DINÁMICA
La Dinámica se ocupa de estudiar propiamente el movimiento de los
cuerpos, como señalamos al principio de este curso básico. Y se divide en
Cinemática, que es la parte que trata exclusivamente de la descripción del
movimiento; y Cinética, que relaciona ese movimiento con las causas que
lo producen. En aquella parte se estudian fundamentalmente los conceptos
de posición, velocidad y aceleración, y en ésta, los de fuerza y aceleración.
Dividiremos nuestro estudio en Dinámica de la partícula y Dinámica del
cuerpo rígido
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
No resulta superfluo recordar que para la Mecánca clásica por par-
tícula se entiende un punto dotado de materia, o bien, un cuerpo sin dimen-
siones: se trata de una idealización que mira a simplificar el estudio del
movimiento de los cuerpos. Podremos tratar como partículas a cuerpos de
cualquier tamaño, pero observando solamente el comportamiento de uno
de sus puntos. También, si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas
en comparación con las longitudes que recorre; y, por último, cuando el
cuerpo en estudio se mueva con traslación pura, es decir, que todas las
rectas que unan dos partículas cualesquiera conserven su dirección durante
el movimiento.
Movimiento rectilíneo. Cinemática
194
IX. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
CINEMÁTICA
Imaginemos un automóvil que arranca desde un punto A y avanza en
línea recta. Observamos que un segundo después ha avanzado dos metros;
a los dos segundos, ocho, y continúa avanzando conforme se muestra en la
siguiente tabla. Y esos datos también se pueden graficar, tal como se ilustra.
t (s) 0 1 2 3 4 5
s (m) 0 2 8 18 32 50
Consideremos los primeros cuatro segundos del movimiento. En ese
lapso la razón de la distancia recorrida al tiempo es de 32 a 4, es decir, 8.
Pero la razón de la distancia recorrida desde t = 1 hasta t = 4 s es de 30 a 3,
o sea 10. La siguiente tabla muestra las razones que resultan de los distintos
desplazamientos a los respectivos lapsos.
t Δs Δt Δs/Δt
0-4 32 4 8
1-4 30 3 10
2-4 24 2 12
3-4 14 1 14
Podríamos sospechar que si el lapso considerado lo reducimos hasta
llegar a un tiempo infinitamente pequeño la razón del desplazamiento al
tiempo sería infinito. Pero no es así.
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
A s
Movimiento rectilíneo. Cinemática
195
Las razones de la tabla anterior se pueden representar gráficamente
como las pendientes de las rectas que unen los extremos de los intervalos:
Podemos apreciar que esas rectas son secantes de la curva, y que el
procedimiento que seguimos consiste en acercar cada vez más las dos inter-
secciones. Si tratamos de reducir el intervalo de tiempo hasta que sea
prácticamente igual a cero, la recta se convertirá en una tangente a la gráfica
posición-tiempo.
Como puede deducirse de los datos de la tabla del movimiento del
automóvil, la expresión s = 2t2 nos dice a qué distancia del punto A se
encuentra el automóvil en cualquier instante. Si la derivamos con respecto
al tiempo, obtenemos ds/dt = 4t, que expresa la pendiente de la tangente en
cualquier punto (1). Para t = 4 s, la pendiente será de 16 m/s.
(1) Un tratamiento formal de derivación de funciones corresponde más
propiamente a los cursos de Cálculo.
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
14
1
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
10
1
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
12
1
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
8
1
Movimiento rectilíneo. Cinemática
196
A la razón s/t las llamaremos velocidad media; a la ds/dt,
velocidad instantánea o, simplemente, velocidad.
Un tratamiento semejante al que hemos dado a la información de
las posiciones y los tiempos lo podríamos dar a las velocidades y los
tiempos. Con ello obtendríamos un estudio de la aceleración del
cuerpo.
Con este ejemplo a la vista, formalizaremos la Cinemática del mo-
vimiento rectilíneo de la partícula
Conceptos fundamentales
Pensemos en una partícula que se mueve describiendo una línea
recta. La línea que describe se llama trayectoria. Elegimos un punto
conocido de la trayectoria como origen, tal como en el ejemplo
tomamos el punto A.
Posición (s)
La posición es el lugar que ocupa la partícula en estudio. Para
determinarla, basta conocer la distancia s a la que se encuentra del
origen. Un tiempo después, la partícula se encontrará en una nueva
posición s’.
s
O
Δ s
P P´
s´
s (m)
50
32
2
1 2 3 4 5 t (s)
18
8
16
1
Movimiento rectilíneo. Cinemática
197
Desplazamiento (s)
La diferencia entre dos posiciones se llama desplazamiento: s=s’ – s
Velocidad media (vm)
La velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo. Simbó-
licamente vm = s/t
Velocidad (v)
La velocidad (o velocidad instantánea) es la razón del desplaza-miento
al tiempo cuando éste es infinitamente pequeño.
