Teoría de
NúmerosInstructor: Luis Eduardo Falcón
Números Primos
Número Primo
Un número p se dice que es primo si p es un entero positivo mayor que 1, cuyos únicos divisores son el 1 y p mismo.
Un número que no es primo se llama compuesto.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Cualquier entero positivo mayor a 1 puede escribirse de manera única como un producto de primos, donde los factores primos se escriben en orden no descendente.
732
7332225222
•La cardinalidad del conjunto de todos los números primos es , es decir, infinita numerable.
•Si n es un entero compuesto, entonces n tiene un factor primo no mayor que .
0
n
•Para cualesquier número entero positivo n , existen al menos n enteros compuestos consecutivos.
Al menos se sabe que los enteros consecutivos de la forma:
1!1
3!1
2!1
nn
n
n
son compuestos.
•Conjetura de Goldbach: Cualquier número par positivo mayor a 2, puede escribirse como la suma de dos primos.
131117719524
557310
Una variante de la criba de Eratóstenes nos permite obtener (de una manera no muy eficiente por cierto) todos los primos menores que un entero dado:
Por ejemplo, como
entonces para encontrar todos los primos menores que 30, hay que cancelar todos los múltiplos del 2, 3 y 5.
...4772.530
Máximo
DivisorComún
•Máximo común divisor = Máximo divisor común
•Mínimo común múltiplo = Mínimo múltiplo común
•Mínimo común denominador = Mínimo denominador común
Se dice que el entero d es un divisor común de los enteros a y b si
bdad |y|Por ejemplo,
6,3,2,1
Son los divisores comunes del 24 y el 30.
El máximo divisor común, mdc,de dos enteros a y b, es el mayor entero que divide a ambos.
El mdc de a y b lo denotamos:
ba,mdc
Máximo Divisor Común
1284,24mdc
24 8412 42 6 21 2 7
223
1284,24
Primos Relativos
Decimos que los enteros a y b son primos relativos si
1, ba
116,9
113,8
17,3
Por ejemplo:
Algoritmo de la División
o de Euclides
Algoritmo de Euclides o de la División
Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces existe un par único de enteros, q y r, tales que:
rnqm
mn |
donde . nr 0
Si r = 0 decimos que “n divide a m ”, o que “la división es exacta”.
Observemos que en el algoritmo de la división el numerador m puede ser cualesquier entero. Sin embargo, el denominador n debe ser un entero positivo.
¿Qué nos dice entonces la expresión ? rnqm
... que cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo q de n, más un residuo r.
Aclaramos que q puede ser positivo, negativo o cero.
Y que el residuo r puede ser 0, 1, 2, ..., n – 1.
Analicemos el caso n = 3, es decir , entonces:m|3
Es decir, cualquier entero m puede escribirse como un múltiplo de 3, más un residuo r : 0, 1 o 2.
Así, podremos agrupar TODOS los enteros en tres clases de equivalencia, módulo 3, las cuales denotaremos como [0], [1] y [2].
rqm 3
,9,6,3,0,3,6,9,]0[
,10,7,4,1,2,5,8,]1[
,11,8,5,2,1,4,7,]2[
Clases de equivalencia, módulo 3:
2032
2135
2238
2234
2131
A
lgu
nos
ele
men
tos d
e la
cla
se [
2 ]
Si m y n son dos enteros cualesquiera, n > 0, entonces por el algoritmo de la división existen q y r, tales que:
rnqm donde , y definimos las operaciones:nr 0
qnm :div
rnm mod
Algoritmo de Euclides para obtener el mdc
Sean a y b enteros positivos, entonces el máximo divisor común, mdc, de a y b es el último residuo no cero de la aplicación sucesiva del algoritmo de Euclides.
Si a y b son enteros positivos y
bca modentonces
bcba ,mdc,mdc
1313221,mdc221234,mdc234689,mdc
Por ejemplo:
234mod689221 221mod23413 13mod2210
0,18,36,54,198,252
Por ejemplo, para obtener (198, 252), se puede hacer en forma de listado calculando el módulo de los dos últimos encontrados:
entonces, en este caso
18252,198mdc
Teorema de LaméEl número de divisiones necesarias para encontrar el máximo divisor común de dos enteros positivos a y b usando el algoritmo de Euclides, no es mayor que
5k,donde k es el número de dígitos (en base 10) del menor de los números a y b .
Por ejemplo, para un número de 1000 dígitos decimales, en vez de realizar 10^1000 divisiones (utilizando el algoritmo que aprendemos en la primaria), con el algoritmo euclidiano se harían 5000 aproximadamente.
Congruencias Lineales
nbxa mod
Teorema:
Sean a, b, n enteros cualesquiera con n > 0 y donde
na,mdc:d
Caso I: no tiene solución si .
nbxa mod
bd |
entonces la congruencia lineal:
Tiene exactamente d soluciones módulo n, si .
Además, dichas soluciones se encuentran espaciadas una distancia .
bd |
Caso II:
nbxa mod na,mdc:d
dn
Caso III:
Tiene solución única si d = 1.Y la solución puede obtenerse con la inversa de a, es decir,
nbax mod1
nbxa mod na,mdc:d
Teorema:
Sea p un número primo.El entero positivo a es su propio inverso multiplicativo módulo p si y sólo si
pa mod1o bien
pa mod1
Teorema:
Existen enteros x y y tales que
si y sólo si,
1byax
Sean a y b enteros.
1,mdc na
Teorema del Residuo Chino
Sean enteros positivos y primos relativos dos-a-dos.
knnn ,,, 21
Entonces el sistema de congruencias
kk nax
nax
nax
mod
mod
mod
22
11
tiene una solución única módulo knnnN 21:
Además, dicha solución se puede expresar como
NyNayNayNax kkk mod222111
dondeknnnN 21:
jj nNN /:
jjj nyN mod1
Lo cual implica 1, jj nN
O sea, jj yN 1
Grupo
*nZ
Sea n un entero positivo. Entonces el conjunto
1,|:* namdcZaZ nn
es un Grupo con la operación de multiplicación en . nZ
Inclusive el número de elementos que hay en es .
Es decir
*nZ n
nZn *#
Donde es la función de Euler.
Función de Euler
Denotaremos por la cantidad de enteros de entre el 1, 2,..., n que son primos relativos con n.
n
Por ejemplo: 412
ya que los enteros 1, 5, 7 y 11 son los únicos primos relativos del 1 al 12 con el 12.
Si p y q son dos números primos diferentes, entonces
1
11
pqpq
qp
qppq
Teorema:
qpppp
pqpp
pqpp
pqpp
32
313233
212222
111211
Demostración:Si expresamos los qp números como sigue:
entonces todos los q múltiplos de p:
qpppp ,,3,2,
dividen a qp. Entonces hay que restarle q términos a qp.
sigue
Análogamente todos los p múltiplos de q
pqqqq ,,3,2,
dividen a pq. Entonces también hay que restarle ahora p términos a qp.
Por ser p y q números primos, en las dos listas que acabamos de dar de los factores de qp el único término que se repitió fue el qp mismo. Entonces hay que sumarle un término qp.Además por ser p y q números primos, estos son los únicos factores que tiene qp. Así 1 pqpqpq
Por ejemplo: 5*315
15105
1494
1383
1272
1161
1512963
1411852
1310741
3 múltiplos de 5
5 múltiplos de 3
8153155*315