la impedancia característica. Por lo tanto para resolver completamente el problema solo falta encontrar una relación entre la amplitud de la onda incidente, oV + y la tensión de generador (Vg).

Podemos fijar una condición de contorno en el plano del generador de forma que, podremos obtener dicha relación si igualamos la tensión a lo largo de la línea, (V(z)), evaluada en (z=-d), con la tensión que entrega el generador a partir del divisor de tensión formado entre la impedancia de entrada, que es la impedancia de carga desplazada a través de la línea de transmisión y la impedancia de generador.

Aplicando la teoría de circuitos clásica en el plano del generador resolvemos el divisor de tensión que permite resolver el valor de la amplitud de la ona progresiva en función de la tensión de generador:

( )( )

( )in

gin g

Z z dV z d VZ z d Z

= −= − =

= − + (434)

Fijamos la condición de contorno para obtener el valor de la amplitud de la tensión de la onda progresiva de forma que se cumple:

( ) ( ) (1 ( ))

( )j din

g o inin g

Z z dV V z d V e z dZ z d Z

β+= −= = − = + Γ = −

= − + (435)

Planteado el problema, pasamos a resolverlo. El coeficiente de reflexión en el plano de la carga lo obtenéis mediante:



0.5L o

L o

Z ZZ Z

−Γ = = −

− (436)

Mientras que el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea de transmisión podéis obtenerlo desplazando el coeficiente de reflexión obtenido en la carga,¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., mediante el término de fase.

2 2( )j z

j d j do oin j z

o oz d

V e Vz d e eV e V

ββ β

β

− + −− −

+ − +=−

Γ = − = = = Γ (437)

Así pues el coeficiente de reflexión a una distancia 34

d λ= es:

2 32· 343( ) 0.5 0.5 0.5

4j j

in z e eπ λ

πλλ − −Γ = − = − = − = (438)

y por tanto la impedancia de entrada a una distancia 34

d λ= , resulta substituyendo

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.:

1 ( ) 1 0.5( ) 50 1501 ( ) 1 0.5

inin o

in

z dZ z d Zz d

+Γ = − += − = = = Ω

−Γ = − − (439)

Observar que podríamos haber utilizado directamente la siguiente expresión:

16.6

3 / 4

tan( ) 150tan( ) L

L oin o

Zo Ld

Z jZ dZ ZZ jZ d

λ

ββ = Ω

=

+= = Ω

+ (440)

O incluso la propiedad de periodicidad de la línea en / 2λ , de forma que la línea de transmisión se comporta como una línea de / 4λ , y utilizar la simplificación del inversor de la línea de cuarto de onda según:

2

150oin

L

ZZZ

= = Ω (441)

Ahora podemos plantear la igualdad entre la tensión en la línea calculada para z=-d y el divisor de tensión formado entre la impedancia de entrada a la línea en z=-d y la impedancia de generador.

2 34150 ( 3 / 4) (1 0.5)

150 150 3j

oo o o

VV V z V e V jπ λλλ + += = − = + → =

+ (442)

De forma que finalmente obtenemos substituyendo la amplitud de la onda progresiva obtenida en ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., y el coeficiente de reflexión calculado en la carga, ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., en la expresión general de la onda de tensión a lo largo de la línea, ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

2( ) (1 0.5 )3

j z j zoVV z j e eβ β−= − (443)

Equivalentemente para la onda de corriente.



2( ) (1 0.5 )3

j z j zo

o

VI z j e eZ

β β−= + (444)

Problema 16

Contamos con una línea de transmisión con impedancia característica Zo=300 Ω. Se ha medido la forma de onda a lo largo de la línea obteniendo una relación de onda estacionaria de VSWR=5 y donde la Vmax=150 V. Calculad la potencia incidente y entregada a la carga.

Z

0

ZLZo

Z

0

ZLZLZo

Figura 73 Esquema del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

La potencia disipada en la carga se puede expresar como la diferencia de la potencia incidente y la potencia reflejada como vimos en (356).

22 21(1 ) (1 )

2L oo

P P P P VZ

+ − + += − = − Γ = − Γ (445)

La onda estacionaria generada por la reflexión de la onda incidente en la carga no adaptada, producirá máximos de tensión de valor, (335).

( )max1 | |o o o LV V V V+ − += + = + Γ (446)

y mínimos de tensión de valor, (336)

( )min1 | |o o o LV V V V+ − += − = − Γ (447)

Así pues la relación de onda estacionaria de tensión la podéis obtener dividiendo ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. entre ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. para expresarla únicamente en función del coeficiente de reflexión. Despejando el coeficiente de reflexión en términos de la relación de ond estacionaria obtenemos:

max

min

| | 1 | | 1 2| || | 1 | | 1 3

LL

L

V SSV S

+ Γ −= = → Γ = =

− Γ + (448)

Conocido el módulo del coeficiente de reflexión podemos obtener el valor de la amplitud de la onda progresiva a partir de ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

( )

max 150 90V1 | | 5 / 3o

L

VV + = = =

+ Γ (449)



Por lo tanto la potencia de la onda progresiva será a partir de (356):

2 21 1 90 81W

2 2·50o

P VZ

+ += = = (450)

Y la potencia disipada en la carga a partir de (356):

2 4(1 ) 81(1 ) 45W

9LP P+= − Γ = − = (451)

Problema 17

Un transmisor con impedancia de fuente 50 Ω y potencia disponible de valor 30 W, se conecta mediante una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω, a una antena con impedancia de entrada Zin=80+j40 Ω. Calculad la potencia transmitida (‘disipada’) en la antena.

Si interpretamos la antena desde un punto de vista circuital, la potencia disipada en la impedancia equivalente de antena será la potencia que radiará la antena.

El coeficiente de reflexión en el plano de la antena lo calculamos a partir de (326):

0,280 40 50 0,3 0,216 0,780 40 50

jL o

L o

Z Z j j eZ Z j

π− + −Γ = = = + =

+ + + (452)

La potencia disipada en la carga se puede expresar como la diferencia de la potencia de la onda incidente y la potencia de la onda reflejada, (356)..

2 2(1 ) 30(1 | 0,3676 | ) 26WLP P P P+ − += − = − Γ = − = (453)

Problema 18

Considerando el circuito mostrado en la figura, calculad la impedancia de entrada y el coeficiente de reflexión a la entrada.

75

2

oZ

d λ= Ω

=1 100LZ = Ω

50

4

oZ

d λ= Ω

=2 25LZ = Ω

50oZd

= Ω

75

2

oZ

d λ= Ω

=1 100LZ = Ω

50

4

oZ

d λ= Ω

=2 25LZ = Ω

50oZd

= Ω


Primero trasladaremos la impedancia de carga de valor 100 Ω al plano de referencia de la división a través de la línea de transmisión de impedancia característica 75 Ω, directamente podéis utilizar la propiedad de periodicidad de la línea en media onda de forma que a la entrada de la línea la impedancia de entrada será exactamente igual a la impedancia de carga.

Matemáticamente podéis utilizar la expresión general de la impedancia de entrada a lo largo de una línea de transmisión, (379).



100/2

tan( ) tan( ) 100tan( ) tan( )L

L o L oin o o L

Zo L o Ld

Z jZ d Z jZZ Z Z ZZ jZ d Z jZ

λ

β πβ π= Ω

=

+ += = = = Ω

+ + (454)

En segundo lugar trasladaremos la impedancia de carga de valor 25 Ω al plano de referencia de la división, a través de la línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω, directamente podéis utilizar la propiedad de inversión de la línea en cuarto de onda ,(380), de forma que a la entrada de la línea la impedancia de entrada será:

2

oin

L

ZZZ

= (455)

Matemáticamente podéis utilizar la expresión general de la impedancia de entrada a lo largo de una línea de transmisión,(380).

2

25/4

tan( ) tan( /2) 100tan( ) tan( /2)L

L o L o oin o o

Zo L o L Ld

Z jZ d Z jZ ZZ Z ZZ jZ d Z jZ Z

λ

β πβ π= Ω

=

+ += = = = Ω

+ + (456)

De forma que en el plano de la división contaremos con dos impedancias de valor 100Ω en paralelo, es decir, 50 Ω.

d, Zo=50Ω

Z L1=

100 Ω

Z L2=

100 Ω

d, Zo=50Ω

Z L1=

100 Ω

Z L2=

100 Ω

Figura 75 Resultado parcial obtenido en la traslación de las impedancias de carga al plano de la

división (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.)

Una línea de transmisión de impedancia característica 50 Ω, cargada con una impedancia de carga de 50 Ω, presenta un coeficiente de reflexión a lo largo de la línea de 0 o equivalentemente la impedancia a lo largo de la línea es 50Ω., independientemente de la distancia, d.

Problema 19

Se busca adaptar una impedancia de valor ZL=35-j15 Ω con una estructura del tipo de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. Obtener los parámetros de las líneas.

35 15LZ j= − Ω50

?oZ

d= Ω=

?/ 4

aZd λ

==




El procedimiento está fijado al tener una línea en cuarto de onda que permite aplicar la propiedad de

inversión de impedancia, limitado al caso de impedancia de carga real. Por ello la longitud, d, de la otra

línea de transmisión debe ser tal que permita la anulación de la parte imaginaria del coeficiente de

reflexión lo que equivale a disponer de una impedancia de carga real. La solución de un problema

totalmente equivalente la tenéis detallada en el

1 ( 0.124 )( 0.124 ) 20.711 ( 0.124 )

inin o

in

zZ z Zz

λλλ

+Γ = −= − = = Ω

−Γ = − (457)

2

50*20.71 32.18ain a in L

L

ZZ Z Z ZZ

= → = = = Ω (458)



Lección 21

21. ANÁLISIS DE LOS CAMPOS EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

En los apartados anteriores hemos resuelto la línea de transmisión mediante un modelo circuital de elementos concentrados. Esto nos ha permitido ver cómo se comporta la onda en la línea de transmisión y obtener los coeficientes de reflexión y transmisión, y la impedancia a lo largo de la línea.

Sin embargo, aún no hemos obtenido los parámetros circuitales del modelo de la línea de transmisión: la capacidad, la autoinducción, etc. Eso es precisamente lo que haremos en este apartado.

Para llevar a cabo esta tarea partiremos del análisis de los campos estáticos en una sección transversal de la línea de transmisión.

Los cálculos implicados en esta parte son complejos y están más allá del objetivo de la asignatura, por lo que nos limitaremos a presentar sólo el procedimiento de cálculo y los resultados.

Así, este último apartado debéis de considerarlo como un texto de consulta, donde podéis encontrar las relaciones entre los parámetros del modelo circuital de la línea de transmisión, y las geometrías de las estructuras.

En el apartado 21.1 describiremos la formulación general para el cálculo de los parámetros circuitales correspondientes al modelo de línea de transmisión. A continuación, en el apartado 21.2, particularizaremos los resultados obtenidos para un conjunto de líneas de especial relevancia: la línea coaxial, la línea microstrip y la línea stripline.

21.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN.

Consideraremos primero una línea de transmisión de 1 m de longitud y sección uniforme con los campos de forma genérica orientados según la Figura 77, donde S es la superficie transversal de la línea de transmisión y C1 y C2 los contornos de los dos conductores que la construyen.

Figura 77 Distribución genérica del campo eléctrico y magnético para una sección transversal de una

línea de transmisión genérica.

Queremos encontrar la inductancia equivalente de la línea, L, y la capacidad equivalente de la línea, C, que vimos en el modelo circuital de la línea de transmisión (apartado 17.2.1). Dado que lo que conocemos dentro de la línea es la onda electromagnética y, por tanto, los campos eléctrico y magnético, deberemos encontrar la autoinductancia, la capacidad, la resistencia y la conductividad equivalente de la línea en función de esos campos. Eso es precisamente lo que vamos a hacer en los apartados 21.1.1 y 21.1.2.



21.1.1. CÁLCULO DE LA AUTOINDUCTANCIA Y LA CAPACIDAD EN

FUNCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO.

Podemos obtener la energía magnética media por unidad de longitud, Wm, mediante la integral de superficie del vector campo magnético calculada sobre la superficie de la sección transversal de la línea de transmisión.

