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Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS IV
PANDEO LOCAL EN SECCIONES DE PAREDES DELGADAS
Autores: Ing. Julián J. Rimoli Ing. Marcos D. Actis Ing. Alejandro J. Patanella
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TENSIONES DE PANDEO LOCAL EN SECCIONES DELGADAS
Introducción
Sabemos que las chapas son ineficientes para tomar cargas de compresión debido a que sus tensiones de pandeo son relativamente bajas. Sin embargo, esta falla o debilidad puede ser mejorada en gran medida mediante la creación, partiendo de una chapa, de secciones ángulos, canales, zetas, etc. Dichas secciones pueden ser creadas también mediante un proceso de extrusión. Debido a que los miembros doblados y extrudados son ampliamente usados en estructuras aeronáuticas surge la necesidad de implementar un método de cálculo para determinar su resistencia a la compresión.
Tensiones De Pandeo Para Elementos Con Alas Iguales
La forma más simple con alas iguales que se puede crear es la sección ángulo. Otras formas de éste tipo son las secciones T y la cruciforme, como se ve en la Figura 1.
Figura 1.- Perfiles de ala iguales
Estos tipos de secciones pueden ser consideradas como un grupo de alas largas como se
muestra en la Figura 2 para la sección ángulo. Debido a que las alas con las cuales se conforma la sección son iguales cada una de ellas debería la misma tensión de pandeo. Debido a esto podemos asumir que cada ala no puede restringir a las otras, y por consiguiente podemos asumir que cada una de ellas se encuentra simplemente apoyada a lo largo del eje que la une a las demás como se muestra en la Figura 2.
Figura 2.- Despiece de una sección L
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La tensión de pandeo para una chapa larga es,
( )2
2c
2
cr bt
112
Ek⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
Siendo 43,0k c = , entonces
( )22
2
2cr b
tE388,0bt
3,0112
E43,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−⋅
⋅⋅π=σ
Si las tensiones de pandeo se encuentran por encima del límite proporcional del material
hay que contemplar el efecto plástico, corrigiendo las tensiones criticas. Para los ángulos doblados el ancho del ala b se extiende hasta la línea media del ala
adyacente, mientras que para los extrudados el mismo se extiende hasta el eje interior del ala adyacente.
Tensión De Pandeo Para Elementos Del Tipo Ala-Alma Las formas estructurales más comunes de éste tipo son las secciones tipo C, Z y U. Sobre estos perfiles, el ala posee un borde libre, pero no ocurre lo mismo con el alma, por lo cual tenemos
una restricción desconocida en el límite entre el ala y el alma. La Figura 3 muestra la descomposición de una sección Z en dos elementos (chapas) del tipo ala y uno del tipo alma.
Figura 3.- Despiece de una sección Z
La tensión de pandeo del ala y del alma depende de la condición de borde (restricción)
existente entre ellas. Si esta condición fuera conocida se podrían utilizar los coeficientes de pandeo para chapas con distintas rigideces de apoyos. Una vez calculadas las tensiones de pandeo de todos los elementos, la tensión de pandeo crítica será la menor de todas. Igualmente hay que tener en cuenta que la carga critica basada en la tensión de pandeo no es la carga de falla de la sección, ya que la misma puede seguir tomando carga incluso después de ocurrido el pandeo en las alas y almas.
Muchos estudios han determinado los factores de restricción entre alas y almas para
secciones simples como U, Z, H, tubos cuadrados, utilizando el método de distribución de
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momentos o procedimientos de análisis paso a paso. Como consecuencia de estos estudios se han desarrollado gráficos de diseño para ese tipo de secciones, ver Figuras 4 a 7.
Gráficos De Diseño Para Tensiones De Pandeo Local En Algunas Secciones Del Tipo Ala-Alma Las siguientes figuras muestran los gráficos para determinar las tensiones de pandeo local de secciones tipo U, Z, H, tubos cuadrados y omegas. Para las secciones dobladas el ancho b se extiende entre las líneas centrales de los elementos adyacentes, mientras que para las secciones extrudadas el mismo se considera entre los ejes interiores de los elementos adyacentes.
