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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Apéndice 2
Uso de Maple en análisis de redes
A2.1 Introducción
La teoría de redes está basada en conceptos físicos que se modelan matemáticamente como
sistemas de ecuaciones diferenciales.
Los cursos básicos de ingeniería modelan sistemas, que han probado ser útiles, mediante
redes eléctricas. Reconocer la utilidad que pueda tener una determinada interconexión de
componentes requiere primero resolver matemáticamente el modelo obtenido y luego una
posterior interpretación de los resultados, ojalá mediante gráficos; ambas capacidades son
objetivos de un curso de redes.
Gran parte del material tradicional que se expone en un curso básico de redes tiene por
objetivo evitar las complicaciones debidas a la manipulación matemática. Los métodos para
resolver con "papel y lápiz" son muchas veces simplificaciones matemáticas del problema, y
dan origen a variados y numerosos procedimientos, con sus excepciones y modificaciones de
acuerdo a las condiciones del problema. Como ejemplos de lo anterior: los métodos de análisis
de redes son útiles en la orientación de la solución de grandes sistemas de ecuaciones; el trabajo
con números complejos se emplea para evitar la difícil manipulación de expresiones algebraicas
trigonométricas; el cálculo de redes equivalentes tiene por objetivo simplificar la determinación
de una variable de la red, en lugar de encontrar la solución general para todas las variables.
Las redes, que normalmente debe estudiar un alumno que sigue una carrera de electrónica,
son generalmente no lineales y con excitaciones continuas y alternas de varias frecuencias;
debido a esto los métodos para papel y lápiz están basados en aproximaciones para simplificar.
En su tiempo las herramientas de apoyo para efectuar cálculos eran la regla de cálculo y las
tablas de logaritmos, luego las calculadoras personales, después los computadores, y
posteriormente las aplicaciones especializadas, como SPICE, que fueron desarrollándose a
través del tiempo.
Sin embargo, el disponer de herramientas computacionales que resuelven, simulan y
despliegan las formas de ondas de las respuestas, puede llevar a desconocer la forma en que
estas herramientas ocupan los conceptos y teorías en que están basados.
Se desea usar herramientas computacionales para resolver los problemas matemáticos
asociados a la teoría de redes y a la vez ilustrar en qué aspectos de la teoría están basados los
programas y aplicaciones de análisis de redes de tipo electrónicas.
2 Teoría de Redes Eléctricas
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A través de este apéndice se dará énfasis a la comprensión de cómo han sido desarrollados
estos sistemas a partir de la teoría básica.
Un procesador matemático, como Maple, posibilita el trabajo simbólico y numérico, a la vez
que permite obtener despliegues de las formas de ondas.
Para evitar que la dificultad esté centrada en el dominio del lenguaje de programación, se
muestran sólo algunos comandos básicos que permiten resolver problemas de redes. En
ocasiones se ilustra cómo se puede crear un procedimiento, en otras se efectúan iteraciones o
repeticiones o condicionales, pero se cuida de no distorsionar la oportunidad de aprender redes.
Sin embargo cuando se usa una herramienta es preciso dominar algunos elementos básicos, y
esto no podrá evitarse; de este modo deberán estudiarse las diferencias entre listas y conjuntos;
entre expresiones y funciones; entre asignaciones y ecuaciones, etc. Pero si se aprende a usar
una herramienta como Maple, en el nivel del primer curso de teoría de redes, se la podrá
emplear en sistemas lineales, en los cursos de electrónica, en los de comunicaciones, en los de
control automático, etc.
Demás está decir que se utiliza una parte muy restringida del lenguaje, siendo éste mucho
más poderoso; sólo se emplean algunos recursos que permiten resolver o ilustrar los conceptos
de redes en que estamos interesados.
El objetivo de este apéndice será la utilización de procesadores matemáticos para facilitar la
comprensión de los fundamentos teóricos y también la aplicación práctica de ellos en la
formulación y resolución de problemas de redes electrónicas.
A2.2. Métodos de análisis
Los métodos de análisis de redes se originan en la dificultad, para un ser humano, de resolver
un sistema con un gran número de ecuaciones. Por esta razón se procede a una manipulación
ordenada del sistema para reducir el número de incógnitas.
Básicamente consisten en dejar, mediante eliminación de variables, sistemas de ecuaciones
en variables independientes.
De esta manera se pueden plantear sistemas de ecuaciones cuyas incógnitas son los voltajes
de nodos, o las corrientes de mallas, o los voltajes en ramas, o las corrientes en cuerdas, o una
mezcla de variables independientes.
De este modo devienen diferentes métodos, algunos son más eficientes de acuerdo al tipo de
componentes y presentan dificultades si están presentes otras componentes. Por ejemplo en el
método nodal ofrecen dificultad las fuentes de tensión, ya que introducen ecuaciones de
restricción y agregan nuevas incógnitas; en el de mallas ocurre algo similar si están presentes
fuentes de corriente.
Disponiendo de procesadores matemáticos, la solución de grandes sistemas no ofrece
dificultades; y no se producen las excepciones de los métodos particulares.
Apéndice 2. Uso de Maple 3
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A2.3. Análisis continuo o DC
En la red de la Figura A2.1, se han identificado las variables: cuatro voltajes y cuatro
corrientes.
Figura A2.1 Identificación de variables.
El siguiente programa emplea los siguientes elementos del lenguaje:
Se limpia la memoria del procesador con restart.
Se emplea el operador de asignación: dos puntos seguido de igual.
Se definen nombres de variables simbólicas al lado izquierdo de la asignación.
Se emplea notación de conjuntos, separando los elementos por comas, y encerrando a éstos
entre paréntesis cursivos.
Se definen ecuaciones que relacionan símbolos, definidos por identificadores, empleando el
signo igual.
Se terminan las instrucciones por dos puntos, si no se desea que el procesador despliegue los
resultados que genera la sentencia; y un punto y coma, si se desea que la sentencia se ejecute y
muestre un resultado.
Se pueden colocar varias sentencias en un comando, oprimiendo retorno simultáneamente
con la tecla mayúscula.
Luego de una serie de definiciones de símbolos se ejecuta el comando solve que retorna un
conjunto solución; como es conjunto no existe un orden determinado entre los elementos. Solve
resuelve el primer conjunto de ecuaciones en términos de los elementos del segundo conjunto de
incógnitas.
El comando eval evalúa el primer conjunto de ecuaciones reemplazando los valores de las
expresiones del segundo conjunto con los datos.
Se ilustra que la solución puede evaluarse con otro conjunto de datos.
