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ComputacionalI.T.I. Gestión
Problemas de proximidad
Tema 4
Tema 4 Problemas de proximidad
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Resolución con Voronoi
Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemas
Aeronáutica
Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos
P1: Tráfico aéreo
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Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
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Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual
P2: Ecología
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Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
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Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima
P3: Trazado de redes
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Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemas
P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
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Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemasP5: Clasificador de objetos
Dado un conjunto de modelos y un nuevo elemento q, encontrar el modelo más cercano a q.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemasP6: Localización servicios indeseables
Dónde ubicar, dentro de una determinada región, un servicio indeseable (basurero, cárcel, etc.), de forma que afecte lo menos posible a las poblaciones de la región.
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Una colección de problemas
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Aeronáutica
Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos
P1: Tráfico aéreo
P1: El par más cercano“Dada una nube S de puntos, encontrar la pareja más cercana de puntos”.
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Par más cercano
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Una colección de problemas
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Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual
P2: Ecología
P2: Todos los pares más cercanos“Dada una nube S de puntos, encontrar, para cada punto de S, su vecino más cercano”.
(Grafo dirigido de proximidad)
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Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima
P3: Trazado de redes
P3: Árbol generador mínimo“Dada una nube S de puntos, encontrar un árbol de longitud mínima que tenga a S como conjunto de vértices”.
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P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
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P4: Triangulación
“Dada una nube S de puntos, encontrar una triangulación que tenga a S como conjunto de vértices”.
P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
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P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
¡¡No vale cualquier triangulación!!
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P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
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36
28
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1000
980
990
1008
23985
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P4: Triangulación equilátera“Dada una nube S de puntos, encontrar una triangulación que tenga a S como conjunto de vértices, de modo que el ángulo más pequeño sea máximo”.
P4: Topografía
Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemasP5: Clasificador de objetos
Dado un conjunto de modelos y un nuevo elemento q, encontrar el modelo más cercano a q.
P5: Vecino más cercano“Dada una nube S de puntos y un nuevo punto q, encontrar el punto de S más cercano a q”.
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemasP6: Localización servicios indeseables
Dónde ubicar, dentro de una determinada región, un servicio indeseable (basurero, cárcel, etc.), de forma que afecte lo menos posible a las poblaciones de la región.
P6: Mayor círculo vacío“Dada una nube S de puntos, encontrar el círculo más grande que no contiene a ningún punto de la nube y cuyo centro esté dentro del cierre convexo de S”.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Una colección de problemas
Una colección de problemas
P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
??
??
??
??
O(log n)
??
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Una colección de problemas
El par más cercano
Buscar entre todos los pares de puntos lleva tiempo cuadrático.
Pero no hace falta buscar entre todos los pares, sólo entre los que están cerca…
es decir, entre vecinos en el diagrama de Voronoi.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Una colección de problemas
El par más cercano
Nota: El número de vecinos de un diagrama de Voronoi es lineal.
Podemos encontrar el par más cercano en tiempo lineal.
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Una colección de problemas
P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
O(n)
??
??
??
O(log n)
??
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Todos los vecinos mas cercanos
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Todos los vecinos más cercanos
Del mismo modo podemos encontrar todos los pares más cercanos en tiempo lineal.
Nota: El número de vecinos de un diagrama de Voronoi es lineal.
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
O(n)
O(n)
??
??
O(log n)
??
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Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
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Árbol recubridor (generador) mínimo
Podemos considerar el grafo completo con vértices en los puntos del conjunto, darle a cada arista un peso igual a su longitud y aplicar alguno de los algoritmos para hallar el árbol recubridor mínimo (por ej. Prim o Kruskal).
Esto requiere tiempo O(n2 log n)
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Par más cercano
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Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
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Árbol recubridor (generador) mínimo
Pero podemos construirlo en tiempo lineal a partir del diagrama de Voronoi.
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
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Árbol recubridor (generador) mínimo
Lema: Dado una partición de S en dos subconjuntos disjuntos S1 y S2, la arista más corta que une un vértice de S1 con uno de S2 es entre dos vecinos de Vor(S).