La función velocidad de una partícula se calcula derivando la función
de la posición con respecto al tiempo: v = ds/dt.
Aceleración media (am)
Se llama aceleración media la razón del cambio de velocidad al tiem-
po. Simbólicamente am = v/t.
Aceleración (a)
La aceleración (a veces también llamada aceleración instantánea) es
la razón del cambio de la velocidad al tiempo cuando éste es infinitamente
pequeño.
La función aceleración de una partícula se calcula derivando la fun-
ción de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, a = dv/dt.
Movimiento rectilíneo. Cinemática
198
Una manera muy recomendable de abordar los problemas de movi-
miento rectilíneo es comenzar escribiendo las ecuaciones del movimiento,
o sea, de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función
del tiempo.
𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡2
como 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 , 𝑣 = 3𝑡2 − 6𝑡
y puesto que 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 , 𝑎 = 6𝑡 − 6
a) Investigamos en qué tiempo 𝑣 = 9
9 = 3𝑡2 − 6𝑡
𝑡2 − 2𝑡 − 3 = 0 (𝑡 + 3)(𝑡 − 1) = 0
𝑡1 = −3, 𝑡2 = 1
La raíz negativa no tiene ningún significado físico; sólo nos interesa la
positiva
𝑎 = 6(1) − 6
𝑎 = 0
b) El tercer segundo comienza cuando 𝑡 = 2 y termina cuando 𝑡 = 3 𝑠
𝑣𝑚(2 − 3) =𝑠3 − 𝑠2
𝛥𝑡
𝑠3 = 33 − 3(3)2 = 0
𝑠2 = 23 − 3(2)2 = 8 − 12 = −4
𝑣𝑚(2 − 3) =0 − (−4)
1 ∶
𝑣𝑚 = 4 ins⁄ →
c) El desplazamiento es la diferencia entre dos posiciones
𝛥𝑠(0 − 6) = 𝑠6 − 𝑠0
Movimiento rectilíneo. Cinemática
199
𝑠0 = 0
𝑠6 = 63 − 3(6)2 = 108
𝛥𝑠 = 108 in →
d) Para conocer la distancia que recorre durante los primeros seis segundos,
investigaremos si la partícula se detiene durante ese lapso, pues si lo hizo,
significa que cambió de sentido su velocidad
𝑣 = 0
0 = 3𝑡2 − 6𝑡
0 = 𝑡 − 2
𝑡 = 2
Para calcular la distancia sumaremos la que recorre de 0 a 2 s y la que
recorre de 2 a 6 s.
𝐷 = |𝛥𝑠(0 − 2)| + |𝛥𝑠(2 − 6)|
como 𝑠0 = 0, 𝑠2 = −4 y 𝑠6 = 108
𝐷 = |−4| + |108 − (−4)| = 4 + 112
𝐷 = 116 in
Ejemplo. La aceleración del brazo de
un robot que se mueve en una línea recta
horizontal se puede expresar mediante la
ecuación a = 0.06 t, donde si t está en s, a
resulta en m/s2. Cuando comienza a
moverse, t = 0, se encuentra en reposo, en
el extremo izquierdo de su trayectoria (x
= 0) a) Escriba las ecuaciones del mo-
vimiento. b) Diga cuáles serán su posi-
ción, su velocidad y su aceleración cuan-
do t = 4 s.
x
O
Movimiento rectilíneo. Cinemática
200
Comenzaremos escribiendo las ecuaciones del movimiento del brazo.
𝑎 = 0.06𝑡
Como 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 : 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 ; 𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎 𝑑𝑡, en donde 𝑣0 es la
constante de integración
𝑑𝑣 = 0.06𝑡 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑣 = 0.06 ∫ 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 = 0.03 𝑡2
Como 𝑣 = 0 cuando 𝑡 = 0, la constante de integración es nula.
Puesto que 𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡 : 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 ; 𝑥 = 𝑥0 + ∫ 𝑣 𝑑𝑡, en donde 𝑥0 es la
constante de integración
𝑑𝑥 = 0.03 𝑡2 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑥 = 0.03 ∫ 𝑡2 𝑑𝑡
𝑥 = 0.01 𝑡3
Nuevamente la constante de integración es nula, pues si 𝑡 = 0, 𝑥 = 0.
a) Las ecuaciones del movimiento son
𝑥 = 0.01 𝑡3
𝑣 = 0.03 𝑡2
𝑎 = 0.06𝑡
b) La posición, velocidad y aceleración del brazo cuando 𝑡 = 4 𝑠 son
𝑥4 = 0.01 (43); 𝑥4 = 0.64 m
𝑣4 = 0.03 (42); 𝑣4 = 0.48 ms⁄
𝑎4 = 0.06 (43); 𝑎4 = 0.24 ms2⁄
Movimiento rectilíneo. Cinemática
201
En realidad, se trata de dos movimientos: uno desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 =4, y otro a partir de 𝑡 = 4. Comenzaremos escribiendo las ecuaciones del
punzón.
