Ing. Elmo David Leonardo Fabián
CICLO 2011-II Módulo:Unidad: I Semana: 1.1
CÁLCULO VECTORIAL
OBJETIVOS
• Objetivo General del curso: Interpretar, formular y resolver problemas aplicando conceptos, leyes y propiedades de las funciones , límites y derivadas, para su aplicación en el desarrollo de casos prácticos y reales.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Unidad I
Se llama DISCRIMINANTE de una ecuación de segundo grado al valor:
El nº de soluciones de una ecuación de segundo grado dependerá del SIGNO del Determinante.
Si: > 0 Tiene 2 soluciones reales distintas.
= 0 Tiene 1 solución DOBLE
< 0 No tiene solución en los números Reales.
Demostración de la fórmula de la ecuación de segundo grado
02 cbxax Se multiplican los dos miembros por 4a
0444 22 acabxxa Se suma y resta b2
0444 2222 acbbabxxa Se completan cuadrados
04)2( 22 acbbax
acbbax 42 22
acbbax 42 2
a
acbbx
2
42
Se despeja x
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado
1) Suma de raíces a
bxx
21
A partir de la fórmula se obtienen las siguientes propiedades:
2) Producto de raíces a
cxx 21
Ecuaciones con RadicalesEcuaciones con Radicales
Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.
Por ejemplo:
Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la siguiente propiedad:
Si: a = b → a2 = b2
65 .
92 .
x
x
La solución final debe verificarse en la ecuación Inicial.
Ecuaciones con Radicales: EjerciciosEcuaciones con Radicales: Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones:
423 .1 x
3235 .2 xx
343 .3 xx
123 .4 xxx
414 .5 xxx
112435 .6 xxx
INECUACIONES
Unidad I
Desigualdad Notación Gráfica
a x b
a x b
a x b
a x b
[a ; bx
[a ; b[x
]a ; b x
]a ; b x
a
b
a
b
a
b
a
b
Intervalos
Desigualdad Notación Gráfica
a ; [x
]- ; ax
a
a
a
a
a ; [x ]
]- ; a[x
ax
ax
ax
ax
Unión e Intersección
-3 0 7
-3 0 7
AB
AB
Sean: A= ]-3; 7] y B = [0; [
AB
AB
Concepto:Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que solo se verifica para ciertos valores de esa incógnita.
Procedimiento para resolución de una inecuación:
-Suprimimos signos de colección.-Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.-Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.-Despejamos la incógnita.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Definición:
Una inecuación de primer grado es aquella inecuación que admite
como forma general a: 0;0
0;0
baxbax
baxbax
Donde, en todos los casos, a y b son constantes reales y a 0.
Ejemplos:
x + 1 > 2 + (x - 3) 123
12
4
2 xxx
1) Si a < b y c es cualquier número real, entonces
a + c < b + c
Sean a, b y c: números reales
Propiedades:
2) Si a < b y c es positivo, entonces
a . c < b . c
3) Si a < b y c es negativo, entonces a . c > b . c
Es el conjunto de valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.
Solución de la inecuación
Estrategia de resolución2x + 1 > 2 + (x - 3) Ejemplo: Resuelva:
Despeje la incógnita aplicando propiedades.
2x + 1 > 2 + x – 3 x > - 2
Represente gráficamente la solución.
-2
Exprese el C.S en forma de intervalo
;2.SC
Ejemplo:Resuelva:
Despeje la incógnita aplicando propiedades.
Represente gráficamente la solución.
Exprese el C.S en forma de intervalo
6
7;.SC
6
71412
8246123
13
8
24
xx
xxxx
67
3
1
4
1
2 x
x
Inecuaciones
de primer grado
• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.
• Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son
equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, ó x a
Ejemplos:
2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3
1/3Soluciones: (1/3,+)
3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, la solución de la inecuación son todos los números reales. Soluciones: (– ,+)
5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución.
11
Reforzando lo aprendido
1. Resolver:
;1.
1
782
872
8163
SC
x
xx
xx
xxx
xxx 8123
Reforzando lo aprendido
2. Resolver: 23
1
4
3
xx
;29.
29
1291
29
92043
20493
54333
5
4
33
61
4
3
SC
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Demuéstrame tu capacidad
1. Resolver la siguiente inecuación:
2. Resolver: 257
2
xx
111332 xx
Inecuaciones
racionales• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un
miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del
miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.• Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es
posible la división por 0.
Ejemplo: x – 4x + 3 0
4–3
x – 4
x + 3
(x – 4)/(x +3)
–
–
+
–
+
–
+
+
+
Los puntos que son solución aparecen de color azul.
Soluciones: (–, –3) [4, + )13
Inecuaciones polinómicas• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un
miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del
miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.