*

4mS

W H H dsµ= ∫ (459)

De teoría de circuitos se puede deducir, por otro lado, que la energía almacenada en un inductor, Wm, por el que circula una corriente Io es:

2| | / 4m oW L I= (460)

Igualando la expresión (459) y la expresión (460) podéis obtener la expresión de la

autoinductancia de la línea por unidad de longitud.

[ ]*

2 H/m| |o S

L H H dsIµ

= ∫ (461)

que corresponde a la inductancia por unidad de longitud en función del campo magnético de

la línea. Las unidades serán por tanto H/m (henrios por metro).

Por otro lado, podemos obtener la energía eléctrica media por unidad de longitud, We, mediante la integral de superficie del vector campo eléctrico, calculada sobre la superficie de la sección transversal de la línea de transmisión.

*

4eS

W EE dsε= ∫ (462)

La teoría de circuitos establece que la energía eléctrica almacenada en un condensador con una tensión entre placas de valor Vo es:

2| | / 4e oW C V= (463)

Igualando la expresión (462) y la expresión (463) obtenemos la expresión de la capacidad por

unidad de longitud de forma que:

[ ]*

2 F/m| |o S

C EE dsVε

= ∫ (464)

que corresponde a la capacidad por unidad de longitud en función del campo eléctrico de la

línea. Las unidades serán por tanto F/m (faradios por metro).

Así pues, hemos visto que integrando las expresiones del campo eléctrico y magnético obtenidas en condiciones de estática para las geometrías en cuestión obtenemos la capacidad y la inductancia distribuida por unidad de longitud.



21.1.2. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA Y LA CONDUCTIVIDAD EN

FUNCIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO.

Un procedimiento similar permite obtener las expresiones para la resistencia y conductividad de la línea de transmisión.

De forma que la resistencia por unidad de longitud la podemos obtener del cálculo de la

circulación del campo magnético a lo largo del contorno de la línea de transmisión:

[ ]1 2

*

2 Ω/m| |

s

o C C

RR H H dlI +

= ∫ (465)

Donde RS es la resistencia superficial de los conductores por unidad de longitud. Las

unidades serán por tanto Ω/m (ohms por metro).

Y la conductividad por unidad de longitud es la integral de superficie del campo eléctrico,

calculada sobre la superficie de la sección transversal de la línea de transmisión.

[ ]*

2

´ S/m| |o S

G EE dsVωε

= ∫ (466)

Donde ε’’ es la parte imaginaria de la permitividad que modela las pérdidas en el dieléctrico

por unidad de longitud. Las unidades serán por tanto S/m (siemens por metro).

21.2. PARÁMETROS DE LAS PRINCIPALES LÍNEAS DE

TRANSMISIÓN PLANAR

En el apartado anterior hemos presentado la formulación general para la obtención de los cuatro parámetros que construyen el modelo circuital equivalente de la línea de transmisión. Ahora lo que haremos será mostrar estos parámetros para algunos tipos de líneas de transmisión: la línea coaxial (apartado 21.2.1), la línea stripline (apartado 21.2.2), y la línea microstrip (apartado 21.2.3)

Todos ellos comparten dos propiedades que permiten simplificar el análisis de su funcionamiento:

La sección transversal es idéntica a lo largo de la dirección axial;

Todas están compuestas de dos conductores, lo que es imprescindible para la propagación de ondas TEM, que son las que hemos tratado en nuestro estudio.

21.2.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA COAXIAL.

El cable coaxial cuenta con dos conductores situados de forma concéntrica, es decir, uno dentro del otro. El conductor interno, generalmente conocido como vivo, presenta un potencial no nulo, y está envuelto de forma concéntrica en una vaina dieléctrica. El dieléctrico se encuentra, a su vez, cubierto de forma concéntrica por un conductor externo a potencial cero. Este conductor externo está constituido, generalmente, por una malla, lo que le proporciona flexibilidad.

Los cables coaxiales tienen la ventaja de estar apantallados ya que cuentan con un conductor a potencial cero que recubre la estructura, lo que elimina problemas de interferencia. Se utilizan ampliamente en



redes de ordenadores, en instalaciones de antena colectiva o en tendidos de bucle de abonado o de última milla.

El caso del cable coaxial tiene un interés especial, además de por su uso extendido, porque es posible obtener expresiones que relacionan la geometría del coaxial con los valores del modelo de línea de transmisión planteado.

Como hemos visto en el apartado 21.1, para encontrar los elementos circuitales equivalentes hemos de partir de los campos eléctrico y magnético dentro del cable. En la Figura 78.b tenéis una sección del cable donde podéis ver estos campos. Observad que el campo eléctrico se orienta de forma radial desde el conductor interno a potencial V=Vo hasta el conductor externo a potencial V=0; y el campo magnético, por su parte, se orienta cumpliendo la propiedad de perpendicularidad con el campo eléctrico describiendo círculos concéntricos a la geometría de la estructura.

Por tanto, como vemos en la figura, los campos eléctrico y magnético viajan en el dieléctrico

que se encuentra entre ambos conductores.

a)

EHEH

b)

Figura 78 a) Geometría de una línea de transmisión tipo coaxial con radio del conductor interno a y

radio del conductor externo b; y resistencia superficial Rs para los conductores interno y externo. b)

Distribución del campo eléctrico y magnético.

Como yá conocéis se puede calcular la inducción magnética producido por un cable coaxial vacío, infinito y sin pérdidas. Si consideramos que el cilindro interior tiene un radio a, el exterior un radio b, y por el cable circula una corriente I0 (de la línea coaxial, como la que tenéis representada en la Figura 78.a) tenemos que el módulo de la inducción magnética, en función de la distancia, r, al eje del cable es:

0 0

( ) 01( )

2( ) 0

B r aIB a r b

rB r b

µπ

< =

< < =

> =

(467)

Y su dirección es la indicada en la Figura 78.b.

Sin embargo, si miramos las ecuaciones (461) o (465) vemos que lo que necesitamos no es la inducción magnética sino el campo magnético.

Ya vimos que la relación entre inducción magnética y campo magnético es, en un medio homogéneo lineal e isótropo de permeabilidad magnética µ:



B Hµ= (468)

Que en el caso particular del vacío será 0B Hµ= .

Por tanto, el campo magnético en un cable coaxial será:

0

( ) 01( )

2( ) 0

H r aI

H a r br

H r bπ

< =

< < =

> =

(469)

Y su dirección será la misma que la de la inducción magnética. Notad que en el campo magnético no aparece la permeabilidad, por lo que no dependerá del medio y esta expresión será válida también en el caso que haya un dieléctrico dentro del coaxial.

De las 3 zonas, la que nos interesa es la zona intermedia, que es la que es diferente de 0. En esa zona se puede obtener el campo eléctrico correspondiente al campo magnético, que da como resultado (las matemáticas implicadas en este cálculo van más allá del objetivo del módulo):

0( )ln( )

VE r

br a= (470)

Donde V0 es la diferencia de potencial entre ambas superficies.

Desarrollando los cálculos integrales expuestos en las expresiones (461), (464),(465) y (466)

es posible obtener los valores de los elementos concentrados del modelo de línea de

transmisión en función de la geometría de la línea (podéis revisar en la bibliografía

recomendada el proceso de integración):

[ / ] ln( / )2

L H m b aµπ

= (471)

2[ / ]

ln( / )C F m

b aπε

= (472)

1 1[ / ]

2sRR m

a bπ Ω = +

(473)

2 ''[ / ]ln( / )

G S mb aπωε

= (474)

Recordad que L es la inductancia por unidad de longitud, C es la capacidad por unidad de

longitud, R es la resistencia por unidad de longitud y G es la conductancia por unidad de

longitud. Además a y b son los radios internos y externos del dieléctrico según la geometría

de la Figura 78.a. Entre [] indicamos las unidades correspondientes a cada magnitud.

De las expresiones (473) y (474) podéis ver que cuanto mayor es el diámetro de la línea coaxial (radio a y b), menores son las pérdidas (expresiones).



Por otro lado, a partir de las expresiones (471) y (472) podemos obtener la relación entre la geometría de la línea y la condición que se debe cumplir para que la impedancia característica tome un determinado valor (en general Zo=50 Ω).

21.2.2. GEOMETRÍA DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN STRIPLINE.

Entenderemos por stripline un tipo de línea de transmisión planar cuya geometría se presenta en la Figura 79.

Una pista (strip) metálica, de anchura W, situado entre dos planos de masa conductores, separados entre si una distancia b, y donde la región comprendida entre los planos de masa está rellena de dieléctrico, caracterizado a partir de su constante de permitividad dieléctrica.

En la práctica este tipo de línea de transmisión se fabrica mediante proceso fotolitográfico sobre un substrato de espesor b/2 y cerrándolo con otro substrato de espesor b/2.

Plano de masa

Plano de masa

Plano de masa

Plano de masa

Figura 79 Geometría y distribución de líneas de campo para la línea de transmisión stripline. (FIGURA

3.22 pag 154 Microwave Engineering, 2 edición, John wiley & Sons, D. Pozar, ISBN 0-471-17096-8)))

Como la geometría stripline presenta dos conductores y un dieléctrico homogéneo, puede soportar propagación TEM, siendo este su modo normal de operación.

Si bien un análisis de esta estructura puede ser matemáticamente complicado y fuera del objetivo de la asignatura si mostraremos expresiones cerradas que facilitan una buena aproximación. Observad que la línea stripline si puede soportar modos TEM puros ya que el campo eléctrico y magnético viajan por un medio dieléctrico homogéneo.

Conocida la velocidad de fase de un modo de propagación TEM, se puede obtener la constante de fase según:

1

p r oo o r r

cv kβ εµ ε ε ε

= = ⇒ = (475)

La impedancia característica de la línea de transmisión viene dada por:

1

op

LZC v C

= = (476)



Donde L y C son la inductancia y Capacidad por unidad de longitud de la línea. Una aproximación para la obtención de la impedancia característica se obtiene de:

2

0 / 0.3530(0.35 / ) / 0.350.441

eo

er

W bWb WZW b W bW b b b

πε

>= = − − <+

(477)

Observad como la impedancia característica aumenta cuando W disminuye. Al disminuir el ancho del conductor central, estamos reduciendo la capacidad existente entre este y los conductores superior e inferior, razonadlo como un condensadeor de placas parelas. Si disminuye la capacidad de (476) la impedancia de la línea aumenta.

En el proceso de diseño, las relaciones que tienen sentido son la obtención de los parámetros geométricos de la línea a partir de las impedancia característica deseada.

120 30 0.4410.85 0.6 120

r o

r or o

x ZW xb Zx Z

ε πεε

<= = −− − >

(478)

Así pues contamos con expresiones cerradas que nos permiten relacionar la geometría de las líneas de transmisión con los parámetros circuitales del modelo que hemos desarrollado a lo largo de este módulo.

Z oZ o



Figura 80 Impedancia caracteristica de la línea stripline en función de la relación de aspecto para

diferentes valores de constante de permitividad dieléctrica.

Observad que la impedancia caracteristica de la línia disminuye para una relación de aspecto determinada al aumentar la constante de permitividad dieléctrica y que para un valor fijo de permitividad dieléctrica la impedancia característica de la línea disminuye al aumentar la relación de aspecto, es decir, al aumentar la capacidad de placas paralelas.

21.2.3. PARÁMETROS DE LA LÍNEA MICROSTRIP.

La línea microstrip es la forma más popular de línea de transmisión planar, tanto por su facilidad de fabricación, basada en métodos fotolitográficos, como por la facilidad de integración con otros dispositivos activos y pasivos.

Si nos quedamos con la mitad de una línea stripline, se obtiene una línea microstrip (comparad la Figura 81, donde tenéis una representación de la línea microstrip con la representación de la línea stripline de la Figura 79).

El conductor inferior actúa como plano de masa. Se trata de una de las tecnologías de fabricación de circuitos impresos con mayor número de aplicaciones. Presenta una gran flexibilidad para construir todo tipo de circuitos. Aunque presenta pérdidas por radiación, éstas pueden reducirse acudiendo a dieléctricos de alta permitividad relativa.

