Superposición De Ondas Estacionarias y sus Aplicaciones
1
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Pag.
Introducción 3 Objetivo 4
Capitulo I: Superposiciones y Ondas Estacionarias 5
1.1 Superposiciones e Interferencia de Ondas Senoidales 5
1.2 Ondas Estacionarias 8
1.3 Ondas Estacionarias en una Cuerda Fija en Ambos Extremos 10
1.4 Resonancia 12
1.5 Ondas Estacionarias en Columnas de Aire 12
1.6 Ondas Estacionarias en Barras y Placas 13
Capitulo II: Aplicaciones Generales 14
Conclusión 15
Bibliografía 16
2
INTRODUCCIÓN
En este documento estaremos presentando los diferentes contenidos de la
superposición de ondas estacionarias y sus aplicaciones, Un importante aspecto de
las ondas es el efecto combinado de dos o más de ellas viajando en el mismo medio.
En un medio lineal, es decir, uno en el cual la fuerza restauradora del medio
proporcional al desplazamiento de éste, el principio de superposición puede
aplicarse para obtener la perturbación resultante. La importancia del principio de
superoposición se aplica para identificar el valor resultante de la función de onda en
cualquier punto. También identificaremos la importancia de diferentes ecuaciones de
cada tema para obtener el modo de aplicación correcto en los cálculos a realizar.
3
Objetivo General
Comprender los diferentes conceptos detallados de superposición y ondas
estacionarias para entender los diferentes fenómenos que pasan alrededor de
nuestra naturaleza y entender sus diferentes aplicaciones.
4
Capitulo I: Superposiciones y Ondas Estacionarias
Este capitulo trata del principio de superposición cuando este se aplica a ondas
senoidales. Si las ondas senoidales que se combinan en un medio determinado
tienen la misma frecuencia y longitud de onda, uno se encuentra que un patrón
estacionario, conocido como onda estacionaria, puede producirse a ciertas
frecuencias bajos extremos tiene un conjunto discreto de patrones de oscilación,
denominados modos de vibración, depende de la tensión y la masa por unidad de
longitud de cuerdas.
El termino interferencia se utilizó para describir el efecto producido por la
combinación de dos pulsos de onda que se mueven simultáneamente a través de un
medio.
1.1 Superposiciones e Interferencia de Ondas Senoidales
El principio de superposición nos indica que cuando dos o mas ondas se mueven en
el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio (onda resultante) en
cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamiento causados por
todas las ondas. Aplicaremos este principio a dos ondas senoidales que viajan en la
misma dirección en un medio. Si dos ondas viajan hacia la derecha y tienen la
misma frecuencia, la longitud de onda y amplitud, pero difieren en fase, podemos
expresar sus funciones de onda individuales como:
Si establecemos a= Rx-wt, y b=Rx-wt-, encontramos que la función de onda
resultante y se reduce a:
Estos conceptos e informaciones referente al tema fueron extraídas de Física Serway 4ta edición. Pág. 501.
5
Características:
1. La función de onda resultante y es también armónica y tiene la misma
frecuencia y longitud de onda que las ondas individuales.
2. La amplitud de la onda resultante es 2Ao cos /2, y su fase es igual a /2.
En función del valor de la constante de fase j se obtienen dos clases de
interferencias:
Si = 0, 2p, 4p..., entonces cos /2 = ±1 y la amplitud de la onda resultante
es ±2Ao. En otras palabras, la onda resultante es el doble de amplia que las
ondas individuales. En este caso se dice que las ondas están en fase en todos
los puntos, es decir, las crestas y los valles de las ondas individuales ocurren
en las mismas posiciones. Este tipo de superposición se
denomina interferencia constructiva.
Si = (o cualquier múltiplo impar de veces , entonces cos /2 =0, y la onda
resultante tiene amplitud cero en cualquier parte. En este caso la cresta de una
6
onda coincide con el valle de la otra y sus desplazamientos se cancelan en cada
punto. Este tipo de superposición se denomina interferencia destructiva.
Con frecuencia es útil expresar la diferencia de trayectoria en función de la
diferencia de fase entre las dos ondas. Puesto que la diferencia de trayectoria de
una longitud de onda corresponde a una diferencia de fase de 2 rad, obtenemos la
proporción /2=r/, o:
Ejemplo; Dos Ondas armónicas se describen por medio de:
Y1= (5.0m) sen [(4.0x-1200t)] : y2= (5.0m) sen [(4.0x-1200t-0.25)] donde x,
y1 y y2 están en metros y T en segundos. A) ¿cuál es la amplitud de toda la
onda resultante? B) ¿cual es la frecuencia de la onda resultante?