Programa
restart;
ecequilibrio:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, i3=-j, v4=e}:
datos:={R1=5, R2=4, e=10, j=2}:
lck:={i1+i4=0, -i1+i2+i3=0}:
2 1
0
e
R1
j R2
i2 i4
v2
i1 i3
v3
v1
v4
4 Teoría de Redes Eléctricas
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lvk:={v4-v1-v2=0, v2-v3=0}:
ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck
union lvk:
voltajes:={v1, v2, v3, v4}:
corrientes:={i1, i2, i3, i4}:
incógnitas:=voltajes union corrientes:
sol:=solve(ecuacionesdelared, incógnitas);
eval(sol, datos);
datos1:={R1=4.7E3, R2=8E2, e=4, j=17/3};
eval(sol, datos1);
ec1 := {i3 = -17/3, v4 = 4, i4 = .8235151515, v3 = 3874.521211,
v1 = -3870.521213, i2 = 4.843151515, v2 = 3874.521211,
i1 = -.8235151515};
Una vez que se obtiene la solución de la red, pueden efectuarse operaciones sobre las
variables. El comando assign, opera sobre el conjunto de ecuaciones y permite reconocer los
símbolos a la izquierda por su nombre.
assign(sol);
i1;
Si se desea derivar la expresión simbólica asignada a la variable i1, respecto del parámetro
R2, se ejecuta: simplify(diff(i1, R2));
El comando simplify aplica reglas de simplificación algebraicas comunes.
Si se desea efectuar un barrido DC se puede evaluar la solución con los datos, exceptuando
la variable que se desea incrementar; de esta forma la solución queda en términos del parámetro.
Sin embargo si se efectúo una asignación, el procesador almacenó expresiones para las variables
y es preciso quitar esta asociación, esto se logra con el comando unassign.
datos3:={R1=5, R2=4, j=2}:
unassign('v4','i4','v3','i3','v2','i2','v1','i1'):
ec4:=eval(sol, datos3);
assign(ec4):
sol i3 j v4 e i4e R2 j
R1 R2v3
R2 ( )e R1 j
R1 R2v1
R1 ( )e R2 j
R1 R2, , , , ,{ :=
i2e R1 j
R1 R2v2
R2 ( )e R1 j
R1 R2i1
e R2 j
R1 R2, , }
{ }, , , , , , ,i3 -2 v4 10 i4-2
9v3
80
9v1
10
9i2
20
9v2
80
9i1
2
9
:= datos1 { }, , ,R1 4700. R2 800. j17
3e 4
e R2 j
R1 R2
e R1 j
( )R1 R2 2
Apéndice 2. Uso de Maple 5
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Mediante el comando plot pueden dibujarse las variables. plot([v2, i1, i2, i4], e=0..10, color=[red, blue, green, magenta]);
Se colocan las variables en una lista, encerradas entre paréntesis cuadrados. Luego el rango
de valores del parámetro, e en este caso. Se especifica un orden para los colores con que se
representaran las variables.
Representación gráfica
Figura A2.2 Barrido DC.
Se pueden generar tablas de valores de las variables, similar a Print en SPICE, mediante:
seq(v2, e=0..10);
O con números en punto flotante, con tres cifras:
evalf(seq(v2, e=0..10), 3);
A2.3. Análisis transitorio
Para efectuar análisis transitorios conviene formular las ecuaciones de estado para la red, y
se aplica el comando dsolve.
Se desea obtener la respuesta transitoria de la red de la Figura A1.3.
ec4 v4 e i3 -2 i4e
9
8
9v3
4 e
9
40
9v1
5 e
9
40
9i2
e
9
10
9, , , , , ,{ :=
v24 e
9
40
9i1
e
9
8
9, }
, , , , , , , , , ,40
9
44
9
16
3
52
9
56
9
20
3
64
9
68
98
76
9
80
9
, , , , , , , , , ,4.44 4.89 5.33 5.78 6.22 6.67 7.11 7.56 8. 8.44 8.89
e
i1
i2 i4
v2
6 Teoría de Redes Eléctricas
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Figura A2.3 Red RLC paralelo
Para la red de la Figura A2.3 la formulación de las ecuaciones de estado lleva a dos
ecuaciones diferenciales de primer orden.
Para completar el análisis se requiere expresar las corrientes o voltajes en los elementos en
términos de las variables de estado; en el caso del ejemplo el voltaje es común a las
componentes, y las corrientes pueden expresarse según:
El siguiente programa Maple, define conjuntos de ecuaciones con: las variables de estado,
las condiciones iniciales, las ecuaciones de estado y las corrientes.
Programa
restart;
estado:={vc(t), il(t)}:
ci:={vc(0)=a, il(0)=b}:
ecestado:= {diff(il(t), t)=-vc(t)/L, diff(vc(t), t)=-vc(t)/(R*C) + il(t)/C};
corrientes:={ir = vc(t)/R, ic=il(t)-vc(t)/R};
Luego de la formulación del problema, el sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve
con el comando dsolve:
sol:=dsolve(ecestado union ci, estado);
El cual entrega la solución simbólica del sistema, en términos de los parámetros, se muestra
la solución para el voltaje en el condensador:
,d
d
t( )il t
( )vc t
L d
d
t( )vc t
( )vc t
R C
( )il t
C
,ir( )vc t
Ric ( )il t
( )vc t
R
1
L R C
0
Apéndice 2. Uso de Maple 7
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Se evalúa la solución en términos de los datos:
datos:={R=1, L=8E-3, C=10E-3, a=-2, b=10}:
soldatos:=eval(sol, datos);
La expresión para el voltaje resulta:
Donde I es la base de los números imaginarios. Como se conoce que la solución es real,
mediante el comando evalc, que evalúa expresiones complejas, se puede simplificar y obtener
una expresión para las variables de estado con funciones trigonométricas:
soldatos:=simplify(evalc(soldatos));
Para obtener expresiones se asigna los elementos del conjunto solución, a las variables del
lado izquierdo de las ecuaciones. Luego se pueden dibujar las formas de ondas mediante el
comando plot.
assign(soldatos);
plot([vc(t), il(t)], t=0..0.15, color=[red, blue]);
Formas de ondas
( )vc t1
4( )L b 2 a R C L2 4 R2 L C b L2 4 R2 L C
( )L L2 4 R 2 L C e
( )L L2
4 R2
L C t
2 L R CL2 ( )L 4 R 2 C R C( )
1
4
L2 4 R 2 L C ( )L b L2 4 R 2 L C b 2 a R C ( )L L2 4 R 2 L C
e
( )L L2
4 R2
L C t
2 L R CL2 ( )L 4 R2 C R C( ) L
( )vc t ( )1.000000000 5.500000000 I e( )( )-50.00000000 100.0000000 I t
( )1.000000000 5.500000000 I e( )( )-50.00000000 100.0000000 I t
( )vc t 1. e( )50. t
( )2. ( )cos 100. t 11. ( )sin 100. t
( )il t 2.500000000 e( )50. t
( )4. ( )cos 100. t 3. ( )sin 100. t
8 Teoría de Redes Eléctricas
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Figura A2.4 Variables de estado.