Ejemplo: 2x2 – 2x + 1 x2 + 2x – 2 x2 – 4x + 3 0 (x – 1) . (x – 3) 0
x – 1
x – 3
(x – 1)(x – 3)
–
–
+
+
–
–
+
+
+
Soluciones: (–, –1] [1, + )
31Los puntos que son solución aparecen de color azul.
12
Concepto:Es aquella que admite ser reducida a cualquiera de las siguientes formas:
er1
0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
1. Resolver: para luego indicar la cantidad de números enteros “x” que verifica la ecuación.
01133
019
1
9
0910
22
2
2
24
xxxx
xx
x
x
xx
910 24 xx
Hallando los puntos críticos:
3
03
3
03
x
x
x
x
1
01
1
01
x
x
x
x
Reforzando lo aprendido
-1 31-3
+-+ +-3;11;3. SC
2. Resolver:
4
04
7
07
x
x
x
x
028112 xx
047
4
7
028112
xx
x
x
xx Hallando los puntos críticos:
++ -
74
;74;.SC
Reforzando lo aprendido
1. Un intervalo solución de: es
2. Resolver:
Demuéstrame tu capacidad
0342 xxx
015228 2 xx
Ejemplo 1• Resuelve la inecuación:• x2 - 5x + 6 ≤ 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 • Se halla el signo de cada factor:
- oo 2 3 +oo
( x – 2 )
( x – 3 )
- + +
- - +
Productos + - +
En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]
Ejemplo 2• Resuelve la inecuación:• x2 + 3x - 10 > 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x + 5 ) > 0 • Se halla el signo de cada factor:
- oo - 5 2 +oo
( x – 2 )
( x + 5 )
- - +
- + +
Productos + - +
En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego
Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }
Ejemplo 3• Resuelve la inecuación:• x2 + 2x + 1 < 0• Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1• Se factoriza el polinomio:• (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 • Se halla el signo de cada factor:
- oo - 1 +oo
( x +1 )
( x + 1 )
- +
- +
Productos + +
No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø
INECUACIONES POLINOMIALES
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
Unidad I
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir:
i. Si: P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0
Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo.
Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
+ - + + - +
{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0242x5xx 23
+ +--
, 4 3 , -2x
-2 3 4
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
ii. Si: P(x) < 0
o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0
Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo.
Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
+ - + + - +
}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x
: dofactorizan 082x9x2xx 234
- +-+
2 , 1 1- , -4x
-4 1 2-1
+
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
SEGUNDO CASO :
Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad
mayor que (1) , se tiene:
suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces:
i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son
iguales , es decir no son alterados.
Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto Solución.
{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x
: dofactorizan 0814x3x4x2
234
x
- +-+
1 ,4 2- , -x
-2 1 4
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri
tienen signos diferentes.
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto
Solución.
{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0617x14x4xx3
245
+ +--
1,3 2- , -x
-2 1 3
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
TERCER CASO:
Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto Solución.
{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x
: dofactorizan 02420x-2xx2x2
2345
x
+ +--
, 3 1 , -2x-2 1 3
El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x R ; podemos prescindir de este factor.
INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
4. INECUACIONES FRACCIONARIAS.
Son inecuaciones de la forma:
( ó con > ó < )
Donde Q(x) 0
Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.
NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el entorno del valor crítico que le corresponde no cambia de signo.
0Q(x)
P(x) ó
)x(Q
)x(P 0
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
Ejemplo: Resolver:
Solución:
07xx
4022xxx2
23
+ +--
[2,4][-5,0 7- , -x -7 0 2
07xx
4022xxx2
23
Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el numerador:
0 1
5- 5-
0 5 1
0
40-
40
1022
10-3 1
12 4 4
2211
4} 2, 0, 5,- {-7,PC
07)x(x
5)2)(x-4)(x-(x
-5 4
+-
ECUACIONES e INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Unidad I
IntroducciónIntroducciónEn algunos casos, nos puede interesar conocer la diferencia entre los datos recogidos y un número en particular, sin importar que esta diferencia sea positiva o negativa.
Por ejemplo, podemos obtener la distancia de los siguientes puntos al valor de 2:
2 3 5 90-2 x
Distancia: |x – 2|Distancia: |x – 2|
ObjetivosObjetivos
Definición de Valor Absoluto. Identificar las propiedades generales
del valor absoluto.Resolver ecuaciones con valor
absoluto.Resolver inecuaciones con valor
absoluto.