De la ecuación de la recta de la gráfica tenemos
𝑎 = −3𝑡 + 12
Como 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡, entonces 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 {
𝑣 = ∫(−3𝑡 + 12) 𝑑𝑡
𝑣 = 1.5 𝑡2 + 12𝑡 + 𝐶1
Si 𝑡 = 2, 𝑣 = 7.5 { 7.5 = −6 + 24 + 𝐶 ∶ 𝐶 = −10.5
𝑣 = −1.5 𝑡2 + 12𝑡 − 10.5
Puesto que 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 : 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡
𝑠 = ∫(−1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5) 𝑑𝑡
𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 𝐶2
Si 𝑡 = 2, 𝑠 = 0
0 = −4 + 24 − 21 + 𝐶2 ∶ 𝐶2 = 1
𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 1
Ejemplo. La gráfica de la figura
muestra la aceleración de la punta de un
punzón que penetra en un medio elás-
tico. Se sabe que cuando t=2 s su veloci-
dad es de 7.5 mm/s y se encuentra en el
origen. Diga en qué instante su veloci-
dad es nula y cuál es su desplazamiento
desde t=0 hasta t=5 s. Dibuje las gráficas
del movimiento.
a (mm/s2)
4
12
t (s)
Movimiento rectilíneo. Cinemática
202
O sea, las tres ecuaciones que describen el movimiento durante los
primeros cuatro segundos son:
𝑠 = −0.5 𝑡3 + 6 𝑡2 − 10.5 𝑡 + 1
𝑣 = −1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5
𝑎 = −3𝑡 + 12
El lapso termina cuando 𝑡 = 4, por tanto
𝑠4 = −32 + 96 − 42 + 1 = 23
𝑣4 = −24 + 48 − 10.5 = 13.5
que son las condiciones iniciales del segundo movimiento, cuyas ecuacio-
nes son:
𝑎 = 0
𝑣 = 𝑣4 = 13.5
𝑠 = 13.5𝑡 + 𝐶4
Si 𝑡 = 4, 𝑠 = 23
23 = 54 + 𝐶4; 𝐶4 = −31
𝑠 = 13.5𝑡 − 31
Con las ecuaciones a la vista, responderemos a las preguntas:
Si 𝑣 = 0, tiene que ser en el lapso de 0 a 4 s
0 = −1.5 𝑡2 + 12 𝑡 − 10.5
𝑡2 − 8 𝑡 + 7 = 0 (𝑡 − 1)(𝑡 − 7) = 0
𝑡1 = 1, 𝑡2 = 7
La única raíz del lapso es 𝑡 = 1 s
Movimiento rectilíneo. Cinemática
203
El desplazamiento será
𝛥𝑠(0 − 5) = 𝑠5 − 𝑠0
𝑠0 = 1
𝑠5 = 13.5 − 31 = 36.5
𝛥𝑠(0 − 5) = 35.5 m
La gráfica tiempo-aceleración ya está dibujada en el enunciado. Las otras
dos son las siguientes:
Soluciones gráficas
En el ejemplo del automóvil que empleamos al principio de este capí-
tulo, recordamos que la derivada de una función representa gráficamente la
pendiente de la tangente de la curva en cada instante. Por tanto, las pen-
dientes de las tangentes a la gráfica tiempo-posición, representan las velo-
cidades de la partícula en los instantes correspondientes.
De modo semejante, si trazamos pendientes en la gráfica tiempo-
velocidad, obtendremos las aceleraciones de la partícula en esos instantes.
Por otro lado, como el desplazamiento se puede obtener integrando la
función velocidad, el área bajo la curva de esta gráfica corresponde al
desplazamiento de la partícula en el lapso elegido. Así mismo, el área ba-
jo la gráfica tiempo-aceleración en cierto lapso, muestra el cambio de ve-
locidad en ese intervalo de tiempo.
