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A.H.Encinas & Araceli Queiruga Dios 1
Departamento de Matemtica Aplicada Clculo Numrico
Introduccin
Errores
Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Resolucin
Teorema de Bolzano. Si f es una funcin continua en [a,b] y
tal que sign(f(a)) sign(f(b)), entonces existe al menos un
punto c (a,b) tal que f(c)=0
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Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Separacin de races
Teorema de Rolle. Si f C([a,b]) y es tal que f(a)=f(b),
entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f (c)=0.
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Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Teorema separacin de races. Si f C([a,b]) es tal que
sign(f (a))sign(f (b)) y f posee signo constante en (a,b),
entonces f(x) = 0 posee una nica raiz c (a,b).
Separacin de races
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Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Teorema. Si f C([a,b]) es tal que sign(f (a))sign(f (b)) y f
slo se anula en n puntos del intervalo (a,b), entonces f
tendr a lo sumo n+1 races.
Separacin de races
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Errores
Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Teorema. Si f C([a,b]) y es tal que f tiene signo constante
en [a,b], entonces f tiene, a lo sumo, dos races reales en [a,b].
Separacin de races
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Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Clculo de las races
- Mtodo de la Biseccin.
- Mtodo de Newton-Raphson.
- Mtodo del Punto Fijo
Una vez aisladas las races de f(x) = 0 aplicaremos uno
de los siguientes mtodos para calcularlas
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Aproximacin de races
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Clculo de las races
Biseccin
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Aproximacin de races
Interpolacin
Resolucin Numrica de EDOs
Clculo de las races
Biseccin
1. Se calcula el punto medio del intervalo [a,b]: c=((a+b)/2)
Se estudia el valor de dicho punto medio
- Si f (c)=0 entonces hemos acabado.
- Si f (c)0 elegimos de entre [a,c] y [c,b] el intervalo en el
que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo denotamos
por [a1,b1].
2. Se calcula el punto medio del intervalo [a1,b1]:
c1=((a1+b1)/2).Se estudia el valor de dicho punto medio:
- Si f (c1)=0 entonces hemos acabado.
- Si f (c1)0 elegimos de entre [a1,c1] y [c1,b1] el intervalo
en el que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo
denotamos por [a2,b2].
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Interpolacin
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Clculo de las races
Biseccin
3. Se calcula el punto medio del intervalo [a1,b1]:
c2=((a2+b2)/2).Se estudia el valor de dicho punto medio:
- Si f (c2)=0 entonces hemos acabado.
- Si f (c2)0 elegimos de entre [a2,c2] y [c2,b2] el intervalo
en el que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo
denotamos por [a3,b3].
4
Obtenemos as una sucesin de intervalos que contienen la
raz y cuya longitud tiende a cero.
2n n n
b ab a
= 12 2
n n
n n
b a b ac
+
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Clculo de las races
Biseccin
Si queremos que el error cometido en el clculo de la raz
sea inferior entonces el nmero mnimo de iteraciones n
que hemos de hacer del anterior algoritmo debe satisfacer
la siguiente desigualdad:1
error2nb a
+
< 0, la sucesin definida por:
converge a un punto c [a,b] tal que f (c)=0.
11
1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x
=
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Newton-Raphson o Tangente
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Newton-Raphson o Tangente
Adems, en estas condiciones, existen dos constantes m y M
tales que x [a,b], se verifica:
m | f (x)| y M | f (x) |
de tal forma que sendas cotas del error cometido al considerar a
xn como solucin de la ecuacin f (x)=0 son, respectivamente
2
1( )
2n n
Mx x
m
( )n
f x
m
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Newton-Raphson o Tangente
1. Se demuestra que el signo de f (x) es constante en [a,b].
2. Se busca un x0 [a,b] tal que f(x0) f (x0)>0.
3. Se calcula la constante m tal que m |f (x)| para todo x[a,b].
4. Se van calculando los trminos xn dados por
mientras que no se satisfaga la cota del error definida en
11
1
( )
'( )
nn n
n
f xx x
f x
=
( )nf x
m
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Newton-Raphson o Tangente
Rapidez en la convergencia del mtodo de Newton-Raphson.
Teorema: Sea f continua y sea un cero simple de f.
Existe un entorno de y una constante C tales que si se
inicia el mtodo de Newton-Raphson en dicho entorno, la
sucesin xn es convergente a y:
|xn+1 - | C |xn - |
Teorema: Si f es de clase C, creciente, convexa y tiene un
cero, entonces el cero es nico y el mtodo de Newton-
Raphson es convergente a partir de cualquier punto inicial.
2
1
''( )
2 '( )
nn n
n
fe e
f x
+ =
2
nCe1ne +
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Newton-Raphson o Tangente
Resumiendo el mtodo de Newton-Raphson:
No siempre converge a un cero de f y acaso lo haga pero
no al cero que buscbamos. Su xito est slo garantizado
partiendo de una aproximacin inicial cercana al cero
buscado.
Cuando converge, lo hace mucho ms rpidamente que el
mtodo de la biseccin (convergencia cuadrtica).
Requiere que la funcin f sea de clase C2.
Requiere valores de la derivada.
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Mtodo del Punto Fijo
Sea f(x)=0 una ecuacin tal que posee una nica raiz
[a,b]. Este mtodo se basa en encontrar una funcin
y=F(x) tal que, entre otras condiciones de carcter tcnico,
verifique que: f() = 0 F() =
El mtodo del punto fijo
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Clculo de las races
Mtodo del Punto Fijo
Definicin: Se dice que x0 es un punto fijo de la funcin
y=F(x) si F(x0)=x0.
Definicin: Una iteracin funcional es el algoritmo
definido por la expresin xn+1 = F(xn) para una cierta
funcin F(xn)
Definicin: Una aplicacin F: [a, b] R se llama contractiva
si existe un kR con 0
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Interpolacin
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Clculo de las races
Mtodo del Punto Fijo
Lema de la contraccin
Si (X, || ||) es un espacio de Banach con la norma eucldea y
F es una funcin continua contractiva de X en X, existe un
nico punto fijo de F.
Qu relacin existe entre continuidad y contractividad?
Proposicin. Si F es una funcin derivable en (a,b) y existe
k R, con 0
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