Pueden visualizarse el resto de las variables o expresiones que las usen. Se ilustra el
despliegue de las potencias instantáneas que ingresan a las componentes, que emplea las
corrientes en la resistencia y en el condensador.
ec:=eval(corrientes, datos):
assign(ec):
plot([ir*vc(t), -il(t)*vc(t), ic*vc(t)], t=0..0.07,
color=[red, blue, magenta]);
Figura A2.5 Potencias instantáneas.
Ejemplo A2.1.
Obtener las ecuaciones de estado para la red de la Figura A2.6.
C
R
L
iL(t)
vC(t)
Apéndice 2. Uso de Maple 9
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Figura A2.6 Ecuaciones de estado.
Las referencias para las polaridades se eligen de tal forma que el producto de la corriente por
el voltaje sea la potencia ingresando a cada componente.
Las variables de estado son los voltajes en los condensadores y las corrientes en los
inductores.
Excepción a lo anterior son: circuitos formados solamente por condensadores y fuentes
independientes de tensión; y conjuntos de corte formados solamente por inductores y fuentes
independientes de corriente. En estos casos puede agregarse una resistencia de muy bajo valor
en el circuito de los condensadores, o una resistencia muy alta en el conjunto de corte formado
por inductores.
Se ilustra un procedimiento para obtener las ecuaciones de estado, está basado en plantear las
ecuaciones de la red y luego eliminar las variables que no sean los voltajes en los condensadores
y las corrientes en los inductores.
Solución transitoria basada en ecuaciones de estado:
Se plantean las ecuaciones de la red y los datos. Las derivadas de las variables de estado con
mayúsculas y con operador D.
ecs:={i1=C*DV1, v2=L*DI2,
v6=e(t), i5=-j(t),
v3=R3*i3, v4=R4*i4,
v2=v4+v6, v3=v1+v4+v6, v5=v1+v4+v6,
i1=-i5-i3, i4=-i5-i3-i2, i6=-i5-i3-i2}:
El conjunto datos permite especificar los parámetros de la red. Se ha elegido un estímulo
continuo para la fuente de corriente y uno sinusoidal para la fuente de tensión. datos:={R3=1, R4=20, L=1, C=1, j(t)=2, e(t)=5*cos(2*t)}:
Se eliminan todas las variables, excepto las de estado. ec1:=eliminate(ecs,{i1, i3, i4, i5, i6, v2, v3, v4, v5, v6}):
El resultado del comando eliminate es una lista, el primer elemento de la lista contiene las
variables eliminadas en función de las que quedan. El segundo elemento de la lista contiene las
ecuaciones en términos de las variables no eliminadas, las variables de estado en este caso; el
segundo elemento de la lista ec1, se obtiene con: ec1[2].
Se resuelve para las derivadas de las variables de estado, formando así el sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden.
R3 e(t) j(t) L
C R4
i1
v2
i4
i3 i6 i2 i5
10 Teoría de Redes Eléctricas
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ec2:=solve(ec1[2], {DV1,DI2}):
Se forman las ecuaciones de estado, dejando como variables dependientes del tiempo a las de
estado. ecestado:=subs(v1=v1(t), i2=i2(t), DV1=diff(v1(t), t), DI2=diff(i2(t), t), ec2);
Se expresan el resto de las variables en función de las variables de estado. El conjunto
solresto contiene todas las variables restantes en términos de las variables de estado.
solresto:=subs(v1=v1(t), i2=i2(t), DV1=diff(v1(t), t), DI2=diff(i2(t), t), ec1[1]):
Se definen las variables de estado y un conjunto de valores iniciales: varestado:={v1(t), i2(t)}:
estadoinicial:={v1(0)=2, i2(0)=1}:
Solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el comando dsolve. estado:=dsolve(estadoinicial union eval(ecestado, datos), varestado);
Si se desea expresar mediante números reales, se aplica el comando evalf, con tres cifras;
para la corriente se obtiene:
La visualización de los resultados, se logra asignando las variables y usando el comando
plot. assign(estado):
plot([v1(t), i2(t)], t=0..20, color=[red, blue]);
ecestadod
d
t( )v1 t
( )v1 t R4 ( )i2 t R3 ( )j t ( )e t
C ( )R3 R4,{ :=
d
d
t( )i2 t
( )e t R3 R4 ( )v1 t R4 R3 ( )j t R4 ( )i2 t R3
L ( )R3 R4}
( )i2 t2104
121009e
t
2sin
1239 t
421239
288
293e
t
2cos
1239 t
42
5
293( )cos 2 t
85
586( )sin 2 t
( )v1 t3973
121009e
t
2sin
1239 t
421239
21
293e
t
2cos
1239 t
42
32
293( )sin 2 t
21
293( )cos 2 t 2
( )i2 t 0.612 e( )0.500 t
( )sin 0.838 t 0.983 e( )0.500 t
( )cos 0.838 t
0.0171 ( )cos 2. t 0.145 ( )sin 2. t
Apéndice 2. Uso de Maple 11
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Figura A2.7 Variables de estado.
Se puede calcular cualquier variable de la red, en términos de la solución anterior. eval(solresto, estado):
A2.4. Análisis alterno
Se plantean las ecuaciones de equilibrio, empleando s para el operador diferencial. LCK en
nodos y LVK en mallas. Se identifican todas las variables y se resuelve el sistema. Luego se
reemplaza s por j .
Se utiliza el comando interface(imaginaryunit=j): para emplear j en lugar de I para la raíz de
menos uno.
Determinar los voltajes V13 y V34, y la corriente en la red de la Figura A2.8.
Figura A2.8 Análisis alterno.
Se tienen los siguientes datos:
Vs(t) = 200sen(314t) [V];
R1=5[ ]; L=5/314 [Hy]; R2=4[ ]; C=1/1256 [F].
Programa
restart;
interface(imaginaryunit=j):
eceq:={v1=R1*i1, v2=L*s*i2, v3=R3*i3, i4=C*s*v4, v5=Vs}:
v1 v3 i
1 R1 2 3 4
v2 v4
R2 L C
Vs(t) +
i2(t)
v1(t)
12 Teoría de Redes Eléctricas
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lvk:={v5=v1+v2+v3+v4}:
lck:={i5=-i1, i1=i2, i2=i3, i3=i4}:
vars:={i1,i2,i3,i4,i5,v1,v2,v3,v4,v5}:
sol:=solve(eceq union lck union lvk, vars):
rfrec:= subs(s=j*omega,sol);
Se obtienen las respuestas en frecuencia para las variables:
Se especifican los valores de los datos y se asignan variables. Si la excitación tuviera un
ángulo de fase, se especifica Vs mediante un número complejo.
datos:={R1=5, R3=4, L=5/314, C=1/1256, omega=2*Pi*50,Vs=200}:
sol:=eval(rfrec, datos):
assign(sol):
Resultados
Los resultados pueden desplegarse mediante las funciones abs y argument.
v3; evalf(abs(v3)); evalf(argument(v3)*180/Pi);
La función abs calcula el módulo, y argument el ángulo en radianes. El ángulo se ha
convertido de radianes a grados.