Podéis ver la geometría de la estructura de forma más detallada en la Figura 81. Para construirla se imprime un conductor de anchura W sobre una placa delgada de material dieléctrico de espesor d, y constante dieléctrica relativa εr. En la cara inferior de la placa se dispone una capa metálica que hace la función de segundo conductor y plano de masa de la estructura.

En la Figura 81.b se muestra la distribución de los campos eléctrico y magnético. El campo eléctrico va orientado del conductor superior a masa, observándose un efecto de desbordamiento habitual. Este desbordamiento puede ser minimizado con la utilización de dieléctricos con constante dieléctrica relativa elevada.



Figura 81 a) Geometría de la línea de transmisión planar microstrip b) Distribución de los campos en la

sección transversal de la línea microstrip. (FIGURA 3.25 pag 161 “Microwave Engineering”, 2 edición,

John wiley & Sons, D. Pozar, ISBN 0-471-17096-8))

El campo magnético se orienta formando círculos, predecible dado el carácter solenoidal del campo magnético y cumpliendo la propiedad de perpendicularidad con el campo eléctrico al tratarse de una guía que propaga ondas del tipo transversal electromagnético.

La Tabla 7 muestra un resumen de las expresiones obtenidas por el procedimiento integral visto anteriormente. Relacionando los elementos concentrados del modelo circuital distribuido de la línea de transmisión en función de la geometría. Observad la expresión (480), que corresponde con la expresión de la capacidad por unidad de longitud de un condensador de placas paralelas relleno de dieléctrico (fijaos que en el numerador no está el área sino que aparece W al ser una capacidad por unidad de longitud).

L

dLWµ

= (479)

C

WCdε

= (480)

R

2 sRRW

= (481)

d

W

d

W

G

''WGd

ωε= (482)

Tabla 7 Resumen de los elementos circuitales para modelo de línea de transmisión para la geometría de

la línea de transmisión microstrip.

Algunos aspectos interesantes de las ecuaciones son:

La expresión (480) corresponde con la ecuación de la capacidad por unidad de longitud de un condensador de placas paralelas relleno de dieléctrico.

Observad que si W aumenta, la capacidad aumenta. Y si el grosor del substrato, d, aumenta, la capacidad disminuye. Estos resultados coinciden con lo obtenido para un condensador de placas paralelas

Por otro lado, si W aumenta, la inductancia disminuye.

La presencia del dieléctrico, en particular por el hecho que éste no rellena la zona del espacio para y>d, complica el comportamiento y el análisis de la estructura. Como se aleja del propósito de este texto, únicamente haremos unas breves consideraciones.

Cabe destacar que las líneas de campo se encuentran sobre un medio inhomogéneo, de forma que parte del campo eléctrico viaja a través de un medio dieléctrico caracterizado por su rε , mientras que parte de

las líneas de campo viajan a través del aire.

Este hecho supone que la estructura no puede soportar ondas TEM puras dado que parte del campo viajará con una velocidad de fase inferior al propagarse a través del dieléctrico (la velocidad de fase en la región dieléctrico es / rc ε , mientras que en la región aire es c, imposibilitando la adaptación de fase).

Como normalmente el espesor del dieléctrico es muy delgado, d<<λ , es decir el espesor será mucho menor que la longitud de onda, los campos pueden aproximarse por sus soluciones estáticas. Y



simplemente hay que considerar que toda la estructura se encuentra en un medio homogéneo de permitividad dieléctrica relativa efectiva ( eε ), lógicamente inferior a la del propio medio 1 e rε ε< < .

La constante dieléctrica efectiva esta perfectamente estudiada y relatada en la bibliografía. Esta aproximación es la que se conoce como aproximación cuasi-estática de la línea microstrip.

Aceptando como válida la aproximación cuasiestática (d<<λ ), que considera los campos totalmente dentro del substrato dieléctrico, se pueden expresar la velocidad de fase (vp) y la constante de fase (β ) en

función de la constante dieléctrica efectiva ( eε ):

1p e o e re

cv kβ ε ε εε

= ⇒ = ⇔ < < (483)

La constante dieléctrica efectiva puede aproximarse por la expresión:

1 1 1

2 2 1 12 /r r

e d Wε εε + −

= ++

(484)

donde d es el espesor del substrato y W es la anchura de la pista (ver Figura 81)

Donde se interpreta como la constante dieléctrica de un medio homogéneo que reemplaza a la región de aire y dieléctrico.

Las expresiones (485) y (486) son muy importantes porque determinan la geometría que debe tener la pista microstrip para una impedancia característica de línea dada. Su obtención está basada en el modelo de aproximación cuasi estático y de una resolución numérica de los campos en la estructura.

Es importante que recordéis que los circuitos y dispositivos sufren fenómenos de propagación de ondas al subir en frecuencia. Y que las pistas de un circuito impreso deberán de cumplir con unas relaciones de aspecto dadas por estas expresiones. No debéis ni mucho menos recordarlas pero sí tenéis que utilizarlas.

Como se trata de una aproximación los resultados no son exactos pero el nivel de precisión es suficiente.

Dadas las dimensiones de la línea microstrip y los parámetros del substrato, la impedancia característica se puede calcular mediante la expresión (485).

[ ]

60 8ln / 14

120 / 1/ 1.393 0.667 ln( / 1.444)

eo

e

d W W dW d

ZW d

W d W d

επ

ε

+ ≤ = ≥ + + +

(485)

Mientras que en el proceso de diseño, dada una impedancia característica y constante dieléctrica la relación de aspecto podéis obtenerla de la expresión (486):

( )

2

8 / 22

/12 1 ln(2 1) ln( 1) 0.39 0.61/ / 2

2

1 1(0.23 0.11/ )60 2 1377

2

A

A

rr

r

o r rr

r

o r

e W de

W dB B B W d

ZA

BZ

ε επ ε

ε ε εε

πε

< −= − − − − + − + − >

+ −= + +

+

=

(486)



Figura 82 Impedancia caracteristica de la línea microstrip en función de la relación de aspecto para

diferentes valores de constante de permitividad dieléctrica.



Lección 22

22. CARTA SMITH I.

TRANSPARENCIAS



Lección 23

23. REDES DE ADAPTACIÓN I.

La idea principal en el proceso de adaptación de impedancias es implementar una red pasiva y sin pérdidas (evitando pérdidas innecesarias de potencia), intercalada entre una impedancia de carga genérica, ZL, y una línea de transmisión de impedancia característica Zo. Se evitarán por tanto las reflexiones entre la línea de transmisión y la red de adaptación, aún cuando habrá múltiples reflexiones entre la red de adaptación y la carga.

La red de adaptación puede implementarse con el objetivo de buscar que exista adaptación de impedancias o adaptación conjugada, en función del objetivo deseado.

Figura 83 Inseción de la red de adaptación entre la línea de acceso y la carga que se desea alimentar.

En términos prácticos cuanto más sencilla sea la red de adaptación será más barata, más repetible y con menos pérdidas que una red compleja. En términos de ancho de banda, hay que pensar que la red proporcionará adaptación perfecta a una frecuencia de diseño per lo habitual será trabajar en banda ancha, con lo que deberán de aportarse soluciones más sofisticadas que contemplen la especificación para un ancho de banda de funcionamiento, con un incremento n la complejidad de la red. Con respecto a la implementación y ajustabilidad cabe decir que si antiguamente se intentaban evitar los diseños distribuidos con terminaciones de carga en circuito abierto por los efecos radiantes que presentan, en la actualidad, bajo la premisa de diseño planar, es habitual contar con redes de adaptación distribuidas con terminaciones en circuito abierto que facilitan tanto la implementación al evitar la presencia de cortocircuitos como la ajustabilidad del diseño en fabricación en caso de ser necesaria.

23.1. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS CONCENTRADOS.

Probablemente la estructura más sencilla para realizar la adaptación es la red en “L”. Se pueden presentar dos configuraciones como muestra la Figura 84.

Figura 84 Redes de adaptación con elementos concentrados con topología en L.

Si la impedancia de carga normalizada se sitúa dentro del círculo 1+jX en la carta de Smith, la configuración más adecuada la encontramos en el modelo (a), mientras que si se encuentra fuera del círculo 1+jX, la topología más adecuada será la (b).



Ahora bien, estos elementos reactivos pueden implementarse con inductores o condensadores, pudiéndose generalizar por lo tanto hasta 8 configuraciones distintas, dependiendo en cada caso de la impedancia de carga.

Si la frecuencia es suficientemente alta para que los elementos discretos dejen de funcionar de forma adecuada, cada uno de estos elementos puede implementarse mediante configuraciones distribuidas mediante líneas de transmisión.

Si bien pueden desarrollarse expresiones analíticas de cada una de las soluciones posibles, el objetivo es utilizar la carta de Smith para llevar a cabo la síntesis de las redes.

A la vista de lo planteado son muchas las configuraciones posibles, y por tanto se deja como ejercicio el análisis detallado de la conveniencia de cada una de ellas, planteando desde este texto las consideraciones de carácter más general. Las soluciones analíticas podéis encontrarlas en la referencia Microwave Engineering, D. Pozar, pag 253.

23.2. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA CARTA DE SMITH.

Recordaremos que el plano complejo de impedancias que presenta la carta de smith mapea impedancias con parte reactiva positiva en el semicírculo superior e impedancias con parte reactiva negativa en el semicírculo inferior.

Sobre el plano complejo de impedancias, si consideramos incluir un inductor en serie, la parte reactiva aumentará mientras que si incluimos un condensador la parte reactiva disminuirá.

Partiendo de un valor cualquiera de impedancia mapeada sobre la carta de Smith, si incluimos una inductancia serie fijaos que pasa: Si el valor de la inductancia es cero, no estaremos modificando para nada el valor de la impednacia a la que está cargando, es decir no se desplazará. A medida que el valor de la inductancia va aumentando el valor de la impedancia se desplazará por un circulo de parte real constate ya que la inductancia no puede modificar la parte imaginaria de la impedancia. Al aumentar el valor de la bobina, mayor serña la parte imaginaria de la impedancia y por lo tanto la impedancia irá cruzando los circulos de parte imaginaria de valor mayor.

L L indZ R jX jX= + +

(487)

De forma totalmente simétrica ocurrirá si incluimos un condensador en serie, donde la parte imaginaria de la impedancia cada vez irá haciendose más negativa.

Para elementos en paralelo es conveniente pensar en trabajar con la carta de admitancias, aunque no sea estrictamente necesario que los circulos estén dibujados. Al situar una inductancia en paralelo, cuanto mayor sea el valor de la inductancia, la impedancia añadida tiende a infinito y por lo lo tanto se comportará como un circuito abierto, es decir no alterará el valor de la impedancia a la que está cargando, y si vamos reduciendo el valor cada vez se irá haciendo el valor de la parte imaginaria más negativo. El movimiento será realizado desplazandose por un circulo de conductancia constante.

Inductancia serie

Capacidad serie

Inductancia paralelo

Capacidad paralelo

Inductancia serie

Capacidad serie

Inductancia paralelo

Capacidad paralelo

Figura 85 Movimientos genéricos sobre carta smith



( )

2 2 2 2

1/1 1 ( )L indLT

L L ind L L L L

X XRY j

R jX jX R X R X+

= + = −+ + +

(488)

Para una impedancia genérica situada dentro del circulo 1+jX, pueden plantearse dos soluciones simultáneas, calcular la admitancia, mediante un desplazamiento de / 2λ . En este punto se puede optar por añadir una capacidad paralela buscando la intersección con el círculo 1+jB, o bien una inductancia buscando la intersección con el círculo 1-jB. El punto 1+jB o 1-jB se escoge ya que al volver a impedancias, estaremos situando la impedancia sobre el círculo 1-jX o 1+jX respectivamente. Por último para el primer caso se consigue la aproximación al centro de la carta mediante una inductancia serie mientras que en segundo caso requiere una capacidad serie.

ZL

YL

Lp

CpCs

LsZL

YL

Lp

CpCs

LsZL

YL

Lp

CpCs

LsZL

YL

Lp

CpCs

Ls

Figura 86 Desplazamientos genéricos para adaptación de impedancias situada en el interior del circulo

1+jx.

