CURSO DE ESTATICA
TEMA: ANALISIS VECTORIAL (SEMANA 1 Y 2) DOCENTE: Lic. Jesús David Pflucker Hilario TEORIA Y PRÁCTICA
1.1 Vector.-
El vector es un ente matemático que asocia magnitud y dirección y
juega un papel esencial en muchas áreas centrales de la física como la
mecánica, termodinámica, electricidad, magnetismo, electromagnetismo,
óptica, etc. Gráficamente un vector, es un segmento de recta orientado (una
flecha o saeta) que tiene 4 elementos.
Finalidad.- La rama que estudia sus propiedades y operación de
vectores se denomina análisis vectorial y es muy importante su estudio para
cálculos posteriores de magnitudes físicas vectoriales y escalares como:
velocidad, trabajo mecánico, trabajo termodinámico, momento de una
fuerza, intensidad de corriente eléctrica, flujo eléctrico y/o magnético, etc.
Por este motivo es muy importante el estudio del análisis vectorial
pues sirve de mucho en todas las ramas de las ciencias y más aun en las de
ingeniería como la Civil, Mecánica, Arquitectura, etc.
Punto de aplicación es el punto de partida de un vector o aquel donde se
aplica
Módulo: longitud del segmento
Dirección: ángulo formado con el eje x positivo
Sentido: ubicación del segmento
Representación gráfica en el plano:
cm
A
4
x
y
Para denotar un vector se utiliza cualquier letra del alfabeto sea mayúscula o
minúscula (con una flecha sobre la letra)
Ejemplo: El vector B , el vector d
Con el estudio y la compresión de los vectores estamos colocando los
cimientos de casi todo el curso de física I; en consecuencia esto exige un
entendimiento mediante un estudio serio y responsable.
El tiempo invertido en este estudio rendirá muchos dividendos. Una vez
dominada la teoría vectorial se podrá utilizar con confianza y con existo en
los siguientes temas.
1.2 Descomposición de un vector.-
Dentro de la ingeniería es muy importante conocer las reglas de
descomposición, pues nos ayuda a calcular las fuerzas que actúan sobre
cables, cadenas y/o cuerdas, tal como se puede notar en la figura.
Podemos calcular las componentes por simple proyección cumpliendo el
método del paralelogramo o también mediante trigonometría, ambas son
validas. Según el triangulo ABC, se conoce las leyes de seno y coseno:
A B
C
a
c
b
senc
C
senb
B
sena
A
Ley de cosenos:
Ley de senos:
cABBAC cos222
Es importante saber que los vectores no solo se pueden proyectar en ejes
perpendiculares sino en realidad en cualquier dirección. Por ejemplo.
1
2
1V
2Vo
1
2
1V
2Vo
VV
1
2
1V
2V
o
V
1.3 Suma de vectores.-
Suma de dos o más vectores, consiste en encontrar un vector equivalente
que produzca los mismos efectos que todos juntos. Existen dos métodos de
sumar vectores gráficos y analíticamente.
A) Métodos Gráficos
Este método consiste en ubicar los vectores uno a continuación del otro
y luego el vector resultante se obtiene, uniendo el origen del primer
vector con el extremo final del segundo vector o del tercero o del cuarto
o del n enésimo vector, ejemplo.
ab
a
b
baS
a
b
abS
El signo “+” tiene un significado diferente del que tiene el algebra
ordinaria, la suma obedece a la ley conmutativa
abba
La suma de 3 o más vectores es la extensión lógica del procedimiento
anterior (polígono).
cbaS
a
b
c
a
b c
B) Método Analítico
Primero estudiaremos un único vector en el plano XY, supongamos que el
vector a forma un ángulo con el eje X, sus componentes rectangulares
son:
ya
xa
a
x
ycosaax
senaay
222222 cos senaaaa yx
222 aaa yx
22
yx aaa
x
y
a
atg
Es importante señalar que en el plano cartesiano los vectores se pueden
expresar como pares ordenados y en el espacio cartesiano se expresan como
terna ordenada. Por ejemplo;
x
y
5
3
5;3 HH
5;3
x
y
z
3
4
5
5;4;3 QQ
5;4;3
cartesianoPlano cartesianoEspacio
NOTA: Cuando se suman vectores ya sea en par o terna ordenada, solo se
pueden sumar las componentes iguales; es decir; la componente horizontal
de un vector solo se puede sumar con la componente horizontal del otro
vector y así sucesivamente con las otras componentes.