Puede diseñarse un procedimiento, llamado MagAng para expresar los resultados como un
par: magnitud, ángulo. Se emplea printf, con la sintaxis del lenguaje C.
La definición del procedimiento comienza con proc y la lista de argumentos; termina con
end proc. El argumento z debe ser un número complejo.
MagAng:=proc(z)
printf("%g|_ %gº \n", evalf(abs(z)), evalf(argument(z)*180/Pi));
end proc:
Entonces las tres invocaciones al procedimiento:
MagAng(v1+v2); MagAng(v3+v4); MagAng(i4);
Producen la siguiente salida:
v3j R3 C Vs
j R1 C L 2 C j R3 C 1
10000
157j
225
314j
3125
246492 1
88.34029298
-6.368890532
Apéndice 2. Uso de Maple 13
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156.20466 |_ 38.645636º
124.900377|_ -51.354364º
22.085073|_ -6.368891º
Si se desea obtener los valores de las formas de ondas, se determinan las transformaciones
inversas, obteniendo:
13
30
( ) 156, 2sen(314 38,65º )
( ) 124,9sen(314 51,35º )
( ) 22,09sen(314 6,37º )
v t t
v t t
i t t
Se puede modificar la función para pasar como argumento un conjunto de ecuaciones. Los
diferentes elementos del conjunto se extraen con la notación de arreglos, usando corchetes. La
función lhs extrae lado izquierdo; y rhs el lado derecho. En printf la letra a indica un elemento
algebraico. Se ilustra la sentencia for y el bloque repetitivo empleando los delimitadores do y
end do. El siguiente procedimiento no requiere efectuar la asignación, imprime los símbolos de
las variables y el número complejo polar asociado.
MagAng2:=proc(f,n)
local i;
for i from 1 by 1 to n
do printf("%a = %g |_%gº\n", lhs(f[i]),
abs(rhs(f[i])), (argument(rhs(f[i]) )*180/Pi) );
end do;
end proc:
A2.5. Respuesta en frecuencia
Para la función de transferencia H(j ) se definen las funciones ganancia A y ángulo
según:
y
Ejemplo A2.2.
Con el comando unapply se obtiene la función H(s), para una función de transferencia de
segundo orden, a partir de la expresión expH.
expH:= wn^2/(s^2 + 2*a*wn*s + wn^2);
H:= unapply( expH, s );
( )A ( )H j ( )( )arg ( )H j 180
:= expHwn2
s2 2 a wn s wn2
14 Teoría de Redes Eléctricas
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Las funciones Maple pueden ser evaluadas en términos de su argumento, no así las
expresiones.
Las funciones amplitud y fase, que a su vez son funciones de H, se obtienen en función de
los parámetros a y wn con el comando unapply. De este modo puede visualizarse la influencia
de los parámetros a y wn en la respuesta en frecuencia.
A := unapply( evalc(abs(H(j*omega))), (a, wn));
simplify(A(a, wn));
Phi := unapply(evalc(argument(H(j*omega)))*180/Pi, (a, wn));
Diagramas de Bode
El siguiente comando genera un diagrama de Bode para la ganancia, con a=0,2 y wn=1:
with( plots ):interface(imaginaryunit=j):
semilogplot( 20*log10(A(0.2,1)), omega=0.1..10,
axes=framed, labels=[omega,"Ganancia (dB)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]);
Figura A2.9 Diagrama de Bode de la ganancia.
El siguiente comando genera un diagrama de Bode para el ángulo de fase, para a=0,5 y
wn=1: semilogplot( Phi(.5,1), omega=0.1..10,
axes=framed,labels=[omega,"Angulo (grados)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]
);
:= H swn2
s2 2 a wn s wn2
wn4
4 2 2 wn2 wn4 4 a2 wn2 2
:= ( ),a wn 180( )arctan ,2 wn3 a wn2 ( )2 wn2
Apéndice 2. Uso de Maple 15
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Figura A2.10 Diagrama de Bode del ángulo.
Diagrama de Nyquist
Además de los diagramas de Bode, existen otras representaciones para mostrar la respuesta
en frecuencia. El diagrama de Nyquist muestra en un plano complejo, la magnitud y ángulo de
la función de transferencia, en función de la frecuencia angular.
Se muestran los comandos para generar el diagrama de Nyquist, para amortiguamiento 0,8 y
frecuencia natural igual a 5.
Se efectúa el comando complexplot para almacenar como una serie de puntos el gráfico en
p1.
Se muestra el punto (-1, j0) con un pequeño círculo mediante el gráfico que se almacena en
p2.
En p3 se almacena un gráfico con el sistema de coordenadas polares para el diagrama de
Nyquist.
Mediante el comando display, se despliegan los tres gráficos, con un título.
expcom:=eval(H(j*omega),{a=0.8,wn=5});
p1 := complexplot(expcom ,omega=0..20, color=BLUE):
p2 := plot([[-1,0]], style=POINT, symbol=circle, symbolsize=14, color=BLACK):
p3 := coordplot(polar, [0..1, 0..2*Pi], grid=[5,13], color=[RED, orange], linestyle=[1,2]):
display({p1, p2, p3}, scaling=constrained, title="Diagrama de Nyquist");
Figura A2.11 Diagrama de Nyquist.
16 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
En corriente continua, con =0, se inicia el diagrama en el punto (1,0). Antes se vio, en la
Figura A2.10, que el ángulo tiende a 180º para frecuencias tendiendo a infinito; y la amplitud
tiende a cero, según se observa en la Figura A2.9.
Raíces de la ecuación característica
El siguiente comando calcula las raíces del denominador: raices:=solve(s^2+2*a*wn*s+wn^2=0, s);
Las ubicaciones de las raíces de la ecuación característica de segundo orden se muestran,
variando el parámetro a. Primero son reales diferentes, luego complejas conjugadas. El valor -a es la parte real de las
raíces complejas conjugadas. El caso de oscilación subamortiguada se produce cuando las raíces son complejas. La
oscilación críticamente amortiguada ocurre para raíces iguales. Se tiene oscilación sobre
amortiguada para raíces reales diferentes.
p1:= complexplot(eval(raices[1], wn=1), a=0.1..2, style=point, color=red, axes=normal):
p2:= complexplot(eval(raices[2], wn=1), a=0.1..2, style=point, color=blue):
display(p1, p2);
Figura A2.12 Root locus.