De forma equivalente pero trabajando sobre carta de admitancias, la topología A, significa añadir un condensador para desplazar ZL hasta la intersección con el círculo 1-jX, moviéndonos por un circulo de susceptancia, B, constante. Luego añadir una inductancia serie para cancelar la parte imaginaria de la impedancia.

La topología B equivale a desplazarse por un círculo de susceptancia constante hasta 1+jX.

23.3. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS DISTRIBUIDOS.

La adaptación mediante elementos distribuidos se puede considerar como una extensión de adaptación con elementos concentrados, en la cual las impedancias han sido sintetizadas mediante líneas de transmisión.

Tanto los inductores como los condensadores serie son imposibles de implementar con líneas de transmisión microstrip (salvo la aplicación de técnicas más avanzadas como identidades de kuroda). Si consideramos la LT microstrip como la tecnología más extendida, la filosofía de diseño tiende a la utilización de elementos concentrados paralelo que si puedan ser implementados físicamente.



23.3.1. ADAPTACIÓN CON INVERSOR DE IMPEDANCIA.

Se trata de una técnica que hace uso de la característica de inversor de impedancia de la línea en cuarto de onda. El objetivo es desplazar el coeficiente de reflexión en la carga a través de una línea de transmisión hasta encontrar un coeficiente de reflexión real, es decir con fase 0 o 180 º. En este punto estamos asegurando que la impedancia desplazada es real.

2 ( 2 )( ) | ( 0) | | ( 0) |j j l j lin z l z e e z eφ β φ β− −Γ = − = Γ = = Γ = (489)

Para éllo debemos imponer la condición 2 0,2lφ β π− = , y de ahí podemos extraer la longitud de la línea de transmisión necesaria para cancelar la parte imaginaria del coeficiente de reflexión, equivalentemente encontrar una impedancia de entrada real.

El segundo paso es diseñar una línea de transmisión con función de transformador en / 4λ , escogiendo de forma adecuada la impedancia característica de la línea tal que la impedancia de entrada sea Zo.

ZL

lβ

| (0) | je φΓ

| (0) |Γ

Zin, Real

ZL

lβ

| (0) | je φΓ

| (0) |Γ

Zin, Real

Figura 87 Desplazamientos genéricos para adaptación de impedancias con línea de transmisión en

cuarto de onda. Búsqueda de coeficiente de reflexión o equivalentemente de impedancia real.

Pero esta red de adaptación es de naturaleza banda estrecha ya que la línea será de cuarto de onda solo a la frecuencia de diseño.

Si obtenemos la expresión del coeficiente de reflexión a la entrada de una línea de transmisión de longitud / 4λ podems encontrar que vale aproximadamente:

cos( )2

L o

o L

Z ZZ Z

θ−

Γ ≈ (490)

Donde hemos considerado que la longitud eléctrica es / 2dθ β π= ∼

Si representamos el módulo del coeficiente de reflexión en función de la longitud eléctrica podemos observar como el coeficiente de reflexión se ha anulado justo a la frecuencia de diseño, la que lleva a una longitud eléctrica de / 2θ π= . Pero si nos desplazamos de este punto el coeficiente de reflexión aumentará a medida que nos alejemos, además lo hará de forma simétrica.



Figura 88 Comportamiento aproximado del coeficiente de reflexión de una sección de transformador en

cuarto de onda a frecuencias cercanas a la de diseño.

Podemos definir el ancho de banda de funcionamiento como aquel valor de frecuencias para los que el coeficiente de reflexión toma un valor menor que una cota superior.

Así el márgen alrededor de la frecuencia de diseño de puede definir como:

( ) 2( )2 / 2 o m

mo o

f fff f

θ π θ−∆

∆ = − = (491)

De forma que dado un valor de cota del coeficiente de reflexión, podemos obtener el valor de la longitud eléctrica donde se llega a esa cota resolviendo la expresión (490), donde además se hace uso de la

siguiente relación entre la frecuencia y la longitud eléctrica de la línea 24 2

p o

p o

v ff flv fπ πθ β= = =

Resultando finalmente

2

22( ) 4 42 2 2 2 acos(1

o Lo m m m m

o o o L om

Z Zf f fff f f Z Z

θπ π

− Γ∆= = − = − = −

−−Γ (492)

Analizando el resultado anterior podemos observar como cuando el ratio entre la impedancia de carga y la impedancia caracteristica de la línea es muy grande o muy pequeño el ancho de banda de funcionamiento del transformado es menor, y como este aumenta a medida que el valor de impedancia real que queremos adaptar es más parecido al de la impedancia caracteristica de la línea.



Figura 89 Magnitud del coeficiente de reflexión en función de la frecuencia para un transformador de

impedancia en cuarto de onda de una sección a diferentes valores de desadaptación.

Inmediatamente podemos observar que para mejorar el ancho de banda de la red de adaptación podemos establecer en vez de una adaptación directa mediante una única sección, concatenar diferentes secciones de forma que la adaptación completa se realice en varios saltos de impedancia, el coste lógicamente será el tamaño ya que tantas secciones utilicemos, tantos tramos de línea necesitaremos.

A modo de ejemplo observad Figura 90, observamos como al aumentar el número de secciones implicadas en la transformación, el ancho de banda de funcionamiento de la red aumenta.

Figura 90 Magnitud del coeficiente de reflexión en función de la frecuencia para diferentes secciones de

tramos en cuarto de onda.



Existe toda una teoría de cómo tomar los saltos intermedios de estas estructuras multisección dando lugar a diferentes soluciones en términos de ancho de banda de funcionamiento, con intervalos de salto uniformes, exponenciales y otros que permiten respuestas con rizados controlados en la banda de funcionamiento.



Lección 24

24. REDES DE ADAPTACIÓN II.

24.1.1. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE SERIE.

Esta técnica se basa en el desplazamiento a lo largo de una línea de transmisión de la impedancia o equivalentemente del coeficiente de reflexión. Como ya hemos estudiado es equivalente a variar únicamente la fase del coeficiente de reflexión manteniendo el módulo del coeficiente de reflexión constante. Sobre la carta de Smith por lo tanto equivale a desplazarse por un círculo centrado en el centro de la carta de Smith y que tiene por radio el equivalente al módulo del coeficiente de reflexión en la carga. El desplazamiento se realiza partiendo del punto donde mapeamos la impedancia de carga normalizada hasta llegar al cruce con el círculo 1+jX (tramo I).

En este punto se procede a la cancelación de la parte reactiva mediante la utilización de un elemento reactivo serie puro (tramo II). Como en este punto la parte reacitiva de la impedancia es positiva será necesario añadir un elemento reactivo cuya susceptancia sea negativa, es decir un condensador. El valor debe ser tal que anule la parte imaginaria de la impedancia, por lo tanto la reactancia del condensador será exactamente igual al valor de circulo de parte imaginaria que cruce por ese mismo punto. Al añadir el elemento sobre la carta de Smith lo que hacemos es desplazarnos por un circulo de parte real constante, ya que el condensador no es capaz de modificar la parte real de la impednacia.

Otra opción es desplazarse hasta el punto 1-jX (tramoI+III), y realizar la cancelación mediante un elemento reactivo serie puro (inductor) de valor adecuado (tramo IV). Como podemos observar en este punto la parte imaginaria de la impedancia es negativa y es por eso que para cancelarla deberemos incluir un elemento con parte imaginaria positiva.

Mediante los modelos de síntesis de impedancias se realiza la transformación del elemento concentrado a elemento distribuido. Este tipo de red como se ha planteado anteriormente no es muy útil por la dificultad de implementar en tecnología microstrip elementos distribuidos serie. Aunque mediante las identidades de kuroda pueden establecerse equivalencias que permiten transformar los stubs serie en stubs paralelo.

ZL

| (0) | je φΓ IIIII

IV

I

z=1+jX

z=1-jX

ZL


IV

IZL


IV

I

z=1+jX

z=1-jX

Zo,l1 ZL

Zo,l2

Zin=50Ω Zo,l1 ZL

Zo,l2

Zin=50Ω

Zo,l3 ZL

Zo,l4

Zin=50Ω Zo,l3 ZL

Zo,l4

Zin=50Ω Zo,l3 ZL

Zo,l4

Zin=50Ω



Figura 91 Movimientos genéricos sobre la carta de smith par la adaptación con stub serie único con

terminación en abierto y en corto.

24.1.2. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE PARALELO.

En la práctica la fabricación de líneas de transmisión principalmente se desarrollan en tecnología planar, microstrip. Conocida la imposibilidad de implementar stub’s en serie, el mecanismo más habitual de adaptación está basado en un modelo de admitancias, para la elaboración de stub’s en paralelo.

Esta técnica se basa en el desplazamiento a lo largo de una línea de transmisión del coeficiente de reflexión, variando la fase y manteniendo el módulo del coeficiente de reflexión constante, partiendo de la admitancia de la impedancia de carga mapeada sobre la carta de Smith de impedancias.

Se desplaza la admitancia una distancia l1, hasta llegar a la intersección con el circulo y1=1-jB. Ahora se deberá añadir una capacidad en paralelo para cancelar la parte reactiva de la admitancia, un stub acabado en circuito abierto.

De forma equivalente si se desplaza una distancia l2, hasta llegar a la intersección en y2=1+jB, se deberá añadir una inductancia en paralelo, para cancelar la parte reactiva de la admitancia, es decir un stub acabado en cortocircuito.

freq (10.00GHz to 10.00GHz)

S(1

,1)

ZL

l1

l2

Lp

Cp

I

III

II

IV

freq (10.00GHz to 10.00GHz)

S(1

,1)

ZL

l1

l2

Lp

Cp

I

III

II

IV

LZZin=50Ω Zo, l1

Zo, la

LZZin=50Ω Zo, l1

Zo, la

LZZin=50Ω Zo, l2

Zo, la

LZZin=50Ω Zo, l2

Zo, la

LZZin=50Ω Zo, l2

Zo, la

Figura 92 Movimientos genéricos sobre la carta de smith par la adaptación con stub paralelo único con

terminación en abierto y en corto.

24.2. ELEMENTOS CONCENTRADOS.

Fundamentalmente la razón de ser de las redes de adaptación basadas en elementos distribuidos es la imposibilidad de contar con elementos discretos con comportamientos ideales en alta frecuencia. Al fin y al cabo son exactamentes estos efectos de propagación y retardos que estamos estudiando los que limitan las frecuencias de funcionamiento de los propios dispositivos.

La premisa fundamental para trabajar con elementos discretos en alta frecuencia es contar con dispositivos pequeños y con dieléctricos que funcionen con bajas pérdidas en alta frecuencia.



Figura 93 Esquema de diferentes formas de construir condensadores, bobinas y resistencias en alta

frecuencia.

Para el diseño de resistencias en alta frecuencia podemos utilizar las propiedades de pérdidas de las líneas de transmisión. Normalmente se hace uso de un conductor con muchas pérdidas de forma que con tamaños reducidos podamos construir valores de resistencias habituales. Este material suele ser NiCr.

Inductores:



Lección 25

25. GUIAS DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS.

Una guía de onda puede definirse como la estructura destinada a la propagación orientada y confinada de la radiación electromagnética. El medio dieléctrico en el que esta propagación se produce está acotado por una material conductor (bandas de RF y microondas) o por otro dieléctrico (frecuencias ópticas).

Si bién la línea de transmisión la podemos incluir dentro de la definición de guía de ondas, en la práctica suele diferenciarse y mantener el nombre de línea de transmisión para las estructuras que gracias a contar con dos conductores permiten la propagación de una onda transversal electromagnética. Y dejando el término de guía de ondas para aquellas estructuras que se construyen con un único conductor. Las formas más comunes desde el punto de vista estructural son de sección rectangular o de sección cilíndrica, aunque no son únicas.

Las guías de ondas deben ser tratadas a partir de los modos de vibración y propagación electromagnéticos que son capaces de soportar, y en general, no permiten establecer de forma inmediata un modelo circuital equivalente. En este aspecto se suelen distinguir de otras estructuras guiantes, como por ejemplo el cable bifilar, donde si existe un modelo sencillo de análisis mediante tensiones y corrientes, este tipo de guías de onda se les conoce como línea de transmisión, pero en este capitulo nos centraremos propiamente en las guías de ondas.