1.4 Vector Unitario.-
Como su nombre lo indica el modulo de un vector unitario es igual a la
unidad. Para cualquier vector, se define su vector unitario de la siguiente
manera,
a
aea ˆ
Vectores coordenadas coordenados unitarios.- Un vector unitario se puede
definir en cualquier dirección. Sin embargo, los vectores unitarios más útiles
son aquellos que tienen las direcciones X, Y, Z.
Estos vectores unitarios se llaman vectores coordenados unitarios, y se
denotan comúnmente por medio de las letras kji ˆ,ˆ,ˆ y según las direcciones
de los ejes X, Y, Z respectivamente.
x
y
i
jk
z
Expresión de un vector en función de los vectores unitarios.-
x
y
i
jk
z
R
xR
zR
yR
zyx RRRR
iRR xxˆ
jRR yyˆ
kRR zzˆ
kRjRiRR zyxˆˆˆ
El vector unitario de R esta dado por:
kR
Rj
R
Ri
R
Re zyx
Rˆˆˆˆ
Cosenos directores: R
R
R
R
R
R zyx cos,cos,cos
Por lo tanto, podemos expresar también un vector unitario en función a los
cosenos directores, como:
knjmilkjieRˆˆˆˆcosˆcosˆcosˆ
Como Re es un vector unitario y su módulo 1ˆ Re , se tiene entonces que:
1coscoscosˆ222 Re
directoresenos
losdepropiedad
cos
1coscoscos222
x
y
z
R
xR
zR
yR
1.5 Multiplicación de vectores.-
Lo mismo que las cantidades escalares, se puede multiplicar vectores de
diferente naturaleza para obtener cantidades de nuevas dimensiones Físicas.
A) Producto Escalar de dos vectores.-
El resultado de la multiplicación es una cantidad escalar:
cosabba con esta definición un número de cantidades físicas se
pueden describir ejemplo: Trabajo, Energía, Potencial eléctrico, etc.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.-
aconmutativabba .1
vadistributicabacba )(.2
:.3 unitariosvectoreslospara
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji
2.4 aaa
laresperpendicusonvectoreslosluego
basinulosnobyavectoreslosDados
,
0,.5
Regla para el producto escalar.-
Sean los vectores:
kAjAiAA zyx y kBjBiBB zyx
kBjBiBkAjAiABA zyxzyx
kBiAjBiAiBiABA zxyxxx
kBjAjBjAiBjA zyyyxy
kBkAjBkAiBkA zzyzxz
kiBAjiBAiiBABA zxyxxx
kjBAjjBAijBA zyyyxy
kkBAjkBAikBA zzyzxz
kiBAjiBAiiBABA zxyxxx
kjBAjjBAijBA zyyyxy
kkBAjkBAikBA zzyzxz
tomando la propiedad del producto escalar para los vectores unitarios,
tenemos:
zzyyxx BABABABA
Componente vectorial paralela y normal a una línea:
En algunas aplicaciones de ingeniería es necesario descomponer un vector
en sus componentes paralela y normal (perpendicular) a una línea dada. La
componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del
vector sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la
proyección de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la
dirección de la línea.
Las componentes de un vector paralela y normal a una línea se pueden
determinar usando el producto escalar o también llamado producto punto.
Consideremos un vector U y una línea recta L. Podemos descomponer U
en componentes que sean paralela y normal a L.
LL
U
U
UU
)(afigura )(bfigura
LlinealayUvectorEl
.Lanormalyparalela
scomponentesusenUdeSeparación
Componente paralela.- En función del ángulo θ entre U y la componente
U , la magnitud o modulo de U es
cosUU
Sea un vector unitario paralelo a L como se muestra en la figura, entonces
su producto escalar será;
L
U
)(cfigura
LaparaleloesunitariovectorEl
coscos1 UUU
Considerando la ecuación anterior a ésta, podemos notar que
UU
Para darle la dirección de paralelo a la línea L tomamos el vector unitario ,
por tanto, la componente paralela será:
UU
Nota.- Es importante señalar que si el ángulo θ es mayor A 90º entonces el
producto U será negativo y si es menor a 90º grados será positivo.