36.5
s (mm)
t (s)
23
-4
13.5
v (mm/s)
t (s)
10.5
4 1
4
Movimiento rectilíneo. Cinemática
204
Pendientes Áreas
v
t
Δs
Δv t3 t1
a
t a
Δv
t2 t3
Δs
t t1 t3
s
t
v
1
t a
1
v
v
a
t a
t1 t2 t3
t1 t2 t3
t2 t3
Movimiento rectilíneo. Cinemática
205
Nótese que la gráfica de la velocidad tiene especial importancia, pues
en ella se leen tanto los desplazamientos como las aceleraciones.
a) La gráfica tiempo velocidad es
b) El área del triángulo es el desplazamiento del elevador. Por tanto, la
altura que sube es
12(16)
2= 96 ; 𝛥𝑦 = 96 ft
c) Las otras dos gráficas son las siguientes, puesto que las aceleraciones
son las pendientes de las rectas de la gráfica de la velocidad y los despla-
zamientos, las áreas acumuladas.
Ejemplo. Un elevador parte del reposo
y asciende aumentando uniformemente
su rapidez durante 8 s. Inmediatamente
después comienza a frenar, también uni-
formemente, hasta detenerse 4 s después.
Sabiendo que la velocidad máxima que
alcanza es de 16 ft/s: a) di-buje la gráfica
v-t; b) diga a qué altura subió el elevador;
c) dibuje las gráficas a-t y y-t.
una soldadora automática, se puede
y
16
v (ft/s)
t (s)
8 4
Movimiento rectilíneo. Cinemática
206
Aceleración variable
En algunos de los ejemplos anteriores ya hemos encontrado el caso de
que la aceleración se presente como un dato en función del tiempo. Pero
es muy frecuente que la información con que se cuente sea acerca de la
|variación de la aceleración tanto en función de la posición como en
función de la velocidad.
Puesto que la aceleración no está dada en función del tiempo, no po-
demos emplear ninguna de las expresiones que hasta el momento hemos
usado. Con la regla de la cadena (2) encontraremos una expresión que nos
permita integrar la función de la aceleración en función de la posición.
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
Ahora, mediante separación de variables podemos resolver la si-
guiente ecuación diferencial.
(2) La demostración de la regla de la cadena se estudia con el Cálculo
diferencial
2
a (ft/s2)
t (s) 8 12
-4
Ejemplo. Un cohete se lanza
verticalmente y sufre una acelera-
ción que, en m/s2, se puede expresar
como a = 6 + 0.2y, donde y es la al-
tura en m. Calcule su velocidad
cuando haya ascendido 100 m.
y
o
64
8 12
96
y (ft)
t
Movimiento rectilíneo. Cinemática
207
𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑦= 6 + 0.2𝑦
𝑣 𝑑𝑣 = (6 + 0.2𝑦) 𝑑𝑦
∫ 𝑣 𝑑𝑣 = ∫(6 + 0.2𝑦) 𝑑𝑦
𝑣2
2= 6 𝑦 + 0.1 𝑦2 + 𝐶
Si 𝑦 = 0, 𝑣 = 0; por tanto 𝐶 = 0
𝑣2
2= 6 𝑦 + 0.1 𝑦2
𝑣 = √12 𝑦 + 0.2 𝑦2
Para 𝑦 = 100
𝑣 = √1200 + 2000 = √3200 = √1600(2) = 40√2
𝑣 = 56.6 m/s ↑
El ejemplo anterior nos permite establecer un modo de abordar los
problemas en los que la aceleración se expresa en función de diferentes
variables. Dichas variables pueden ser el tiempo, la velocidad y la posi-
ción. Si es el tiempo, la expresión que debe emplearse es a = dv/dt; si es la
posición, entonces es a = dv/ds, pero si la variable es la velocidad, entonces
se puede recurrir a cualquiera de esas dos expresiones. En este caso se elige
al igualdad según se quiera halla un tiempo o una posición. En la siguiente
tabla mostramos estas opciones y luego lo ilustraremos con dos ejemplos.
1) 𝑎 = 𝑓(𝑡) 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
2) 𝑎 = 𝑓(𝑣)
3) 𝑎 = 𝑓(𝑠) 𝑎 = 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑠
Movimiento rectilíneo. Cinemática
208
Como la aceleración se conoce en función de la velocidad, podemos
emplear 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ o 𝑎 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦⁄ . Pero como nos interesa investigar la
velocidad en cierta posición, emplearemos la segunda expresión.
𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑦= 400 − 0.25 𝑣2
Separando variables
𝑣𝑑𝑣
400 − 0.25 𝑣2= 𝑑𝑦
multiplicando y dividiendo por -0.5
−1
0.5∫
−0.5 𝑣𝑑𝑣
400 − 0.25 𝑣2= ∫ 𝑑𝑦
−1
0.5 ln (400 − 0.25 𝑣2) = 𝑦 + 𝐶
Si 𝑦 = 0, 𝑣 = 0
−1
0.5 ln 400 = 𝐶
−1
0.5 ln(400 − 0.25 𝑣2) = 𝑦 −
1
0.5 L 400
Ejemplo. Un pequeño cuerpo se
suelta sobre la superficie de un líquido
viscoso y experimente una aceleración a
= 400 0.25v2, donde si v se da en ft/s, a
resulta en ft/s2. Sabiendo que el recipiente
en que se suelta tiene una profundidad de
2 ft, diga con qué velocidad llega el
cuerpo al fondo.