Teorema: El MST puede construirse en tiempo lineal óptimo a partir de Vor(S).
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Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Creamos una lista F que contendrá árboles que vamos a combinar hasta llegar al árbol recubridor mínimo.
Originalmente F contiene los puntos del conjunto (vértices aislados)
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F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Partimos del primer elemento de la lista F y tomamos su vecino (de Voronoi) más cercano. (La arista que los une forma parte del MST por el lema anterior).
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7
F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Creamos un nuevo árbol, uniendo estos dos puntos, y lo mandamos al final de la lista F, quitando de ella los dos puntos unidos.
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2
3
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8
5
7
F={ {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}}
F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Cogemos el primer elemento de la lista y hacemos lo mismo.
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2
3
46
8
5
7
F={ {4}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,5,3-5}}
F={ {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}}
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Una colección de problemas
Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Puede que en el siguiente paso, el primer elemento de la lista se una a un árbol ya creado.
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F={ {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}}
F={ {4}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,5,3-5}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Y así sucesivamente….
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F={ {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,6-7}}
F={ {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}}
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Par más cercano
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Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Y así sucesivamente….
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F={ {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,8,6-7,7-8}}
F={ {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,6-7}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Puede que en algún momento el primer elemento de la lista no sea un punto sino un árbol,
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F={ {3,4,5,3-5,3-4}, {1,2,6,7,8, 1-2,2-7,6-7,7-8}}
F={ {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,8,6-7,7-8}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Así seguiremos hasta que la lista contenga un único elemento: el árbol recubridor mínimo.
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F={ {1,2,3,4,5,6,7,8, 1-2,2-5,2-7,3-4,3-5,6-7,7-8}}
F={ {3,4,5,3-5,3-4}, {1,2,6,7,8, 1-2,2-7,6-7,7-8}}
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
Árbol recubridor (generador) mínimo
Así seguiremos hasta que la lista contenga un único elemento: el árbol recubridor mínimo.
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El número de operaciones del algoritmo es proporcional al número de vecinos del diagrama de Voronoi: O(n) óptimo
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Par más cercano
Todos los vecinos más cercanos
Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío
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Árbol recubridormínimo
Una colección de problemas
P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
O(n)
O(n)
O(n)
??
O(log n)
??
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Par más cercano
Árbol recubridormínimo
Vecino más cercanoMayor círculo vacío
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Triangulación equilátera
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Triangulación más equilátera
El dual del diagrama de Voronoi es una triangulación, la triangulación de Delaunay, que es la triangulación más equilátera.
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Par más cercano
Árbol recubridormínimo
Vecino más cercanoMayor círculo vacío
Resolución con Voronoi
Triangulación equilátera
Una colección de problemas
P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
O(n)
O(n)
O(n)
O(n)
O(log n)
??
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Todos los vecinos mas cercanos
Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercano
Resolución con Voronoi
Mayor círculo vacío
Una colección de problemas
Mayor círculo vacío
Bastará considerar todas las posibles circunferencias que pasen por tres de los puntos y, excluyendo las que contienen puntos de la nube en su interior, quedarnos con la de mayor radio.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercano
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Mayor círculo vacío
Una colección de problemas
Mayor círculo vacío
Pero podemos construirlo en tiempo lineal a partir del diagrama de Voronoi.
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Par más cercano
Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercano
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Mayor círculo vacío
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Mayor círculo vacío
Considerar los círculos centrados en los vértices de Voronoi que están dentro de la envolvente convexa y radio la distancia a cualquiera de los tres puntos de la nube a los que es equidistante, y quedarnos con el de mayor radio.
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Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercano
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Mayor círculo vacío
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P2: Todos los pares más cercanos
P1: El par más cercano
P3: Árbol generador mínimo
P4: Triangulación equilatera
P5: Vecino más cercano
P6: Mayor círculo vacío
Fuerza bruta Voronoi
O(n2)
O(n2)
O(2n)
??
O(n)
O(n3)
O(n)
O(n)
O(n)
O(n)
O(log n)
O(n)
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