Y1{x,t}= (5.0m) sen [(4.0x-1200t)]
Y2{x,y}= (5.0m) sen [(4.0x-1200t-0.25)]
Parte (A)
Y=y1+y2
información extraída de Física Serway 4ta edición Pág. 504 Este problema fue extraído de Física Serway 4ta edición
7
Sen a + sen b = 2 cos (a-b)/2 * sen (a+b)/2 1
Entonces y1+y2 = 5.0m [2 cos [0.25/2]*sen [(4.0x-1200t)-/2(0.25)]
Tenemos que Y resultante= (10.00m)cos (/8)*sen (4.0x-1200t-/8)
Amplitud= (10.00m)cos(/8)=10.00*0.924= 9.24m
Parte (b)
Tenemos: w=1200=2f
F= 1200/2=600Hz
1.2 Ondas Estacionarias
Si una cuerda tensada se sujeta de ambos extremos, las ondas viajeras se reflejan
desde los extremos fijos, creando ondas que viajan en ambas direcciones. Las ondas
incidente y reflejada se combinan de acuerdo con el principio de superposición.
*Ondas que viajan direcciones opuestas:
Donde y1 va a la derecha, y2 izquierda
Suma de estas dos funciones produce la función de onda resultante Y:
Utilizando una identidad trigonométrica, se llega a :
La expresión anterior indica que la onda resultante vibra armónicamente pero sin tener un desplazamiento aparente, a ésta configuración se le llama Onda estacionaria.
Puesto que la amplitud de la onda estacionaria 2Asen(Kx) depende de x, la amplitud máxima ocurre cuando sen(Kx) = 1, o cuando:
1 Esta ecuación esta en la 4ta edición de serway Pág. 502
8
Ya que K=2p/l,, los puntos donde ocurre la máxima amplitud se les llama Antinodos, y se obtienen de la siguiente manera:
Donde, n = 1, 2, 3, .... La onda estacionaria tiene una amplitud mínima cero cuando sen(Kx)=0, o sea:
Kx = p, 2p, 3p, ...
Donde, n = 1, 2, 3, ... Estos puntos cuya amplitud es cero, se llaman Nodos.
Ejemplo: La función de onda para una onda estacionaria en una cuerda es:
Y=(0.30m)sen(0.25x) cos(120t)
Donde x esta en metros y t en segundos. Determine la longitud de onda y la
frecuencia de las ondas viajeras que interfieren.
Y=(0.30m)sen(0.25x) cos(120t) sabemos que: 0.25=2/ donde
=2/0.25=8=25.1m
Por otro lado: 120f tenemos F=60Hz
1.3 Ondas Estacionarias en una Cuerda Fija en Ambos Extremos
9
Considere una cuerda de longitud L que esta fija en ambos extremos, las ondas
estacionarias son generadas en la cuerda por una superposición continua de ondas
incidentes y reflejadas en los extremos. La cuerda tiene un número de patrones
naturales de vibración, denominados modos normales. Cada uno de estos tiene una
frecuencia característica que se calcula con facilidad.
Una cuerda tensa de longitud L atada en ambos extremos.
Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas estacionarias mediante la superposición
de ondas incidentes y ondas reflejadas desde los extremos. Las ondas estacionarias
en la cuerda vienen dadas por la expresión:
Dos nodos fijos son en los extremos de la cuerda, por lo tanto, para x = 0 y x = L :
En consecuencia, las longitudes de onda de los modos normales de vibración,
pueden expresarse de la siguiente forma:
Donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Las frecuencias
naturales asociadas con estos modos de vibración se obtienen de la relación f = v / l ,
donde v es la velocidad de la onda que es la misma para todas las frecuencias , por lo
tanto:
10
Donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Lo anterior indica que
una cuerda fija en los dos extremos no puede vibrar a cualquier frecuencia arbitraria
sino a frecuencias correspondientes dadas por al expresión anterior. Todas las
frecuencias posibles dadas por esta expresión son múltiplos enteros de la mínima
frecuencia f0 = v / 2L, que se conoce como Frecuencia fundamental. Todas esas
frecuencias posibles que son múltiplos enteros de la fundamental se conocen como
frecuencias naturales de la cuerda o armónicas.
Frecuencia fundamental. Segunda armónica
Tercera armónica.
1.4 Resonancia
Hemos visto que un sistema como una cuerda tensa es capaz de oscilar en una o más
modos normales de oscilación. Si se aplica una fuerza periódica a tal sistema, la
11
amplitud del movimiento resultante es mayor cuando la frecuencia de la fuerza
aplicada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema. Este fenómeno,
conocido como resonancia. Debido a que un sistema oscilante presenta una gran
amplitud cuando impulsado en cualquiera de sus frecuencias naturales, estas
frecuencias se denominan a menudo frecuencias de resonancia.
La resonancia es muy importante en la excitación de los instrumentos musicales
sobre la base de columnas de aire.
1.5 Ondas Estacionarias en Columnas de Aire
Las olas bajo las condiciones de frontera del modelo también se pueden aplicar a las
ondas sonoras en una columna de aire tal como el interior de un tubo de órgano. Las
ondas estacionarias son el resultado de interferencia entre ondas sonoras
longitudinales que viajan en direcciones opuestas.