Componente normal (perpendicular).- Una vez que se ha
determinado la componente paralela, se puede obtener la componente
normal mediante la relación UUU :
UUU
B) Producto Vectorial de dos vectores.-
El segundo tipo de multiplicación se denomina producto vectorial porque el
resultado de la operación es un vector. Si se tiene dos vectores bya como
se muestra en la figura el producto vectorial se define:
a
b0
c
cba
En donde
a) La magnitud de c es: absenc
b) La dirección de c es perpendicular al plano que contiene a bya
c) El sentido de c corresponde a la regla del tornillo de rosca derecha.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
aconmutativnoabba .1
vadistributicabacba .2
0
:.3
kkjjii
unitariosvectoreslosPara
jkiijkkij
jikikjkji
0.4 aa
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba .5
1.6 Área de un paralelogramo.-
En la figura se representan los vectores A , B su producto vectorial BA . El
paralelogramo que se forma tiene como lados A y B, siendo h su altura
respecto al lado A. El área del paralelogramo es: hxAÁrea
A
B
BA
h
En la figura se tiene que:
Bsenh
pero
AhABsenBA
ramoparaledeláreaBA log
El área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al modulo del
producto vectorial de dichos vectores.
1.7 Productos triples.-
Dados los vectores:
kCjCiCCkBjBiBBkAjAiAA zyxzyxzyx ,,
Se tiene los siguientes productos:
1) Producto triple escalar (el resultado es un escalar)
BACACBCBA
Se demuestra que cualquiera de los productos de la ecuación arriba
mencionada, puede escribirse como un solo determinante.
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA
2) Triple producto vectorial (el resultado es un vector)
Dados los vectores A , B y C se cumple las siguientes igualdades:
BACCABCBA
CBACABCBA
1.8 Volumen de un paralelepípedo.-
Sea V el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A , B y
C como se muestra en la figura.
x
y
z
A
B
C
donde es el vector unitario de CB , perpendicular al plano determinado
por B y C por tanto está en la dirección de de la altura h del paralelogramo.
La componente de A en la dirección de es entonces Ah . Como la
base es un paralelogramo, su área es CB ; luego el volumen es:
CBACBAV
CBAV
1.9 Condición de coplanariedad.-
La condición necesaria y suficiente para que tres vectores A , B y C sean
coplanares es:
0 CBA
EJERCICIOS PROPUESTOS
TEMA: ANALISIS VECTORIAL
Problema 1.1. La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de
las líneas a-a’ y b-b’. a) Determinar el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de a-
a’ es de 240 lb .b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-b’?
Problema 1.2 La fuerza F se encuentra en el plano definido por las líneas LA y LB que se
intersecan. Su magnitud es de 400 lb. Supongamos que F se quiere separar en componentes
paralelas a LA y a LB. Determinar las magnitudes de las componentes vectoriales.
Problema 1.3 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en
función de sus componentes escalares.
(b) Exprese el vector de posición del punto B al punto C en función de sus componentes
escalares.
(c) Use los resultados anteriores para determinar la distancia del punto A al punto C.
Problema 1.4 La armella roscada en la figura que se ve en la figura está sometida a
dos fuerzas, F1y F2. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
Problema 1.5 Las dimensiones del paralelepípedo son 3, 4 y 5 unidades.
Encontrar:
a) La expresión del vector T de modulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen
en B.
b) La expresión del vector V de modulo 5 unidades que está en la diagonal CA con origen
en C
c) Los ángulos directores de T y V
x
y
z
3
45
T
VA B
C
E
Problema 1.6 La ménsula está sometida a las dos fuerzas mostradas. Exprese cada
fuerza en forma vectorial cartesiana y luego determine la fuerza resultante FR. Encuentre la
magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.
Problema 1.7 La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la tensión
en AB y CD es FA=300N y FC= 250N, respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en
forma cartesiana vectorial.
Problema 1.8 Dos tractores jalan el árbol con las fuerzas mostradas. Represente cada
fuerza como un vector cartesiano, y luego determine la magnitud y los ángulos directores de
la fuerza resultante.
Problema 1.9 El cable AB mostrado ejerce una fuerza de 32 lb sobre el collarín en A.
Exprese T en función de sus componentes escalares.
Problema 1.10 Determine la componente de F que actúan a lo largo de la barra AC y
perpendicular a ella. El punto B está localizado a 3 m a lo largo de la barra desde el
extremo C.
Problema 1.11 El cable OA se usa para dar soporte a la columna OB. Determine el
ángulo que forma el cable con la viga OD.
Problema 1.12 Obtenga los productos escalares CByCB ´ , y utilice los
resultados obtenidos para demostrar la identidad
.cos2
1cos
2
1coscos
Problema 1.13 Obtenga los productos vectoriales CByCB ´ , y utilice los
resultados obtenidos para demostrar la identidad
.2
1
2
1cos sensensen
Problema 1.14 Si los lados del paralelepípedo son:
kjiCkjiBkjiA 328345 , su volumen es:
Problema 1.15- Si
kjmiCkjiBkjimA 53;33; . Hallar el valor de “m” sabiendo que CyBA,
son coplanares.
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