25.1. GUIAS CONDUCTORAS.

Consideraremos el caso de guía de ondas limitada en sus dos dimensiones transversales por un material conductor (que aproximaremos por perfecto).

Z

µ , ε

XY

Z

µ , ε

XY

Figura 94 Geometría general de una guía de ondas que encierra un dieléctrico por el que viaja la onda

que propaga en la dirección z.



Partiremos de las ecuaciones de Maxwell en notación fasorial, que en el caso de estar en un medio libre de cargas, es decir, excluyedo las fuentes estas son:

xE j Hωµ∇ = − (493)

· 0E∇ = (494)

xH j Eωε∇ = (495)

· 0H∇ = (496)

A partir de las dos expresiones rotacionales para el campo eléctrico y magnético, se puede extraer la ecuación de onda para el campo eléctrico y magnético:

2 2 0E Eω µε∇ + = (497)

2 2 0H Hω µε∇ + = (498)

Tomaremos el eje Z como la dirección de propagación de las ondas en el interior de la guía, siendo las direcciones X, Y, transversales a la dirección de propagación. El tipo de solución, en forma fasorial, para las ecuaciones de onda descritas:

( , , ) ( , ) j zE x y z E x y e β−= (499)

( , , ) ( , ) j zH x y z H x y e β−= (500)

Donde,β , es la constante de fase.

A una solución del tipo (499) y (500) se le denomina modo de propagación de la guía y se caracteriza porque la fase depende de forma lineal con Z, siendo Z la dirección de propagación, y su amplitud es independiente de la dirección de propagación.

Cualquier onda que pueda propagarse en la guía, puede escribirse mediante una adecuada combinación lineal de esas funciones.

Si substituimos estas soluciones (expresiones (499) y (500)) en las respectivas ecuaciones de onda resulta (expresiones (497) y (498)):

2 2 2( ) 0t E Eω µε β∇ + − = (501)

2 2 2( ) 0t H Hω µε β∇ + − = (502)

Donde el símbolo 2 2

22 2t x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂ es la laplaciana transversal.

Mediante las ecuaciones de Maxwell y cierta manipulación matemática pueden obtenerse relaciones muy útiles entre las componentes transversales y longitudinales de los campos:

( )y yx xz zx y z

x y z

x y zE EE EE ExE j H x y z j xH yH zH

x y z y z z x x yE E E

ωµ ωµ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇ = ⇔ = − + − + − = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(503)



Igualando componentes se obtiene,

yzx

EE j Hy z

ωµ∂ ∂

− = − ∂ ∂ (504)

x zy

E E j Hz x

ωµ∂ ∂ − = − ∂ ∂ (505)

y xz

E E j Hx y

ωµ∂ ∂

− = − ∂ ∂ (506)

De forma equivalente con la expresión rotacional del campo magnético,

( )y yx xz zx y z

x y z

x y zH HH HH HxH j E x y z j xE yE zE

x y z y z z x x yH H H

ωε ωε

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇ = ⇔ = − + − + − = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(507)

Igualando componentes,

yzx

HH j Ey z

ωε∂ ∂

− = ∂ ∂ (508)

x zy

H H j Ez x

ωε∂ ∂ − = ∂ ∂ (509)

y xz

H H j Ex y

ωε∂ ∂

− = ∂ ∂ (510)

Teniendo en cuenta que la única dependencia del campo en la componente Z viene dada en el término de fase se puede obtener un conjunto de ecuaciones de la forma:

zy x

E j E j Hy

β ωµ ∂

+ = − ∂ (511)

zx y

Ej E j Hx

β ωµ∂ − − = − ∂ (512)

y xz

E E j Hx y

ωµ∂ ∂

− = − ∂ ∂ (513)

zy x

H j H j Ey

β ωε ∂

+ = ∂ (514)

zx y

Hj H j Ex

β ωε∂ − − = ∂ (515)

y xz

H H j Ex y

ωε∂ ∂

− = ∂ ∂ (516)



El conjunto de seis ecuaciones puede simplificarse en un conjunto de 4 expresiones que relacionan las 4 componentes transversales en función de las dos componentes longitudinales:

2 2z z

xE HjH

k y xωε β

β ∂ ∂

= − − ∂ ∂ (517)

2 2z z

yE HjH

k x yωε β

β ∂ ∂−

= + − ∂ ∂ (518)

2 2z z

xE HjE

k x yβ ωµ

β ∂ ∂−

= + − ∂ ∂ (519)

2 2z z

yE HjE

k y xβ ωµ

β ∂ ∂

= − + − ∂ ∂ (520)

Donde 2k πω µε λ= =

Queda claro que en cualquier tipo de guía, el conocimiento de las componentes longitudinales permite hallar todas las demás.

A la hora de resolver la ecuación de onda se puede comprobar que existen dos tipos independientes de modos (o familias de soluciones) que pueden cumplir como solución, junto a las condiciones de contorno.

En el primer caso se puede imponer que ( , ) 0zE x y = , en todos los puntos del interior de la guía y

tomar para la componente de campo magnético una función que cumpla las condiciones de contorno. Las soluciones obtenidas se denominan de tipo transversal eléctrico (TE), puesto que el campo eléctrico de la onda sólo tiene componentes transversales a la dirección de propagación.

En el segundo caso, se toma ( , ) 0zH x y = , y la componente longitudinal del campo eléctrico debe ser

tal que satisfaga la condición de contorno correspondiente. Las ondas resultantes se denominan transversal magnético o TM.

TEM

Finalmente, se puede obtener la solución transversal eléctrico y magnético (TEM) si tomamos simultáneamente Ez=0, Hz=0, que si bien puede parecer una solución singular no lo es y requiere de un procedimiento de cálculo diferente.

Dejará de ser una solución singular solo si 2 2 2 0ck k β= − = . Si se cumple esta condición se puede

retroceder en el desarrollo anterior,

2 2 2 2( ) 0 ( , ) 0t tE E E x yω µε β∇ + − = →∇ = (521)

2 2 2 2( ) 0 ( , ) 0t tH H H x yω µε β∇ + − = →∇ = (522)

Donde se muestra que las componentes transversales del campo eléctrico y magnético deben cumplir con la ecuación de Laplace. Del cumplimiento de esta ecuación se deriva que los campos transversales deben ser iguales a los campos estáticos que existen entre dos conductores, y en el caso electroestático se puede definir un potencial escalar de forma que el campo eléctrico se exprese como el gradiente de es potencial escalar (potencial es el trabajo para desplazar una carga entre dos puntos):

( , ) ( , )tE x y x y= −∇ Φ (523)



Además del cumplimiento de la ley da gauss para el campo eléctrico se puede demostrar que el potencial escalar debe cumplir también con la ecuación de Laplace.

2 ( , ) 0t x y∇ Φ = (524)

Pudiéndose definir como era de esperar de electrostática la definición de la tensión entre dos conductores.

2

12 1 21

V Edl= Φ −Φ = ∫ (525)

De forma que para la existencia de ondas TEM es necesaria la presencia de dos o más conductores.

La impedancia de la onda para un modo TEM corresponde con el cociente de los campos eléctricos y magnéticos transversales.

yxTEM

y x

EEZH H

ωµ ηβ

−= = = =



Lección 26

26. GUIA DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS DE SECCIÓN

RECTANGULAR.

X

Y

Z

a

bX

Y

Z

a

b

Figura 95 Geometría de la guía rectangula de paredes conductoras con sección rectangular

26.1.1. MODOS TE.

Tomaremos el eje Z como la dirección de propagación de las ondas en el interior de la guía, siendo las direcciones X, Y, transversales a la dirección de propagación. El tipo de solución, en forma fasorial, para las ecuaciones de onda descritas:

( , , ) ( , ) j zE x y z E x y e β−= (526)

( , , ) ( , ) j zH x y z H x y e β−= (527)

Dondeβ , es la constante de fase. A una solución del tipo (526) y (527) se le denomina modo de propagación de la guía y se caracteriza porque la fase depende de forma lineal con Z, siendo Z la dirección de propagación, y su amplitud es independiente de la dirección de propagación.

Cualquier onda que pueda propagarse en la guía puede escribirse mediante una adecuada combinación lineal de esas funciones.

Si substituimos estas solucione en las respectivas ecuaciones de onda resulta

2 2 2( ) 0t E Eω µε β∇ + − = (528)

2 2 2( ) 0t H Hω µε β∇ + − = (529)

Donde el símbolo 2 2

22 2t x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂ es la laplaciana transversal.



Con respecto a la orientación de la guía según figura adjunta se puede expresar la componente longitudinal de la onda para el campo magnético de la forma (la componente del campo eléctrico es nula, modos TE)

( , ) ( ) ( )zH x y X x Y y= (530)

Substituyendo en la ecuación de onda

2 2

22 2

1 1 0cX Y k

X x Y y∂ ∂

+ + =∂ ∂

(531)

Como podemos observar de la expresión (531), para que se pueda cumplir la igualdad cada uno de los términos diferenciales deben ser iguales a una constante por separado, ya que si uno de los sumandos dependiera de la variable independiente el otro término no podría cancelarlo al depender de la otra variable independiente. Así pues, utilizando el método habitual de separación de variables, cada término debe ser igual a una constante obteniendo

2

22

1 0xX k

X x∂

+ =∂

(532)

2

22

1 0yY k

Y y∂

+ =∂

(533)

Y donde 2 2 2c x yk k k= + .

La solución general para la componente longitudinal del campo magnético viene dada según:

[ ]( , ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )z x x y yH x y A k x B k x C k y D k y = + + + (534)

Para resolver las constantes hacemos uso de las condiciones de contorno en la guía. Como la condición de continuidad de las componentes tangenciales del campo magnético hace uso de la densidad de corriente superficial, no resulta adecuada. Se hará uso de la continuidad de las componentes tangenciales del campo eléctrico que deben ser nulas en el interior del conductor.

Para ello deberán de obtenerse a través de las relaciones (519) y (520) y donde la componente longitudinal del campo eléctrico es nula, resultando

[ ]2( , ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )x y x x y yc

jE x y k A k x B k x C k y D k ykωµ− = + − + (535)

[ ]2( , ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )y x x x y yc

jE x y k A k x B k x C k y D k ykωµ− = − + + (536)

de forma que

0, 0,

0, 0,

( , ) 0 0,

( , ) 0 0,

z y xx x a x x a

z x yy y b y y b

mH E x y B kanH E x y D kb

π

π

= = = =

= = = =

⇔ = → = =

⇔ = → = = (537)

Donde a priori puede darse cualquier valor entero de m,n=0,1,2,…

Obteniéndose la solución general para el campo magnético longitudinal



( , ) cos( )cos( )z mnm nH x y A x ya bπ π

= (538)

Solución que corresponde a un modo genérico TEmn.

A partir de aquí se pueden obtener los campos transversales a partir de la aplicación del resultado anterior sobre las relaciones obtenidas en (517), (518),(519) y (520).

Podemos relacionar la constante de propagación de cada modo con la frecuencia con la expresión que conocemos relación de dispersión de la guía a partir de la relación

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

;

( ) ( )

c

mn c x y

k k

m nk k k k k ka b

β

π πβ

= −

= − = − − = − − (539)

La impedancia de la onda para un modo TE corresponde con el cociente de los campos eléctricos y magnéticos transversales.

yxTE

y x

EE kZH H

ηβ

−= = =

26.1.2. MODOS TM.

De forma totalmente equivalente puede resolverse para el caso de modos de propagación transversal magnético donde en este caso la componente longitudinal del campo magnético es nula y resolvemos sobre la componente longitudinal del campo eléctrico.

Llegando a una solución del tipo

[ ]( , ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )z x x y yE x y A k x B k x C k y D k y = + + (540)

Para resolver las constantes hacemos uso de las condiciones de contorno en la guía donde por continuidad en la interficie entre dos medios las componentes tangenciales del campo eléctrico deben coincidir y como en el interior del conductor son nulas, deben serlo también en la superficie interior de la guía.