Figura 4.- Secciones tipo Z y C
( )2
w
w2
w2
cr bt
112Ek
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
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Figura 5.- Secciones doble T
Figura 6.- Secciones tubo rectangular
( )2
h2
h2
cr ht
112Ek
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
( )2
w
w2
w2
cr bt
112Ek
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
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Figura 7.- Secciones omega
( )Twf
2
T2T
2cr
tttt
bt
112Ek
===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
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Problemas Ilustrativos Sobre El Empleo De Los Gráficos
Problema 1 La sección Z mostrada en la Figura 8 fue creada doblando una chapa de aluminio 2024-
T3. Se desea determinar la tensión critica de pandeo de la misma.
Figura 8
Las características geométricas de la sección son,
1064,0064,0
tt
5,0436,1718,0
bb
718,0032,075,0b436,1064,05,1b
f
w
w
f
f
w
==
==
=−==−=
De la Figura 4 obtenemos que 9,2kw = , entonces la tensión critica será
( )( )
( ) psi56100436,1064,0
3,0112
1070000014,39,2
bt
112
Ek
2
2
2cr
2
w
w2
w2
cr
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
−⋅
⋅⋅=σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
μ−⋅
⋅⋅π=σ
Como la tensión obtenida se encuentra por encima del límite proporcional del material, es
necesario realizar una corrección por plasticidad. De la Figura 4 puede observarse que el pandeo ocurre en sobre el ala de la sección, por lo tanto la corrección debe realizarse para una placa que posea tres bordes simples y un borde libre (Figura 9)
Los datos necesarios para realizar la corrección por plasticidad para el aluminio 2024-T3
son psi390007,0 =σ y 5,11=n . Para la corrección por plasticidad de las secciones tipo C y Z, se puede usar la tabla
correspondiente a una chapa cuyas condiciones de con un borde simplemente apoyado y el otro libre. El parámetro de entrada para la corrección es la tensión critica dividida por 7,0σ , es decir,
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44,13900056100
=
Usando este valor y 5,11=n obtenemos:
02,17,0
cr =σσ
Por lo tanto, la tensión critica de pandeo local será:
psi3980002,139000cr =⋅=σ
Figura 9
Problema 2 Determinar cuál sería la tensión de pandeo del miembro del problema 1 si el mismo es
sometido a una temperatura de 300°F durante 2 horas. En este caso, al existir una temperatura mas elevada, hay que obtener las propiedades del material a esa temperatura,
9
( )( )( ) 51,1
436,1064,0
357003,0112
1030000014,39,2tt
112
Ek)elastico(
15npsi10300000E
psi35700
2
2
22
f
w
7,02
2w
7.0
cr
7,0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⋅−⋅
⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
σ⋅μ−⋅
⋅π⋅=
σσ
==
=σ
Corrigiendo por plasticidad se tiene entonces,
03,17,0
cr =σσ
Por lo tanto: psi368003570003,1cr =⋅=σ
Problema 3 Resolver el Problema 1 pero adoptando como material Titanio Ti-8Mn.
Siguiendo el mismo procedimiento del problema anterior, se buscan las propiedades del material para el titanio,
7,13npsi15500000E
psi1195007,0
==
=σ
Con lo cual obtenemos:
( )( ) psi81200
436,1064,0
3,0112
1550000014,39,2 2
2
2cr =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
−⋅
⋅⋅=σ
Debido a que esta tensión se encuentra cerca del límite proporcional del material, la
corrección por plasticidad debería introducir un cambio despreciable, por lo cual no la haremos.
Problema 4 Un tubo rectangular tiene las dimensiones mostradas en la Figura 10. El mismo fue
extrudado de una aleación de aluminio 2014-T6. Determinar su tensión de pandeo local.
Figura 10
Los datos geométricos son:
10
1tt
479,092,192,0
hb
92,108,02h92,008,01b
h
b =
==
=−==−=
De la Figura 6 se tiene 2,5k h = por lo cual:
( )( ) psi21900
92,104,0
3,0112
1070000014,32,5 2
2
2cr =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
−⋅
⋅⋅=σ
Como se puede observar en la Figura 6 el pandeo ocurre en el lado “h” del tubo. La
tensión calculada se encuentra por debajo del límite proporcional, por lo cual no es necesario realizar una corrección por plasticidad.