Valor AbsolutoValor Absoluto
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
•|15| = 15
•|-4| = -(-4) = 4
•|0| = 0Obs:
22(-2) , 22 xx
Propiedades del Valor AbsolutoPropiedades del Valor Absoluto
yxyxyyx
yxyxyx
yxyx
yy
x
y
x
yxxy
xxx
x
0 .7
.6
.5
0 , .4
.3
.2
0 .1222
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo: 1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema:
l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )
)4
11x
27
(x3 x
11)4x72x(3x
32 11/4 7/2
2
7CS
9)(3x2x9-3x2(x09-3x9-3x2x
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo: 2. Resolver: l11 x +3 l = 5 Aplicamos el teorema:
l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )
11
8x
11
2 x
811x 211x
5311x 53x115311x
11
8,
11
2CS
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo: 3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l
Aplicamos el teorema: l x l = l y l x = y x = - y
94
x 10x
-49x 10x
4x-73-5x 10x
4x)-(73-5x 4x 735x4x73-5x
10,
9
4CS
Ecuaciones con Valor AbsolutoEcuaciones con Valor Absoluto
xx
xx
x
x
243 .4
331 .3
14
2 .2
31
2 .1
Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.
Desigualdades con Valor Absoluto
babbba
babbba
0
0
bababa
bababa
22
22
baba
baba
Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto
• | 2x + 1| > -2• | 3x - 2 | ≤ 12• 4 | x + 5 | ≥ 8• | x - 8 | < 20 2• Observa que la variable está dentro del
valor absoluto en un lado de la inecuación y al otro lado hay una constante, o sea, un número.
• Observa que la expresión utiliza los símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤
Explorar cómo sería la solución
| x | < 2 ¿Qué valores de x harían cierta la ecuación? x = 1, 0, -1, ¼, ½, ¾, -¼, -½, -¾, ... ¿Qué valores de x harían falsa la ecuación? x = 3, 4, -3, -4, 2, -2, mayores que 2, menores que
-2 ¿Cuál sería la solución gráfica?
-3 -2 -1 0 1 2 3
Explorar cómo sería la solución
| x | > 2 ¿Qué valores de x harían cierta la ecuación? x = 3, 4, -3, -4, … ¿Qué valores de x harían falsa la ecuación? x = 1, 2, -1, -2, menores que 2, mayores que -2 ¿Cuál sería la solución gráfica?
-3 -2 -1 0 1 2 3
Propiedades
• Propiedad de Menor que: Si | x | < a, y a es positivo, entonces: -a < x < a • Propiedad de Mayor que: Si | x | > a, y a es positivo, entonces: x < -a ó x > a Observa que para poder aplicar la propiedad tienen
que darse los dos supuestos:
1. El valor absoluto tiene que estar despejado.2. El número a al otro lado de la desigualdad
tiene que ser positivo.
Ejercicio 1
• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10
-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5
- 15 ≤ x ≤ 5• La solución gráfica sería:
-15 -10 -5 0 5 10 15
Ejercicio 2
• Resuelve: | -3x + 6 | > 18
-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18
-3x < -24 -3x > 12
x > 8 x < -4• La solución gráfica sería:
-4 -2 0 2 4 6 8
Ejercicio 3
• Resuelve: | 2x | - 5 < 11
| 2x | < 16
- 16 < 2x < 16
- 8 < x < 8• La solución gráfica sería:
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ejercicio 4
• Resuelve: | x - 3 | ≥ -2• Como el valor absoluto está despejado y al
otro lado hay un número negativo, nos preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un número negativo?
• Como la contestación es siempre, sabemos que la solución es: Todos los números Reales
• La solución gráfica sería sombrear toda la recta numérica.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 5: Resolver: l x + 3 l 3x - 1
Aplicamos el teorema: l x l y - y x y
2 x 2
1x
-42x- 24x -
1-3x3 x 3x 13x-
1-3x3x 13x-
13313133x
xxxx
,2CS
-1/2 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 6: Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l 9
Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y
32
x 320
x
23x 203x
-911-3x 9113x911-3x
,3/20 3/2,CS
2/3 20/3
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 7: Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l 8x - 3
Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y
13
4- x
3
10 x
413x 103x-
3)--(8x75x 38x75x38x75x
3/10,CS
-4/13 10/3
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES
CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplo 8: Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1|
Aplicamos el teorema: l x l l y l x2 y2
01)-2)(x1)(x(x02-xx1x
04-x22x6-6x-
014xx5-2x-x 14xx5-2x-x
014xx5-2x-x
14xx5-2x-x14xx5-2x-x
2
2
2222
2222
222222
1 , 12,CS -2 -1 1
- + + -
Ejercicios: Resuelve y Traza la gráfica de la solución
• | x - 2 | ≥ 3• < 4
• | -2x + 2 | - 1 > 5• | x - 7 | ≤ 5
2• | -3x + 6 | + 8 > 1 • | 2x | + 5 < 3
2
35 x
Ejercicios:Ejercicios:
12
23
23
12 5.
3-5x 32x .4
11-x
x .3
1335 .2
74 .1
x
x
x
x
xx
x
Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto.
GRACIAS
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