0,

0,

0 0,

0 0,

x xx x a

y yy y a

mE A kanE C kb

π

π

= =

= =

= → = =

= → = = (541)

Donde a priori puede darse cualquier valor entero de m,n=1,2,…

Obteniéndose la solución general para el campo eléctrico longitudinal y obteniendo finalmente una solución del tipo

( , ) sin( )sin( )z mnm nE x y A x ya bπ π

= (542)

Solución que corresponde a un modo genérico TMmn.

A partir de aquí se pueden obtener los campos transversales a partir de la aplicación del resultado anterior sobre las relaciones obtenidas en (517), (518),(519) y (520).

Podemos relacionar la constante de propagación de cada modo con la frecuencia con la expresión que conocemos relación de dispersión de la guía a partir de la relación



2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

;

( ) ( )

c

mn c x y

k k

m nk k k k k ka b

β

π πβ

= −

= − = − − = − − (543)

La impedancia de la onda para un modo TM corresponde con el cociente de los campos eléctricos y magnéticos transversales.

yxTM

y x

EEZH H k

β η−

= = =

26.1.3. MODOS GUIADOS Y MODOS EN CORTE.

De la expresión de la constante de propagación o relación de dispersión de la guía se establece una condición en función de cuando la constante de propagación se mantiene real.

2 2

2 m na bπ πω µε > +

(544)

Caso que solo ocurre para un número finito de valores de m y n. De forma que si los valores de m y n escogidos no cumplen con la desigualdad, la constante de propagación se convierte en complejo puro y el término de propagación j ze β− , se convierte en un término de atenuación , j z ze eβ α− −= , entendiendo el inicio de propagación de un modo evanescente.

Como consecuencia no existirá una onda capaz de propagarse por la guía, sino una onda amortiguada en la dirección Z que tiende a extinguirse rápidamente.

Dicho de otra manera para unos valores de m y n determinados existirá una frecuencia mínima por debajo de la cual la constante de propagación se hace imaginaria y el modo deja de propagarse, frecuencia que se conoce como frecuencia de corte de modo, pasándose a denominar al modo como modo en corte, mientras que los modos que se propagan se conocen como modos guiados.

Estableciendo la igualdad anterior se puede definir la frecuencia de corte.

2 2

,1

2c mnm nfa bπ π

π µε = +

(545)

La longitud de onda en la guía, se define como la distancia entre dos planos de fase consecutivos. Para comprender la definición cabe recordar que los modos son ondas planas pero no uniformes y demostraremos que es mayor que la longitud de la onda plana y uniforme:

2

,

2 2

1g mn

mn c mnkf

f

π λ πλ λ λβ

= = = > =

−

(546)

Mientras que la velocidad de fase es,

1

pvk

ω ωβ µε

= > = (547)

La cual es mayor que la velocidad de la luz en el espacio de la guía.

Mientras que la velocidad de grupo,



21 1g

c

dvdω ωβ ωµε

= = −

(548)

El modo con la frecuencia de corte inferior es llamado el modo dominante, como asumimos que a>b, la fc menor ocurre para el modo TE10 (m=1,n=0).

,101

2cf a µε= (549)

Observar como para el caso TMmn, no existen modos TM00, TM01, TM10. Y el primer modo de propagación es el TM11, cuya frecuencia de corte es:

2 2

,111

2cf a bπ π

π µε = +

(550)

Es interesante observar como la constante de propagación dependerá de la frecuencia según,

22 2 ( ) 1c

c

k k j j ωγ β ω ω µεω

= − = = −

(551)

De forma que si la frecuencia de excitación es inferior a la frecuencia de corte, la constante de fase compleja o equivalentemente la constante de propagación es real, imponiendo no propagación, mientras que si la frecuencia es mayor que la frecuenta de corte de la guía la constante de propagación es compleja imponiendo propagación de la solución.

1t g φµ ε

=

4cω

3cω

2cω

1cω

ω

β

Figura 96 Representación dela constante de fase en unción de la frecuencia

Si la fuente excita una frecuencia determinada por la línea discontinua, se activará la propagación de los modos con frecuencia de corte 1,2,3 pero no la 4, de esta forma la energía se distribuye entre los tres modos y como el medio soporta dispersión, se propagará a diferentes velocidades de fase provocando una distorsión en la señal.



Por ejemplo una guía metaliza rectangular rellena de aire con dimensiones a=2.286 cm y b=1.1016 cm presenta las siguientes frecuencias de corte para los modos siguientes

Modo fc(GHz)

TE10 6.562

TE20 13.123

TE01 14.764

TE11,TM11 16.156

TE21,TM21 19.756

TE21,TM21 30.248

Tabla 8 Frecuencias de corte para los primeros modos para una guía de ondas de sección rectangular con dimensiones a=2.286 cm y b=1.1016 cm



Figura 97 Líneas de campo para guía sección rectangular



Lección 27

27. REPRESENTACIÓN MATRICIAL CIRCUITOS MICROONDAS

PARAMETROS SCATTERING.

Partimos de una red genérica de N puertos o accesos, constituida por cualquier relación de componentes de un circuito que va a ser analizada a frecuencias de microondas. Para caracterizar cualquier red necesitamos relacionar magnitudes eléctricas en cada puerto o acceso (tensiones, corriente, potencias).

Por acceso entenderemos cada línea de transmisión externa a la red que permite acceder a ella, vendrá caracterizada por un plano de referencia, una impedancia característica y las tensiones y corrientes incidentes.

I1

I2

INV1

V2

VN

Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

I1

I2

INV1

V2

VN

Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

Figura 98 Red de N puertos genérica, caracterizada por la tensión, la corriente, la impedancia y un

plano de referencia en cada puerto.

La red puede ser completamente caracterizada por una matriz de impedancias o admitancias que relacionan tensiones y corrientes en cada uno de los puertos de entrada, [ ] [ ][ ]V Z I= , [ ] [ ][ ]I Y V= ,

siendo [ ] [ ],Z Y en general, matrices complejas, que definen completamente a un circuito lineal.

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

N

N

N N N NN N

V Z Z Z IV Z Z Z I

V Z Z Z I

=

……

(552)

Donde cada uno de los elementos de la matriz se calcula mediante

0k

iij

Ijk j

VZI =

∀ ≠

= (553)

La definición equivale a decir que dejamos en circuito abierto todos los accesos de la red, excepto el acceso o puerto que se desea calcular. Equivalentemente para la matriz de admitancias, se debe dejar en cortocircuito todos los accesos excepto el puerto considerado.

Sin embargo en alta frecuencia se pueden establecer una serie de inconvenientes con respecto al uso de la matriz de impedancias o de admitancias.



Por ejemplo, la medida de la impedancia es muy sensible a desplazamientos del plano de referencia en cada acceso, es decir la impedancia de entrada depende de la distancia. Este fenómeno lo hemos podido estudiar en detalle al analizar como la impedancia de entrada a una línea de transmisión depende de la longitud de la línea, es decir la longitud a la que situamos el plano de medida con respecto a la impedancia que está cargando la línea.

Las condiciones de contorno implicadas, ya sea cortocircuito o circuito abierto para la caracterización en impedancias o admitancias respectivamente, son difíciles de conseguir en alta frecuencia, y como cualquier otro tipo de impedancia puede cambiar en función de la distancia a la que estemos trabajando. Ya vimos en el repaso de la línea de transmisión que un cortocircuito a una distancia de cuarto de onda se comporta como un circuito abierto.

27.1. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN O “SCATTERING”.

Se utilizará una variante, más fácil de obtener, los parámetros de scattering o de dispersión.

Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

a2

b2

a1

b1

aNbN

Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

a2

b2

a1

b1a1

b1

aNbN

Figura 99 Red de N puertos genérica, caracterizada por la onda incidente, la onda reflejada y la

impedancia..

De forma que relacionaremos cada uno de los accesos de la red según la relación

[ ] [ ][ ]b S a= (554)

Donde la matriz [ ]S , matriz de parámetros S, es una matriz en general compleja, que define

completamente el circuito lineal y donde [ ] [ ],b a son combinaciones lineales de tensión y corriente

normalizadas, definidas según:

oo

Va I ZZ

++= (555)

Correspondiente a la onda incidente, entrante en el circuito

oo

Vb I ZZ

−−= (556)

Correspondiente a la onda reflejada, saliente del circuito.



La impedancia característica o impedancia de referencia se define 50oZ = Ω , es importante ya que

independientemente de la caracterización el acceso desde el sistema de medida se realiza a través de línea de transmisión y por tanto esta debe estar controlada para evitar la formación de la onda estacionaria.

En aplicaciones de RF (TV radiodifusión 75oZ = Ω )

A través de la definición podemos obtener las tensiones y corrientes tomando en cuenta que en cada puerto contaremos con la superposición de la onda incidente y la reflejada de forma que:

( )oV V V Z a b+ −= − = + (557)

( ) ( )1 1

o o

I V V a bZ Z

+ −= − = − (558)

Despejando a y b en función de la tensión y la corriente:

12 o

o

Va I ZZ

= +

(559)

12 o

o

Vb I ZZ

= −

(560)

Así pues podemos establecer la relación,

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

N

N

N N N NN N

b S S S ab S S S a

b S S S a

=

……

(561)

Donde los elementos de la matriz de scattering se obtienen

0k

iij

ajk j

bSa =

∀ ≠

= (562)

Equivale al cálculo del cociente entre la onda saliente en el puerto i-esimo con excitación en el puerto j-esimo imponiendo la condición de adaptación de impedancia, y por lo tanto, ausencia de excitación alguna en el resto de puertos, excepto el de excitación.

Si tomamos los elementos de la diagonal, el cálculo refiere al cociente entre la onda saliente por el puerto i-esimo debido a una onda de excitación entrando por el puerto i-esimo, en otras palabras, el cociente entre la onda reflejada y la onda incidente en el mismo puerto con la condición de no excitación en ningún otro puerto y esto corresponde con la definición del coeficiente de reflexión. Así pues se contempla:

0k

ii ii

aik i

bSa =

∀ ≠

Γ = = (563)

Observar que la potencia en el puerto,



2 2* * *1 1 1 1Re[ · ] ( ) ( )

2 2 2oo

P V I Z a b a b a b P PZ

+ −= = + − = − = − (564)

Que en función del coeficiente de reflexión puede expresarse

( ) ( )2 2 2 21 1 12 2

P a a a= − Γ = − Γ (565)

Básicamente la ventaja con respecto a la matriz de impedancias y/o admitancias es que trabaja de forma independiente con la onda incidente y reflejada y por otro lado requiere de una condición de contorno de fácil implementación, ya que cargando los accesos con la impedancia de referencia evitamos la excitación en cualquier puerto.

27.1.1. SIMBOLOGÍA

Si no existen líneas de transmisión conectadas al circuito a y b no tienen significado físico ya que en sentido estricto no van a existir ondas. Imaginamos el circuito de la Figura.

ZLb2

a2Vg

I

V

Zg

ZLb2

a2Vg

I

V

Zg

Figura 100 Simbología de parámetros de scaterring en ausencia de elementos distribuidos

( ) ( )gg g o

o

ZV Z I V a b Z a b

Z= + = − + + (566)

Se puede establecer una relación de la forma

g g oos g

o o g g o

V Z ZZa b b bZ Z Z Z Z

−= + = + Γ

+ + (567)

Y conocida la relación b a= Γ , se simplifica a

1

s

g

ba =−ΓΓ

(568)

Casos particulares,

Si 50g oZ Z= = Ω

El coeficiente de reflexión mirando al generador, 0 ,g og s s

g o

Z Za b b b

Z Z−

Γ = = ⇒ = = Γ−

Es un generador independiente de la carga, generador CANONICO.

Si 50L oZ Z= = Ω



El coeficiente de reflexión mirando a la carga es, 0 , 0L os

L o

Z Z a b bZ Z

−Γ = = ⇒ = =

−

La potencia generada se puede calcular según:

[ ]

( ) ( )

2 2 2* * *

2

2 2 22

1 1 1 1 1 1Re Re Re ( ) ( )2 2 2 2 2

11 112 2 1

oo

s

g

P I Z VI Z a b a b a bZ

P a b

= = = + − = − =

− Γ= − Γ =

−ΓΓ

(569)

El valor máximo de la potencia disipada a la carga, que el generador entrega a la carga se produce cuando *

gΓ = Γ , situación equivalente a la de adaptación conjugada.