Relación entre la ubicación de las raíces y la respuesta en frecuencia
El siguiente comando muestra en un gráfico tridimensional la magnitud en DB de la función
H( +j ).
plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega), {a=0.2,wn=1}))), sigma=2..-2, omega=-3..3,
axes=framed, orientation=[40,60], grid=[20,20], shading=XY);
,( )a a2 1 wn ( )a a2 1 wn
Apéndice 2. Uso de Maple 17
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura A2.13 Superficie de la Ganancia en el plano complejo.
En las ubicaciones de los polos la ganancia tiende a infinito. Se puede efectuar un corte en
=0, ya que esto permite visualizar el módulo de H(j ). Para lograr esto se varían: entre 0 y -
2, y entre 0 y 3, mostrando sólo una parte de la gráfica tridimensional que se muestra en la
Figura A2.13.
plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega), {a=0.2, wn=1}))), sigma=0..-2, omega=0..3,
axes=framed, orientation=[40,60], grid=[20,20], shading=XY);
Figura A2.14 Respuesta en frecuencia.
Mientras más cerca esté la raíz del eje j , más pronunciado será el máximo de la ganancia.
Las gráficas tridimensionales, dentro de Maple, se pueden girar y visualizar desde diferentes
ángulos, logrando una rápida familiarización con las relaciones
La visualización de la ubicación de los polos y la ganancia para un filtro de tipo Butterworth,
de cuarto orden, se logra con:
expH:= 1/sqrt(1+s^(2*n));
H:= unapply( expH, s );
plot3d(20*log10(abs(eval(H(sigma+j*omega),{n=4}))), sigma=0..-2, omega=-2..2,
axes=framed, orientation=[40,60], grid=[15,15], shading=XY, numpoints=1000);
A( )
18 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura A2.15 Butterworth cuarto orden. Pasa bajos.
Se muestra entre -2 y +2, para visualizar las raíces formando un semicírculo.
Ejemplo A2.3
Estudiaremos la función de transferencia del filtro pasa bajos que se muestra en la Figura
A2.16.
Se desea calcular el cuociente entre la magnitud del voltaje de salida y la magnitud del
voltaje de entrada; y también la diferencia entre el ángulo de fase del voltaje de salida menos el
ángulo de fase del voltaje de entrada.
Figura A2.16 Filtro pasa bajos.
Se procede en forma similar al análisis alterno, planteando las ecuaciones en función del
operador s. Se resuelve el sistema de ecuaciones y se asignan las expresiones simbólicas a los
identificadores de variables.
Programa
restart:with(plots):
interface(imaginaryunit=j):
ecs:={v1=R1*i1, i2=C*s*v2, v3=vs, i3=i1, i1=i2, v3=v1+v2}:
vars:={i1, i2, i3, v1, v2, v3}:
sol:=solve(ecs, vars):
assign(sol):
Luego se calculan las funciones: de transferencia, la ganancia y el ángulo; se definen los
datos de los parámetros.
R
C Vin
+
Vout
i 1 2
0
Apéndice 2. Uso de Maple 19
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
expH:=v2/vs:
H := unapply( expH, s ):
A := unapply( evalc(abs(H(j*omega))), (omega)):
Phi := unapply(evalc(argument(H(j*omega)))*180/Pi,(omega)):
datos:={R1=1, C=2.0E-6}:
Resultados
Se obtiene el diagrama de Bode de la Ganancia, empleando:
semilogplot( 20*log10(eval(A(omega),datos)), omega=2*Pi*3000..2*Pi*300000, axes=framed,
labels=[omega,"Ganancia (dB)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL]);
Figura A2.17 Diagrama de Bode de la Ganancia.
Se obtiene el diagrama de Bode del ángulo, empleando:
semilogplot( eval(Phi(omega),datos),
omega=2*Pi*3000..2*Pi*300000, axes=framed,
labels=[omega,"Angulo (grados)"], labeldirections=[HORIZONTAL,VERTICAL],
numpoints=200);
Figura A2.18 Diagrama de Bode del Ángulo.
20 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
A2.6. Funciones de transferencia. Redes equivalentes
Para encontrar redes equivalentes se procede a plantear las ecuaciones de la red; luego se
eliminan las variables internas, dejando una relación entre las variables terminales: i y v.
Ejemplo A2.4
Se desea calcular la red equivalente Thévenin, vista desde los terminales a y b.
Para lograr la relación (v, i) entre los terminales a y b, agregamos una fuente de corriente i
externamente, desde el terminal a hacia el terminal b, como se indica en la Figura A2.19.
Figura A2.19 Red para ejemplo A2.4.
La red Thévenin equivalente se muestra en la Figura A2.20.
Figura A2.20 Red Thévenin.
En la Figura A2.20 se tiene la siguiente relación entre v e i:
t tv E R i
Los valores de la fuente y resistencia Thévenin se obtienen según:
( 0)tE v i
( 0)t
dv eR
di
El comando eliminate, genera una lista, que en Maple es una secuencia ordenada de
expresiones, encerrada entre paréntesis cuadrados; a diferencia de un conjunto que es una
secuencia no ordenada de expresiones, encerrada entre paréntesis cursivos.
e v R4
+ R1
R3
R2
a
b
i v5
Et v
+ Rt
a
b
i
Apéndice 2. Uso de Maple 21
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
El primer conjunto de la lista entrega las variables eliminadas en términos del resto de las
variables, el segundo elemento de la lista es la ecuación de equilibrio de la red equivalente entre
los terminales a y b.
El comando solve, obtiene la expresión para el voltaje en términos de las excitaciones, que
en la red del ejemplo son las fuentes independientes e e i.
eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e}:
datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e=10}:
lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4+i}:
lvk:={v5=v1+v2, v2=v3+v4, v4=v}:
ecs:=eceq union lck union lvk :
vars:={i1, i2, i3, i4, i5, v1, v2, v3, v4, v5}:
lista:=eliminate(ecs, vars):
transferencia:=solve(lista[2] , {v} );
assign(transferencia):
Los valores del equivalente Thévenin se calculan según:
Et:=eval(v, i=0);
Rt:=eval(-diff(v, i), e=0);
Ejemplo A2.5
La determinación del equivalente Thévenin para la red con excitación continua y alterna de
la Figura A2.21, se desarrolla en forma similar al ejemplo anterior, salvo que en el cálculo de la
resistencia Thévenin deben igualarse a cero todas las fuentes internas.
Figura A2.21 Red con fuente alterna y continua.