2 ft
Movimiento rectilíneo. Cinemática
209
−1
0.5 [ ln 400 − ln(400 − 0.25 𝑣2) ] = 𝑦
ln400
400 − 0.25 𝑣2= 0.5 𝑦
400
400 − 0.25 𝑣2= 𝑒0.5 𝑦
400 𝑒0.5 𝑦 = 400 − 0.25 𝑣2
0.25 𝑣2 = 400 (1 − 𝑒−0.5 𝑦)
𝑣 = 40 √1 − 𝑒−0.5 𝑦
Para 𝑦 = 2, 𝑣 = 31.8 ft/s ↓
Puesto que deseamos conocer un tiempo, emplearemos la expresión
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡= −
4
1000 𝑣2
Ejemplo. Una embarcación que na-
vega a 12 nudos sufre una avería. A par-
tir de ese instante experimenta una acele-
ración a = - 4 (10-3) v2, donde si v se ex-
presa en m/s, a resulta en m/s2. Diga en
cuánto tiempo la rapidez de la embarca-
ción se habrá reducido a 4 nudos.
v
Movimiento rectilíneo. Cinemática
210
∫𝑑𝑣
𝑣2= −
1
250∫ 𝑑𝑡
−1
𝑣= −
1
250 𝑡 + 𝐶
Si 𝑡 = 0, 𝑣 = 12 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠
Como 1 𝑛𝑢𝑑𝑜 = 1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑛á𝑢𝑡𝑖𝑐𝑎/ℎ = 1852 𝑚/ℎ
12 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 = 12 (1852
3600) 𝑚/𝑠 = 6.17𝑚/𝑠
−1
6.17= 𝐶
−1
𝑣= −
1
250 𝑡 −
1
6.17
1
250 𝑡 =
1
𝑣−
1
6.17
𝑡 = 250 (−1
𝑣−
1
6.17)
Para 𝑣 = 4 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠, 6.17/3 𝑚/𝑠
𝑡 = 250, (3 − 1
6.17)
𝑡 = 81 s
A modo de síntesis
Las expresiones matemáticas que hemos empleado hasta el momento
son las siguientes:
Movimiento rectilíneo. Cinemática
211
1) 𝛥𝑠 = 𝑠 − 𝑠𝑜 2) 𝑣𝑚 =𝛥𝑠
𝛥𝑡
3) 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 4) 𝑎𝑚 =
𝛥𝑣
𝛥𝑡=
𝑣 − 𝑣𝑜
𝛥𝑡
5) 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 6) 𝑎 = 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
7) 𝑣 = 𝑣𝑜 + ∫ 𝑎 𝑑𝑡 8) 𝑠 = 𝑠𝑜 + ∫ 𝑣 𝑑𝑡
Movimientos rectilíneos especiales
La parte fundamental de la teoría de la Cinemática del movimiento
rectilíneo está ya completa en este punto. Pero, para facilitar la resolución
de ciertos problemas, nos detendremos en algunos casos particulares.
Movimiento rectilíneo uniforme
Aunque el movimiento rectilíneo uniforme es sumamente sencillo, lo
estudiaremos por su importancia: es el que se menciona en la primer ley
de Newton, y es uno de los estados de equilibrio de la partícula.
La característica fundamental de este movimiento es que su velocidad
es constante. Si llamamos 𝑣𝑜 a esa velocidad, las ecuaciones del movi-
miento serán las siguientes:
𝑎 = 0
𝑣 = 𝑣0
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡
y sus gráficas correspondientes
Movimiento rectilíneo. Cinemática
212
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Del nombre mismo del movimiento uniformemente acelerado se
deduce su característica fundamental: la aceleración es constante. Sea ao
dicha aceleración constante y si cuando 𝑡 = 0, 𝑣 = 𝑣0 y 𝑠 = 𝑠0, las ecua-
ciones del movimiento son:
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑎𝑜
𝑣 = 𝑎𝑜𝑡 + 𝑣𝑜
𝑠 =1
2𝑎𝑜𝑡2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑠𝑜
Si se desea una expresión que relacione la aceleración con la velo-
cidad y el desplazamiento, se puede obtener de la siguiente manera:
𝑎 = 𝑎𝑜 = 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑠
𝑎𝑜 ∫ 𝑑𝑠𝑠
0
= ∫ 𝑣 𝑑𝑣𝑣
0
𝑎𝑜𝛥𝑠 =𝑣2 − 𝑣𝑜
2
2
𝑎𝑜 =𝑣2 − 𝑣𝑜
2
2𝛥𝑠
so
vo
s
t
1
vo
v
t
a
t
Movimiento rectilíneo. Cinemática
213
Para poder escribir las ecuaciones del movimiento se elige un sistema
de referencia. Puede ser el que se muestra.