Así pues el máximo de potencia es la potencia disponible.

( ) ( )

*

22

2 2 22 2 22

111 1 1 12 2 21 11

g

g

disponible s s s

g gg

P b b b

Γ=Γ

− Γ− Γ= = =

−ΓΓ − Γ− Γ (570)

El generador canónico es aquel que tiene g oZ Z= o equivalentemente 0gΓ =

2 2 2

2

0

1 1 1 12 2 21

g

disponible s s

g

P b b aΓ =

= = =− Γ

(571)

EJEMPLO.

Para dar sentido físico a la cancelación de la onda incidente imponiendo la condición de contorno de adaptación con impedancia de referencia en los puertos se debe pensar que los accesos pueden estar extendidos mediante líneas de transmisión.

Por ejemplo al estudiar la línea de transmisión con impedancia de referencia de 75Ω .

Zo’=75 Ω

a1

b1

a2

b2Zo’=75 ΩZo’=75 ΩZo’=75 Ω

a1

b1

a2

b2

Para realizar el cálculo del parámetro 21S utilizando la definición.

2

221

1 0a

bSa

=

= (572)



Para anular la onda incidente en el puerto 2, debemos cargarlo con la impedancia de referencia, Zo, así conseguimos que 2 0a = , puerta adaptada, mientras que 2b dependerá del generador y del propio

circuito.

Zo’=75 Ω

a1

b1

a2=0

b2ZoZo’=75 ΩZo’=75 ΩZo’=75 Ω

a1

b1

a2=0

b2Zo

Sin embargo para poder proporcionar sentido físico a lo que estamos haciendo hay que pensar que en el acceso 2 la impedancia de referencia puede estar conectada a través de un línea de transmisión d impedancia característica la impedancia de referencia de forma que por un lado tenemos que no se genera onda incidente y por otro lado en el supuesto que exista onda reflejada en el puerto 2 , 2 0b ≠ , por efecto

de la excitación en el puerto 1, esta onda no es capaz de generar onda incidente por reflexión en el acceso al estar cargada con la impedancia de referencia.

Zo’=75 Ω

a1

b1

a2=0

b2ZoZo=50 ΩZo’=75 Ω

a1

b1

a2=0

b2ZoZo=50 Ω

Así pues volviendo al caso de N puertos los elementos de la matriz de scattering, se interpretan como las fracciones de la onda incidente que se reparten por cada uno de los puertos, incluido el mismo, de ahí el nombre de matriz de dispersión.

Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

a2

b2

a1

b1

aNbN

S11

S21

Sn1Z01

Z02

Z0N

Red de N puertos

a2

b2

a1

b1a1

b1

aNbN

S11

S21

Sn1

Observar que los elementos que construyen la diagonal de la matriz de dispersión



0i

iii

aij i

bSa ≠

≠

= = Γ (573)

Equivale al coeficiente de reflexión del puerto i-esimo cuando el resto de puertos están adaptados, es decir no cuentan con excitación alguna.

27.2. RELACIÓN ENTRE PARAMETROS S Y PARAMTEROS Z E Y.

A partir de la definición establecida en (559) y (560), y generalizando de forma matricial a N puertos,

[ ] ( )12

a V I = + (574)

[ ] ( )12

b V I = − (575)

[ ]

[ ] ( ) [ ] ( )[ ][ ] [ ][ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

11 1

1 11

1

1 12 2

*

* * * *

o

V Z I

I Y V

Z ZZ

a V Y V b V Y V

b a S a a V Y V V Y V

S Id Y V V Id Y Id Y Id Y

−− −

− −−

= =

=

= + = −

= = − +

= − + = − +

[ ] ( ) ( ) 1*S Id Y Id Y

− = − + (576)

Observar la equivalencia con la particularización a un puerto, 11

YY

−Γ =

+

De forma equivalente se puede deducir que

[ ] ( ) ( ) 1*S Z Id Z Id

− = − + (577)

Observar la equivalencia con la particularización a un puerto, 11

ZZ−

Γ =+

De forma análoga se puede demostrar que,

( ) ( ) 1*Y Id S Id S

− = − + (578)

y que

( ) ( ) 1*Z S Id Id S

− = + − (579)



Lección 28

28. PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE DISPERSIÓN.

28.1.1. REDES PASIVAS.

Para una red pasiva se cumple que el módulo de todos los elementos de la matriz de dispersión son menores o iguales que la unidad.

1ijS ≤ (580)

La potencia disipada por el circuito se puede calcular como la diferencia de la potencia incidente y la potencia reflejada

22 2 2 22 2 2

21 1 1 10, _

2

1

1 1

0 1 1

i

n n n ni

d i i j i j j iji i i ia excepto acceso j j

n

d ij iji

bP a b a b a a S

a

si P S S

= = = ==

=

= − = − = − = −

≥ ⇔ ≤ ⇔ <

∑ ∑ ∑ ∑

∑

28.1.2. REDES PASIVAS SIN PÉRDIDAS (UNITARIEDAD).

Para una red pasiva y sin pérdidas se cumple que el producto de la matriz de dispersión y de la matriz de dispersión hermética es igual a la matriz identidad:

[ ][ ] [ ]HS S Id= (581)

Entendemos por matriz hermética la matriz transpuesta y conjugada.

[ ] [ ]* *

* *

Ha b a cS S

c d b d

= ⇒ =

(582)

La potencia neta que entra por la puerta j-esima

2 21 1

2 2j j jP a b= − (583)

Si la red es pasiva y sin pérdidas, toda la potencia incidente debe salir por lo cual

2 2 * *

1 1 1 1

0n n n n

j j j j j j jj j j j

P a b a a b b= = = =

= ⇔ = ⇔ =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (584)

Es decir,

[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

;

0

0

H H H H

H H H

H H H H H H H

H H

a a b b a a b b

además b S a b a S

a a b b a a a S S a a a S S a

o a S S Id

= ⇔ =

= =

= ⇒ = ⇒ − =

= =

(585)



Por tanto se puede establecer que una red pasiva y sin pérdidas, para el caso de cuadripolos de dos accesos que (principio UNITARIEDAD)

2 2

11 21 1S S+ = (586)

28.1.3. REDES SIMETRICAS.

Si una red es simétrica topologicamente hablando se cumple que los elementos de la diagonal principal son iguales.

_ii jjS S Elementos diagonal= ⇔ (587)

Incluso podemos hablar de redes simétricas a aquellas que siendo topológicamente diferentes presenten la misma matriz de dispersión

28.1.4. REDES RECIPROCAS.

La reciprocidad es una propiedad de los materiales, por ejemplos las antenas son reciprocas. Sin embargo los transistores no son recíprocos ya que no amplifican igual en un sentido que en otro, ni circuitos con materiales magnéticos como ferritas….Podemos decir que la matriz de dispersión es simétrica si el circuito es reciproco, independientemente que topológicamente el circuito no sea simétrico.

[ ] [ ]t= S Circuito Reciprocoij jiS S S= ⇔ ⇔ (588)

28.1.5. CAMBIO DEL PLANO DE REFERENCIA.

Una red genérica tiene una matriz de dispersión dada por

RED

[ ] 11 12

21 22

S SS

S S

=

REDZo, Li Zo, LjREDZo, Li Zo, Lj

[ ]( )(2 )

11 12( ) (2 )

21 22

j ii

j i j

j L Lj L

des j L L j L

S e S eS

S e S e

ββ

β β

− +−

− + −

=

(589)

Figura 101 Desplazamiento del plano de referencia

Añadir líneas de transmisión a los accesos únicamente modifica la fase de los elementos de la matriz de dispersión original.



28.2. PUNTO DE INTERÉS: REDES PASIVAS Y SIN PÉRDIDAS.

Si se dispone de un matriz de parámetros de dispersión, [ ] 11 12

21 22

S SS

S S

=

, perteneciente a un circuito

pasivo y sin pérdidas, se debe cumplir [ ][ ] [ ]HS S Id= , de la igualdad se pueden extrae 4 ecuaciones,

siendo las dos últimas equivalentes.

2 211 12

* * 2 211 12 11 21 21 22

* * * *21 22 12 22 11 21 12 22

* *21 11 22 12

11 0 10 1 0

0

S SS S S S S SS S S S S S S S

S S S S

+ =

+ == ⇔ + =

+ =

(590)

Observar que el módulo al cuadrado de los elementos de una fila debe ser igual a la unidad o menor en el caso de tener pérdidas.

De la tercera igualdad, y tomando la igualdad en módulo y fase.

* * 11 21 12 2211 21 12 22

11 21 12 22

S S S SS S S S

φ φ φ φ π =

= − − = − ±

(591)

Podemos establecer la siguiente igualdad para el caso de redes pasivas y sin pérdidas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

11 21 12 22 11 22 11 22 11 11 22 22 11 22(1 ) (1 )S S S S S S S S S S S S S S= ⇔ − = − ⇔ − = −

Se puede llegar a las siguientes igualdades

2 2

11 22 11 22S S S S= ⇔ = (592)

y a partir de (591) y (592)

12 21S S= (593)

Pero observar también que la fase puede variar

Si tomamos la igualdad 11 22S S K= = , por el principio de unitariedad se establece que

212 21 1S S K= = − de forma que se puede describir la matriz de parámetro S, para cualquier red

pasiva y sin pérdidas según

[ ]11 12

21 22

2

2

1

1

j j

j j

Ke K eS

K e Ke

φ φ

φ φ

− = −

(594)

Donde además,

11 21 12 22φ φ φ φ π− = − ± (595)

Si además la red es reciproca, 12 21φ φ= , pudiéndose reducir (595).

11 22 212φ φ φ π+ = ± (596)



Así pues se puede establecer un posible circuito equivalente según

REDZo, Li Zo, Lj[ ]'SREDZo, Li Zo, LjREDZo, Li Zo, Lj[ ]'S

Figura 102 Desplazamiento del plano de referencia

Con una matriz de parámetros [S], asociada de la forma

[ ]11 12

21 22

2 2 ( )

2 ( ) (2 )

1'

1

j jj li j li lj

j jj li lj j lj

Ke e K e eS

K e e Ke e

φ φβ β

φ φβ β

− − +

− + −

− = −

(597)

Donde haciendo uso de la propiedad establecida en con respecto al cambio de plano de referencia, se ajustan las longitudes de las líneas de transmisión.

De forma que

11 2 0ilφ β− = (598)

22 2 0jlφ β− = (599)

Y donde

12 12' i jl lφ φ β β= − − (600)

Para obtener

[ ]12

21

'2

'2

1'

1

j

j

K K eS

K e K

φ

φ

− = −

(601)

Esta expresión además se puede simplificar teniendo en cuenta que si la red es reciproca

11 2211 22 21 12 212

2 2φ φ πφ φ φ π φ φ +

+ = ± ⇔ = = ± (602)

Ahora substituyendo en esta última expresión

11 2212'

2 2 2 2i jl lφ φ π πφ β β= − + − ± = ± (603)

Se puede establecer finalmente que

[ ]2

2

1'

1

K j KS

j K K

± − = ± −

(604)

Y donde se puede demostrar que la matriz de parámetros S resultante se comporta como un inversor de impedancias. Si se calcula la impedancia de entrada cuando la red se carga con una impedancia ZL, resulta

11

ii o

i

Z Z +Γ=

−Γ (605)



Y donde el coeficiente de reflexión a la entrada según (611), resulta

12 2111

22

' ''1 '

Li

L

s sss

ΓΓ = +

− Γ (606)

Operando se puede llegar a

1 1 111 1 11 1 111

iLii

i L L

L

K KK Z Z KZK Z Z ZK Z

α+ + − − − − Γ = = ⇔ = =+ ++ −

(607)



Lección 29

29. REDES DE DOS PUERTAS.

El planteamiento es calcular el coeficiente de reflexión a la entrada de un bipuerto (red de dos puertas), cargado con una impedancia genérica ZL.

a2

RED[ ]S

ZL

a1

b1 b2

LΓIΓ

a2

RED[ ]S

ZL

a1

b1 b2

LΓIΓ

RED[ ]S

ZL

a1

b1 b2

LΓIΓ

Figura 103 Definición de coeficiencte de reflexión de entrada y carga en un cuadripolo cargado a la salida

A partir de la definición se puede establecer un conjunto de dos ecuaciones

[ ] [ ][ ] 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

b s a s ab S a

b s a s a= +

= ⇔ = + (608)

El coeficiente de reflexión a la entrada del bipuerto se define:

1 211 12

1 1i

b as sa a

Γ = = + (609)

El coeficiente de reflexión en la carga, puede definirse según el diagrma de ondas incidentes y reflejadas como:

2 2 1 1 2222 21

2 21 1 22 2 2 2 21

11 LL

L L

a a a a ss sb s a s a a a s

− ΓΓ = = ⇔ = + ⇔ =

+ Γ Γ (610)

Estableciéndose la relación a partir de (609) y (610).

