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Cap 1. Introducción(Definiciones y conceptos básicos)

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGODEPARTAMENTO DE IRRIGACIÓN

Profesor: M. C. Fco. Raúl Hernández Saucedo

CONCEPTOS DE ERROR Y TOLERANCIA

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Conceptos de “Error” y “Tolerancia”Conceptos de “Error” y “Tolerancia”

Contenido

� Clasificación de los errores� Concepto y Teoría de los Errores� Concepto de Tolerancia

Contenido

� Clasificación de los errores� Concepto y Teoría de los Errores� Concepto de Tolerancia

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En Topografía, los errores cometidos en las mediciones tienen que ser considerados, evaluados y compensados para asegurar que el trabajo quede dentro de ciertos límites aceptables y pueda ser considerado como correcto; en consecuencia, un conocimiento elemental de la teoría de los errores en esta materia, es de vital importancia.

En Topografía, los errores cometidos en las mediciones tienen que ser considerados, evaluados y compensados para asegurar que el trabajo quede dentro de ciertos límites aceptables y pueda ser considerado como correcto; en consecuencia, un conocimiento elemental de la teoría de los errores en esta materia, es de vital importancia.

IntroducciónIntroducción

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Es la discrepancia o diferencia entre el valor medido de una magnitud y el valor “verdadero” de dicha magnitud.

Es la discrepancia o diferencia entre el valor medido de una magnitud y el valor “verdadero” de dicha magnitud.

Definición preliminar de “Error”Definición preliminar de “Error”

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Clasificación de los erroresClasificación de los errores

Atendiendo a las causas que los originan, los errores pueden ser:

Naturales Instrumentales Personales

Atendiendo a las causas que los originan, los errores pueden ser:

Naturales Instrumentales Personales

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Errores naturalesErrores naturalesLos errores naturales son los que tienen su origen en factores naturales tales como el viento, la temperatura, la gravedad, las perturbaciones magnéticas, etc.

Ejemplos: El Error que se produce por la dilatación o contracción de una cinta metálica debido al efecto de la temperatura y el que ocasiona la curvatura vertical cóncava de dicha cinta (catenaria) por efecto de la gravedad.

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Errores instrumentalesErrores instrumentalesLos errores instrumentales se originan en la construcción de los instrumentos o en su desajuste.

Cualquier instrumento puede producir errores debidos a la mala graduación de sus escalas, a la incorrecta sincronización de sus piezas desde fábrica o por el desajuste ocasionado por descuidos en su transportación, instalación y/u operación.

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Errores personalesErrores personales

Los errores personales provienen de las limitaciones de los sentidos humanos tales como la vista y el tacto, así como del nivel de conocimientos del operador de los instrumentos y aún de su estado psicológico (cuidado o nivel de concentración en el trabajo).

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Clasificación de los erroresClasificación de los errores

Un segundo criterio, que se basa en las leyes que los gobiernan, permite clasificar a los Errores en:

Sistemáticos

Gruesos o equivocaciones

Accidentales o aleatorios.

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Errores sistemáticosErrores sistemáticos

Los errores sistemáticos son aquellos que para iguales condiciones de trabajo en campo, son constantes en magnitud y signo, lo que implica que son acumulativos.

Se rigen por leyes físicas y matemáticas, por lo que pueden ser calculados y corregidos.

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Errores gruesos o equivocacionesErrores gruesos o equivocaciones

Errores gruesos o equivocaciones. Se refieren a la falsa determinación del valor de una medida y se originan por el descuido en la lectura de un valor, en su incorrecta anotación o en la deficiente operación de los instrumentos empleados.

Estos errores no pueden controlarse ni estudiarse puesto que no hay leyes definidas que los gobiernen, pero pueden evitarse poniendo mayor cuidado en la ejecución de los trabajos por parte de todos los integrantes de la brigada topográfica.

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Errores accidentalesErrores accidentales

Los errores accidentales, son los que humanamente no se pueden evitar, ya que sus causas están fuera del control del observador, es igualmente probable que tengan signo positivo o negativo y, tienen su origen en la limitación de los sentidos o en la aproximación de los aparatos.

Por ser positivos o negativos, pueden compensarse en el proceso de un trabajo topográfico y puesto que su ocurrencia es aleatoria, obedecen a las leyes de la probabilidad.

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DefinicionesDefinicionesVariables aleatorias (estocásticas)

vsVariables determinísticas

Las variables determinísticas siguen leyes determinísticas.Ejemplo: La distancia (D) que recorre un móvil con velocidad constante V, en un tiempo (T) está dada por:

Las variables aleatorias siguen leyes probabilísticas.Ejemplo: La precipitación anual de un lugar es un variable aleatoria.

TVD ×=

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DefinicionesDefiniciones

Estadística

Ciencia que estudia los fenómenos aleatorios y que apoyada en la teoría matemática de la probabilidad, permite hacer conclusiones de tipo inductivo, es decir, de lo particular a lo general.

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Teoría de los erroresTeoría de los errores

La Teoría de los Errores solamente tiene validez para los errores accidentales que, como ya se ha dicho, se rigen por las leyes de la probabilidad.

El Error (E), es la diferencia algebraica entre el valor observado o medido (Vo) y el valor verdadero (Vv) o más probable (Vp) de una magnitud. De manera algebraica:

E = Vo - Vv = Vo - Vp

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Teoría de los erroresTeoría de los errores

Carlos Federico Gauss, al referirse a los errores (accidentales) escribió:

“Por la imperfección de nuestros sentidos y la imprecisión de los instrumentos que utilizamos para medir, los resultados que obtenemos, no son más que aproximaciones a la realidad”

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ConceptosConceptos

La precisión es el grado de perfección o aproximación utilizada en los instrumentos, métodos y observaciones al efectuar una medición.