Se agrega un conjunto de datos para especificar el valor de los parámetros.
eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e1, v6=e2}:
datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e2=10, e1=1.5*sin(t)}:
lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4+i, i6=i2}:
lvk:={v5=v1+v2+v6, v2+v6=v3+v4, v4=v}:
ecs:=eceq union lck union lvk :
:= EtR4 e R2
R2 R4 R1 R3 R3 R2 R1 R2 R1 R4
:= RtR4 ( )R1 R3 R3 R2 R1 R2
R2 R4 R1 R3 R3 R2 R1 R2 R1 R4
Vac
0
v R4
+
1
R1
2 R3
R2
3 a
b
4
Vcc +
=
22 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
vars:={i1, i2, i3, i4, i5, i6, v1, v2, v3, v4, v5, v6}:
lista:=eliminate(ecs, vars):
reeq:=solve(lista[2] , {v} );
assign(reeq);
Et:=eval(v, i=0);
Rt:=eval(-diff(v, i), {e1=0, e2=0} );
eval(Et, datos);
eval(Rt, datos);
2
Ejemplo A2.6
Determinar el equivalente Thévenin, entre los terminales a y b, de la red de la Figura A2.22,
que tiene una fuente controlada.
Figura A2.22 Thévenin con fuentes controladas.
eceq:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=R4*i4, v5=e}:
datos:={R1=4, R2=4, R3=2, R4=4, e=10, alpha=1.5}:
lck:={i5=i1, i1=i2+i3, i3=i4-alpha*i2+i}:
lvk:={v5=v1+v2, v2=v3+v4, v4=v}:
ecs:=eceq union lck union lvk :
vars:={i1, i2, i3, i4, i5, v1, v2, v3, v4, v5}:
lista:=eliminate(ecs, vars):
reeq:=solve(lista[2] ,{v} );
assign(reeq);
Et:=eval(v, i=0);
Rt:=eval(-diff(v,i), e=0);
eval(Rt, datos);
:= EtR4 ( )e1 R2 R1 e2
R3 R2 R1 R4 R1 R3 R1 R2 R2 R4
:= RtR4 ( )R3 R2 R1 R3 R1 R2
R3 R2 R1 R4 R1 R3 R1 R2 R2 R4
.3750000000 ( )sin t5
2
:= EtR4 ( )R2 e R3 e
R2 R1 R4 R2 R4 R1 R4 R1 R3 R2 R3 R1
:= RtR4 ( )R2 R1 R3 R2 R3 R1
R2 R1 R4 R2 R4 R1 R4 R1 R3 R2 R3 R1
i2 Vs
0
v R4
+
1
R1
2 R3
R2
3 a
b
i2
Apéndice 2. Uso de Maple 23
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
eval(Et, datos);
La presencia de fuentes controladas dificulta el análisis de redes equivalentes empleando
métodos de papel y lápiz. El uso de Maple permite un tratamiento homogéneo para los
diferentes casos.
A2.7. Estímulos transitorios
En Maple se pueden generar estímulos transitorios con mucha facilidad.
Como ejemplos se desarrollan los estímulos de SPICE.
A2.7.1. Estímulo exponencial
Se desarrolla una función definida por segmentos temporales, que crea una forma de onda
con valor constante <i1> para los primeros <td1> segundos. Luego, los próximos <td2>
segundos a través de una exponencial de constante de tiempo <tc1> pasa desde valor <i1> hasta
valor <i2>. Después hasta <TSTOP> se produce un decaimiento exponencial con constante de
tiempo <tc2>.
Una descripción analítica, más precisa, de lo anterior:
1
1
1 2
1 2
1 1
1 2 1 2 1
2 1 2 1
0 :
: ( )(1 )
: ( )((1 ) (1 ))
t td
tc
t td t td
tc tc
t td i
td t td i i i e
td t TSTOP i i i e e
Un programa Maple, que crea la función EXP(t) mediante el comando piecewise.
param:={i1=1, i2=10, td1=1, tc1=1, td2=10, tc2=3,
TSTOP=20}:
EXP := t -> piecewise
(0<=t and t<td1, i1,
td1<=t and t<td2, i1+(i2-i1)*(1-exp(-(t-td1)/tc1)),
td2<=t and t<TSTOP, i1+(i2-i1)* ((1-exp(-(t-td1)/tc1))-(1-exp(-(t-td2)/tc2)))
):
El siguiente comando substituye los parámetros en la función EXP, y la despliega en el
intervalo.
plot(subs(param, EXP(t)), t=0..30);
3.200000000
7.000000000
24 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura A2.23 EXP (<i1> <i2> <td1> <tc1> <td2> <tc2>)
A2.7.2. Estímulo por secciones lineales
El estímulo PWL describe una forma de onda por segmentos lineales. En SPICE se emplean
pares ordenados para describir los vértices del polígono abierto. El primer elemento del par es el
tiempo, el segundo la amplitud.
Como ejemplo desarrollaremos empleando el comando piecewise el estímulo:
PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1)
Piecewise emplea listas de <condición>, <expresión> para generar los segmentos temporales
de la función.
En el intervalo se representa el segmento recto mediante la ecuación de una línea que pasa
por dos puntos:
( ) ( ) fj fi
f t fi t ti ti t tjtj ti
tj ti
fj
fi
t
Figura A2.24 Recta definida por dos puntos.
El segmento Maple que crea la función: PWL:=t-> piecewise
( t>=0 and t<1, 0,
1.2>t, (5-0)*(t-1)/(1.2-1),
1.4>t, 5+(2-5)*(t-1.2)/(1.4-1.2),
2>=t, 2+(4-2)*(t-1.4)/(2-1.4),
Apéndice 2. Uso de Maple 25
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
3>=t, 4+(1-4)*(t-2)/(3-2),
t>3, 1
):
Podemos visualizar la función, mediante: plot(PWL(t), t=-1..4, y=-1..6);
Figura A2.25 PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1).
A2.7.3. Estímulo sinusoidal amortiguado
El estímulo SIN está definido según:
( )
0 : sin(2 / 360º )
: sin(2 ( ) / 360º ))
off ampl
off ampl
t td df
t td i i Phase
td t TSTOP i i frec t td Phase e
Genera un sinusoide con offset, que decae exponencialmente.
SINp:= t -> piecewise(
0<=t and t<td, ioff+iampl*sin(2*Pi/360),
td<=t, ioff + iampl*sin(2*Pi*(frec*(t-td) + phase/360))* exp(-(t-td)*df) ):
Se definen parámetros para generar: SIN(2 2 5Hz 1sec 1 30) param:={ioff=2, iampl=2, frec=5, td=1, df=1, phase=30}:
plot(subs(param, SINp(t)), t=0..4);
Figura A2.26 SIN (<ioff> <iampl> <freq> <td> <df> <phase>)
26 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
A2.7.4. Estímulo FM
El estímulo SFFM genera una señal modulada en FM por una frecuencia modulante simple,
de acuerdo a la siguiente descripción:
ioff + iampl·sin(2 ·fc·t + modul·sin(2 ·fm·t) )
Donde modul es el índice de modulación.