12 2111

221L

iL

s sssΓ

Γ = +− Γ

(611)

Observar que el resultado es consecuente en el sentido que si 0L L OZ ZΓ = ⇔ = el coeficiente de

reflexión a la entrada del bipuerto es directamente 11s , como establece la definición.

De forma equivalente a la salida se puede establecer:

12 2122

111S

oS

s sssΓ

Γ = +− Γ

(612)



29.1.1. GANANCIA DE TRANSFERENCIA DE POTENCIA.

Se define la ganancia de transferencia de potencia como el cociente entre la potencia disipada en la carga entre la Potencia disponible en el generador. Dependerá por tanto de los coeficientes de reflexión de generador y de carga.

a2

[ ]SZo

a1

b1 b2

Zga2

[ ]SZo

a1

b1 b2

Zg

Figura 104 Definición de parámetros para la ganancia de transferencia de potencia

En el caso de adaptación tanto en la carga como en el generador ( 0, 0LgΓ = Γ = )

22 2

2121

1Pot_disipada_carga 21Pot_disponible_gen 2

T

bG S

a= = = (613)

Los parámetros de scattering de alguna forma son medidas de potencia.

29.1.2. GANANCIA DE TENSIÓN Y PARAMETROS S.

Se define la ganancia de tensión como el cociente de la tensión a la salida entre la tensión a la entrada cuando la impedancia de carga es la impedancia de referencia.

2

1 L o

TensionZ Z

VGV

=

= (614)

a2

[ ]S Zo

a1

b1 b2

Zg

V2V1

a2

[ ]S Zo

a1

b1 b2

Zg

V2V1

Figura 105 Definición de parámetros para la ganancia de tensión

En el puerto de entrada la tensión aplicando la definición se obtiene según

1 1 1( )oV Z a b= + (615)

Mientras que en el puerto de salida, teniendo en cuenta que el acceso está cargado con impedancia de referencia, es decir está adaptado, a2=0, por lo tanto la tensión en el puerto de salida será:

2 2( )oV Z b= (616)

Substituyendo en la definición obtenemos,

( )2

2 2 1 21 221 11

11 1 1 11 11

· 111L o L o

TensionZ Z Z Z

bV b a S VG S SbV a b S V

a= =

= = = = ⇔ = ++ ++

(617)



EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN.

Cuestión 1 Indicad cual de las siguientes expresiones es una solución de onda plana.

A) j xoE yE e π−=

B) xoE yE e π−=

C) j yoE yE e π−=

D) · · j xoE yE x e π−=

Cuestión 2 Indicad cual de las siguientes expresiones no es una onda polarizada linealmente.

A) ( ) j xoE x yE e π−=

B) ( )( ) j x zoE y x E e π− += +

C) ( )( ) j x zoE y jx E e π− += +

D) ( )( ) j x zoE j y x E e π− += +

Cuestión 3 Dado un vector dirección de propagación, un vector campo eléctrico y un vector campo magnético. Indicad que relaciones deben cumplir para que puedan construir una onda plana.

Cuestión 4 Una onda de campo eléctrico con expresión, ( )( ) j x zoE y jx E e π− += + . ¿Qué polarización

tiene?

A) Lineal

B) Circular a derechas

C) Circular a izquierdas

Cuestión 5 Calculad la longitud de onda en un medio dieléctrico de permitividad dieléctrica relativa 4. Si la frecuencia de la onda es 3 GHz.

A) 10 cm

B) 5 cm

C) 2,5 cm

Cuestión 6 Calculad la constante de fase en un medio dieléctrico sin pérdidas, de permitividad relativa 4. Si la frecuencia de la onda es 75 MHz.

A) π rad/m

B) / 2π rad/m

C) 2π rad/m



Cuestión 7 Un onda de campo eléctrico de amplitud 10 V/m, orientado en la dirección z . Tiene asociado

un campo magnético orientado en la dirección x . La constante de fase es ko. Resolved la expresión de la onda para el campo eléctrico.

A) ·10· ojk yE z e−=

B) ·10· ojk zE z e−=

C) ·10· ok yE z e−=

Cuestión 8 Si un campo eléctrico está orientado según el vector 1 (1,1,0)2

e = y el campo magnético

asociado está orientado según el vector (0,0,1)h = . Resolved la orientación del vector unitario de propagación.

A) ( )12

k x y= +

B) ( )12

k x y= −

C) ( )12

k x y= − +

D) ( )k x y= − −

Cuestión 9 Si el vector campo eléctrico está orientado según 1 (1,1,0)2

e = . ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es correcta

A) El vector campo magnético puede ser 1 (1,1,0)2

h =

B) El vector campo magnético puede ser 1 ( 1,1,0)2

h = − .

C) El vector campo magnético es (0,0, 1)h = − .

D) El vector campo magnético puede ser 1 (1,0,1)2

h = .

Cuestión 10 Calculad la densidad superficial de potencia para la onda plana con expresión. ( )( ) j x z

oE y x E e π− += + . Siendo la amplitud del campo eléctrico 10 V/m.

A) 10,53 W/m2

B) 0,53 W/m2

C) 0,2652 W/ m2



D) 10 W/ m2

Cuestión 11 Calculad la densidad superficial de potencia para la onda plana con expresión. ( )( ) j x z

oE y jx E e π− += + . Siendo la amplitud del campo eléctrico 20 V/m.

A) 1,06W/m2

B) j2,122 W/m2

C) 2,122 W/ m2

D) 10 W/ m2

Cuestión 12 Para un campo eléctrico en notación fasorial ( )1( , ) ( )2

j x zoE x z y x E e π− += + . Calculad

la expresión del campo eléctrico instantáneo.

Cuestión 13. Para un campo eléctrico en notación fasorial 0,11( )2

z j zoE z xE e e π− −= . Calculad la

expresión del campo eléctrico instantáneo.

Cuestión 14 Para un campo eléctrico en notación fasorial 1( )2

j zoE z xE e π−= . Donde la amplitud del

campo eléctrico es / 21 joE e π= V/m Calculad la expresión del campo eléctrico instantáneo.

Cuestión 15 Una onda plana se propaga por el vacío y entra a propagarse en un medio dieléctrico. La constante dieléctrica del medio es 9rε = . Calculad el coeficiente de reflexión y el coeficiente de

transmisión.

A) 0,5Γ = − y 0,5T =

B) 0,5Γ = − y 0,5T = −

Cuestión 16 Una onda plana se propaga por el vacío y entra a propagarse en un medio dieléctrico. La onda plana incide de forma oblicua con un ángulo de incidencia de 30 º. Si la onda presenta el vector campo eléctrico con polarización perpendicular al plano de incidencia. Calculad el coeficiente de reflexión para el caso que la constante dieléctrica del medio vale 2,55rε = y 9rε = .

A) 2Γ = y 1Γ = respectivamente

B) 0, 2730Γ = − y 0,54Γ = − respectivamente

C) 0, 4855Γ = − y 0,8242Γ = − respectivamente

D) 0, 4855Γ = y 0,8242Γ = − respectivamente

Cuestión 17 Una onda plana se propaga por el vacío y entra a propagarse en un medio dieléctrico. La onda plana incide de forma oblicua con un ángulo de incidencia de 60 º. Si la onda presenta el vector campo eléctrico con polarización paralela al plano de incidencia. Calculad el coeficiente de reflexión para el caso que la constante dieléctrica del medio vale 2,55rε = y 9rε = . Calculad el ángulo de Brewster

en ambos casos.



29.2. SOLUCIONARIO

Cuestión 1 A

Cuestión 2 C

Cuestión 3 La amplitud de la onda es uniforme

Perpendicularidad entre vector campo eléctrico y vector dirección de propagación.

· 0e k = .

El campo magnético asociado también debe cumplir la perpendicularidad con el

vector dirección de propagación · 0h k = .

Al formar una triada de vectores de mano derecha se debe cumplir, k exh=

Cuestión 4 C

Cuestión 5 B

Cuestión 6 A

Cuestión 7 A

Cuestión 8 B

Cuestión 9 B

Cuestión 10 B

Cuestión 11 A

Cuestión 12 ( )1( , , ) Re ( )2

1 ( ) cos( ( ))2

j x z j to

o

x z t y x E e e

y x E t x z

π ω

ω π

− + = + =

= + − +

E

Cuestión 13 0,11( , ) cos( )2

zoz t xE e t zω π−= −E

Cuestión 14 1( , ) cos( / 2)2

z t x t zω π π= − +E

Cuestión 15 A

Cuestión 16 B

Cuestión 17 para 2,55rε = , 0,025Γ = y 57,94ºBi =

Para 9rε = , 0, 22Γ = − y 71,56ºBi =



EJERCICIOS AUTOEVALUACIÓN.

Cuestión 18 Obtened el coeficiente de reflexión a la entrada de un dispositivo cuya impedancia de entrada es 50Z j= Ω

Cuestión 19 Obtened el coeficiente de reflexión a la entrada de un dispositivo cuya impedancia de entrada es 50 50Z j= + Ω

Cuestión 20 Calculad el coeficiente de reflexión para una impedancia 40 50Z j= + Ω y el coeficiente de reflexión y la impedancia de entrada si la impedancia está conectada a una línea de longitud / 4λ . Para una amplitud de onda progresiva de 2 Vj calculad la potencia incidente, reflejada y la relación de onda estacionaria.

Cuestión 21 Una antena presenta una impedancia 60 10LZ j= + Ω . Está conectada a través de una

línea de transmisión de impedancia característica Zo=50Ω a un generador que entrega una potencia de 10 W. Calculad la potencia disipada en la antena.

Interpretad que la potencia disipada en la antena, entendiéndola como carga, será la potencia que la antena radiará. La antena será mas eficiente cuanto menos potencia refleje o equivalentemente menor sea el coeficiente de reflexión.

Cuestión 22 Calculad la impedancia de entrada en una línea de transmisión sin pérdidas de longitud d=0,35λ y de impedancia característica Zo. Cuando está cargada con una impedancia de carga de valores: ZL=Zo, ZL=2Zo, ZL=0,5·Zo.

Cuestión 23 Para un substrato dieléctrico de espesor d=0.25 mm, permitividad 3,65rε = , '' 0ε = ,

Rs=0. Encontrad los valores de L, C, R, G y Zo para una pista microstrip de anchura W=1 mm,

29.3. SOLUCIONARIO

Solución Cuestión 18

jΓ =


0, 2 0,4jΓ = +


0.1509 + 0.4717jΓ =

El coeficiente de reflexión y la impedancia de entrada a la distancia de / 4λ

-0,1509 - 0,4717jinΓ =

24,3902 -j30,4878inZ = Ω

La potencia de la onda progresiva

40P mW=

La potencia de la onda regresiva

9.8P mW=

La relación de onda estacionaria

2.9624S =

Solución Cuestión 21.

( ) ( )2 22 2 38º1 1 1 10(1 0,128 ) 9,83 W2

jL o

o

P V P eZ

+ += − Γ = − Γ = − =

Solución Cuestión 22.

ZL=Zo Zin=Zo

ZL=2Zo Zin= 33.7436 +j24.0690 Ω

ZL=0,5·Zo Zin= 49.1045 -j35.0258 Ω


L 73,14·10 H/mdL

Wµ −= =

C

12103,65·8,85·10 1 1, 29·10 F/m

0, 25WCdε −

−= = =

R

2 0sRRW

= =

G

'' 0WGd

ωε= =

Zo 49, 29o

LZC

= = Ω