Problema 5 Resolver el problema anterior pero cambiando el espesor del lado “h” a 0,072”. En este
caso los datos geométricos de la sección son,
92,108,02856,0144,01
=−==−=
hb
555,0072,004,0
tt
446,092,1856,0
hb
h
b ==
==
De la Figura 6 se tiene que 3,4=hk por lo cual:
( )( ) psi58600
92,1072,0
3,0112
1070000014,33,4 2
2
2cr =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
−⋅
⋅⋅=σ
Como esta tensión está más allá del límite proporcional del material es necesario corregir
por plasticidad. En este caso la corrección debe realizarse para una placa con cuatro bordes simples (ver Figura 11). No se han encontrado valores para la corrección para estas condiciones de borde pero se recomienda hacerlo considerando una chapa empotrada de gran longitud, lo cual es moderadamente conservativo. Esta corrección puede ser aplicada también para las secciones tipo omega contempladas por la Figura 7.
Corrigiendo por plasticidad para un material con propiedades psi530007,0 =σ y 5,18=n , se obtiene,
psi481005300091,0cr =⋅=σ
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Es decir, cambiando el espesor del lado largo del tubo de 0,04” a 0,072”, la tensión critica de pandeo aumentó desde 21900 psi hasta 48100 psi.
En el diseño de tubos rectangulares el diseñador debe establecer los espesores de los
lados cortos y largos de manera tal que el pandeo ocurra en ambos lados a la vez, con lo cual se obtiene la sección más liviana si diseñamos a pandeo.
Como se mencionó anteriormente, la carga que produce el pandeo en un miembro no es
necesariamente la carga de falla del mismo. Debido a que el pandeo puede ocurrir en el rango plástico, las deformaciones no desaparecerán completamente una vez retirada la carga. Debido a que las cargas límites aplicadas a la estructura deben ser tomadas sin deformación permanente es muy importante poder determinar cuando se inicia el pandeo local. Para los mísiles y aeronaves no tripuladas el factor de seguridad en las cargas límites es considerablemente menor que el utilizado en aeronaves tripuladas. Es por ello que se hace importante poder determinar la separación existente entre las tensiones de falla y de pandeo local.
Figura 11
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Pandeo Local En Paneles Reforzados
En aeronaves es importante que la piel, particularmente en el ala, no pandee en condiciones de vuelo debido a que una superficie pandeada puede afectar sensiblemente las características aerodinámicas de la misma. Debido a esto es importante saber cuándo se inicia el pandeo tanto en la piel como en sus refuerzos, para de este modo poder hacer un diseño que evite la ocurrencia del pandeo en condiciones de vuelo.
Gallaher y Boughan y Boughan y Baab determinaron los coeficientes de pandeo local
para paneles reforzados con Z y T. Las figuras 10 a 14 se muestran los resultados de sus estudios. La tensión inicial de pandeo local para la chapa o los larguerillos viene dada por:
( )2
s
s2
2s
s bt
112
Ek⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
μ−⋅
⋅π⋅=σ
Si la tensión de pandeo se encuentra encima del límite proporcional del material, debe efectuarse una corrección por plasticidad como en los casos anteriores.
Figura 12.- Coeficientes de pandeo local para compresión de placas infinitamente anchas
13
Figura 13.- Refuerzos de perfiles Z con tw/ts=0.50 y 0.79
Figura 14.- Refuerzos de perfiles Z con tw/ts=0.63 y 1.00
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Figura 15.- Refuerzos de perfiles T con tw/tf=1.0, bf/tf>10, bw/bs>0.25
Figura 16.- Refuerzos de perfiles T con tw/tf=0.7, bf/tf>10, bw/bs>0.25
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A continuación se muestra la resolución de un problema tipo para aclarar el uso de los gráficos en estos casos:
La Figura 17 muestra una placa con refuerzos Z idealizados. El material es 2024-T3.
Determinar su tensión de pandeo local.
Figura 17
Las propiedades geométricas de la sección son,
5,0125,00625,0
tt
375,045,1
bb
333,05,15,0
bb
s
w
s
w
w
f
==
==
==
Usando los valores mostrados arriba y utilizando la Figura 14 obtenemos el valor del
coeficiente 2,4ks = . Sustituyendo el mismo en la ecuación para paneles reforzados obtenemos:
( )( ) psi39800
4125,0
3,01121070000014,32,4 2
2
2cr =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−⋅
⋅⋅=σ
Como esta tensión se encuentra encima del límite proporcional se realizará una
corrección por plasticidad, siendo entonces la carga critica corregida,
psi336003900086,0cr =⋅=σ
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