El commando Maple que genera el estímulo es: SFFM:= t -> ioff + iampl*sin(2*Pi*fc*t+modul*sin(2*Pi*fm*t)):
Se definen parámetros para generar: SFFM(2 1 8Hz 4 1Hz) param:={ioff=2, iampl=1, fc=8, modul=4, fm=1}:
plot(subs(param, SFFM(t)), t=0..2);
Figura A2.27 SFFM (<ioff> <iampl> <fc> <mod> <fm>)
A2.7.5. Estímulo AM
Una señal modulada en amplitud puede definirse en forma similar. Este estímulo no está
implementado en SPICE.
SFAM:= t -> ioff + iampl*sin(2*Pi*fm*t)*sin(2*Pi*fc*t):
Se definen parámetros para generar: SFAM(2 1 8Hz 1Hz) param:={ioff=2, iampl=1, fc=8, fm=1}:
plot(subs(param, SFAM(t)), t=0..2);
Figura A2.28 SFAM (<ioff> <iampl> <fc> <fm>)
Apéndice 2. Uso de Maple 27
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
A2.7.8. Estímulos periódicos
Definición recursiva
La definición de una señal ( )f t periódica puede efectuarse en términos recursivos mediante
la definición de una señal ( )g t en un intervalo igual a un período:
Es decir si ( )g t es conocida, la función ( )f t periódica puede definirse según:
f := t-> if 0<=t and t<T
then g(t)
elif T<=t
then f(t-T)
elif t<0
then f(t+T) fi;
Se ha usado la construcción if then else. Debe notarse que el else if, se anota elif; y que el if
se termina con fi.
Sin embargo esta definición al ser recursiva es costosa de implementar.
Definición por reducción del argumento
Si ( )f t es igual a ( )g t para el intervalo puede extenderse la definición de f
para todo t, considerando un número k entero. Cuando k es negativo, la forma de onda de g, se
desplaza a la izquierda; si es positivo se desplaza hacia la derecha.
La función periódica se define a través de un procedimiento, que emplea una variable local
y. La función retorna ( )g y . Mediante los lazos while se lleva los valores de t hacia el intervalo
entre 0 y T, donde está definida ( )g t .
f := proc(t)
local y;
y := t;
while y >= T do y := y-T od;
while y < 0 do y := y+T od;
g(y);
end;
( )f t
( )g t and 0 t t T
( )f t T T t
( )f t T t 0
and 0 t t T
( )f t {( )g t and 0 t t T
( )g t k T and k T t t ( )k 1 T
28 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Puede invocarse a la función con llamados tipo: f(1.2). Se le pasa un valor como argumento, y
la función retorna un valor. La función puede emplearse como parte de una expresión.
Ejemplo A2.7
Se define la señal ( )g t entre 0 y 1, por segmentos parabólicos.
T:=1;
g:= t -> piecewise( 0<=t and t<T, 4*t^2-4*t+1 );
Una gráfica de g, se obtiene con: plot(g(t), t=-2..2);
Figura A2.29 2( ) 4 4 1g t t t
Notar que sólo queda definida en el período.
Si ya se encuentra definido el procedimiento para f. El siguiente comando despliega, la señal
periódica, para cualquier intervalo:
plot(f, -4..4);
Figura A2.30 f(t) periódica.
Apéndice 2. Uso de Maple 29
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Reducción del argumento mediante floor
La reducción iterativa del argumento puede ser costosa, debido al número de iteraciones para
valores elevados del argumento relativos al período. Tradicionalmente se efectúa la reducción
en una sola operación. Esto suele implementarse en las funciones periódicas más usadas, como
seno y coseno; en las bibliotecas se define un período mediante una serie, y el argumento se
reduce empleando la función estándar floor. Que obtiene el mayor entero menor o igual al
número.
Por ejemplo floor(1.2) es 1; y floor(-1.2) = -2
Figura A2.31 floor(t).
Si estudiamos la forma de onda de t -floor(t), observamos que lleva todos los valores de t al
intervalo entre 0 y 1.
Figura A2.32 t - floor(t).
Entonces: t - T*floor(t-t/T) lleva todos los valores de t al intervalo entre 0 y T.
La siguiente es una definición de una función periódica f, cuya forma está definida por
g(t) entre 0 y T.
Su ventaja es que si t está fuera del intervalo entre 0 y T, en una sola evaluación lleva t al
intervalo entre 0 y T.
( )f t
( )g t and 0 t t T
g t T floort
Totherwise
30 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
La siguiente definición, emplea la definición del resto de los casos en piecewise, luego de la
lista de segmentos temporales.
fp := t -> piecewise( 0<=t and t<T, g(t), g(t-floor(t)) );
Ejemplo A2.8
Implementaremos el estímulo periódico PULSE de Spice, empleando los conceptos
anteriores.
tr
i2
i1
t
td pw tf
tper
Figura A2.33 PULSE (<i1> <i2> <td> <tr> <tf> <pw> <per>)
La función en el primer período se define por sus segmentos, según:
pulso:= t -> piecewise
( 0<=t and t<td, i1,
td<=t and t<td+tr, i1+(i2-i1)*(t-td)/tr,
td+tr<=t and t<td+tr+pw, i2,
td+tr+pw<=t and t<td+tr+pw+tf, i1+(i1-i2)*(t-(td+tr+pw+tf))/tf,
td+tr+pw+tf<=t and t<per, i1 ):
Con los siguientes parámetros, puede obtenerse la función en el primer período.
param:={i1=0.8, i2=5, td=1, tr=.5, tf=2, pw=3, per=10};
plot(subs(param, pulso(t)), t=0..20);
Figura A2.34 pulso (1, 5, 1, 5, 3, 10)
Apéndice 2. Uso de Maple 31
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
La definición del pulso periódico, empleando floor:
PULSE:= t -> piecewise(
0<=t and t<per, pulso(t),
pulso(t-per*floor(t/per)) ):
La visualización de la señal periódica:
plot(subs(param, PULSE(t)), t=-10..20, y=0..6);
Figura A2.35 PULSE (1, 5, 1, 5, 3, 10)
A2.8. Syrup
Joseph Riel desarrolló la aplicación Syrup, como una biblioteca Maple, que permite obtener
las ecuaciones simbólicas de una red empleando un netlist, similar a las descripciones de redes
SPICE.
Permite realizar análisis continuo, alterno y transitorio.
La aplicación puede bajarse del sitio de Maple: www.maplesoft.com.
Si se instala la versión preinstalada, se requiere colocar los siguientes tres archivos:
maple.hdb, maple.ind, maple.lib, en un directorio. Las líneas siguientes asumen que se
colocaron en C:\Documents and Settings\Syrup.
> restart:
bibname:="C:\\Documents and Settings\\Syrup":
libname := libname, bibname:
Luego de esto, pueden describirse redes, con la sintaxis de SPICE. Se ilustra una red RLC
serie.