Como la aceleración tiene sentido contrario al eje de las yes elegido
𝑎 = −9.81
𝑣 = −9.81𝑡 + 6
𝑠 = −9.81
2𝑡2 + 6𝑡 + 7
Ejemplo. Desde una plataforma de 7
m, un clavadista novel se impulsa hacia
arriba con una velocidad inicial de 6 m/s.
Sabiendo que a partir de ese instante
queda sujeto a la aceleración de la gra-
vedad, de 9.81 m/s2 y dirigida hacia aba-
jo, diga: a) en qué tiempo alcanza la al-
tura máxima; b) cuál es la altura máxima
que alcanza; c) cuánto tarda en caer en el
agua; d) con qué velocidad entra en el
agua.
7 m
o
y
Movimiento rectilíneo. Cinemática
214
Las constantes de integración valen 6 y 7 porque son, respectiva-
mente, la velocidad inicial y la posición iniciales, i.e., cuando 𝑡 = 0 .
a) Cuando alcanza la altura máxima, 𝑣 = 0
0 = −9.81𝑡 + 6
𝑡 =6
9.81; 𝑡 = 0.612 s
b) Por tanto, la altura máxima que alcanza es
𝑦 = −9.81
2(
6
9.81)
2
+ 6 (6
9.81) + 7
𝑦 = −18
9.81+
36
9.81+ 7 =
18
9.81+ 7; 𝑦 = 8.83 m
c) Que llegue al agua significa que 𝑦 = 0
0 = −9.81
2𝑡2 + 6𝑡 + 7
9.81 𝑡2 − 12𝑡 − 14 = 0
𝑡 =12 ± √144 + 56(9.81)
2(9.81)
𝑡1 = 1.954, 𝑡2 = −0.73
La raíz negativa no tiene significado físico
𝑡 = 1.954 s
d) 𝑣 = −9.81(1.954) + 6 = −25.2
La velocidad con la que cae tiene sentido contrario al eje de las yes,
por eso su signo es negativo. Por tanto
𝑣 = 25.2 m/s ↓
Movimiento rectilíneo. Cinemática
215
Como se pide hallar la aceleración constante conocida una velocidad
y el desplazamiento
𝑎𝑜 = 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑎𝑜 ∫ 𝑑𝑥40
0
= ∫ 𝑣 𝑑𝑣36
0
40𝑎𝑜 =1
2(362)
𝑎𝑜 = 16.2 ft s2⁄ →
Movimiento de varias partículas independientes
Cuando se desea relacionar el movimiento de dos o más partículas,
cuyos movimientos no dependen unos de otros, lo más recomendable es
medir los tiempos a partir del mismo instante, y emplear un solo sistema
de referencia para todos ellos, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Un corredor profesional
necesita 40 ft para alcanzar su rapidez
máxima de 36 ft/s, acelerando uniforme-
mente. ¿Cuál es la magnitud de su
aceleración?
v
x
Ejemplo. Un atleta corre con velo-
cidad constante de 10 m/s. Dos segundos
después de que pasa por B, arranca un
automóvil desde A con una aceleración
constante de 1.2 m/s2. Sabiendo que A y B
distan 20 m, diga en dónde el automóvil
alcanzará al atleta.
v = 10 m/s
B
a = 1.2 m/s2
A 20 m
Movimiento rectilíneo. Cinemática
216
Tomaremos como origen el punto B, 𝑡 = 0 el instante en que el atleta
pasa por B, y el sentido positivo del eje de las equis, hacia la derecha.