En un tubo cerrado en un extremo, el extremo cerrado un nodo de desplazamiento
debido a que la barrera rígida en este extremo no permite el movimiento longitudinal
del aire. Debido a que el onda de presión es de 90 ° fuera de fase con la onda de
desplazamiento, el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un
antinodo de presión (es decir, una punto de variación máxima de presión).
El extremo abierto de una columna de aire es de aproximadamente un antinodo de
desplazamiento y un nodo de presión. Podemos entender por qué hay variación de
presión se produce en un proceso abierto terminar señalando que el extremo de la
columna de aire está abierta a la atmósfera, por lo tanto, la presión en este extremo
debe permanecer constante a la presión atmosférica.
Podemos expresar las frecuencias naturales de oscilación en un tubo abierto como:
En un tubo abierto en ambos extremos, las frecuencias naturales de oscilación
forman un armónico serie que incluye todos los múltiplos enteros de la frecuencia
fundamental.
12
Dado que todos los armónicos están presentes y por la frecuencia fundamental es
dada por la misma expresión que la de una cadena podemos expresar las frecuencias
naturales de oscilación como: en entubo cerrado
1.6 Ondas estacionarias en Barras y Placas
Las ondas estacionarias también se pueden configurar en las barras y las membranas.
Una varilla sujeta en la media y acariciado paralela a la varilla en un extremo oscila.
Las oscilaciones de los elementos de la varilla son longitudinales, y por lo que el
color rojo curvas representan desplazamientos longitudinales de varias partes de la
varilla. Para mayor claridad, los desplazamientos se han dibujado en la dirección
transversal, según se que eran para columnas de aire. El punto medio de un nodo de
desplazamiento, ya que está fijado por la pinza, mientras que los extremos son
vientres de desplazamiento, ya que están libres a oscilar. Las oscilaciones en esta
configuración son análogas a las de un tubo abierto en ambos extremos., para que la
longitud de onda es 2L y la frecuencia es f? v/2L, donde v es la velocidad de las
ondas longitudinales en la varilla. Otros modos normales pueden ser excitados por la
unión la varilla en diferentes puntos. Por ejemplo, el segundo modo normal es
excitado por la varilla de sujeción una distancia L / 4 de distancia de un extremo.
También es posible crear ondas estacionarias transversales en las barras.
Instrumentos musicales que dependerán de las ondas estacionarias transversales en
barras incluyen triángulos, marimbas, xilófonos, glockenspiels, carillones y
vibráfono. Otros dispositivos que hacen sonidos de barras vibrantes incluyen cajas
de música y campanas de viento. Oscilaciones de dos dimensiones se pueden instalar
en una membrana flexible estirada más de un aro circular, como la que en una piel
de tambor. Como la membrana es golpeado en algún momento, las ondas que llegan
en el límite fijo se reflejan muchas veces. La resultante de sonido no es armónica
13
porque las ondas estacionarias tienen frecuencias que no están relacionados por
múltiplos enteros. Sin esta relación, el sonido puede ser más correctamente descrito
como ruido en lugar de como la música. La producción de ruido es en contraste con
la situación en instrumentos de viento y cuerda, que producen sonidos que
describimos como musical.
Capitulo II: Aplicaciones Generales
Un caso particular de la superposición de ondas que viste en el tema anterior y de
importancia fundamental en el estudio de las ondas sonoras, por su aplicación en la
música es el de las ondas estacionarias. Estas ondas aparecen en todos los
instrumentos de cuerda: guitarras, pianos, violines, etc...
Estas ondas se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con
igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a
través de un medio, como puedes observar en la animación que acompaña estas
líneas. En ella dos ondas, una azul y otra roja, se superponen para dar lugar a la onda
estacionaria dibujada en negro. En transmisión de ondas de radio, las ondas
estacionarias en las líneas de transmisión son sumamente peligrosas para la
integridad física de los componentes. Un aparato, el ROE-metro, mide el porcentaje
de la onda incidente que es reflejada. En el caso ideal en que se estableciera una
onda estacionaria en la línea de transmisión, el transmisor terminaría por destruirse.
Una ROE (Relación de Onda Estacionaria) de 1,5 equivale a una reflexión de 4% de
la onda incidente, y se admite que es el máximo que un transmisor de 100 Watts a
transistores puede soportar sin sufrir daños. En cambio, los transmisores a válvulas
son menos sensibles a las ondas estacionarias.
Esta información fue extraída de l Internet
14
Conclusión
En este documento analizamos las superposiciones y ondas estacionarias
y sus aplicaciones, vimos los diferentes conceptos referentes al tema y las
diferentes ecuaciones para la determinación y cálculos de los diferentes
problemas que se puedan presentar vimos el principio de superposición,
ondas estacionarias. etc…
Espero que este proyecto les haya satisfecho sus expectativas.
15
BIBLIORAFIA
Física Reymond Serway Cuarta edición cap. 18
Notas: Todas las ecuaciones y Gráficos fueron extraído de este libro.
http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//3000/3212/html/21_ondas_estacionarias_en_cuerdas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_estacionaria
16
Top Related