La exactitud es el grado de perfección o aproximación obtenida en el resultado.

Precisión -vs- Exactitud

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ConceptosConceptosPrecisión -vs- Exactitud

Preciso pero no exacto Ni preciso ni exacto Preciso y exacto

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Valor verdadero de una magnitudValor verdadero de una magnitudEn la práctica, el valor verdadero de una magnitud se desconoce, por lo que en su lugar se utiliza la media aritmética de una serie de valores observados, considerando que, según la teoría estadística, cuando una magnitud se mide varias veces en las mismas condiciones, el mejor estimador del valor verdadero es la media aritmética.

n

Vo

V

n

i

i∑== 1

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Serie de mediciones independientes

Serie de mediciones independientes

MEDICIÓN (i)

VALOR OBSERVADO

(VOi)

ERROR(Ei)

1 Vo1 E1 = Vo1 - V

2 Vo2 E2 = Vo2 - V

3 Vo3 E3 = Vo3 - V

. . . . . . . . .

n Von En = Von - V

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Estimadores de la precisión de las mediciones

Estimadores de la precisión de las mediciones

n

VVoEMC

n

ii∑

=

−

= 1

2)(

Error medio cuadrático

Error estándar

n

VVoEE

n

1i

2i∑

=

−=

)(

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Error residualError residualEn una serie de medidas, el Error Residual (que no se compensó) es directamente proporcional a la raíz cuadrada del número de oportunidades de que ocurra el Error Estándar.

Además, la teoría probabilística establece que para una distribución normal de los errores, existe sólo un 5% de probabilidad de que se presente un Error cuyo valor absoluto exceda al doble del Error Estándar

EEnER *=

23- EE + EE68%

0

-2EE + 2EE95%

Distribución probabilística normalde los errores accidentales

Distribución probabilística normalde los errores accidentales

( )2

x2

12e

21y

µσ

πσ

−

−

=

∝− ∝+

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Concepto de toleranciaConcepto de tolerancia

La Tolerancia (T) en un levantamiento topográfico, es el Error Máximo positivo o negativo que se está dispuesto a aceptar y que, por lo tanto, sirve como criterio de decisión.

Si este Error no se rebasa, se considera que el trabajo cumple con la precisión buscada y por lo tanto se acepta, por el contrario, si esto no ocurre, el trabajo en principio debe rechazarse.

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Elección de la toleranciaElección de la tolerancia

El valor de la Tolerancia se debe establecer de acuerdo a la precisión de los aparatos e instrumentos utilizados y con base en las condiciones de operación en campo.

Así, en forma indirecta, la Tolerancia se ve influida por la exactitud requerida en el trabajo, ya que ésta debe dar pie a la elección de los instrumentos adecuados.

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Elección de la toleranciaElección de la tolerancia

La Tolerancia debe estar en relación con el Error Estándar (T = f {EE}).En la práctica, es muy común considerar a la Tolerancia como el doble del Error Residual, lo que algebraicamente se expresa como sigue:

EEnERT **2*2 ==

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Elección de la toleranciaElección de la tolerancia

La expresión anterior, sólo es válida si se parte de los dos supuestos siguientes:a) Que sólo ocurrieron errores accidentales; y b) Que éstos se distribuyeron normalmente.Lo que implica que existe un 5% de probabilidad de que se presente un Error que sea mayor al doble de EE. En consecuencia, un Error mayor a 2ER sólo puede ocurrir con un 5% de probabilidad también.

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Consecuentemente…..Consecuentemente…..

Si se efectúa un levantamiento topográfico 100 veces, se espera que en 95 casos se tenga un Error Total (Residual) con valor absoluto menor o igual que la Tolerancia dada por la expresión y que en 5 casos suceda lo contrario.

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ConclusiónConclusiónCon base en base a lo anterior, si al efectuar un

levantamiento topográfico se encuentra que el valor absoluto del Error Residual es mayor que la Tolerancia, sólo pudieron haber ocurrido dos situaciones:

a) El trabajo es correcto, pero ocurrió un evento poco probable.

b) El trabajo es incorrecto, es decir, el Error Residual resultó grande, debido a que existieron errores sistemáticos que no se corrigieron y/o equivocaciones, además de los errores accidentales.

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Comentarios …Comentarios …

Por supuesto, como medida de seguridad, debe considerarse que ocurrió la situación b).Esto quiere decir que en 5 de cada 100 trabajos, se estará rechazando un trabajo correcto, pero con ello se estará protegiendo del riesgo de aceptar un trabajo que con el 95 % de seguridad es incorrecto.

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Comentarios …Comentarios …

Por otra parte, cuando el Error Residual es menor que la Tolerancia obtenida con la expresión anterior, se aceptará el trabajo, pero es evidente que nunca se tendrá el 100 % de seguridad de que el trabajo esté libre de errores, pues existe la remota posibilidad que éstos se hayan compensado, al menos parcialmente. De cualquier manera, la Tolerancia dada por la expresión anterior, y el criterio de decisión asociado, es bastante útil por su eficiencia para rechazar trabajos que con alta probabilidad son incorrectos.

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Selección de una fórmula de toleranciaSelección de una fórmula de tolerancia

El problema de aplicar adecuadamente una fórmula específica de Tolerancia para un caso dado, es conocer el valor del Error Estándar asociado a cada aparato utilizado en el trabajo y a las condiciones particulares de operación en campo, el cual sólo puede conocerse con la experiencia o con pruebas experimentales.

Los fabricantes deben reportar el EE en los manuales de uso de los instrumentos que venden, lo cual es de mucha utilidad porque evita suponerlo o tener que experimentar para estimarlo.

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Fin de la presentación

M.C. Fco. Raúl Hernández Saucedo