Atleta
𝑎1 = 0
𝑣1 = 10
𝑥1 = 10 𝑡
Automóvil
𝑎2 = 1.2
𝑣2 = 1.2𝑡 + 𝐶1
Si 𝑡 = 2 , 𝑣2 = 0, 𝐶1 = −2.4
𝑣2 = 1.2𝑡 − 2.4
𝑥2 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 + 𝐶2
Si 𝑡 = 2 , 𝑥2 = −20
−20 = 0.6 (2)2 − 2.4 (2) + 𝐶2 ; 𝐶2 = −17.6
𝑥2 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 − 17.6
Que el automóvil alcance al atleta significa que 𝑥1 = 𝑥2
10 𝑡 = 0.6 𝑡2 − 2.4 𝑡 − 17.6
0.6 𝑡2 − 12.4 𝑡 − 17.6 = 0
𝑡 =12.4 ± √12.42 + 2.4 (17.6)
1.2
𝑡1 = 22 , 𝑡2 = −1.333
A B 20 m
x
o
Movimiento rectilíneo. Cinemática
217
Sólo la raíz positiva tiene significado físico
𝑥𝐵 = 10(22); 𝑥𝐵 = 220 m →
El alcance ocurre 220 m a la derecha de B.
Movimiento de varias partículas conectadas
Cuando el movimiento de una partícula depende del movimiento de
otra, como en el caso de las partículas conectadas, es necesario establecer
la relación que existe entre sus desplazamientos para poder conocer la
velocidad o la aceleración del cuerpo en estudio.
Como puede fácilmente deducirse de la configuración de la conexión
entre los cuerpos, si A avanza dos pies hacia abajo, B sólo sube uno, pues
son dos tramos de cuerda los que lo soportan. Por tanto 𝑠𝐴 = 2𝑠𝐵. El
procedimiento se puede sistema-
tizar de la siguiente manera
La longitud de la cuerda perma-
nece constante durante el movi-
miento de los cuerpos. Y en fun-
ción de las posiciones de éstos es:
𝑙 = 𝑥𝐴 + 2 𝑦𝐵 + 𝐶
C es la longitud de los tramos que no se alteran al moverse A y B,
como los que están en contacto con las poleas y que queda arriba de O.
Ejemplo. En el instante mostrado, el
cuerpo A desciende por el plano inclinado
con una velocidad de 16 ft/s. que aumenta
a razón de 4 ft/s2. Calcule la velocidad y la
aceleración del cuerpo B en ese mismo
instante.
x y
o
xA
yB
Movimiento rectilíneo. Cinemática
218
s
1 t 1 t 1 t
(s) (s) (s)
8 16
16
(m) (m/s) (m/s) v a
16 16
Si derivamos dos veces la expresión anterior con respecto del tiempo
0 = 𝑣𝐴 + 2 𝑣𝐵
0 = 𝑎𝐴 + 2 𝑎𝐵
Como 𝑣𝐴 = 16
0 = 16 + 2 𝑣𝐵
𝑣𝐵 = −8 ; 𝑣𝐵 = 8 ft/s ↑
0 = 4 + 2 𝑎𝐵
𝑎𝐵 = −2 ; 𝑎𝐵 = 2 ft/s2 ↑
Serie de ejercicios de Dinámica
MOVIMIENTO RECTILÍNEO. CINEMÁTICA
1. Una partícula se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación 𝑥 =
4𝑡3 + 2𝑡 + 5, donde x está en ft y t en s. a) Determine la posición, la velocidad
y la aceleración de la partícula cuando t = 3 s. b) ¿Cuál es su aceleración media
durante el cuarto segundo?
(Sol .a) 119 ft; 110 ft/seg; 72 ft/𝑠2; b) 84 ft/𝑠2)
2. Un punto se mueve a lo largo de una línea recta de tal manera que su
posición es 𝑠 = 8𝑡2 donde si t se da en s, s resulta en m. Dibuje las gráficas
posición-tiempo, velocidad-tiempo.
Movimiento rectilíneo. Cinemática
219
(m/s) v
t (s)
1 4 6 8 10 12
20
15
10
5
a (m/s2)
t (s)
-5/3
s (m)
t (s)
-120
12
3. El movimiento de una partícula que se mueve sobre el eje de las equis está
definido por la expresión 𝑥 = 𝑡3 − 3𝑡2 + 1, donde x está en m y t en s. a) Determine
la velocidad media de la partícula durante el tercer segundo. b) Calcule su despla-
zamiento desde t = 0 hasta t = 3 s. c) Diga qué distancia recorre durante los tres pri-
meros segundos.
(Sol. a) 4 m/s; b) 0; c) 8 m)
4. ¿Cuándo es nula la aceleración de un punto que se mueve sobre el eje de las
ordenadas según la ley 𝑦 = 5 − 𝑡 − 6𝑡2 + 𝑡4? En dicha ley, y está en mm y t en s.
¿Cuál es su posición cuando su rapidez es de 7 mm/s?
(Sol. t = 1 s; y = – 5 mm)
5. La gráfica representa la variación de
la rapidez lineal de una partícula que se des-
plaza hacia la derecha de una trayectoria
recta horizontal. Dibuje las gráficas acele-
ración-tiempo y posición-tiempo, sabiendo
que cuando t = 0 la partícula se encuentra a
120 m a la izquierda del origen.