> with(Syrup):
> circuito := "Red RLC serie
*Comentario.
V 1 0
R 1 2
L 2 3 L ic=a
32 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
C 3 0 C ic=b
.end":
El siguiente comando obtiene las transformadas de Laplace de los voltajes de
nodos.
> ecTL:=syrup(circuito, ac);
Si se desea la respuesta en frecuencia, puede ejecutarse:
> respenfrec:= subs(s=j*omega, ecTL);
El siguiente comando obtiene dos conjuntos, el primero con las condiciones iniciales y las
ecuaciones de estado; el segundo con las variables de estado.
> ecs:= syrup(circuito, tran);
Lo cual permite resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el
comando:
> sol:= dsolve(ecs):
Luego de esto se tienen disponibles las ecuaciones simbólicas de la red, y se puede continuar
el análisis empleando comandos Maple.
:= ecTL { }, ,v2
V ( )1 s2 L C
s C R 1 s2 L Cv
3
V
s C R 1 s2 L Cv
1V
ecs { }, , ,( )iL
0 a ( )vC
0 bt
( )vC
t( )i
Lt
C t( )i
Lt
( )iL
t R V ( )vC
t
L, :=
{ },( )vC
t ( )iL
t
Apéndice 2. Uso de Maple 33
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Índice general
APÉNDICE 2 .......................................................................................................................... 1
USO DE MAPLE EN ANÁLISIS DE REDES ................................................................... 1
A2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 1 A2.2. MÉTODOS DE ANÁLISIS ............................................................................................... 2 A2.3. ANÁLISIS CONTINUO O DC ......................................................................................... 3
Programa ......................................................................................................................... 3 Representación gráfica .................................................................................................... 5
A2.3. ANÁLISIS TRANSITORIO .............................................................................................. 5 Programa ......................................................................................................................... 6 Formas de ondas .............................................................................................................. 7 Ejemplo A2.1. ................................................................................................................... 8
A2.4. ANÁLISIS ALTERNO ................................................................................................... 11 Programa ....................................................................................................................... 11 Resultados ...................................................................................................................... 12
A2.5. RESPUESTA EN FRECUENCIA ..................................................................................... 13 Ejemplo A2.2. ................................................................................................................. 13 Diagramas de Bode ........................................................................................................ 14 Diagrama de Nyquist ..................................................................................................... 15 Raíces de la ecuación característica .............................................................................. 16 Relación entre la ubicación de las raíces y la respuesta en frecuencia ......................... 16 Ejemplo A2.3 .................................................................................................................. 18
Programa ................................................................................................................................................. 18 Resultados ............................................................................................................................................... 19
A2.6. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. REDES EQUIVALENTES ......................................... 20 Ejemplo A2.4 .................................................................................................................. 20 Ejemplo A2.5 .................................................................................................................. 21 Ejemplo A2.6 .................................................................................................................. 22
A2.7. ESTÍMULOS TRANSITORIOS ....................................................................................... 23 A2.7.1. Estímulo exponencial ......................................................................................... 23 A2.7.2. Estímulo por secciones lineales ......................................................................... 24 A2.7.3. Estímulo sinusoidal amortiguado ...................................................................... 25 A2.7.4. Estímulo FM ...................................................................................................... 26 A2.7.5. Estímulo AM ...................................................................................................... 26 A2.7.8. Estímulos periódicos .......................................................................................... 27
Definición recursiva ................................................................................................................................ 27 Definición por reducción del argumento ................................................................................................. 27 Ejemplo A2.7 ........................................................................................................................................... 28 Reducción del argumento mediante floor ................................................................................................ 29
Ejemplo A2.8 .................................................................................................................. 30 A2.8. SYRUP ....................................................................................................................... 31 ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 33
34 Teoría de Redes Eléctricas
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Índice de Figuras.
Figura A2.1 Identificación de variables. ....................................................................................... 3 Figura A2.2 Barrido DC. ............................................................................................................... 5 Figura A2.3 Red RLC paralelo ...................................................................................................... 6 Figura A2.4 Variables de estado. ................................................................................................... 8 Figura A2.5 Potencias instantáneas. .............................................................................................. 8 Figura A2.6 Ecuaciones de estado. ................................................................................................ 9 Figura A2.7 Variables de estado. ................................................................................................. 11 Figura A2.8 Análisis alterno. ....................................................................................................... 11 Figura A2.9 Diagrama de Bode de la ganancia. .......................................................................... 14 Figura A2.10 Diagrama de Bode del ángulo. .............................................................................. 15 Figura A2.11 Diagrama de Nyquist. ............................................................................................ 15 Figura A2.12 Root locus. ............................................................................................................. 16 Figura A2.13 Superficie de la Ganancia en el plano complejo. .................................................. 17 Figura A2.14 Respuesta en frecuencia. ....................................................................................... 17 Figura A2.15 Butterworth cuarto orden. Pasa bajos. ................................................................... 18 Figura A2.16 Filtro pasa bajos. ................................................................................................... 18 Figura A2.17 Diagrama de Bode de la Ganancia. ....................................................................... 19 Figura A2.18 Diagrama de Bode del Ángulo. ............................................................................. 19 Figura A2.19 Red para ejemplo A2.4. ......................................................................................... 20 Figura A2.20 Red Thévenin. ....................................................................................................... 20 Figura A2.21 Red con fuente alterna y continua. ........................................................................ 21 Figura A2.22 Thévenin con fuentes controladas. ........................................................................ 22 Figura A2.23 EXP (<i1> <i2> <td1> <tc1> <td2> <tc2>) ........................................................ 24 Figura A2.24 Recta definida por dos puntos. ............................................................................. 24 Figura A2.25 PWL (0, 1) (1.2, 5) (1.4, 2) (2, 4) (3, 1). .............................................................. 25 Figura A2.26 SIN (<ioff> <iampl> <freq> <td> <df> <phase>) ............................................... 25 Figura A2.27 SFFM (<ioff> <iampl> <fc> <mod> <fm>) ........................................................ 26 Figura A2.28 SFAM (<ioff> <iampl> <fc> <fm>) .................................................................... 26
Figura A2.29 2( ) 4 4 1g t t t ............................................................................................... 28
Figura A2.30 f(t) periódica. ........................................................................................................ 28 Figura A2.31 floor(t). ................................................................................................................. 29 Figura A2.32 t - floor(t). ............................................................................................................. 29 Figura A2.33 PULSE (<i1> <i2> <td> <tr> <tf> <pw> <per>) ................................................ 30 Figura A2.34 pulso (1, 5, 1, 5, 3, 10) .......................................................................................... 30 Figura A2.35 PULSE (1, 5, 1, 5, 3, 10) ...................................................................................... 31
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