Plataforma Educativa UNIDEG Material de estudio

Materia: Modelos de Optimizacin

Mdulo nmero 1

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1.3. Supuestos de la Programacin Lineal y lmite de aplicabilidad de los modelos lineales.

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programacin Lineal (PL) entre los avances cientficos

ms importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta comn que ha ahorrado

miles o millones de dlares a muchas compaas y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos

pases del mundo. Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipo de problemas puede

manejar? Expresado brevemente, el tipo ms comn de aplicacin abarca el problema general de asignar

recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma ptima).

Este problema de asignacin puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que

compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar

esta descripcin es sin duda muy grande, y va desde la asignacin de instalaciones productivas a los

productos, hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un pas; desde la

planeacin agrcola, hasta el diseo de una terapia de radiacin; etc. No obstante, el ingrediente comn

de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por

ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamao, tipo (blanco,

integral u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso ms adelante y dividir estos criterios

en dos categoras: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer

una solucin que est bajo consideracin. Si ms de una alternativa satisface todas las restricciones, el

objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan,

pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias marcas satisfacen

estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mnimo y escoger las ms barata.

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o

maximizar un objetivo que est sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por

ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones estn

restringidas por las leyes y las polticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los

pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo

tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la produccin futura, busca un costo

mnimo al mismo tiempo cmo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de

produccin, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnologa. La PL se ha aplicado con xito a estos

y otros problemas.

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La PL es una tcnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemtico para

describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deben

ser funciones lineales. En este caso, la palabra programacin no se refiere a programacin en

computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin. As, la PL trata la planeacin de las actividades

para obtener un resultado ptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el

modelo) entre todas las opciones de solucin. Aunque la asignacin de recursos a las actividades es la

aplicacin ms frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo

modelo matemtico se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.

Supuestos de la programacin lineal.

Existe un nmero de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo est

directamente relacionada con la realidad de los supuestos.

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la

contribucin al objetivo de cualquier decisin es proporcional al valor de la variable de decisin. Producir

dos veces ms de producto producir dos veces ms de ganacia, contratando el doble de pginas en las

revistas doblar el costo relacionado con las revistas. Es una Suposicin de Proporcin.

Adems, la contribucin de una variable a la funcin objetivo es independiente de los valores de las otras

variables. La ganancia con una computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de

cuantas computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adicin.

Anlogamente, ya que cada restriccin es lineal, la contribucin de cada variable al lado izquierdo de

cada restriccin es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier otra

variable.

Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la

formulacin del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a

estos supuestos.

El siguiente supuesto es la Suposicin de ser Divisible. Es posible tomar una fraccin de cualquier

variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qu significa comprar 2.67 avisos en la televisin?

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Es posible que la suposicin de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales

unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la

solucin seran 2,667 minutos con una mnima duda que est cercana a la solucin ptima. Si la

suposicin de divisible no es vlida, entonces se usar la tcnica de Programacin Lineal Entera.

La ltima suposicin es el Supuesto de Certeza. La Programacin Lineal no permite incertidumbre en

los valores.

Ser difcil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negar

la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser an til aunque difiera de la realidad, si se es

consistente con los requerimientos ms estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al

interpretar los resultados.

Existen limitaciones prcticas para el uso de la PL. Una se relaciona con los clculos. En general se

necesita una computadora. Desafortunadamente, las calculadoras, aun las programables, son poco

tiles, puesto que la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene

acceso a una computadora, se estar limitado a problemas muy sencillos. La otra limitacin se refiere al

costo de formular un problema de PL. En teora, podra usarse PL, por ejemplo, para hacer las compras

semanales de abarrotes. Sin embargo, sera necesario conocer todas las compras posibles que pueden

realizarse (stas seran las variables), adems de cada restriccin como sabor, nmero de comidas,

vitaminas y protenas. Es obvio que el costo de obtener todos estos datos excede lo que se podra

ahorrar si se hicieran las compras ptimas. Antes de emprender una aplicacin de PL, debe considerarse

la disponibilidad y el costo de los datos necesarios.