6. Un avión de retropropulsión que parte del reposo alcanza en dos minutos
una rapidez de 630 mi/h. Halle su aceleración media, en ft/s.
( (Sol. 7.70 ft/s2)
Movimiento rectilíneo. Cinemática
220
7. Si la gráfica velocidad-tiempo
de un tren que viaja en línea recta, es
la que se muestra en la figura. Diga
qué distancia total recorre y cuál es
su aceleración máxima.
(Sol 42.5 km; 0.1543 m/s2)
8. Durante los primeros 40 s, una
partícula cambia su velocidad con-
forme se muestra en la gráfica. Sa-
biendo que la partícula se encuentra
en el origen cuando t = 0, dibuje la
gráfica posición-tiempo de la par-
tícula y determine: a) su posición a
los 40 s; b) la distancia que recorre
durante ese lapso.
(Sol. a) 0; b) 150 m)
9. En la figura se muestra la
gráfica aceleración-tiempo del mo-
vimiento rectilíneo de una partícula
que parte del origen con una rapidez
de 8 ft/s. Dibuje las gráficas v-t y s-t
y escriba las ecuaciones del movi-
miento.
(Sol. a = 4t; v = 8 + 2t2; s = 8t + 2t3/3)
10. Un punto se mueve de acuerdo a la expresión 𝑣 = 20 − 5𝑡2, donde v
está en m/s y t en s. Calcule, para los primeros cuatro segundos, su desplaza-
miento y la distancia total recorrida.
(Sol. – 26.7 m; 80 m)
11. Si un vehículo experimental frena conforme a la ecuación a = – 10t2,
donde si t se da en s, a resulta en m/seg2, diga qué tiempo requiere para
detenerse y qué distancia emplea, si originalmente viaja a 108 km/h.
(Sol. 2.08 s; 46.8 m)
(km/h)
100
t (h) 0 0.1 0.45 0.5
v
(m/s) v
t (s) 10
40 30
20 5
0
-5
(ft/s2) a
t (s)
13
12
0
3
Movimiento rectilíneo. Cinemática
221
12. Un punto se mueve a los largo de una línea vertical con una aceleración a =
2v1/2, en donde v está en ft/s y a en ft/s2; cuando t = 2 s, su posición es s = 65/3 ft y
su rapidez v = 16 ft/s. Determine la posición, velocidad y aceleración del punto
cuando t = 3 s.
(Sol. 42 ft; 25 ft/s; 10 ft/s2)
13. Cuando un cuerpo se mueve en un fluido, la resistencia depende de la ve-
locidad del cuerpo. Para uno que se mueve muy rápidamente, la resistencia es pro-
porcional al cuadrado de la velocidad. Así, la aceleración de una partícula dotada de
movimiento rectilíneo en un líquido viscoso puede representarse como a = – kv2, en
donde k es la constante de proporcionalidad. Escriba las ecuaciones del movimiento
de la partícula, si las condiciones iniciales de su movimiento son s0 y v0.
[Sol. s = s0 + (1/k) L(v0kt + 1); v = v0 /(v0kt + 1); a = – k (v0/(v0kt + 1))2
]
14. Un satélite que ingresa a la atmósfera superior con una rapidez de 2000 mi/h
sufre, a causa de la resistencia del aire, una aceleración con sentido opuesto a su ve-
locidad, cuya magnitud es a = 8(10)-4
v2, donde si v está en ft/s, a resulta en ft/seg2.
Determine la distancia que debe recorrer antes de alcanzar una rapidez de 500 mi/h.
(Sol. 1733 ft)
15. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del lado positivo del
eje de las equis, está dada por la expresión v = k/x, en donde k es una constante en
mm2/s. Para t = 0, x = 2 mm. Escriba las ecuaciones de la posición, la velocidad y la
aceleración de la partícula en función del tiempo.
[Sol. x = (2kt + 4)1/2; v = k(2kt + 4)-1/2; a = – k(2kt + 4)-3/2]
16. Una partícula describe una trayectoria recta con una aceleración a = 6(s)1/3,
donde s está en in y a en in/s2. Cuando t = 3 s, su posición es s = 27 in y su velocidad,
v = 27 in/s. Calcule la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando
t = 4 s.
(Sol. 64 in; 48 in/s; 24 in/s2)
17. Un proyectil viaja a través de una medio de 2 m de espesor. Su aceleración
varía en función de su posición de acuerdo a la ley a = – 5e-s, donde a está en m/s2 y
s en m. Si su rapidez al entrar en el medio es de 6 m/s, ¿con qué velocidad saldrá de
él?
( (Sol. 5.23 m/s)
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